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19/02/2013
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ESTRUTURAS DE DADOS E
ALGORITMOS
ÁRVORE BINÁRIA Adalberto Cajueiro
Departamento de Sistemas e Computação
Universidade Federal de Campina Grande
1
ÁRVORE (EXEMPLO)
Como seria pesquisar a localização de um arquivo no
windows explorer se não tivéssemos diretórios?
Para entradas realmente grandes, o acesso
linear é proibitivo!
Precisamos de alguma estrutura nao-linear de
acesso mais eficiente. 2
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ÁRVORE
Estrutura não-linear com tempo de acesso em
média O(log n).
Coleção de nós em hierarquia
Vazia ou
Raiz (root) e zero ou mais subárvores
Raiz da subárvore é um nó filho do nó raiz
A raiz de uma árvore é unica!
Não possui ciclos
N nós, N-1 arestas
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ÁRVORE (ILUSTRACAO)
raiz
...
raiz
root
4
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ÁRVORE (ILUSTRACAO)
raiz
...
folha (leaf)
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6
ÁRVORE
raiz
...
Nível 0
Nível 1
Nível k
Nível k + 1
Altura = k+1
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ÁRVORE
Uma árvore binária é uma estrutura de
dados caracterizada por:
Ou não tem elemento algum (árvore vazia)
Ou tem um elemento distinto, denominado
raiz, com duas referencias para duas
estruturas diferentes, denominadas sub-árvore
(filho) esquerda e sub-árvore (filho) direita
Cada nó pode ter grau: 0, 1 ou 2
7
ÁRVORE
A ligação entre os nós são vistas como apontadores direcionados do pai para os filhos.
Por questoes de implementação apontadores podem existir também dos filhos para o pai
O numero de filhos por nó diferenciam os vários tipos de arvores existentes.
Cada nó da árvore encontra-se em determinado nível. A raiz encontra-se no nível zero.
Propriedade fundamental: só existe um caminho da raiz para um outro nó da árvore.
Altura de uma árvore: comprimento do caminho mais longo da raiz até as folhas
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ÁRVORE (APLICABILIDADE)
Representacao de expressoes aritméticas
5*3 + 4/2
+
* /
5 3 4 2
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EXERCÍCIO
Qual a profundidade
do nó 6?
Qual a altura da
árvore?
Os nós 6 e 9 estão no
mesmo nível? e 7 e
11?
Qual o grau do nó 7?
E de 9? E de 4?
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ÁRVORES ESTRITAMENTE BINÁRIAS
Cada nó possui grau 0 ou 2
Quantos nós terá uma AEB com n folhas?
7
4
9 1
6
3 2
Desenhe diversas arvores
e tente deduzir.
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EXERCÍCIO
A árvore a seguir é estritamente binária?
Justifique.
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ÁRVORE BINÁRIA COMPLETA
Todos os níveis são completos (folhas estão no mesmo nível) Qual a relacao que existe entre a altura de uma
árvore binária completa e o número de elementos em cada nível?
Qual a relacao que existe entre a altura de uma árvore binária completa e o número de elementos no total?
nível 0 – nos:1 – total:1
nível 1 – nos:2 – total:3
nível 2 – nos:4 – total:7
nível 3 – nos:8 – total:15
13
ÁRVORE BINÁRIA COMPLETA
Todos os níveis são completos (folhas estão no mesmo nível) Qual a relacao que existe entre a altura de uma
árvore binária completa e o número de elementos em cada nível?
Qual a relacao que existe entre a altura de uma árvore binária completa e o número de elementos no total?
nível 0 – nos:1 – total:1
nível 1 – nos:2 – total:3
nível 2 – nos:4 – total:7
nível 3 – nos:8 – total:15
h 2h 2h+1 - 1
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ÁRVORES BINÁRIAS (PERCURSOS)
Formas de percurso em árvore binárias:
Pré-ordem (RAIZ, ESQ, DIR) Visita raiz
Percorre sub-árvore esquerda em pré-ordem
Percorre sub-árvore direita em pré-ordem
Em-ordem (simétrica) (ESQ, RAIZ, DIR) Percorre sub-árvore esquerda em ordem simétrica
Visita raiz
Percorre sub-árvore direita em ordem simétrica
Pós-ordem (ESQ, DIR, RAIZ) Percorre sub-árvore esquerda em pós-ordem
Percorre sub-árvore direita em pós-ordem
Visita raiz
Applet: http://www.cosc.canterbury.ac.nz/mukundan/dsal/BTree.html
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ARVORES BINÁRIAS
Impressão em pré-ordem (R,E,D):
8
4 12
2
1 3
6
5 7
10 14
9 11 13 15
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ARVORES BINÁRIAS
Impressão em pré-ordem:
8
4 12
2
1 3
6
5 7
10 14
9 11 13 15
8
17
ARVORES BINÁRIAS
Impressão em pré-ordem:
8
4 12
2
1 3
6
5 7
10 14
9 11 13 15
8,4
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ARVORES BINÁRIAS
Impressão em pré-ordem:
8
4 12
2
1 3
6
5 7
10 14
9 11 13 15
8,4,2
19
ARVORES BINÁRIAS
Impressão em pré-ordem:
8
4 12
2
1 3
6
5 7
10 14
9 11 13 15
8,4,2,1
20
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ARVORES BINÁRIAS
Impressão em pré-ordem:
8
4 12
2
1 3
6
5 7
10 14
9 11 13 15
8,4,2,1,3
21
ARVORES BINÁRIAS
Impressão em pré-ordem:
8
4 12
2
1 3
6
5 7
10 14
9 11 13 15
8,4,2,1,3,6
22
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ARVORES BINÁRIAS
Impressão em pré-ordem:
8
4 12
2
1 3
6
5 7
10 14
9 11 13 15
8,4,2,1,3,6,5
23
ARVORES BINÁRIAS
Impressão em pré-ordem:
8
4 12
2
1 3
6
5 7
10 14
9 11 13 15
8,4,2,1,3,6,5,7
24
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ARVORES BINÁRIAS
Impressão em pré-ordem:
8
4 12
2
1 3
6
5 7
10 14
9 11 13 15
8,4,2,1,3,6,5,7,
12
25
ARVORES BINÁRIAS
Impressão em pré-ordem:
8
4 12
2
1 3
6
5 7
10 14
9 11 13 15
8,4,2,1,3,6,5,7,
12,10
26
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ARVORES BINÁRIAS
Impressão em pré-ordem:
8
4 12
2
1 3
6
5 7
10 14
9 11 13 15
8,4,2,1,3,6,5,7,
12,10,9
27
ARVORES BINÁRIAS
Impressão em pré-ordem:
8
4 12
2
1 3
6
5 7
10 14
9 11 13 15
8,4,2,1,3,6,5,7,
12,10,9,11
28
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ARVORES BINÁRIAS
Impressão em pré-ordem:
8
4 12
2
1 3
6
5 7
10 14
9 11 13 15
8,4,2,1,3,6,5,7,
12,10,9,11,14
29
ARVORES BINÁRIAS
Impressão em pré-ordem:
8
4 12
2
1 3
6
5 7
10 14
9 11 13 15
8,4,2,1,3,6,5,7,
12,10,9,11,14,13
30
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EXERCÍCIO
Qual a saída do caminhamento em pré ordem da árvore binária a seguir?
31
32
ARVORES BINÁRIAS
Impressão em ordem simétrica (E,R,D):
8
4 12
2
1 3
6
5 7
10 14
9 11 13 15
1,2,3,4,5,6,7,8,9
10,11,12,13,14,15
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EXERCÍCIO
Qual a saída do percurso em ordem da árvore binária a seguir?
33
34
ARVORES BINÁRIAS
Impressão em pós-ordem (E,D,R):
8
4 12
2
1 3
6
5 7
10 14
9 11 13 15
1,3,2,5,7,6,4,9,11,10
13,15,14,12,8
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EXERCÍCIO
Qual a saída do caminhamento em pós ordem da árvore binária a seguir?
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ÁRVORE BINÁRIA (IMPLEMENTAÇÃO)
De que é composta uma árvore binária?
Como implementar uma árvore binária?
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ÁRVORE BINÁRIA (IMPLEMENTAÇÃO)
De que é composta uma árvore binária?
Como implementar uma árvore binária?
public class BTNode<T> {
protected T data;
protected BTNode<T> left;
protected BTNode<T> right;
protected BTNode<T> parent;
public boolean isEmpty(){
return this.data == null;
}
//getters, setters, equals, toString
}
37
ÁRVORE BINÁRIA (IMPLEMENTAÇÃO)
De que é composta uma árvore binária?
Como implementar uma árvore binária?
public interface BT<T> {
public BTNode<T> getRoot();
public boolean isEmpty();
public int height();
public BTNode<T> search(T elem);
public void insert(T value);
public void remove(T key);
public T[] preOrder();
public T[] order();
public T[] postOrder();
public int size();
}
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ÁRVORE BINÁRIA (IMPLEMENTAÇÃO)
Como representar uma árvore vazia?
O construtor default de BTNode já gera uma
árvore vazia?
data = null
null null
null
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ÁRVORE BINÁRIA (IMPLEMENTAÇÃO)
Como representar uma árvore vazia?
O construtor default de BTNode já gera uma
árvore vazia?
data = null
null null
null
= NIL
O nó sentilena de
uma árvore
binária não
contem dados
40
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ÁRVORE BINÁRIA (IMPLEMENTAÇÃO)
Como representar uma árvore contendo apenas
um nó?
data
NIL NIL
null
data
null
null
null null
null
null null
folha folha
41
ÁRVORE BINÁRIA DE BUSCA
Árvore binária de busca ou árvore binária de
pesquisa é uma árvore binária onde todos os nós
armazenam dados comparáveis
todos nós da sub-árvore à esquerda contêm valores
menores do que o nó raiz
todos os nós da subárvore à direita contêm valores
maiores do que o nó raiz.
A principal utilização de árvores binárias são as
árvores binária de busca
x
< x > x
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EXEMPLO
2 Subárvores >
> >
<
<
O quanto isso reduz o espaço da busca a cada passo?
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ÁRVORE BINÁRIA DE BUSCA
(IMPLEMENTAÇÃO)
Uma BST é uma BT?
Como implementar isso em Java?
44
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ÁRVORE BINÁRIA DE BUSCA
(IMPLEMENTAÇÃO)
Uma BST é uma BT?
Como implementar isso em Java?
45
public class BSTNode<T extends Comparable<T>>
extends BTNode<T> {
}
ÁRVORE BINÁRIA DE BUSCA
(IMPLEMENTAÇÃO)
Uma BST é uma BT?
Como implementar isso em Java?
46
public interface BST<T extends Comparable<T>>
extends BT<T> {
public BTNode<T> maximum();
public BTNode<T> minimum();
public BTNode<T> successor(BTNode<T> node);
public BTNode<T> predecessor(BTNode<T> node);
}
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PESQUISA BINÁRIA
Como saber se um dado/valor/chave está
na árvore?
Se o nó é não-vazio
Verifica se o dado do nó é igual à chave dada
Se nao for
Se a chave dada for menor que o dado do nó,
pesquisa na sub-árvore a esquerda
Senao pesquise na sub-árvore a direita
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PESQUISA BINÁRIA (IMPLEMENTACAO)
Qual o custo dos algoritmos?
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ÁRVORE DESBALANCEADA
O que ocorre com a pesquisa binária se a árvore
estiver desbalanceada?
42
88
94
95
x
< x
> x
49
ÁRVORE DESBALANCEADA
O que ocorre com a pesquisa binária se a árvore
estiver desbalanceada?
42
88
94
95
O(n)
Solução: Outras árvores, como AVL, que veremos depois.
x
< x
> x
50
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MINIMUM
Como buscar o elemento mínimo de uma
BST?
Descer pela esquerda até que um NIL seja
encontrado
51
MAXIMUM
Como buscar o elemento máximo de uma
BST?
Descer pela direita até que um NIL seja
encontrado
52
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SUCESSOR
Como buscar o sucessor de um elemento
em uma BST?
Sucessor é a menor das chaves maiores (menor
descendente a direita)
53
SUCESSOR
Como buscar o sucessor de um elemento
em uma BST?
Sucessor é a menor das chaves maiores
(primeiro ascendente maior)
54
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PREDECESSOR
Como buscar o predecessor de um
elemento em uma BST?
Predecessor é a maior das chaves menores
(maior descendente a esquerda). Simétrico ao
sucessor
Tree-Predecessor(x)
if left[x] != NIL
then return Tree-Maximum(left[x])
y = p[x]
while y != NIL and x = left[y]
do x = y
y = p[y]
return y 55
PREDECESSOR
Como buscar o predecessor de um
elemento em uma BST?
Predecessor é a maior das chaves menores
(primeiro ascendente maior). Simétrico ao
sucessor
Tree-Predecessor(x)
if left[x] != NIL
then return Tree-Maximum(left[x])
y = p[x]
while y != NIL and x = left[y]
do x = y
y = p[y]
return y 56
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ÁRVORE BINÁRIA (INSERÇÃO)
Acontece pela raiz (admitir elementos diferentes)
Processar apenas chaves diferentes da raiz
Se a chave for menor, insere no filho a esquerda
Se a chave for maior insere no filho a direita
Insercao sempre acontece em uma nova folha
57
EXERCÍCIO 1
Insira as chaves 46, 47, 44, 45
58
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EXERCÍCIO 1
Insira as chaves 46, 47, 44, 45
59
46
EXERCÍCIO 1
Insira as chaves 46, 47, 44, 45
60
46
47
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EXERCÍCIO 1
Insira as chaves 46, 47, 44, 45
61
46
47 44
EXERCÍCIO 1
Insira as chaves 46, 47, 44, 45
62
46
47 44
45
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ÁRVORE BINÁRIA (INSERCAO)
O procedimento recebe um nó mas poderia receber V
x guarda o nó onde inserir
e
y guarda o pai
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ÁRVORE BINÁRIA (INSERCAO)
O procedimento recebe um nó mas poderia receber V
Para que serve?
64
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ÁRVORE BINÁRIA (INSERCAO)
O procedimento recebe um nó mas poderia receber V
Se a arvore é inicialmente
vazia ou entao adiciona z
como filho correto de y
65
ÁRVORE BINÁRIA (INSERCAO)
O que o método a seguir faz?
XYZ(BSTNode node, T element){
if(node=NIL){
node.data = element
node.left = NIL
node.right = NIL
}else{
if(element< node.data){
XYZ(node.left, element)
}else if (element > node.data){
XYZ(node.right, element)
}
}
} 66
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ARVORES BINÁRIAS (REMOCAO)
Remocoes em arvores binarias:
Se o nó y (a ser removido) for uma folha entao remova-o.
Se o nó y tem apenas um filho, então ligamos o pai de y
ao filho de y
Se tem dois filhos então traz o sucessor de y para o lugar
dele e remove o sucessor
12
10 14
9 11 13 15
12
10 15
9 11 13 67
ÁRVORE BINÁRIA (REMOÇÃO)
tem ao maximo 1 filho
68
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ÁRVORE BINÁRIA (REMOÇÃO)
Tem 2 filhos
69
ÁRVORE BINÁRIA (REMOÇÃO)
Guarda o filho a direita
ou a esquerda
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ÁRVORE BINÁRIA (REMOÇÃO)
Conecta o filho ao pai de y
71
ÁRVORE BINÁRIA (REMOÇÃO)
Se y é root entao x é novo root
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ÁRVORE BINÁRIA (REMOÇÃO)
Senao seta x sendo o filho
correto do pai de y
73
ÁRVORE BINÁRIA (REMOÇÃO)
Se o sucessor de z foi um
nó diferente entao copia
o conteudo dele para z.
74
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ARVORES BINÁRIAS (REMOCAO)
Outras abordagens trabalham da seguinte forma:
Se for folha remove
Senao sobe o menor descendente a direita (sucessor)
Se nao existir menor descendente a direita então sobe
o maior descendente a esquerda (predecessor)
Remove recursivamente o nó movido.
75
ARVORES BINÁRIAS (REMOCAO)
76
remover 20
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ARVORES BINÁRIAS (REMOCAO)
77
ARVORES BINÁRIAS (REMOCAO)
78
remover 30
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40
ARVORES BINÁRIAS (REMOCAO)
79
remover 30
40
ARVORES BINÁRIAS (REMOCAO)
80
remover 50
40
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ARVORES BINÁRIAS (REMOCAO)
81
remover 90
40
90
ARVORES BINÁRIAS (REMOCAO)
82
40
90
100
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ÁRVORE BINÁRIA (REMOCAO)
XYZ(value) {
BSTNode node = search(value)
if(node != NIL){
if(node is leaf){
node = NIL
}else if (node has one child){
if node != root
if(node is left child){
if(node.left != NIL)
node.left is left child of node.parent
else
node.right is left child of node.parent
else //node is right child
if(node.left != NIL)
node.left is right child of parent
else
node.right is right child of parent
else
root = not NIL child of root
}else{
BSTNode sucessor = sucessor(node);
node.value = sucessor.value;
XYZ(sucessor);
}
}
}
O que o metodo faz?
83
ÁRVORE BINÁRIA (PERCURSO)
Algoritmo do percurso em pre-ordem
84
8
4 12
2
1 3
6
5 7
10 14
9 11 13 15
Como seria o algoritmo?
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ÁRVORE BINÁRIA (PERCURSO)
Algoritmo do percurso em pre-ordem
preOrder(BSTNode node){
if(node != NIL){
visit(node);
preOrder(node.left);
preOrder(node.right);
}
}
visit(BSTNode){
print(node.key);
}
Poderia fazer qualquer outro
processamento
85
ÁRVORE BINÁRIA (PERCURSO)
Algoritmo do percurso em ordem
86
8
4 12
2
1 3
6
5 7
10 14
9 11 13 15
Como seria o algoritmo?
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ÁRVORE BINÁRIA (PERCURSO)
Algoritmo do percurso em ordem
order(BSTNode node){
if(node != NIL){
order(node.left);
visit(node);
order(node.right);
}
}
87
ÁRVORE BINÁRIA (PERCURSO)
Algoritmo do percurso em pós-ordem
88
8
4 12
2
1 3
6
5 7
10 14
9 11 13 15
Como seria o algoritmo?
19/02/2013
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ÁRVORE BINÁRIA (PERCURSO)
Algoritmo do percurso em pós-ordem
postOrder(BSTNode node){
if(node != NIL){
postOrder(node.left);
postOrder(node.right);
visit(node);
}
}
89
ÁRVORE BINÁRIA
Como seria para calcular recursivamente o
tamanho (quantidade de elementos) de uma
árvore binária
90
1
size size
size(root) = 1 + size(left) + size(right)
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ÁRVORE BINÁRIA
Como seria para calcular recursivamente o
tamanho (quantidade de elementos) de uma
árvore binária
int size(){
return size(root)
}
int size(BSTNode node){
if(node.isEmpty)
return 0
else
return 1 + size(node.left) + size(node.right)
}
91
POSCOMP 2009
Nao
necessariamente
balanceada!
92
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POSCOMP 2009
93
POSCOMP 2009
94
19/02/2013
48
POSCOMP 2009
95
REFERÊNCIAS
Capítulo 13
96