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Universidade Federal do Rio Grande
Escola de Engenharia - Curso de Engenharia Civil
Disciplina de Resistência dos Materiais
Prof. Mauro de Vasconcelos Real
Aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais e
do Teorema de Castigliano
Kadan Griebeler – 42643
Ana Paula Ribeiro – 42667
Ariadne Bassani Maciel – 42640
Alice Tavares da Silva – 42653
Alexandra Damas – 42626
Rio Grande
2010
2
Universidade Federal do Rio Grande
Escola de Engenharia - Curso de Engenharia Civil
Disciplina de Resistência dos Materiais
Prof. Mauro de Vasconcelos Real
Aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais e
do Teorema de Castigliano
Trabalho apresentado à disciplina de
Resistência dos Materiais, ministrada
pelo Prof. Dr. Mauro de Vasconcelos
Real, para obtenção parcial de nota no
curso de graduação em Engenharia
Civil.
Kadan Griebeler – 42643
Ana Paula Ribeiro – 42667
Ariadne Bassani Maciel – 42640
Alice Tavares da Silva – 42653
Alexandra Damas – 42626
Rio Grande
2010
3
Sumário
Introdução .......................................................................................................... 4
Princípio do Trabalho Virtual .............................................................................. 5
Princípio dos trabalhos virtuais para treliças ...................................................... 6
Exemplo de aplicação do princípio dos trabalhos virtuais para treliças .............. 7
Teorema de Castigliano para vigas .................................................................. 26
Exemplo de aplicação do Teorema de Castigliano .......................................... 27
Conclusão ........................................................................................................ 30
III
4
Introdução
Neste trabalho explicaremos e aplicaremos dois métodos de energia
para obtenção do deslocamento de um ponto específico em uma estrutura.
Analisaremos a deflexão de um ponto numa treliça através do Princípio dos
Trabalhos Virtuais e a deflexão de um ponto numa viga através do Teorema de
Castigliano.
5
Princípio do Trabalho Virtual
O princípio do trabalho virtual baseia-se na conservação de energia.
Para o caso em que as forças internas e externas de um corpo estão
relacionadas através das equações de equilíbrio, a conservação de energia diz
que:
ie UU (1)
uP (2)
Sendo P e Δ as forças e deslocamentos externos, e u e δ as forças e
deslocamentos internos, respectivamente.
Em um corpo no qual se quer achar o deslocamento realizado em um
ponto por um conjunto de forças, é possível substituir as forças reais por
apenas uma carga unitária virtual, que atua no ponto e na direção do
deslocamento. Da mesma forma que as cargas reais externas criam forças
internas, esta carga unitária virtual criará uma força virtual interna em um
elemento do corpo aparecendo assim trabalho virtual externo e interno. Pode-
se então relacionar as cargas virtuais e os deslocamentos reais através da
equação do trabalho virtual:
dLu1 (3)
Percebe-se que o deslocamento real Δ é facilmente calculado devido à
carga virtual aplicada ser unitária.
De maneira semelhante, o deslocamento por rotação em certo ponto
de um corpo pode ser determinado aplicando-se um momento conjugado
unitário no ponto, utilizando-se a fórmula:
dLu 1 (4)
Trabalho virtual interno
Os termos dLu e dLu das equações acima representam o
trabalho virtual interno desenvolvido no corpo.
No método da força virtual, a carga virtual “total” é aplicada antes que
as forças reais provoquem os deslocamentos e, portanto, o trabalho da carga
virtual interna é simplesmente o produto da carga virtual interna por seu
deslocamento real. A partir disso podemos escrever a equação do trabalho
virtual para um corpo sujeito a carregamento geral como:
dxGJ
tTdx
GA
VFdx
EI
mMdx
AE
nN c1 (5)
6
Princípio dos trabalhos virtuais para treliças
Se aplicarmos uma carga qualquer a treliça e essa provocar somente
força axial nos elementos, só é preciso considerar o trabalho virtual interno
devido à carga axial. Para obtermos o valor de tal trabalho, será preciso
considerar que cada elemento tenha área da seção transversal A constante e
que a carga axial n e a carga real N sejam constantes ao longo de todo o seu
comprimento. Assim, a equação do trabalho virtual para qualquer ponto na
treliça é:
EA
nNL1 (6)
Onde:
1 = carga unitária virtual externa que atua no nó da treliça na direção de
Δ;
Δ = deslocamento do nó, provocado pelas cargas reais sobre a treliça;
n = força virtual interna no elemento da treliça, provocada pela carga
virtual unitária externa;
N = força interna no elemento da treliça, provocada pelas cargas reais;
L = comprimento do elemento;
A = área da seção transversal do elemento;
E = módulo de elasticidade do elemento.
7
Exemplo de aplicação do princípio dos trabalhos virtuais para treliças
Para a treliça isostática mostrada na figura abaixo, 𝑎 = 4m, 𝑏 = 3m, F1
= 50KN, F2 = 50KN, F3 = 50KN. Determinar através do Princípio dos Trabalhos
Virtuais o deslocamento vertical do nó D. Considerar E = 200GPa e que todas
as barras possuem uma área de seção transversal igual a 5000 mm².
Considerando que: 𝑎 = 4 e 𝑏 = 3.
Primeiramente resolvemos a treliça para o carregamento dado.
Utilizando as condições de equilíbrio 0A
ZM , 0G
ZM e 0 yF ,
calculamos as reações descritas abaixo:
𝐴𝑦 = 100𝐾𝑁
𝐺𝑦 = 50𝐾𝑁
Para acharmos os esforços nas barras é necessário obtermos o valor
do ângulo , cujo cálculo é descrito abaixo:
𝜃 = tan−14
3≅ 53,13°
50𝐾𝑁
50𝐾𝑁
50𝐾𝑁
50𝐾𝑁
𝜃
𝑁
𝐴
𝑀 𝐿
𝐵
𝐾 𝐽 𝐼 𝐻
𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺
6𝑏
𝑎
S2 S3 S4 S5 S1
𝜃
8
Os esforços normais de cada barra foram obtidos através do método
das seções de Ritter e do método dos nós. Os cálculos realizados são
apresentados a seguir:
Nó A:
𝑁𝐴𝐵 = 0
𝑁𝐴𝑁 = −100𝐾𝑁
Nó N:
𝑁𝑁𝐵 = 125𝐾𝑁
𝑁𝑁𝑀 = −75𝐾𝑁
Nó B:
𝑁𝐵𝑀 = −100𝐾𝑁
𝑁𝐵𝐶 = 75𝐾𝑁
100𝐾𝑁
𝑁𝐴𝐵
𝑁𝐴𝑁
𝐴
𝑁𝑁𝑀
100𝐾𝑁
𝑁𝑁𝐵
𝑁
𝜃
𝜃
𝑁𝐵𝑀
𝑁𝐵𝐶
125𝐾𝑁
𝑂 𝐵
9
𝑆1:
∑𝑀𝑐 = 0
100 × 6 − 𝑁𝑀𝐿 × 4 − 50 × 3 = 0
𝑁𝑀𝐿 = −112,5𝐾𝑁
𝑆2:
∑𝑀𝐷 = 0
100 × 9 − 50 × 6 − 50 × 3 − 𝑁𝐿𝐾 × 4 = 0
𝑁𝐿𝐾 = −112,5𝐾𝑁
𝑆3:
∑𝑀𝐷 = 0
100 × 9 − 50 × 6 − 50 × 3 − 𝑁𝐾𝐽 × 4 = 0
50𝐾𝑁
S1
𝑁
𝐴
𝑀
𝐵
𝜃
𝜃
100𝐾𝑁
100𝐾𝑁
𝑁
𝜃
𝜃 𝐴
𝑀
𝐵
𝐿
50𝐾𝑁
𝐶
50𝐾𝑁
S2
C D
L K
50KN
B A
N M
50KN 50KN
100KN
S3
θ
θ
10
𝑁𝐾𝐽 = −112,5𝐾𝑁
𝑆4:
∑𝑀𝐸 = 0
100 × 12 − 50 × 3 − 50 × 6 − 50 × 9 − 𝑁𝐼𝐽 × 4 = 0
𝑁𝐼𝐽 = −75𝐾𝑁
𝑆5:
∑𝑀𝐹 = 0
100 × 15 − 50 × 12 − 50 × 9 − 50 × 6 − 𝑁𝐼𝐻 × 4 = 0
𝑁𝐼𝐻 = −37,5𝐾𝑁
𝑆2:
C D
L K
50KN
B A
N M
50KN 50KN
100KN E
J
S4
C D
L K
50KN
B A
N M
50KN 50KN
100KN E
J
F
I
S5
C
L
B A
N M
50KN 50KN
100KN
S2
θ
θ
θ
θ
θ
θ
11
∑𝑀𝐿 = 0
100 × 6 − 50 × 3 − 𝑁𝐶𝐷 × 4 = 0
𝑁𝐶𝐷 = 112,5𝐾𝑁
𝑆3:
∑𝑀𝐽 = 0
100 × 12 − 50 × 9 − 50 × 6 − 50 × 3 − 𝑁𝐷𝐸 × 4 = 0
𝑁𝐷𝐸 = 75𝐾𝑁
𝑆4:
∑𝑀𝐼 = 0
100 × 15 − 50 × 12 − 50 × 9 − 50 × 6 − 𝑁𝐸𝐹 × 4 = 0
𝑁𝐸𝐹 = 37,5𝐾𝑁
C D
L K
B A
N M
100KN
50KN 50KN 50KN S3
L K J
C D
50KN
B A
N M
50KN 50KN
100KN E
S4
θ
θ
θ
θ
12
𝑆5:
∑𝑀𝐻 = 0
100 × 18 − 50 × 15 − 50 × 12 − 50 × 9 − 𝑁𝐹𝐺 × 4 = 0
𝑁𝐹𝐺 = 0
Nó G:
𝑁𝐺𝐻 = −50𝐾𝑁
Nó H:
𝑁𝐻𝐹 = 62,5𝐾𝑁
Nó F:
C D
L K
50KN
B A
N M
50KN 50KN
100KN E
J
F
I
S5
NGH
NFG 50KN
50KN
37,5KN
NHF
37,5KN
NFI 62,5KN
θ
θ
G
H
F
13
𝑁𝐹𝐼 = −50𝐾𝑁
Nó I:
𝑁𝐼𝐸 = 62,5𝐾𝑁
𝑁𝐼𝐽 = −75𝐾𝑁
Nó E:
𝑁𝐽𝐸 = −50𝐾𝑁
Nó J:
𝑁𝐽𝐷 = 62,5𝐾𝑁
Nó K:
37,5KN
50KN
50KN
NIE
NIE 62,5KN
37,5KN 75KN
50KN NJD
112,5KN
50KN
112,5KN NKL
NKD
I
E
J
K
14
𝑁𝐾𝐿 = −112,5𝐾𝑁
𝑁𝐾𝐷 = −50𝐾𝑁
Nó M:
𝑁𝑀𝐶 = 62,5𝐾𝑁
Nó C:
𝑁𝐿𝐶 = −50𝐾𝑁
Nó L:
𝑁𝐿𝐷 = 0
Posteriormente, aplicamos a carga unitária, que deve ser expressa em
KN, no ponto D da treliça e ignoramos o restante do carregamento. Para essas
novas condições, calculamos os esforços na treliça da mesma maneira.
𝐴𝑌 = 0,5𝐾𝑁
75KN
50KN
112,5KN
100KN NMC
NLC
62,5KN
75KN
112,5KN
50KN
112,5KN 112,5KN
50KN NLD
M
C
L
15
𝐵𝑌 = 0,5𝐾𝑁
Nó A:
𝑁𝐴𝐵 = 0
𝑁𝐴𝑁 = −0,5𝐾𝑁
Nó N:
𝜃 = 53,13°
𝑁𝐵𝑁 = 0,625𝐾𝑁
𝑁𝑀𝑁 = −0,375𝐾𝑁
Nó B:
𝑁𝐵𝑀 = −0,5𝐾𝑁
𝑁𝐵𝐶 = 0,375𝐾𝑁
0,5KN
NAB
NAN
NMN
NBN
θ
0,5KN
NBM
NBC 0
0,625KN
A
N
θ
B
16
𝑆1:
∑𝑀𝐶 = 0
0,5 × 6 − 𝑁𝐿𝑀 × 4 = 0
𝑁𝐿𝑀 = −0,75𝐾𝑁
𝑆2:
∑𝑀𝐷 = 0
0,5 × 9 − 𝑁𝐾𝐿 × 4 = 0
𝑁𝐾𝐿 = −1,125𝐾𝑁
𝑆3:
θ
θ
B
A
N M
S1
0,5KN
0,5KN
S2
θ
θ
B
A
N M L
C
0,5KN
S3
θ
θ
B
A
N M L
C 1KN
D
K
17
∑𝑀𝐷 = 0
0,5 × 9 − 𝑁𝐽𝐾 × 4 = 0
𝑁𝐽𝐾 = −1,125𝐾𝑁
𝑆4:
∑𝑀𝐸 = 0
0,5 × 12 − 1 × 3 − 𝑁𝐼𝐽 × 4 = 0
𝑁𝐼𝐽 = −0,75𝐾𝑁
𝑆5:
∑𝑀𝐹 = 0
0,5 × 15 − 1 × 6 − 𝑁𝐻𝐼 × 4 = 0
𝑁𝐻𝐼 = −0,375𝐾𝑁
0,5KN
S4
θ
θ B
A
N M L
C 1KN
D
K
E
J
0,5KN
S5
θ
θ B
A
N M L
C 1KN
D
K
E
J
F
J
18
𝑆2:
∑𝑀𝐿 = 0
0,5 × 6 − 𝑁𝐶𝐷 × 4 = 0
𝑁𝐶𝐷 = 0,75𝐾𝑁
𝑆3:
∑𝑀𝐽 = 0
0,5 × 12 − 1 × 3 − 𝑁𝐷𝐸 × 4 = 0
𝑁𝐷𝐸 = 0,75𝐾𝑁
𝑆4:
0,5KN
θ
θ
B
A
N M L
C
S2
θ
θ
1KN D
K
0,5KN B
A
N M L
C
S3
0,5KN
θ
θ B
A
N M L
C 1KN
D
K
E
J
S4
19
∑𝑀𝐼 = 0
0,5 × 15 − 1 × 6 − 𝑁𝐸𝐹 × 4 = 0
𝑁𝐸𝐹 = 0,375𝐾𝑁
𝑆5:
∑𝑀𝐻 = 0
0,5 × 8 − 1 × 9 − 𝑁𝐹𝐺 × 4 = 0
𝑁𝐹𝐺 = 0
Nó G:
𝑁𝐺𝐻 = −0,5𝐾𝑁
𝑁𝐹𝐺 = 0
Nó H:
𝑁𝐹𝐻 = 0,625𝐾𝑁
0,5KN
S5
θ
θ B
A
N M L
C 1KN
D
K
E
J
F
J
NGH
NFG
0,5KN
0,5KN NFH
0,375KN
G
H
20
Nó F:
𝑁𝐹𝐼 = −0,5𝐾𝑁
Nó I:
𝑁𝐸𝐼 = 0,625𝐾𝑁
Nó E:
𝑁𝐸𝐽 = −0,5𝐾𝑁
Nó J:
𝑁𝐷𝐽 = 0,625𝐾𝑁
NFI
0,375KN
0,625KN
0
NEI 0,5KN
0,375KN 0,75KN
NEJ
0,375KN
0,625KN
0,75KN
0,75KN
0,5KN NDJ
1,125KN
F
I
E
J
21
Nó K:
𝑁𝐷𝐾 = 0
Nó M:
𝑁𝐶𝑀 = 0,625𝐾𝑁
Nó C:
𝑁𝐶𝐿 = −0,5𝐾𝑁
Nó L:
𝑁𝐷𝐿 = 0,625𝐾𝑁
A Tabela1 refere-se aos dados obtidos de esforço normais e
deformações para cada barra. O somatório das deflexões resulta na
deformação no ponto especificado, assim como foi explicado anteriormente.
1,125KN 1,125KN
NDK
0,375KN
0,75KN
0,5KN NCM
NCL
0,375KN
0,625KN
NDL
1,125KN
0,5KN
0,75KN
K
M
C
L
22
Tabela 1 – Barras e seus referentes dados
Barra ÁREA i [m²] E [Pa] L i [m]
ni [N] Ni [N] ni.Ni.Li/E.Ai [m]
AB 0,005 2E+11 3 0 0 0
BC 0,005 2E+11 3 0,375 75 8,4375E-08
CD 0,005 2E+11 3 0,75 112,5 2,53125E-07
DE 0,005 2E+11 3 0,75 75 1,6875E-07
EF 0,005 2E+11 3 0,375 37,5 4,21875E-08
FG 0,005 2E+11 3 0 0 0
GH 0,005 2E+11 4 -0,5 -50 0,0000001
HI 0,005 2E+11 3 -0,375 -37,5 4,21875E-08
IJ 0,005 2E+11 3 -0,75 -75 1,6875E-07
JK 0,005 2E+11 3 -1,125 -112,5 3,79688E-07
KL 0,005 2E+11 3 -1,125 -112,5 3,79688E-07
LM 0,005 2E+11 3 -0,75 -112,5 2,53125E-07
MN 0,005 2E+11 3 -0,375 -75 8,4375E-08
AN 0,005 2E+11 4 -0,5 -100 0,0000002
BN 0,005 2E+11 5 0,625 125 3,90625E-07
BM 0,005 2E+11 4 -0,5 -100 0,0000002
CM 0,005 2E+11 5 0,625 62,5 1,95313E-07
CL 0,005 2E+11 4 -0,5 -50 0,0000001
DL 0,005 2E+11 5 0,625 0 0
DK 0,005 2E+11 4 0 -50 0
DJ 0,005 2E+11 5 0,625 62,5 1,95313E-07
EJ 0,005 2E+11 4 -0,5 -37,5 0,000000075
EI 0,005 2E+11 5 0,625 62,5 1,95313E-07
FI 0,005 2E+11 4 -0,5 -50 0,0000001
FH 0,005 2E+11 5 1,875 62,5 5,85938E-07
∑ 4,19375E-06
Pelo teorema de trabalhos virtuais para treliças (Equação 6) obtemos
como deformação no ponto D o valor de .1019375,4 6 m
O fato de termos encontrado um valor positivo indica que a deformação
ocorre no mesmo sentido da carga unitária aplicada, ou seja, para baixo.
1KN
G A θ
θ
23
Teorema de Castigliano
Alberto Castigliano, em 1879 criou um método capaz de determinar a
inclinação e o deslocamento de dado ponto em um corpo (tendo este
temperatura constante e seu material possuindo comportamento linear-
elástico). O método afirma que o deslocamento de um dado ponto é igual à
primeira derivada parcial da energia de deformação, em relação a um momento
que atua sobre o ponto e na direção do ângulo da inclinação (Equação 1).
j
ii
P
U
(1)
Para que possamos deduzir o referente teorema, consideraremos um
corpo qualquer que está sujeito a uma série de n forças P1, P2. . .Pn. e
consideramos que há conservação de energia no corpo (Equação 2).
ie UU (2)
No entanto, sabe-se que nesse caso o trabalho externo é função das
cargas externas (Equação 3). Analogamente, o trabalho interno também será
função das forças externas (Equação 4).
PdxU e (3)
),...,,( 21 nei PPPfUU (4)
Se qualquer uma das forças, Pj por exemplo, aumentar uma
quantidade infinitesimal dPj, consequentemente o trabalho também aumentará,
transformando a equação da energia escrita a seguir (Equação 5):
j
j
iiii dP
P
UUdUU
(5)
Esse valor independe da sequência na qual as n forças são aplicadas
ao corpo. A partir de um equacionamento, assim como o que será mostrado a
seguir, pode-se comprovar tal afirmação.
24
1. Primeiramente consideraremos a equação de energia de
deformação:
Considerando a área triangular que é equivalente a energia de
deformação, U será então:
nnn PU 2
1 (6)
2. Calcular inicialmente a energia de deformação U de P1 e P2,
lembrando que:
12111 (7)
2121111 PP (8)
Sendo assim, analogamente:
21222
1212222 PP
Relacionando P1 e P2 na Eq. 6 temos:
1212221112
1
2
1 PPPU (9)
Substituindo a Eq.8 na Eq. 9:
2121222211112
1
2
1PPPPPPU
122122
2
211
2
12
1
2
1 PPPPU (10)
Lembrando da Eq. 5, podemos considerar que:
0
1
2
3
0 1 2 3
P
∆
Energia de Deformação
25
212111
1
PPP
U
(11)
Observamos então a igualdade entre as Equações 7, 8 e 11, temos:
11211
1
P
U (12)
Analogamente, se considerarmos a sequência P2 e P1 ao invés de P1 e
P2, temos então:
1221112222
1
2
1PPPPU
212111
2
122
2
22
1
2
1 PPPPU
22122121222
1
PP
P
U
Logo, conclui-se que:
i
iP
U
(13)
Obtendo a Eq. 13 comprovamos o teorema.
26
Teorema de Castigliano para vigas
A energia de deformação interna de uma viga é provocada pela flexão e
pelo cisalhamento. No entanto, como a viga em questão é longa e esbelta, o
cisalhamento acaba sendo desprezível. Sendo assim, a deformação interna da
viga é dada pela Eq. 14. Substituindo a Eq. 14 na Eq.15, temos a Eq. 16.
dxEI
xMU
L
02 )(
2
1 (14)
P
U
(15)
dxP
xM
EI
xML
)()(2
2
1
0
(16)
Onde:
∆ = deslocamento do ponto provocado pelas cargas reais que atuam
sobre a viga;
P = força externa de intensidade variável aplicada à viga na direção de
∆;
M = momento interno da viga, expresso em função de x e provocado
tanto pela força P quanto pelas cargas sobre a viga;
E = módulo de elasticidade do material;
I = momento de inércia da área da seção transversal calculado em
torno do eixo neutro.
Para calcular a inclinação da tangente de certo ponto da linha elástica,
usa-se a relação que diz que a mesma é igual à derivada parcial do momento
interno M. Dessa maneira, obtivemos a Eq.17.
dxM
xM
EI
xML
'
)()(
0
(17)
27
Exemplo de aplicação do Teorema de Castigliano
Para a viga mostrada na figura abaixo, determinar através do Teorema
de Castigliano o deslocamento vertical do ponto C. Considerar 49102 mmI
e GPaE 200 .
Utilizando as condições de equilíbrio 0A
ZM , 0B
ZM e 0 yF ,
calculamos as reações descritas abaixo:
NBy 1000
NAy 800
Através do método das seções obtemos a equação do momento em x
para a viga em análise.
3262002200800)( 32 xxxxM
950100800)( 32 xxxxM
Aplicamos a carga P no ponto C:
B A C
400N/m
200N/m
3m 3m
B A C
400N/m
200N/m
S1
28
Da mesma maneira, encontramos a equação do momento em x para o
novo carregamento.
950100800)( 32 xxxxM
)3(950100800)( 32 xPxxxxM
Derivando a equação acima parcialmente em relação a P:
mxP
M
)3(
Para P=0:
B A C
P
400N/m
200N/m
B A C
P
400N/m
200N/m
B A C
P
400N/m
200N/m
S1
S2
29
950100800)( 32 xxxxM
Considerando 49102 mmI e GPaE 200 , temos:
2943
2
9
10.4,010.210.200
Nmmm
NEI
Com os dados obtidos, aplicamos a equação descrita a seguir para
acharmos a deflexão no ponto especificado.
L
dxEI
mxM
P
U
0
)(
6
0
32
9.3
9
50100800
10.4,0
1dxx
xxx
6
0
32
432
9 3
503002400
9
50100800
10.4,0
1dx
xxx
xxx
6
0
32
4
9 3
25011002400
9
50
10.4,0
1dx
xxx
x
6
0
2345
91200
3
1100
6
125
9
10
10.4,0
1
x
xxx
Encontramos então, um deslocamento no ponto C igual a m710.9 .
30
Conclusão
Concluímos que o método dos trabalhos virtuais e o método do
Teorema de Castigliano fornecem de maneira simples os valores de deflexões
pontuais em treliças e vigas respectivamente. Após a aplicação dos mesmos
percebemos que sua execução é fácil e intuitiva, porém trabalhosa se forem
necessárias deflexões em vários pontos. Por este e outros motivos
consideramos os métodos empregados mais simples e de resolução mais
rápida que outros semelhantes utilizados para os mesmos fins.