Anjolina Grisi de Oliveiraobs: muitos slides foram cedidos por

Adolfo Almeida Duran (UFBA)

2007

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE 2

Caminho em um grafo não orientado– Um caminho de tamanho n de u para v, onde n é um

inteiro positivo, em um grafo não orientado é uma seqüência de arestas e1,...,en do grafo de forma que f(e1) = {x0,x1}, f(e2) = {x1,x2}...f(en)={xn-1,xn}, onde x0=u e xn=v.

G1

Conectividade

Se o grafo é simples, denotamos o caminho por sua seqüência de vértices: x0, x1 ,...xn

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• Caminho em um multigrafo direcionado– Um caminho de tamanho n de u para v, onde n é um

inteiro positivo, em um multigrafo direcionado é uma seqüência de arestas e1,...,en do grafo de forma que f(e1) =(x0,x1), f(e2) = (x1,x2)...f(en)=(xn-1,xn), onde x0=u e xn=v.

Quando não existem arestas múltiplas, o caminho pode ser denotado por uma seqüência de vértices: (x2, x5, x4, x1)

Conectividade

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Circuito ou ciclo

– Um caminho é um circuito se ele começa e termina no mesmo vértice.

G1

Conectividade

Circuito: x1,x2,x5,x4,x1

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Exemplos de ciclos

1 2

3 4

1 2

3 4

Ciclo de tamanho 31 2 4 1

Ciclo de tamanho 31 2 3 1

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• Ciclo (ou circuito)

A seqüência de vértices (x1, x2, x5, x4, x1)

é um exemplo de ciclo

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Caminho (ou circuito) simples

Um caminho ou circuito é chamado de simples se ele não contem a mesma aresta mais de uma vez.

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Definição para grafos não orientados– Um grafo não orientado é chamado de conexo

(ou conectado) se existe um caminho entre cada par de vértices distintos do grafo.

G1

Conectividade

Em uma rede de computadores, quaisquer dois computadores podem se comunicar se e somente se o grafo da rede é conexo.

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• Grafo desconexo

– O grafo mostrado a seguir não é conexo pois, por exemplo, não existe um caminho entre x3 e x5.

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• Componente conexa

– Um grafo G(V,A) desconexo é formado por pelo menos dois subgrafos conexos, disjuntos em relação aos vértices

– Cada um destes subgrafos conexos é dito ser uma componente conexa de G.

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Vértice de corte (ou pontos de articulação)Um vértice é dito ser um vértice de corte se sua remoção (juntamente com as arestas a ele conectadas) produz um grafo com mais componentes conexos. (se o grafo original é conexo, ele se torna desconexo).

X2 é um vértice de corte

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PonteUma aresta é dita ser uma ponte se sua remoção produz um grafo com mais componentes conexos.

(X1,X4) é uma ponte

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• Grafo fortemente conexo– No caso de grafos orientados (digrafos), um grafo é dito ser fortemente

conexo se existe um caminho de a para b e de b para a, para cada par a,b de vértices do grafo.

– ou seja, se cada par de vértices participa de um circuito. – Isto significa que cada vértice pode ser alcançável partindo-se de

qualquer outro vértice do grafo.

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•Grafo fracamente conexoUm grafo direcionado G(V,A) é chamado de fracamente conexo se existe um caminho entre cada par de vértices no grafo não orientado subjacente.

Cada um destes subgrafos é fortemente conexo. No entanto, o grafo todo é apenas fracamente conexo.

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• Caminhos e Isomorfismo– A existência de circuitos simples com um tamanho n é

uma invariante

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• Caminhos e Isomorfismo - Além disso, caminhos podem ser usados para construir

mapeamentos, que podem ser isomorfismos.

u2

u5 u4

u1 u3 v2

v3v4

v5

v1

Caminho1: u1, u4, u3,u2, u5 Caminho2: v3, v2, v1,v5, v4

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• Contando caminhos entre vértices• Teorema: Seja G um grafo cuja matriz de adjacência A usa a

seguinte ordem nos vértices: v1,v2,...,vn. A quantidade de caminhos diferentes de tamanho r de vi para vj, onde r é um inteiro positivo é igual a ai,j entrada da matriz Ar

d c

a b

a,b,a,b,da,b,a,c,da,b,d,b,da,b,d,c,da,c,a,b,da,c,a,c,da,c,d,b,da,c,d,c,d

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Um circuito euleriano em um grafo G é um circuito simples que contem cada aresta de G.

Circuito Euleriano

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Teorema (Euler 1736)Um multigrafo conectado G possui um circuito euleriano se e somente se o grau de cada vértice de G é par.

Prova:

Ida: Seja G um grafo euleriano. Por cada ocorrência de vértice do circuito euleriano, existe uma aresta que chega nesse vértice e outra que sai desse vértice. Como toda aresta faz parte do circuito, isto é, nenhuma aresta fica fora do ciclo, necessariamente o número de arestas por cada vértice é par.

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Volta: Suponhamos que todos os vértices possuem grau par. Seja vi um vértice do grafo. Tentemos, a partir

de vi, construir um caminho que não passa duas vezes

pela mesma aresta, e até que não seja possível continuar. Como todos os vértices possuem um grau par, sempre será possível entrar e sair de um vértice. A única exceção é o vértice vi onde o caminho vai

terminar. Se esse caminho, que chamaremos C1,

contém todas as arestas de G, temos um ciclo euleriano. Senão, retiramos de G todas as arestas que fazem parte de C1. No grafo resultante G', todos os

vértices também possuem grau par e necessariamente um deles faz parte de C1, senão o grafo não seria

conexo.

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Volta (cont.): Recomeçamos o mesmo processo com o grafo G', partindo de um vértice comum com C1,

obtendo assim um novo circuito C2. A figura abaixo

mostra que dois circuitos que têm um vértice em comum podem formar um circuito único: chegando no vértice comum em um dos dois circuitos, continuamos o percurso no outro circuito. Continuando esse processo, necessariamente obteremos um circuito único que contém todas as arestas de G.

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• As pontes de Königsberg

É possível sair de uma das ilhas, passar uma única vez por cada uma das pontes e retornar ao ponto de origem ?

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• As pontes de Königsberg

Como nem todos os vértices têm grau par, o grafo não é euleriano. Logo, é impossível atravessar todas as pontes uma só vez e voltar ao lugar de partida

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Aplicação em jogos Como fazer um desenho que comece a partir de um ponto,

retorne a esse ponto e o lápis não seja levantado do papel?

Podemos construir um circuito Euleriano

Existem vários algoritmos para construir um circuito Euleriano

Vamos estudar um baseado na prova do teorema de Euler

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Algoritmo de HierholzerAlgoritmo para a construção de um ciclo euleriano

sugerido a partir da prova do teorema de Euler

Comece em qualquer vértice u e percorra aleatoriamente as arestas ainda não visitadas a cada vértice visitado até fechar um ciclo

Se sobrarem arestas não visitadas, recomece a partir de um vértice do ciclo já formado

Se não existem mais arestas não visitadas, construa o ciclo euleriano a partir dos ciclos formados, unindo-os a partir de um vértice comum

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Algoritmo de HierholzerAlgoritmo para a construção de um ciclo euleriano

sugerido a partir da prova do teorema de Euler

Ciclo 1: 1,2,5,9,10,11,6,3,1 Ciclo 2: 2,6,5,10,6,7,12,8,7,4,3,2

Ciclo Euleriano: 1,2,6,5,10,6,7,12,8,7,4,3,2,5,9,10,11,6,3,1

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Algoritmo de Hierholzer

Ciclo 1: 1,2,5,9,10,11,6,3,1 Ciclo 2: 2,6,5,10,6,7,12,8,7,4,3,2

Ciclo Euleriano: 1,2,6,5,10,6,7,12,8,7,4,3,2,5,9,10,11,6,3,1

1

23 4

5

910

6 7 8

1211

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Teorema Um multigrafo conectado G possui um caminho euleriano, mas que não é circuito, se e somente se possui exatamente dois vértices com grau ímpar

i

f

i

f

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Um caminho (ou circuito) em um grafo G(V,E) é dito ser hamiltoniano se ele passa exatamente uma vez em cada um dos vértices de G

Caminhos, circuitos Hamiltonianos

Apenas caminho hamiltoniano

Caminho e circuito hamiltoniano

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Mais exemplos

Circuito e caminho caminho não hamiltoniano

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Grafo hamiltoniano

Não existe uma caracterização para identificar grafos hamiltonianos como existe para os eulerianos

A busca de tal caracterização é um dos maiores problemas ainda não solucionados da teoria dos grafos

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Grafo hamiltonianoMuito pouco é conhecido dos grafos hamiltonianosA maioria dos teoremas existentes são da forma: “Se G possui arestas suficientes, então G é hamiltoniano”Eles dão condições suficientes apenas

Se P então Q: P → Q

P é condição suficiente para Q

(basta que P ocorra para Q ocorrer)

Q é condição necessária para P

(se Q não ocorrer então P também não ocorrerá)

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Circuito hamiltoniano em grafos completos

Todo grafo completo, que contém mais de 2 vértices contem um circuito hamiltoniano

Seja v1,v2,...,vn os vértices de G. Como existe uma aresta entre qualquer par de vértices, é possivel, a partir de v1 percorrer essa sequência até vn e voltar para v1

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Teorema (Dirac 1952)Uma condição suficiente, mas não necessária,

para que um grafo conexo simples G com n (>2) vértices tenha um circuito hamiltoniano é que o

grau de todo vértice de G seja n/2

O grafo abaixo, possui um circuito hamiltoniano mas não respeita a condição do teorema de Dirac

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Teorema (Ore 1960)Uma condição suficiente, mas não necessária, para que um grafo simples G com n (>2) vértices tenha um circuito hamiltoniano é que a soma dos graus de cada par de vértices não adjacentes seja no mínimo n.

Permite identificar mais grafos com circuitos hamiltonianos que o anterior, mas demora muito para efetuar os

cálculos. Uma busca por tentativa e erro pode ser mais eficiente em alguns casos

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O adjetivo "hamiltoniano" deve-se ao matemático irlandês Sir William Rowan Hamilton (1805-1865). Diz-se que ele inventou um jogo que envolve um dodecaedro (sólido regular com 20 vértices, 30 arestas e 12 faces). Hamilton rotulou cada vértice do dodecaedro com o nome de uma cidade conhecida. O objetivo do jogo era que o jogador viajasse "ao redor do mundo" ao determinar uma viagem circular que incluísse todas as cidades exatamente uma vez, com a restrição de que só fosse possível viajar de uma cidade a outra se existisse uma aresta entre os vértices correspondentes.

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A figura abaixo mostra um grafo que representa este problema, ou seja os vértices e arestas de um dodecaedro.

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Ciclo Hamiltoniano

origem

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O problema do Caminho mais curto

Um motorista deseja encontrar o caminho, mais curto possível, entre duas cidades do Brasil

Caso ele receba um mapa das estradas de rodagem do Brasil, no qual a distância entre cada par adjacente de cidades está exposta, como poderíamos determinar uma rota mais curta entre as cidades desejadas?

Uma maneira possível é enumerar todas as rotas possíveis que levam de uma cidade à outra, e então selecionar a menor.

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE 40

O problema do menor caminho consiste em determinar um menor caminho entre um vértice de origem s V e todos os vértices v de V.

     

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE 41

6

5

u

3

s

6

2 7

v

x y

412

3

0

5

3

11

9

Grafos com pesos: - Cada aresta possui um número associado (peso) - O tamanho do caminho é a soma dos pesos das arestas do caminho

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O algoritmo de Dijkstra

O algoritmo de Dijkstra aqui descrito identifica o menor caminho entre dois vértices de um grafo não orientado.

Se desejamos calcular o menor caminho de a para z em um grafo conexo simples com pesos, primeiro encontramos um menor caminho entre a e um primeiro vértice, depois entre a e um segundo vértice, esse procedimento é repetido até que seja encontrado um menor caminho entre a e z.

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE 43

O algoritmo de Dijkstra

Um conjunto S de vértices é construído inserindo-se um vértice a cada iteração.

A cada iteração também é adotado um procedimento para rotular vértices: um vértice w é rotulado com o tamanho do menor caminho de a até ele, e que contem somente vértices do conjunto S.

O vértice a ser inserido em S é aquele com o menor rótulo.

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O algoritmo de Dijkstra

O algoritmo começa rotulando a com 0 e os demais vértices com . Usamos a notação L0(a)=0 e L0(v)= . (na iteração 0).

A notação Sk é usada para denotar o conjunto S após a iteração k. Começamos com S0=. O conjunto Sk é formado a partir de Sk-1 adicionado-se um vértice u que não está em Sk-1 e possui o menor rótulo.

Após a inclusão de u em Sk, atualizamos os rótulos de todos os vértices que não estão nesse conjunto da seguinte maneira: Lk(v) é o tamanho do menor caminho de a até v que contem apenas os vértices de Sk.

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE 45

O algoritmo de Dijkstra

Seja v um vértice que não está em Sk. Para atualizar o rótulo de v, observe que Lk(v) é o tamanho do menor caminho de a para v e que contém apenas os vértices que estão em Sk..

Esse caminho ou é o menor caminho que contem apenas os elementos de Sk-1 (sem a inclusão de u) ou éo menor caminho de a até u no passo k-1 com adição da aresta (u,v).

Lk(v) =   min(Lk-1(v),Lk-1(u)+ peso(u,v))

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE 46

O algoritmo de Dijkstraprocedimento Dijkstra

Para i := 1 até n:L(v)= .

L(a) = 0 S=Enquanto z Su :=   Elemento que S e L(u) é mínimo S :=   S {u} Para cada vértice v S :

Se L(u) + peso(u,v) < L(v) entãoL(v) = L(u) + peso(u,v)(observe que L(v) =   min(L(v),L(u)+ peso[u,v]) Retornar L(z)

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Exemplo: Qual o tamanho do menor caminho de A até D?

0: L(A)=0 e todos os outro é ; S=;

Seja u o nó de menor rótulo.

1: S= S {u}. Logo, S={A}

A

F

B C

D

E

1 8 2

54

10

2

6

30

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2: Para cada vértice v S : (S aqui apenas possui A)

Se L(u) + peso(u,v) < L(v) então

L(v) = L(u) + peso(u,v)

(lembrando que u acabou de ser incluído em S)

Logo: L(B)=4; L(F)=2;

A

F

B C

D

E

1 8 2

54

10

2

6

30

4

2

(A)

(A)

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE 49

Próximo passo: colocar em S o nó de menor rótulo

S={A}{F}

Em seguida, atualizar os rótulos a partir de F

L(B)=3; L(C)=10; L(E)=12;

A

F

B C

D

E

1 8 2

54

10

2

6

30

4

2

(A,F)

(A)

10

12

3

(A,F)

(A,F)

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE 50

Próximo passo: colocar em S o nó de menor rótulo

S={A,F}{B}

Em seguida, atualizar os rótulos a partir de B:

L(C)=8;

A

F

B C

D

E

1 8 2

54

10

2

6

30

3

12

10

2

(A)

8(A,F)

(A,F)

(A,F,B)

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE 51

Próximo passo: colocar em S o nó de menor rótulo

S={A,F,B}{C}

Em seguida, atualizar os rótulos a partir de C:

L(D)=14; L(E)=10;

A

F

B C

D

E

1 8 2

54

10

2

6

30

3

12

8

2

(A,F)

(A,F)

(A,F,B)

14

10 (A,F,B,C)

(A,F,B,C)

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Próximo passo: colocar em S o nó de menor rótulo

S={A,F,B,C}{E}

Em seguida, atualizar os rótulos a partir de E:

L(D)=13;

A

F

B C

D

E

1 8 2

54

10

2

6

30

3

10

8

2

14

(A,F) (A,F,B)

(A,F,B,C)(A)

(A,F,B,C)13

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Exemplo: Menor caminho de A até D0: L(A)=0 e todos os outro é ; S=;1: S={A}; L(B)=4; L(F)=2;2: S={A,F}; L(B)=3; L(C)=10; L(E)=12;3: S={A,F,B}; L(C)=8; 4: S={A,F,B,C}; L(D)=14; L(E)=10;5: S={A,F,B,C,E}; L(D)=13;6: S={A,F,B,C,E,D}

A

F

B C

D

E

1 8 2

54

10

2

6

3

(A,F,B,C.E)

13