Atratores Estranhos de LorenzMarcelo Viana

IMPA - Rio de Janeiro

Atratores Estranhos de Lorenz – p.1/26

Equações de Lorenz

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(1)

E. N. Lorenz, Journal of Atmospheric Sciences, 1963.

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Atrator de LorenzLorenz Attractor

25-25

50

-5

Title: Lorenz SystemDate: Fri Jun 18 12:24:00 1999 Range = [ -25, 25 ]; Range = [ -5, 50 ]Initial Conditions: ( x, y, z, time )=( 0.1, 0.1, 0.1, 0 )Parameters: ( sigma, rho, beta )=( 10, 28, 2.6666667 )Num Pts = 10001; Time Step = 0.01

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Previsão do tempo

Lorenz estava questionando a fundamentação teórica dosmétodos de previsão do tempo da época, baseados emregressão linear.

Na sua opinão o fenômeno do tempo é demasiado nãolinear para que tais métodos possam dar resultadosconsistentes.

Para testar a sua tese, comparou numericamente diversosmétodos aplicados a certos modelos simplificados.

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Previsão do tempo

A complexidade do modelo era um aspecto crítico dosexperimentos, porque os computadores da época eramlentos:

Lorenz dispunha de um Royal McBee LGP-30 com 16k dememória interna, capaz de realizar 60 multiplicações porsegundo. Para um sistema de doze equações diferenciais,cada passo da integração numérica tomava 1 segundo.

Após diversas tentativas, Lorenz acabou adotand ummodelo com 3 equações introduzido por B. Saltzmann, queveio a ser chamado sistema de Lorenz.

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Convecção

Esse modelo é uma simplificação do modelo de Rayleigh

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do fenômeno de convecção térmica:

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Convecção

Esse modelo é uma simplificação do modelo de Rayleigh

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do fenômeno de convecção térmica: aqui

e são coordenadas espaciais

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é o tempo

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é a função de corrente

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é a função defeito de temperatura.

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Convecção

Escrevendo estas funções

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como séries de Fouriernas coordenadas espaciais,

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o modelo de Rayleigh se transforma um sistema infinito deequações diferenciais ordinárias nas variáveis

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Conservando apenas as variáveis mais representativas edesprezando as demais, obtemos um sistema finito deequações diferenciais ordinárias. Saltzmann argumentouque podemos conservar apenas 3 variáveis.

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Sensitividade

Para acelerar os cálculos, Lorenz imprimia os resultadoscom apenas 3 dígitos decimais, embora os calculos fossemrealizados com 6 dígitos. Em algum momento reintroduziuum resultado como novo dado inicial:

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Sensitividade

Para acelerar os cálculos, Lorenz imprimia os resultadoscom apenas 3 dígitos decimais, embora os calculos fossemrealizados com 6 dígitos. Em algum momento reintroduziuum resultado como novo dado inicial:

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Sensitividade

Para sua surpresa, o novo cálculo divergia do anterior: asprevisões para 4 dias mais tarde eram totalmente distintas.

Inicialmente, Lorenz acreditou que isso se devia a falhamecânica...

As consequências desta descoberta de que o modelo ésensitivo aos dados iniciais foram profundas.

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Sensitividade

A ideia de sensitividade não era nova. Já J. C. Maxwellhavia observado no século 19 que “as mesmas causasproduzem os mesmos efeitos” não significa que “causaspróximas produzem efeitos próximos”.

E as seguintes palavras de Poincaré, no fim do século 19,são estranhamente proféticas:

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Sensitividade

A ideia de sensitividade não era nova. Já J. C. Maxwellhavia observado no século 19 que “as mesmas causasproduzem os mesmos efeitos” não significa que “causaspróximas produzem efeitos próximos”.

E as seguintes palavras de Poincaré, no fim do século 19,são estranhamente proféticas:

Atratores Estranhos de Lorenz – p.12/26

Sensitividade

Why have meteorologists such difficulty in predicting theweather with any certainty ? Why is it that showers andeven storms seem to come by chance, so that many peoplethink it is quite natural to pray for them, though they wouldconsider it ridiculous to ask for an eclipse by prayer ?

. . . a tenth of a degree more or less at any given point, andthe cyclone will burst here and not there, and extend itsravages over districts that it would otherwise have spared. Ifthey had been aware of this tenth of a degree, they couldhave known it beforehand, but the observations wereneither sufficiently comprehensive nor sufficiently precise,and that is the reason why it all seems due to theintervention of chance.

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Atratores estranhos

Alguns anos depois (1971), D. Ruelle e F. Takens estavamquestionando a interpretação matemática do fenômeno deturbulência predominante na época:

E. Hopf e, posteriormente, L. Landau e E. Lifshitz haviamsugerido que turbulência corresponde a existência de torosinvariantes de grande dimensão no espaço deconfigurações do fluido.

Ruelle e Takens demonstraram que esse modelo não temsustentação matemática. Em troca, propuseram queturbulência deve corresponder a existência no espaço deconfigurações de algum "atrator estranho".

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Atratores estranhos

Um atrator é uma região do espaço de configurações quefica invariante quando o tempo passa e que atrai muitas(ou até todas as) configurações próximas.

Ruelle e Takens não definiram "estranho", nem conheciambons exemplos. De fato, o sistema de Lorenz era umexemplo espetacular dessa noção.

E atrator estranho acabou significando um atrator tal queas trajetórias que convergem para ele dependemsensitivamente do ponto inicial.

Mas o trabalho de Lorenz ainda era mal conhecido, eRuelle e Takens só tinham como exemplos os atratoreshiperbólicos de Smale.

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Atratores hiperbólicos

Um atrator é hiperbólico se o comportamento do fluxo pertode qualquer das suas órbitas é de tipo sela:

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Modelos geométricos de Lorenz

Nos décadas seguintes houve intensa atividade para tentarentender compreender o comportamento das equações deLorenz e, em particular, tentar provar que de fato essasequações realmente exibem um atrator estranho.

Uma estratégia bem sucedida foi construir modelos para ocomportamento que as equações parecem exibir. Estesmodelos geométricos de Lorenz, foram devidos a

Afraimovich, Bykov, Shilnikov (URSS)

Guckenheimer, Williams (USA)

em meados dos anos 70.

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Modelos geométricos de Lorenz

Os modelos geométricos são fluxos em 3 dimensões, taisque existe um ponto estacionário

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Modelos geométricos de Lorenz

Os modelos geométricos são fluxos em 3 dimensões, taisque existe uma seção transversal ao fluxo.

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Modelos geométricos de Lorenz

Os modelos geométricos são fluxos em 3 dimensões, taisque existe uma folheação invariante pela aplicação deretorno à seção transversal

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Modelos geométricos de Lorenz

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Os modelos geométricos são fluxos em 3 dimensões, taisque a aplicação induzida no espaço das folhas éexpansora:

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Modelos geométricos de Lorenz

Guckenheimer, Williams e Afraimovich, Bykov, Shilnikovprovaram que

tais fluxos existem e

exibem atratores estranhos.

Um dos aspectos mais surpreendentes desta construção éque ela é robusta: se modificarmos ligeiramente o fluxo,continua existindo um atrator.

Atratores Estranhos de Lorenz – p.22/26

Robustez

Isto é ainda mais surpreendente porque o atrator contémum ponto estacionário, acumulada por trajetórias nãoestacionárias.

Parecia que esse fenômeno deveria pode ser destruído pormodificacões do fluxo. Acreditava-se que os atratoresrobustos teriam que ser hiperbólicos.

Este fenômeno de Lorenz mostrou que o problema decompreender o que faz um sistema dinâmico ser robusto éespecialmente sutil para sistemas com tempo contínuo(fluxos).

Atratores Estranhos de Lorenz – p.23/26

Robustez

Isto é ainda mais surpreendente porque o atrator contémum ponto estacionário, acumulada por trajetórias nãoestacionárias.

Parecia que esse fenômeno deveria pode ser destruído pormodificacões do fluxo. Acreditava-se que os atratoresrobustos teriam que ser hiperbólicos.

Este fenômeno de Lorenz mostrou que o problema decompreender o que faz um sistema dinâmico ser robusto éespecialmente sutil para sistemas com tempo contínuo(fluxos).

Atratores Estranhos de Lorenz – p.23/26

Robustez

Mas em meados dos anos 90 houve avanços notáveis. Umdos mais espetaculares foi o

Teorema [C. Morales, M. J. Pacifico, E. Pujals (UFRJ)]:Qualquer atrator robusto de um fluxo em 3 dimensoes e hiperbolico oude tipo Lorenz.

O segundo caso significa que tem todas as propriedadesque descrevem os modelos geométricos de Lorenz.

Pela mesma época foi obtido um resultado correspondentesobre atratores robustos de transformações (tempodiscreto), por C. Bonatti (França), L. J. Díaz (PUC-Rio), E.Pujals (UFRJ), Raul Ures (Uruguay).

Atratores Estranhos de Lorenz – p.24/26

Robustez

Mas em meados dos anos 90 houve avanços notáveis. Umdos mais espetaculares foi o

Teorema [C. Morales, M. J. Pacifico, E. Pujals (UFRJ)]:Qualquer atrator robusto de um fluxo em 3 dimensoes e hiperbolico oude tipo Lorenz.

O segundo caso significa que tem todas as propriedadesque descrevem os modelos geométricos de Lorenz.

Pela mesma época foi obtido um resultado correspondentesobre atratores robustos de transformações (tempodiscreto), por C. Bonatti (França), L. J. Díaz (PUC-Rio), E.Pujals (UFRJ), Raul Ures (Uruguay).

Atratores Estranhos de Lorenz – p.24/26

Existencia do atrator de Lorenz

Continuava em aberto saber se as equações originais deLorenz realmente têm um atrator estranho. Isso foiresolvido em 1998 por W. Tucker (Suécia), que provou

Teorema [W. Tucker]:As equacoes de Lorenz admitem um atrator estranho para os valoresdos parametros originalmente considerados por Lorenz.

A demonstração faz uso do computador (integracaorigorosa) para provar a existencia do atrator estranho:

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Existencia do atrator de Lorenz

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