Post on 10-Jan-2017
Análise Numérica –DCC033
Renato Assunção
Departamento de Ciência da Computação
UFMG
O que é análise numérica?
Definição: Estudo de algoritmos ou métodos numéricos para a solução de problemas computacionais em ciência e engenharia.
Outros nomes:
• computação científica
• matemática computacional.
Algoritmo numérico
Encontrar o mínimo de uma função f(x) num intervalo [a,b].
Suponha que f(x) representa o custo associado com o uso de x unidades de um recurso
Por exemplo:
• f(x) = x2/4 - sin(x) + cos2(x) + log(x2 +1)
Mínimo de f(x) se x [-4, 4] ?
Gráfico de f(x)
Solução exata
Derive, iguale a zero e resolva a equação.
Por exemplo:
• Se f(x) = 3 + 2(x-1)2
• Então f’(x) = 4(x-1)
• f’(x)=0 x = 1
• então o mínimo de f(x) ocorre em x = 1
Solução analítica a solução é uma
fórmula matemática “perfeita”
Solução numérica
Não conseguimos resolver a equação f’(x)=0 na maioria dos casos REAIS
Por exemplo, se
• f(x) = x2/4 - sin(x) + cos2(x) + log(x2 +1)
Como fazer?
Obter uma solução aproximada por meio de um algoritmo.
Algoritmo de Newton
Comece com um valor inicial arbitrário x0
Por exemplo, comece com x0 = 0
A seguir, obtenha sucessivamente valores cada vez mais próximos da solução usando a iteração
• xn+1 = xn – f’(xn) / f’’(xn)
Algoritmo de Newton
x0 = 0.
A seguir, itere com:
• xn+1 = xn – f’(xn) / f’’(xn)
Assim,
• x1 = x0 – f’(x0) / f’’(x0) = 0 - f’(0) / f’’(0)
Precisa obter as formulas para f’(x) e f’’(x) para usar acima.
Algoritmo
Propriedades desejáveis de um algoritmo:
• Exatidão dos cálculos (ou acurácia)
• Eficiência (velocidade e uso da memória)
• Estabilidade das respostas.
Veremos muitas vezes em nosso curso que o algoritmo mais simples e óbvio não e’ sempre o melhor.
PEQUENAS modificações destes algoritmos simples trazem enormes ganhos.
Problemas
Exemplos de problemas que exigem analise numérica:• Page rank: algoritmo do Google
• Modelo econômico de input-output de Leontief
• Cálculos com circuitos elétricos
• reconhecimento de faces e dígitos, compactação de imagens...
• Maximização: otimização
• Simulação de sistemas de grande porte
Resumo do Conteúdo
Solução de Sistemas Lineares
Raízes de equações e maximização
Ajuste de curvas (regressão linear)
Integração numérica
Solução numérica de equações diferenciais ordinárias
Simulação Monte Carlo
Autovalores e autovetores (opcional)
Professores
Renato Assunção:
• PhD, Statistics, University of Washington, 1994
• Interesse de pesquisa:
modelos probabilísticos para análise e controle do risco (financeiro, saúde, atuária, etc.)
Algoritmos e métodos para análise de dados georeferenciados
• www.dcc.ufmg.br/~assuncao
• Márcio Bunte ( a segunda metade do curso)
Webpage do curso
Buscar link em • http://www.dcc.ufmg.br/~assuncao/an/
Página do curso vai conter as informações relevantes:
• Todas as transparências usadas no curso
• Exercícios
• Provas de anos anteriores
• Material de leitura suplementar
• Etc.
Livro-texto e outros materiais
Livro-texto:
• Algoritmos Numéricos de Frederico Ferreira Campos Filho, 2ª. Edição, LTC
Outros materiais
Outros materiais usados no curso:
• Cálculo numérico
Apostila escrita por Cláudio Asano e Eduardo Colli (USP).
Disponível no site do nosso curso.
EXCELENTE, muito didático.
• Links para outros cursos na Web
• Livro Numerical Computing with MATLAB. SIAM, Philadelphia, 2004.
Escrito por Cleve Moler, criador do MatLab.
DISPONIVEL GRATUITAMENTE EM http://www.mathworks.com/moler/index_ncm.html
Monitoria
?? A ser decidido
MATLAB - Cleve Moler
Matlab e SciLab
Vamos usar o programa SciLab
O Scilab é um software científico para computação numérica quase idêntico ao Matlab
Ele fornece um poderoso ambiente computacional para aplicações científicas.
E’ gratuito e pode ser baixado do site
http://www.scilab.org/
Provas
Teremos 4 provas regulares: escolhemos as 3 maiores notas e descartamos a menor nota.
Você não perderá nota se tentar as 4 provas.
Se perder uma prova, a nota será zero, a menor nota possível.
Lista de exercícios valendo 10 pontos.
Datas das provas
Dias:
• ?? A ser anunciado
• 30 pontos em cada prova. Apenas as 3 maiores notas são mantidas.
• 10 pontos de listas de exercícios.
Listas de Exercícios
Teóricos e práticos
• Teóricos: Papel e lápis
• Práticos: Scilab
Provas serão “idênticas” aos exercícios.
Não será necessário levar calculadora nas provas.
Será cobrada a familiaridade com o Scilab na forma de pseudocódigo.