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Estabilidade das Construções – Prof. Eng.º Civil Ederaldo Azevedo
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ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES
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Apostila 1: Conceitos Preliminares/Estática Básica
Prof. Engº Civil Ederaldo da Silva Azevedo
Macapá, fevereiro de 2011
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1. INTRODUÇÃO A ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES
1.1. Projetos
Os Projetos de uma edificação podem ser divididos em 2 grupos:
Arquitetônico e Complementares.
Projeto arquitetônico é o conjunto de peças gráficas e escritas
necessárias à definição das características principais de uma obra de
arquitetura(Zake Tacla, 1984, p.356). Arquitetura é a arte de criar espaços
organizados e animados para abrigar os diferentes tipos de atividades
humanas.
Os Projetos complementares são considerados todos os demais que
integram o projeto da obra e podem ser divididos em dois subgrupos:
projeto das instalações e projeto estrutural.
Em resumo unificando diversos conceitos podemos definir projeto
como: a associação harmoniosa de elementos, com a finalidade de atingir
dois objetivos, o funcional e o de ordem estrutural.
Funcional: o projeto deve prever todas as áreas,
espaços necessários e instalações de tal modo que
se atinja os objetivos a que se destina.
Ordem Estrutural: prever todos os elementos
estruturais de tal modo que tenhamos um
conjunto estático, ou seja, em equilíbrio.
O projeto estrutural é aquele que determina, por meio de desenhos e
especificações, a configuração dos elementos estruturais (concreto, aço,
madeira, alvenaria etc.) que suportarão os esforços físicos incidentes na
edificação (peso próprio, vento, carga acidental etc.).
1.2. Estabilidade das Formas Arquitetônicas
A ciência que estuda os fenômenos relacionados com a estabilidade
das formas arquitetônicas é a Física.
Física é a ciência que estuda os fenômenos da natureza.
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Devido à grande quantidade de fenômenos físicos, os pesquisadores
acharam conveniente reunir tais fenômenos em grupos, que
apresentassem propriedades comuns e que pudessem ser descritos por leis
também comuns.
Assim, o estudo da física foi dividido em seis ramos:
Mecânica: estuda os fenômenos relacionados com movimento dos corpos;
Calor: estudados os fenômenos térmicos;
Movimento ondulatório: estuda as propriedades das ondas que se propagam
por meio material;
Óptica: estuda os fenômenos relacionados com a luz;
Eletricidade: estuda os fenômenos elétricos e magnéticos;
Física moderna: compreende o estudo do desenvolvimento da Física a partir do
século XX, compreende a teoria da relatividade, a teoria quântica e a teoria do caos.
Sendo a forma arquitetônica um espaço construído e utilizado, não é
admitido de uma maneira geral qualquer tipo de movimento por parte da
forma construída, ou seja, as formas arquitetônicas devem estar paradas,
estáticas.
Assim a condição de movimento das formas arquitetônicas está
fundamentada no estudo da Mecânica, o ramo da Física que estuda
fenômenos relacionados com movimento dos corpos. A parte da mecânica
que estuda as condições de movimento dos corpos rígidos sob ação das
forças é chamada de mecânica dos corpos rígidos.
A mecânica dos corpos rígidos é dividida em estática e dinâmica.
A Estática estuda as condições de repouso dos corpos;
A Dinâmica as condições de movimento.
O estudo das condições de repouso das formas arquitetônicas está
fundamentada na Mecânica Estática.
1.3. Principios Básicos da Estática e da Mecânica
Os conceitos básicos usados na mecânica são os de espaço, tempo,
massa(peso) e força.
a) Espaço:
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Está associado à posição de um ponto P. A posição de P pode ser
definida por três comprimentos, medidos a partir de um certo ponto de
referência ou de origem, segundo três direções dadas. Esses comprimentos
são conhecidos como as coordenadas de P.
y
X=4 y=3 z=2
P (4,3,2)
P1 (4,0,2)
P2 (4,3,0)
P3 (0,3,2)
z
b) Massa:
Se aplicamos uma força de 1 N a um determinado corpo e nota-se
que o corpo tem uma aceleração de 10 m/s². Se a mesma força for aplicada
em um outro corpo e provocar uma aceleração de apenas 5 m/s², dizemos
que o segundo corpo é duas vezes mais maciço que o primeiro. Logo a
razão entre as massas de dois corpos é igual ao inverso da razão entre as
acelerações provocadas nesses dois corpos pela mesma força:
m2/m1=a1/a2.
Com base no que foi exposto é possível estabelecer uma escala de
massa para diferentes corpos. Assim foi escolhido um determinado corpo
para servir de base para todos os outros corpos. Esse corpo foi denominado
de corpo padrão e a ele foi atribuído um valor unitário de massa, 1kg(SI).
Mediante esse corpo padrão, faz-se uma comparação direta das
acelerações produzidas por uma mesma força e então se determina a
massa de um outro corpo.
c) Força
Todos nós temos idéias intuitivas sobre os conceitos de força.
Pensamos em força como sendo um esforço físico, ou mecânico, um
empurrão, ou um puxão, provocados por um ser humano,por uma máquina
ou por um fenômeno físico qualquer.
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Essas noções são válidas no dia-a-dia, mas não para aplicação das leis
de Newton referentes aos problemas da física.
Força é a ação de um corpo sobre o outro, causando deformação
e/ou movimento. A ação se manifesta por contato ou a distância – o caso
das forças gravitacionais - os pesos – que tem sempre sentido vertical para
baixo.
Assim a força embora não tenha forma, não tenha massa, nem cor, é
um agente capaz de imprimir, cessar ou desviar o movimento a um corpo,
bem como mudar a sua forma geométrica
As forças encontradas na natureza, são distribuídas sobre os
elementos de seu volume(peso do corpo), ou sobre os elementos de
superfície, como a pressão da água sobre as paredes de um recipiente que
a contém.
Sendo as forças grandezas, elas podem ser medidas, e a elas
atribuída uma intensidade.
Na Mecânica Clássica as grandezas com que se trabalha são divididas
em duas categorias: Grandezas Escalares e Grandezas Vetoriais. As
Escalares o valor numérico é o suficiente para caracterizá-las e as Vetoriais,
além do valor numérico(intensidade) , são ainda caracterizados por sua
direção, sentido e ponto de aplicação.
Na Mecânica Vetorial, a força é tratada como concentrada. A força é
representado por um vetor e necessita para sua definição da sua
INTENSIDADE, DIREÇÃO, SENTIDO, e do PONTO DE APLICAÇÃO.
A unidade de força no Sistema Internacional de Unidades (SI) é o
Newton (N), definido como a força que imprime à massa de 1kg uma
aceleração de 1 m/s².
1N = (1kg) x (1m/s²)= 1k.m/s²
As forças representadas na fig. 1A estão aplicadas em pontos
distintos, tem a mesma direção, sentidos opostos e intensidades diferentes,
sendo uma o dobro da outra.
P
4N 8N
P fig. 1A
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ESTÁTICA DOS PONTOS MATERIAIS
Intensidade de uma força
Recordando: a intensidade de uma força é caracterizada por um
número e por uma unidade.
O sistema Internacional de Medidas (SI) indica que se use como
unidade de força o N (Newton) e seu múltiplo kN (kilo Newton).
1 kN = 1000 N
4N= intensidade da força
Direção de uma força
É definida pela reta ao longo da qual a força atua. È a linha de ação
da força. É caracterizado pelo ângulo que forma em relação a um sistema
de referências, normalmente eixos cartesianos.
y Linha de ação
α = ângulo
x
Sentido de uma força
Ao se definir uma força é muito importante indicar o seu sentido.
Sentidos diferentes provocam efeitos totalmente diferentes.
Normalmente, o sentido de uma força é indicado por uma seta que
se localiza na extremidade do segmento de reta.
sentido
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Resultante de forças
Um conjunto de forças que atua sobre um ponto material, provoca
um efeito resultante nesse ponto e esse efeito chama-se Resultante de
forças, que nada mais é do que uma força aplicada no mesmo ponto que
provoca o mesmo efeito que o conjunto de forças.
Portanto um conjunto de forças atuante sobre um ponto material
pode ser representado por uma única força que provoque o mesmo efeito
sobre o ponto.
Resultante de duas forças:
As forças são grandezas vetoriais que seguem o seguinte princípio:
duas forças F1 e F2 aplicadas no mesmo ponto de um corpo rígido podem
ser substituídas por uma única força chamada de Força Resultante (R) que
proporcione o mesmo efeito sobre o ponto ou corpo rígido.
Esta Força Resultante (R) é determinada através da regra do
paralelogramo, que consiste na construção de um paralelogramo que
tenha as duas forças como lado, e a reta que liga o ponto de origem das
duas forças ao ponto que une as retas que formam o paralelogramo é a
Resultante(R).
Esta resultante é expressa como a soma vetorial das forças F1 e F2,
logo R=F1 + F2, conforme fig. 1B.
F1 R
R=F1 + F2
A F2
fig. 1B
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Resultante de várias forças concorrentes
Usando o mesmo raciocínio, podemos utilizar a lei do paralelogramo,
sucessivamente, para encontrar a resultante de várias forças aplicadas no
mesmo ponto, fig. 1C. A resultante R pode ser expressa, como a soma
vetorial das forças P1, P2, P3 e P4.
𝑅 = Pi
4
𝑖=1
P1+P2 P1+P2+P3 P1+P2+P3+P4
P1 P2 P3 P1 P2 P3
A P4 A P4
Fig. 1C
Regra do triangulo
Derivando desta Lei é a regra do triângulo. Como o lado do
paralelogramo oposto à força P2 representa P2 em intensidade e direção,
pode-se desenhar metade do paralelogramo.
A regra consiste, portanto, em posicionar a origem de uma força à
extremidade da segunda, fig. 1D .
P1 P1
A R ≡ A P2
R=P1+P2
P2
fig. 1D
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Se as forças aplicadas em A, fig. 1C1 estiverem contidas no mesmo
plano – forças coplananres – é mais prático a aplicação sucessiva da regra
do triangulo, fig. 1C2
P2
P1
P3
fig.1C1 A P4
P3 P4
P2
R=P1+P2+P3+P4
P1
Fig. 1C2
Decomposição de uma força em componentes
Da mesma forma que duas ou mais forças podem ser substituidas
por uma força resultante, uma força pode ser decomposta em várias forças
menores. Essas forças são chamadas de componentes, e tem o mesmo
efeito sobre o ponto material que a força original.
O processo de obtenção das componentes de uma força é chamado
de decomposição de forças (F) em componentes.
F1 F
A F2
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Componentes cartesianas de uma força
Na maioria dos problemas do nosso estudo será necessário
decompor forças em duas componentes normais(perpendicular/90°) uma a
outra.
A decomposição é feita segundo eixos x e y na horizontal e na
vertical. Contudo, pode-se estabelecer para os eixos x e y duas direções
quaisquer, desde que estejam perpendiculares.
y
y F
Fy F Fy x
β Fx
α
Fx x
A determinação das componentes cartesianas de uma força pode ser
feito usando-se as regras trigonométricas do triangulo retângulo, como por
exemplo:
𝑠𝑒𝑛 ∝=cateto oposto
hipotenusa;
𝑐𝑜𝑠 ∝=𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎;
𝑡𝑎𝑔 ∝=𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒.
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ba
c
lei dos senos
Z
YX
Sen a = Sen b = Sen c x y z
F
y Fy Fx= F. cos α
Fy F α Fx Fy= F.sen α
α
Fx x
Exercício de Fixação:
1. Uma força de 800 N é exercida sobre um mastro de bandeira por
um cabo de aço. Determinar as componentes horizontal e vertical
dessa força no ponto de fixação do cabo ao solo.
y
F=800N Fy
35°
Fx 35° x
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F=800 N
cos 35°=Fx/-800 Fx= -800.cos 35° Fx= -655 N
sen 35°=Fy/800 Fy=800. sen 35° Fy= 459 N
Equilibrio de um ponto material
Diz-se que um ponto material está em equilibrio quando o conjunto
de forças que atua sobre ele tiver como resultante nula.
Nesse caso, o efeito global das forças consideradas é nulo, ou seja, o
somatório de todas as forças envolvidas no ponto material é zero.
FR = F1 + (-F2) 1200 N
FR = 1200 – 1200
F=0
A
1200 N
Algebricamente, as condições de equilibrio de um ponto material são
escritas da seguinte forma:
F A = 0(zero)
F1y F1
F2x F1x
F2 F2y
Decompondo-se as forças F1 e F2 nas suas componentes cartesianas
tem-se:
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(Fx + Fy) = 0 ou Fx + Fy = 0
Donde se conclui que a condição necessária e suficiente para o
equilibrio de um ponto material é :
𝐅𝐱 = 𝟎 𝒆 𝐅𝐲 = 𝟎
Diagrama de corpo livre
Grande número dos problemas que envolvem estruturas reais pode
ser reduzido a problemas referentes a um ponto material,
convenientemente escolhido e esquematizado em um diagrama separado,
onde todas as forças que estão envolvidas sobre ele são representadas.
A esse diagrama chammamos de de diagrama de corpo livre. A
representação das forças sobre o ponto material é feita de maneira que
elas estejam saindo do ponto, ou seja, tracionando o ponto.
F P
Q
S
Exercicio resolvido:
1. Considerando que uma passarela para pedestres, cujo peso no
ponto A é 736 N, está suspensa por dois cabos de aço presos a
dosi pilares B e C, conforme mostra a figura, determine:
a) O estado de tensão em cada um dos casos;
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b) O valor da tensão a que os cabos estão submetidos.r
B
C
A
F
50°30°
Diagrama de Corpo Livre
30°50°
736
RESOLUÇÃO:
Primeiro traçar um diagrama de corpo livre, onde estejam envolvidas
todas as forças atuantes sobre o ponto material escolhido. Como o que
interessa são tensões desenvolvidas nos cabos que suspendem a passarela
a partir do ponto A, o ponto material a ser escolhido é o ponto A.
Como o ponto A deve estar em equilibrio, as forças que atuam sobre
o ponto A devem formar um triangulo fechado, quando desenhadas de
modo que a origem de uma coincida com a extremidade de outra. Assim
os valores de TB e TC, podem ser determinados graficamente, se o
triangulo for desenhado em escala, ou trigonometricamente, ou ainda pode
ser resolvido de forma analítica.
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736 N
TB
TC
40°
80°60°
30°
fig. 1 Triangulo de forças
Solução Trigonométrica:
Sen a = Sen b = Sen c x y z
Sen 80 ° = Sen 60° = Sen 40° 736 TB TC
TB= 647 N
TB= 480 N
Solução analítica: parte do principio de que o ponto A está em
equilíbrio sob ação das três forças que atuam sobre ele, a solução analítica
deve satisfazer as equações de equilíbrio desenvolvidas anteriormente.
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Diagrama de Corpo Livre
30°50°
736 N
TBTC
𝟏. 𝐅𝐱 = 𝟎
TC.cos 30° - TB.cos 50° = 0
TC=TB.cos 50°/cós 30°
2. 𝐅𝐲 = 𝟎
- 736 N + TC.sen 30° + TB.sen50°=0
Diagrama de Corpo Livre
30°50°
736 N
TBTCTBy
TCy
TCxTBx
com as forças decompostas
Nota:
736 é negativo pois está no quadrante y negativo.
TBx (TB.cos50°) é negativo pois está no quadrante x dos negativos.
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Substituindo TC, na equação 2, pelo valor encontrado na equação 1,
tem-se
-136N + TB.cos 50°/cos 30°. sen 30° + TB. Sem 50°=0
TB= 647N
Substituindo TB, na equação 1, tem-se
TC=647.cos 50°/cos 30°
TC= 480 N.
Os valores positivos encontrados para TB e TC indicam que os
sentidos adotados para as forças no diagrama de corpo livre estão corretos, e que
os cabos estão desenvolvendo tensões de tração. Se os resultados encontrados
fossem negativos significaria que os sentidos adotados para as forças, no
diagrama de corpo livre, estariam errados e, consequentemente, os cabos
estariam desenvolvendo tensões de compressão.
Momento de uma força:
As forças são percebidas somente pelos efeitos físicos que causam
nos corpos.
Uma força atua sobre determinado corpo imprimindo-lhe
movimentos ou modificando o estado do movimento, desde que não seja
equilibrada por outra força ou por um conjunto de forças.O movimento
produzido pode ser translação ou rotação.
Uma força F é representada por um vetor que define o seu módulo, a
sua direção e sentido, porém, o efeito de uma força sobre um corpo rígido
depende também do ponto de aplicação da força.
Dependendo do ponto de aplicação da força, essa poderá provocar
um movimento rotatório no corpo em relação a um ponto fixo chamado de
centro de rotação.
F
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Fig. 2 – movimento de translação retilineo
O momento representa a tendência de rotação, em torno de um
ponto, provocada por uma força.
Portanto o movimento de rotação causado por uma força em relação
a um ponto fixo é denominado de Momento da Força M, cuja grandeza é
expressa pelo produto da força(F) pela menor distância(d) da linha de
atuação da força ao centro de rotação.
F
d MA= F.d
MA
A
Fig. 3 – movimento de rotação
Ampliação do trabalho realizado por uma força:
O momento de uma força está relacionado com a capacidade de
ampliação do trabalho a ser realizado pela força.
Arquimedes(287 – 212 a.C) dizia: “Dêem-me uma alavanca
suficientemente grande e um ponto fixo no espaço que eu tirarei a Terra da
órbita.”Essas palavras ditas por Arquimedes sugeriam há mais de 2 mil anos
que uma força aplicada a uma determinada distância de um ponto fixo
qualquer é ampliada pelo produto dessa força pela menor distância da
linha de atuação dessa força até o ponto fixo(braço de alavanca).
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F
MFMP
P
A
L1 L2
fig. 4 - alavanca
No exemplo da figura acima, a capacidade de trabalho da força F é
ampliada pelo braço de alavanca existente entre a força e o ponto de apoio
A, cujo valor é dado pelo produto de F pela menor distância da linha de
atuação de F até o ponto A (L1), representado por MF (momento da força
F) em relação ao ponto A. O peso da pedra na ponta da alavanca
(representado por P), também terá seu trabalho ampliado pelo produto de
P pela distância até o ponto A (L2), representado por MP (momento da
força P) em relação ao ponto A.
Considerando que F e P tenham a mesma intensidade, os momentos
serão diferentes, onde MF > MP, já que L1 > L2. Consequentemente, haverá
um momento resultante (MR), que fará com que a pedra se desloque no
sentido MF no sentido de MF.
a
F
F
2
1
A
Linha de Atuação
Obs.: O momento de uma força não se altera quando se desloca o
ponto de aplicação da força ao longo da sua linha de atuação.
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O momento da força F aplicada no ponto 1 em relação ao ponto fixo
A é dado por F.a.
MF1=F.a
O momento da força F aplicada no ponto 2 em relaçao ao ponto fixo
A é dado também por F.a.
MF2=F.a
Donde se conclui que MF1=MF2
Binário de forças
Duas forças F1 e F2, que tenham o mesmo módulo, linhas de ação
paralelas e sentidos opostos, formam um binário de forças.
F1
F2
Momento de um Binário de forças:
No exemplo abaixo, está representada uma gangorra de parque de
diversões, usada apenas por uma criança, representada pela força F.
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F
R
L1 L2
A
Para que haja equilíbrio no sentido vertical, é necessário que exista,
no ponto de fixação da gangorra com apoio fixo, uma força R de mesma
intensidade, linha de ação paralela e sentido oposto. Isto acontecendo diz-
se que o sistema está em equilíbrio naquela direção. Porém, o binário de
forças F e R irá causar um movimento rotatório em torno do ponto fixo A.
Nesta mesma brincadeira da gangorra aplica-se os conceitos de
momento das forças pesos das crianças em torno do eixo O de apoio da
gangorra.
30 Kg
60 kg
2.00 2.00
O
30 Kg
fig. A
Ma MbMoleque. A Moleque. B
Na situação da fig.A os moleques estão em equilíbrio, numa posição
horizontal, gerando momentos idênticos em relação a O (pesos e distancias
iguais).
Se extrai que: Ma= 30.2=60 kgf.m;
Mb=30.2=60 kgf.m.
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Ma=Mb;
Peso MolequeA= peso MolequeB;
Distancias iguais.
30 Kg
60 kg
1.5 2.50
O
30 Kg
fig. B
Ma MbMoleque. A Moleque. B
Na situação da fig. B, os moleques também tem pesos iguais, mas o
momento gerado pelo moleque da direita (Mb) é maior, pois é maior a
distancia deste ao ponto O, por isso este é que desce.
Se extrai que: Ma= 30.1,5=45 kgf.m;
Mb=30.2,5=75 kgf.m.
Ma≠Mb;
Peso MolequeA= peso MolequeB;
Distancias diferentes.
30 Kg
80 kg
1.50 2.50
O
50 Kg
fig. C
Ma MbMoleque. A Moleque. B
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Na situação da fig. C, o equilibrio na horizontal, associado a iguais
momentos, só é possível porque o maior peso está a uma distância menor.
Se extrai que: Ma= 50.1,5=75 kgf.m;
Mb=30.2,5=75 kgf.m.
Ma=Mb;
Peso MolequeA ≠ peso MolequeB;
Distancias diferentes.
Sistemas de Forças:
Um sistema de forças é um conjunto de uma ou mais forças e/ou
momentos.
Deslocamentos associados:
Uma Força F quando aplicada a um corpo rígido impõe uma
tendencia de deslocamento linear ou translação.
Um Momento M quando aplicado a um corpo rígido impõe uma
tendencia de deslocamento angular ou rotação.
AÇÃO DESLOCAMENTO Força Translação
Momento Rotação
Graus de Liberdade:
No espaço, utilizando um sistema de eixos referenciais(x, y, z), os
deslocamentos lineares (translação D) e os deslocamentos angulares (rotações θ)
são expressos por suas componentes nos três eixos ortogonais x, y, z, as quais são
denominado de graus de liberdade.
Graus de Liberdade
Deslocamentos Componentes
Translação Dx, Dy e Dz Rotação Θx, Θy e Θz
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y
Θy
Dz Dy Dx Θx x
Θz
z
fig. a
Qualquer movimento no espaço é definido por meio destes seis
componentes ou graus de liberdade(fig.a). Portanto são 6 os graus de liberdade
de cada ponto, ou nó, da estrutura como um todo.
y
Dy Dx x
Θz
z
fig. b
Nas análises planas que é o que propomos no nosso estudo fica-se
reduzido a 3 graus de liberdade(fig. b), um de rotação e duas translações.
Equações do Equilibrio Estático:
Um corpo rígido está em equilibrio quando está parado, em repouso,
ou seja, quando as forças externas que atuam sobre ele resultam em um sistema
de forças cuja resultante, velocidade e aceleração são iguais a zero, de modo a
satisfazer a primeira Lei de Newton: “Todo corpo tende a permanecer como
estiver. Em repouso ou em movimento uniforme, a menos que sobre ele atue
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uma força externa resultante.” Significa que se a força resultante das forças que
atuam sobre as formas arquitetonicas é zero, essa estará em repouso (se
originalmente estiver em repouso).
Assim, um corpo rígido estará em equilibrio quando as forças
externas que atuam sobre ele podem ser reduzidas a uma força resultante igual a
zero e a um binário de forças nula.
Baseando-se na Primeira Lei de Newton, podem se escrever as
condições necessárias e suficientes para o equilibrio dos corpos rígidos na forma
de duas equações.
𝐅 = 𝟎 𝐌𝐨 = 𝟎
Considerando que vivemos em um espaço tridimensional
decompondo cada equação em suas componentes cartesianas, as condições
necessárias e suficientes para garantir o equilibrio dos corpos rígidos podem ser
expressas por seis equações escalares:
y
𝐅𝐲 = 𝟎
𝐌𝐲 = 𝟎
𝐅𝐱 = 𝟎 x
𝐅𝐳 = 𝟎 𝐌𝐱 = 𝟎
Z 𝐌𝐳 = 𝟎
Em resumo: 𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐅𝐳 = 𝟎 (equilibrio das forças)
𝐌𝐱 = 𝟎 𝐌𝐲 = 𝟎 𝐌𝐳 = 𝟎 (equilibrio de momentos)
Equilibrio em duas dimensões:
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Devido à propriedade cumulativa das forças, que diz que a ação das
forças que atuam em um determinado plano se somam às dos planos
vinculados a ele, é possível simplificar consideravelmente a análise
estrutural.
Partindo desse princípio da propriedade cumulativa, a análise
estrutural pode ser feita em um planos bidimensionais, o que reduz o
sistema de seis equações para apenas três.
Assim adotando-se os eixos x e y para a definição do plano da
estrutura em análise, tem-se:
y
𝐅𝐲 = 𝟎
𝐌𝐲 = 𝟎
(0,0)a 𝐅𝐱 = 𝟎 x
𝐌𝐚 = 𝟎
Logo as equações resumem-se as seguintes:
𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌𝐚 = 𝟎
Onde “a” pode ser qualquer ponto no plano da estrutura.
Essas são as três equações necessárias e suficientes para a análise de
sistemas estruturais.
Apoios ou vínculos de uma estrutura:
As estruturas podem ser formadas por vários elementos ligados entre
sí e exteriormente ao solo. Estas ligações são chamados de apoios ou vínculos.
A restrição aos movimentos de uma estrutura se dá por meio destes
apoios ou vínculos.
Os apoios ou vínculos são classificados em função do número de
graus de liberdade impedidos.
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Nos apoios e nas direções dos deslocamentos impedidos, surgem as
forças reativas ou reações de apoio.
Representação dos apoios em Modelos Planos de Estruturas:
Existem formas de representação gráfica dos apoios associados as
direções de deslocamento dos modelos estruturais, planos de vigas, pórticos e
treliças.
Esses apoios são classificados, em função do número de
deslocamentos impedidos, conforme segue abaixo:
1. Apoio simples(do 1º genero)/apoio móvel
Impede a translação em uma das direções(vertical ou horizontal).
Permite a translação na direção perpendicular a impedida.
Permite a rotação (em torno de Z).
Rv Rv
fig. 1 - apoio simples (1º gênero)
=
2. Rótula (apoio do 2º genero)/apoio fixo
Impede a translação na direção X.
Impede a translação na direção Y.
Permite a rotação (em torno de Z).
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RvRv
RhRh
fig. 2 - rótula (apoio do 2º gênero)
=
3. Engaste (apoio do 3º genero)/engastamento fixo
Impede a translação na direção X.
Impede a translação na direção Y.
Impede a rotação (em torno de Z).
ESTRUTURA
ENGASTE
=
Rv
Rh M
Rv
Rh M
fig.3 - engaste (apoio do 3º gênero)
Nota importante: O sentido adotado aos vetores (reações e
momentos) que representam as forças é intuitivo e arbitrário. A
confirmação do sentido correto será feita ao serem traçadas as
equações de equilíbrio. Se o sinal encontrado para a força for
positivo, significa que o sentido adotado está correto; se for negativo,
significa que o sentido está invertido.
Força( + ) = sentido adotado correto;
Força ( - ) = sentido adotado incorreto.
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Estabilidade das Construções – Prof. Eng.º Civil Ederaldo Azevedo
REFERÊNCIAS:
ALMEIDA, Maria Cascão Ferreira de. Estruturas isostáticas. São Paulo:
Oficina de Textos, 2009.
MACHADO JÚNIOR, Eloy Ferraz. Introdução à isostática. São Carlos:
EESC/USP, 1999, 2007.
SUSSEKIND, José Carlos. Curso de análise estrutural: estruturas
isostáticas. 5.ed. Rio de Janeiro: Globo, 1981. V. 1.
VIERO, Edison Humberto. Isostática: passo a passo. 2. Ed. Caxias do
Sul, RS: Educs, 2008.