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Árvores
David Menotti
Estruturas de Dados I
DECOM – UFOP
© David Menotti Estruturas de Dados I
Conceitos básicos Organiza um conjunto de acordo com uma
estrutura hierárquica. Contém elementos que são chamados de
nós O “pai de todos” é a raiz – 1º. da hierarquia O contéudo de um nó pode ser de qualquer
tipo que se deseje representar
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Definição (Aho, Hopcroft e Ullman - 1983)
Um único nó é uma árvore. Este nó é raiz da árvore.
Suponha que n é um nó e T1, T2, ..., Tk sejam árvores com raizes n1, n2, ... , nk, respectivamente. Podemos construir uma nova árvore tornando n a raiz e T1, T2, ...., Tk sejam subárvores da raiz. Nós n1, n2, ..., nk são chamados filhos do nó n.
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Caminho
Um caminho de ni a nk, onde ni é antecedente a nk, é a sequência de nós para se chegar de ni a nk.
Se ni é antecedente a nk, nk é descendente de ni
O comprimento do caminho é o número de nós do caminho – 1.
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Outros conceitos Nó que não tem antecedente: raiz; Nós que não tem descendentes são
chamados de nós folhas. (Os outros são os nós internos)
A altura de um nó na árvore é o caminho de maior comprimento que se pode fazer deste nó a uma folha.
A altura da árvore é a altura de sua raiz. A profundidade de um nó é o comprimento
da raiz até o nó (só existe um caminho)
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Caminhamento A ordem dos filhos dos nós em uma árvore pode ser
ou não significativa. Exemplos, no heap, a ordem dos filhos não tem significado Outros casos, pode se ter um significado (como veremos
em pesquisa em árvores binárias) Considera-se que se a e b são nós irmãos, e a está
à esquerda de b, então todos seus descendentes estão à esquerda de b e todos os descendentes de b.
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Caminhamento Diversas formas de percorrer ou caminhar em uma
árvore listando seus nós, as principais: Pré-ordem (Pré-fixa) Central (Infixa) Pós-ordem (Pós-fixa)
Para todas elas: Se T é uma árvore nula, então a lista é nula. Se T é uma árvore de um único nó então a lista contém
apenas este nó. O tratamento é diferenciado para os filhos O que muda é a ordem de apresentação da raiz.
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Pré-Ordem Pré-ordem: lista o nó raiz, seguido de suas
subárvores (da esquerda para a direita), cada uma em pré-ordem.
Procedimento PREORDEM (n: TipoNo);
Início
Lista(n);
Para cada filho f de n, da esquerda para direita faça
PREORDEM(f);
Fim
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Central Central: lista os nós da 1ª. subárvore à esquerda
usando o caminhamento central, lista o nó raiz n, lista as demais subárvores (a partir da 2ª.) em caminhamento central (da esquerda para a direita)
Procedimento CENTRAL (n: TipoNo);Início Se Folha(n) então /* Folha retorna se n é uma folha da árvore ou não */ Lista(n); Senão CENTRAL (FilhoMaisEsquerda(n)); Lista (n); Para cada filho f de n, exceto o mais à esquerda, da esquerda
para a direita faça CENTRAL (f);Fim;
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Pós-Ordem Pós-ordem: Lista os nós das subárvores (da
esquerda para a direita) cada uma em pós-ordem, lista o nó raiz.
Procedimento POSORDEM
Início
Para cada filho f de n, da esquerda para direita faça
POSORDEM(f);
Lista(n);
Fim;
© David Menotti Estruturas de Dados I Algoritmos e Estrutura de Dados I
Exercício Crie um TAD TNo em C cuja informação seja
um inteiro e possua ponteiros para duas sub-árvores: esquerda e direita;
Escreva funções que recebam um ponteiro para a raiz da árvore e façam: o caminhamento pré-ordem o caminhamento pós-ordem o caminhamento central
© David Menotti Estruturas de Dados I Algoritmos e Estrutura de Dados I
TAD TNo
typedef int TItem;
typedef struct TNo* Apontador;
typedef struct TNo {
TItem Item;
Apontador pEsq;
Apontador pDir;
} TNo;
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Caminhamento: PreOrder
void PreOrderRec(TNo* pRaiz)
{
if (pRaiz == NULL)
return;
printf(“%d\t”,pRaiz->Item);
PreOrderRec(pRaiz->pEsq);
PreOrderRec(pRaiz->pDir);
}
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Caminhamento: InOrder
void InOrderRec(TNo* pRaiz)
{
if (pRaiz == NULL)
return;
InOrder(pRaiz->pEsq);
printf(“%d\t”,pRaiz->Item);
InOrder(pRaiz->pDir);
}
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Caminhamento: PostOrder
void PostOrderRec(TNo* pRaiz)
{
if (pRaiz == NULL)
return;
PostOrder(pRaiz->pEsq);
PostOrder(pRaiz->pDir);
printf(“%d\t”,pRaiz->Item);
}
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Caminhamento: PreOrdernão recursivo
void PreOrderIt(TNo* pRaiz){ TNo* pAux; TPilha P; FPVazia(&P); PEmpilha(&P,&pRaiz); while(!PEhVazia(&P)) { PDesempilha(&P,&pAux); if (pAux == NULL) continue; printf(“%d\t”,pAux->Item); PEmpilha(&P,pAux->pDir); PEmpilha(&P,pAux->pEsq); }}
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Caminhamento: InOrdernão recursivo
void InOrderIt(TArvoreBin* pRaiz){ TArvoreBin* pAux; TPilha P; FPVazia(&P); PEmpilha(&P,pRaiz); pAux = pRaiz->pEsq; while(!PEhVazia(&P) || pAux != NULL) { if (pAux == NULL) { PDesempilha(&P,&pAux); printf("%d\t",pAux->Item); pAux = pAux->pDir; } else { PEmpilha(&P,pAux); pAux = pAux->pEsq; } }}
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Caminhamento: PostOrdernão recursivo
void PostOrderIt(TArvoreBin* pRaiz){
TArvoreBin *pAux;TPilha P1,P2;FPVazia(&P1);FPVazia(&P2);
PEmpilha(&P2,pRaiz);pAux = pRaiz;while(!PEhVazia(&P2) ){
PDesempilha(&P2,&pAux);PEmpilha(&P1,pAux);if (pAux->pEsq != NULL) PEmpilha(&P2,pAux->pEsq);if (pAux->pDir != NULL) PEmpilha(&P2,pAux->pDir);
}
while(!PEhVazia(&P1) ){
PDesempilha(&P1,&pAux);printf("%d\t",pAux->Item);
}}
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Exercício Crie um TADs TNo e TArvoreBin em C que
representem árvores binárias cuja informação seja um inteiro e possuam ponteiros para duas sub-árvores: esquerda e direita;
Escreva funções que recebam um ponteiro para a raiz da árvore e façam: o caminhamento pré-ordem o caminhamento pós-ordem o caminhamento central
© David Menotti Estruturas de Dados I
TADs TNo e TArvoreBin
typedef int TItem;
typedef struct TNo* Apontador;
typedef struct No {
TItem iItem;
struct No* pEsq; /* Apontador pEsq; */
struct No* pDir; /* Apontador pDir; */
} TNo;
typedef struct
{
TNo* pRaiz;
} TArvoreBin;
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Caminhamento: PreOrder
void PreOrderRecX(TArvoreBin* pArv)
{
PreOrderRec(pArv->pRaiz);
}
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Caminhamento: InOrder
void InOrderRecX(TArvoreBin* pArv)
{
InOrderRec(pArv->pRaiz);
}
© David Menotti Estruturas de Dados I
Caminhamento: PostOrder
void PostOrderRecX(TArvoreBin* pArv)
{
PostOrderRec(pArv->pRaiz);
}
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Classificação de Árvores Árvore Estritamente Binária
Se cada nó não-folha em uma árvore binária não tem subárvores esquerda e direita vazias
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Classificação de Árvores Árvore Binária Completa
Uma árvore binária completa de nível n é a árvore estritamente binária, onde todos os nós folhas estão no nível n.
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Classificação de Árvores Árvore Binária Quase Completa
Uma árvore binária de nível n é uma árvore binária quase completa se: Cada nó folha na árvore esta no nível n ou no nível n-1 Para cada nó nd na árvore com um descentente direito
no nível n, todos os descendentes esquerdos de nd que são folhas estão também no nível n