Post on 17-Feb-2016
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Programação Linear
Método Simplex
O modelo do problema
189 21 xx.H.H
00 21 xx123 21 xx.M.H
21421
xxLMaxx,x
s.a
O Método SIMPLEXForma-se um sistema de equações
lineares introduzido as variáveis de folga:
123 421 xxx
04 21 xxL189 321 xxx
O Método SIMPLEXUm quadro pode ser formado com os
coeficientes das variáveis.
Observe o formato das colunas de x3 e x4
x1 x2 x3 x4L -4 -1 0 0 0x3 9 1 1 0 18x4 3 1 0 1 12
Observe os coeficientes de x1 e x2 na linha da função objetivo.Para auxiliar pode-se utilizar uma coluna para destacar os valores das variáveis básicas.
O Método SIMPLEXA primeira pergunta é qual a variável que,
entrando da base, aumentaria mais rapidamente o valor da função objetivo.
A pergunta é respondida observando-se qual a variável que tem o coeficiente mais negativo na linha referente à função objetivo.
x1 x2 x3 x4L -4 -1 0 0 0x3 9 1 1 0 18x4 3 1 0 1 12
No caso, a variável x1
O Método SIMPLEX Como x1 aumenta a função objetivo mais rapidamente, qual o
valor máximo que x1poderá assumir sem romper as restrições?
Na primeira restrição x1aumenta até 2 (18/9) fazendo com que x3 se anule, saindo da base.
x1 x2 x3 x4L -4 -1 0 0 0x3 9 1 1 0 18x4 3 1 0 1 12
Na segunda restrição x1aumenta até 4 (12/3) fazendo com que x4 se anule, saindo da base.x1 toma então o lugar de x3 na base, entrando na linha desta mesma variável básica.
O Método SIMPLEXCom a decisão tomada, a linha de x3 deve refletir agora o
valor de x1, consegue-se isto fazendo o coeficiente de x1 igual a 1 naquela linha e trocando-se o nome à direita do quadro.
Para que o quadro fica passível de análise é necessário escaloná-lo sendo a linha de x1 a pivô.
x1 x2 x3 x4L -4 -1 0 0 0x1 1 1/9 1/9 0 2x4 3 1 0 1 12
O Método SIMPLEXO novo quadro será:
Observe o formato das colunas de x1 e x4
x1 x2 x3 x4L 0 - 5/9 4/9 0 8x1 1 1/9 1/9 0 2x4 0 2/3 - 1/3 1 6
Observe os coeficientes de x2 e x3 na linha da função objetivo.A coluna à direita destaca os valores das novas variáveis básicas e do lucro.
x1 x2 x3 x4L 0 - 5/9 4/9 0 8x1 1 1/9 1/9 0 2x4 0 2/3 - 1/3 1 6
O Método SIMPLEXA primeira pergunta pode ser repetida: qual a
variável que, saindo da base, aumentaria mais rapidamente o valor da função objetivo?
A pergunta é respondida observando-se que a única variável que tem coeficiente negativo na linha referente à função objetivo é x2.Até quanto o valor x2 pode aumentar?
x1 x2 x3 x4L 0 - 5/9 4/9 0 8x1 1 1/9 1/9 0 2x4 0 2/3 - 1/3 1 6
O Método SIMPLEX Pode-se automaticamente localizar o mínimo das razões dos
valores das variáveis básicas com os coeficientes de x2.
Mínimo
182
91
96
32
Nova linha pivô
x1 x2 x3 x4L 0 0 1/6 5/6 13x1 1 0 1/6 - 1/6 1x2 0 1 - 1/2 1 1/2 9
O Método SIMPLEX Multiplicando-se a linha de x2 por 3/2, trocando-se o nome
da variável e escalonando resulta em:
Observe novamente as colunas de x1 e x2 (as VB’s)Observe também os coeficientes de x3 e x4 (as VNB’s ) na linha da função objetivo.A coluna à direita destaca os valores das novas variáveis básicas e do lucro.A solução é ótima dado os coeficientes positivos.
O Algoritmo SIMPLEX1. Acrescentar
variáveis de folga ao problema.
2. Achar uma solução viável definindo as VB e
as VNB
3. Identificar a VNB com coeficiente mais negativo na função
objetivo (VBE)
4. Escolher a menor das razões entre os
coeficientes da VBE e os valores das VB’s
5. Identificar a linha em que isto ocorre e nominar a VB
como VBS
6. Tornar o coeficiente da VBE igual a 1 na linha da
VBS e escalonar o sistema
7. A VBE torna-se VB e a VBS torna-se VNB
8. Existe alguma VB com coeficiente
negativo na função objetivo?
SIM
NÃO9. Solução Ótima
Aplicando o SIMPLEX no Exemplo 2
Uma grande fábrica de móveis dispõe em estoque de 300m de tábuas, 600m de pranchas e 500m de painéis de aglomerado.
Oferece normalmente 4 modelos de móveis: Escrivaninha, Mesa, Armário e Prateleira.
Os modelos são vendidos respectivamente por $100,00; $80,00; $120,00; $30,00.
E consomem: Escrivaninha: 1m tábua, 3m de painéis. Mesa: 1m tábua, 1m prancha, 2m painéis. Armário: 1m tábua, 1m prancha, 4 painéis. Prateleira: 4m tábua, 2 de prancha.
O modelo do problema
PAMExxxxxxxxLMax
PAME
3012080100,,,
0000 PAME xxxx
6002 PAM xxxPr3004 PAME xxxxTb
500423 AME xxxPa
03012080100 PAME xxxxL
6002 2 FPAM xxxx
3004 1 FPAME xxxxx
500423 3 FAME xxxx
O Método SIMPLEXIntroduzido as variáveis de folga.
O Método SIMPLEXO quadro é:
xE xM xA xP xF1 xF2 xF3L -100 -80 -120 -30 0 0 0 0xF1 1 1 1 4 1 0 0 300xF2 0 1 1 2 0 1 0 600xF3 3 2 4 0 0 0 1 500
Observe as colunas das variáveis básicas e os coeficientes das variáveis não básicas .Os valores das VB’s estão a direita.Quem entra na base é xA e quem sai é xF3
A linha pivô é a linha da VBS xF3.
O Método SIMPLEXO novo quadro é:
xE xM xA xP xF1 xF2 xF3L -10 -20 0 -30 0 0 30 15000
xF1 1/4 1/2 0 4 1 0 - 1/4 175xF2 - 3/4 1/2 0 2 0 1 - 1/4 475xA 3/4 1/2 1 0 0 0 1/4 125
xP é a variável que entrará na base no lugar de xF1Dividindo-se por 4 e escalonando....
O Método SIMPLEXO novo quadro é:
xE xM xA xP xF1 xF2 xF3L -8,125 -16,25 0 0 7,5 0 28,13 16312,5xP 0,0625 0,125 0 1 0,25 0 -0,06 43,75xF2 -0,875 0,25 0 0 -0,5 1 -0,13 387,5xA 0,75 0,5 1 0 0 0 0,25 125
xM é a variável que entrará na base no lugar de xA, pois
43,75/0,125=350387,5/0,25=1550 e125/0,5=250
O Método SIMPLEXO novo quadro é:
xE xM xA xP xF1 xF2 xF3L 16,25 0 32,5 0 7,5 0 36,25 20375xP -0,125 0 -0,25 1 0,25 0 -0,13 12,5xF2 -1,25 0 -0,5 0 -0,5 1 -0,25 325xM 1,5 1 2 0 0 0 0,5 250
A solução é ótima, não há coeficientes negativos.