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Análise Estatística
Variáveis Aleatórias
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Variável
Característica que pode ser observada (ou
mensurada) nos elementos da população,
devendo ter um e apenas um resultado para
cada elemento observado.
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Variáveis
Qualitativas - O resultado da variável é uma
resposta não numérica. Exemplo: sexo, grau de instrução etc.
Quantitativas - O resultado é um número. Exemplo: idade, altura etc.
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Variável Aleatória
Quando os resultados de uma variável são
determinados pelo acaso, trata-se de uma
variável aleatória.
“Uma variável aleatória é uma função com valores numéricos, cujo valor é determinado por fatores de chance.”
Stevenson, W. (Estatística aplicada à administração)
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Exemplos
Selecionando-se uma pessoa de um município através de sorteio, o peso é uma variável aleatória.
Sorteando-se uma empresa de um setor, o número de funcionários é uma variável aleatória.
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Exemplo
Lança-se uma moeda e verifica-se a face obtida (cara ou coroa).
Face obtida - variável qualitativa - não é uma variável aleatória.
Número de caras - variável aleatória associada à variável qualitativa estudada.
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Distribuição deProbabilidades
A distribuição de probabilidades, ou modelo
probabilístico, indica, para uma variável
aleatória, quais são os resultados que podem
ocorrer e qual é a probabilidade de cada
resultado acontecer.
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Exercício
Lança-se uma moeda e anota-se a face obtida.
Construir a distribuição de probabilidades para a
variável aleatória número de caras.
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Distribuição deProbabilidades
Resultados Probabilidade Possíveis
0 0,5
1 0,5
Total 1
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Distribuição deProbabilidades
k P(X=k)
0 0,5
1 0,5
Total 1 0 1
0,50 0,50
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Exercício
Considerando-se que 2 moedas tenham sido
lançadas, construir a distribuição de probabilidades
para a variável aleatória número de caras.
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U
Probabilidade
Regra da Multiplicação
A probabilidade de que dois eventos
independentes ocorram é igual à multiplicação
das probabilidades individuais.
P(A e B) = P(A B) = P(A) x P(B)
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Probabilidade
Evento - Qualquer situação ou resultado que
nos interessa.
Dois eventos são independentes se a ocorrência
de um não alterar a probabilidade de ocorrência
do outro.
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Exercício
Considerando-se que 2 moedas tenham sido
lançadas, construir a distribuição de probabilidades
para a variável aleatória número de caras.
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Exercício
Resultadosnuméricos
0
1
1
2
Resultados possíveis
Coroa Coroa
Cara Coroa
Coroa Cara
Cara Cara
Probabilidade
0,5 x 0,5 = 0,25
0,5 x 0,5 = 0,25
0,5 x 0,5 = 0,25
0,5 x 0,5 = 0,251o lanç. 2o lanç.
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Diagramade Árvore
cara
coroa
cara
coroa
1o lançamento
cara
coroa
2o lançamento
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
P = 0,25
P = 0,25
P = 0,25
P = 0,25
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Distribuição deProbabilidades
Resultados Probabilidade Possíveis
0 0,251 0,502 0,25
Total 1
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Probabilidade
Regra da Adição
A probabilidade de que um entre dois eventos
mutuamente excludentes ocorra é igual à
soma das probabilidades individuais.
P(A ou B) = P(A U B) = P(A) + P(B)
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Probabilidade
Dois eventos são mutuamente excludentes, ou
exclusivos, se a ocorrência de um impedir a
ocorrência do outro. Exemplo: No problema anterior, havia basicamente 4
resultados possíveis (KK, CK, KC e CC). Estas quatro situações são excludentes, isto é, somente uma delas poderá ocorrer.
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Exercício
Resultadosnuméricos
0
1
1
2
Resultados possíveis
Coroa Coroa
Cara Coroa
Coroa Cara
Cara Cara
Probabilidade
0,5 x 0,5 = 0,25
0,5 x 0,5 = 0,25
0,5 x 0,5 = 0,25
0,5 x 0,5 = 0,251o lanç. 2o lanç. Soma = 1
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Distribuição deProbabilidades
k P(X=k)
0 0,25
1 0,50
2 0,25
Total 1
0,50
0 1 2
0,250,25
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Exercício
Um grande lote de peças possui 60% dos itens
com algum tipo de defeito. Construir a
distribuição de probabilidades para a variável
aleatória número de itens com defeito dentre
2 sorteados aleatoriamente.
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Exercício
Resultadosnuméricos
0
1
1
21o item 2o item
Resultados possíveis
Bom Bom
Bom Def.
Def. Bom
Def. Def.
Probabilidade
0,4 x 0,4 = 0,16
0,4 x 0,6 = 0,24
0,6 x 0,4 = 0,24
0,6 x 0,6 = 0,36
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Exercício
k P(X=k)
0 0,16
1 0,48
2 0,36
Total 1
0,48
0 1 2
0,36
0,16
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Exercício
Um grande lote de peças possui 60% dos itens
com algum tipo de defeito. Construir a
distribuição de probabilidades para a variável
aleatória número de itens com defeito dentre
3 sorteados aleatoriamente.
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Exercício
Res. num.
01112223
Res. poss.
B B BB B DB D BD B BB D DD B DD D BD D D
Probabilidade
0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,0640,4 x 0,4 x 0,6 = 0,0960,4 x 0,6 x 0,4 = 0,0960,6 x 0,4 x 0,4 = 0,0960,4 x 0,6 x 0,6 = 0,1440,6 x 0,4 x 0,6 = 0,1440,6 x 0,6 x 0,4 = 0,1440,6 x 0,6 x 0,6 = 0,216
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0,064
0 1 2 3
0,216
0,432
0,288
Exercício
k P(X=k)
0 0,064
1 0,288
2 0,432
3 0,216
Total 1
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O valor esperado, ou esperança, ou média, de
uma distribuição de probabilidades corresponde
à média dos resultados da variável aleatória
quando o número de observações for muito
grande.
Valor Esperado
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E(X) = x = (xi.pi)
Valor Esperado
X P(X)
x1 p1
x2 p2
... ...
xn pn
Total 1
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E(X) = x = (xi.pi)
Variância
X P(X)
x1 p1
x2 p2
... ...
xn pn
Total 1
VAR(X) = x = pi.(xi-x)2
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Exercício - 1
Um grande lote de peças possui 60% dos itens
com algum tipo de defeito. Construir a
distribuição de probabilidades para a variável
aleatória número esperado de itens com defeito
dentre 3 sorteados aleatoriamente e o desvio
padrão.
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Exercício
k P(X=k)
0 0,064
1 0,288
2 0,432
3 0,216
Total 1
x = itens
x = item
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U
Regra da Multiplicação
A probabilidade de que dois eventos não
independentes ocorram é igual à multiplicação
das probabilidades individuais.
P(A e B) = P(A B) = P(A) x P(B / A)
Probabilidade
Probabilida-de condi-
cional
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Probabilidade Condicional
P(B / A) - probabilidade do evento B ocorrer
dado que o evento A tenha ocorrido.
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Exemplo
Um lote com 20 peças contém 4 defeituosas. Se
forem retiradas duas peças do lote, qual é a
probabilidade de serem retiradas: a) duas peças boas?
b) duas peças defeituosas?
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Exemplo
P(B) =16
20P(D) =
4
20
B - Peça Boa
D - Peça Defeituosa
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Exemplo
Se a primeira peça for:Boa Defeituosa
P(B/B) = 15 / 19P(D/B) = 4 / 19
P(B/D) = 16 / 19P(D/D) = 3 / 19
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Exemplo
a) P(BB) =16
20
15
19
a) P(DD) =4
20
3
19
= 0,6316 ou 63,16%
= 0,0316 ou 3,16%
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UProbabilidade
Regra da Adição
A probabilidade de que pelo menos um entre
dois eventos não excludentes ocorra é igual a:
P(A ou B) = P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B)
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Exemplo
A Petrobrás perfura um poço quando acha que
há probabilidade de ao menos 40 % de
encontrar petróleo. Ela perfura 2 poços, aos
quais atribui as probabilidades de 40 % e 50 %.
Qual é a probabilidade de que pelo menos um
poço produza petróleo?
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Exemplo
P(A) = 0,4
P(B) = 0,5
P(A e B) = 0,4 . 0,5 = 0,2
P(A ou B) = 0,4 + 0,5 - 0,2 = 0,7
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Exemplo
poço A poço B
Resultados possíveis
Produz Não
Produz Produz
Não Produz
Não Não
Probabilidade
0,4 x 0,5 = 0,2
0,4 x 0,5 = 0,2
0,6 x 0,5 = 0,3
0,6 x 0,5 = 0,3
0,7
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MODELOS PROBABILÍSTICOS
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Modelos Probabilísticos
Em problemas práticos, normalmente não é
necessário deduzir as probabilidades de
ocorrência, pois existem alguns modelos
probabilísticos que se aplicam a várias
situações práticas, fornecendo a regra de
determinação das probabilidades.
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Modelos Probabilísticos
O problema não é “como se
deduzem os valores?”, mas
sim “como se usam as
distribuições para resolver
problemas?”
William J. Stevenson
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Exercício Anterior
Lança-se uma moeda e anota-se a face obtida.
Construir a distribuição de probabilidades para a
variável aleatória número de caras.
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Distribuição deProbabilidades
k P(X=k)
0 0,5
1 0,5
Total 1 0 1
0,50 0,50
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Distribuição de Bernoulli
A distribuição de Bernoulli apresenta apenas
dois resultados possíveis (sim ou não), com
probabilidade de sucesso igual a “p”.
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Distribuição deBernoulli
k P(X=k)
0 (1-p)
1 p
Total 1
E(X) = x = p
VAR(X) = p.(1-p)
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Distribuição Binomial
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Distribuição Binomial
O modelo binomial pressupõe:
São efetuados n experimentos iguais e independentes.
Cada um dos experimentos tem apenas 2 resultados possíveis e excludentes (sim e não).
Consequentemente, a probabilidade de sim (p) para cada experimento é constante.
A variável aleatória de interesse é o número de sim obtidos nos n experimentos.
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DistribuiçãoBinomial
Para identificar uma distribuição binomial,
bastam os parâmetros n e p.
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Exercício Anterior
Um grande lote de peças possui 60% dos itens
com algum tipo de defeito. Construir a
distribuição de probabilidades para a variável
aleatória número de itens com defeito dentre
3 sorteados aleatoriamente.
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Exercício Anterior
Res. num.
01112223
Res. poss.
B B BB B DB D BD B BB D DD B DD D BD D D
Probabilidade
0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,0640,4 x 0,4 x 0,6 = 0,0960,4 x 0,6 x 0,4 = 0,0960,6 x 0,4 x 0,4 = 0,0960,4 x 0,6 x 0,6 = 0,1440,6 x 0,4 x 0,6 = 0,1440,6 x 0,6 x 0,4 = 0,1440,6 x 0,6 x 0,6 = 0,216
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0,064
0 1 2 3
0,216
0,432
0,288
Exercício Anterior
k P(X=k)
0 0,064
1 0,288
2 0,432
3 0,216
Total 1
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Distribuição Binomial
O exemplo apresentado pode ser representado
por uma distribuição binomial.
n = 3
p = 0,6 (item com defeito = sim)
(Deseja-se o número de itens com defeito)
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Equação da Binomial
P(X=k) = pk.(1- p)(n-k)( )nk
=( )nk
n!
k! (n-k)!
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DistribuiçãoBinomial
E(X) = x = np
VAR(X) = n.p.(1-p)
k P(X=k)
0 P(X=0)
1 P(X=1)
... ...
n P(X=n)
Total 1
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Exemplo
n = 3
p = 0,6P(X=k) = 0,6k.(1- 0,6)(3-k)( )3
k
( )30
P(X=0) = 0,60.(1- 0,6)(3-0) = 1.0,60.0,43 = 0,064
=( )30
3!
0! (3-0)!= 1
1
60/137
Exemplo
n = 3
p = 0,6P(X=k) = 0,6k.(1- 0,6)(3-k)( )3
k
( )31
P(X=1) = 0,61.(1- 0,6)(3-1) = 3.0,61.0,42 = 0,288
=( )31
3!
1! (3-1)!= 3
61/137
Exemplo
n = 3
p = 0,6P(X=k) = 0,6k.(1- 0,6)(3-k)( )3
k
( )32
P(X=2) = 0,62.(1- 0,6)(3-2) = 3.0,62.0,41 = 0,432
=( )32
3!
2! (3-2)!= 3
62/137
Exemplo
n = 3
p = 0,6P(X=k) = 0,6k.(1- 0,6)(3-k)( )3
k
( )33
P(X=3) = 0,63.(1- 0,6)(3-3) = 1.0,63.0,40 = 0,216
=( )33
3!
3! (3-3)!= 1
1
63/137
0,064
0 1 2 3
0,216
0,432
0,288
Exercício
k P(X=k)
0 0,064
1 0,288
2 0,432
3 0,216
Total 1
64/137
Distribuição Acumulada
k P(X=k) Prob. Acumulada
0 0,064 0,0641 0,288 0,3522 0,432 0,7843 0,216 1,000
Total 1 -
65/137
Exercício 2
Considerando a mesma situação do exemplo
anterior, construir a distribuição de
probabilidades para o caso de 5 itens.
n = 5p = 0,6
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Exercício
k P(X=k) Probab. Acumul.0 0,01024 0,010241 0,07680 0,087042 0,23040 0,317443 0,34560 0,663044 0,25920 0,922245 0,07776 1,00000
Total 1 -
67/137
Tabela Binomial
As probabilidades para algumas binomiais
podem ser encontradas em tabelas nos livros de
estatística.
Também podem ser utilizados softwares.
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Exercício 3
Em um grande lote, sabe-se que 10 % da peças
são defeituosas. Qual é a probabilidade de, ao
se retirarem 6 peças ao acaso: a) Apenas uma ser defeituosa?
b) No máximo uma ser defeituosa?
c) Pelo menos duas serem defeituosas?
0,3543
0,8857
0,1143
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Exercício 4
Os produtos de uma empresa sofrem inspeção de qualidade, através de uma amostra com 12 peças, antes de serem enviados aos consumidores, podendo ser classificados em A (de ótima qualidade), B (bons) e C (de 2ª categoria). Se 70 % de um grande lote forem do tipo A, 20 % forem do tipo B e o restante for do tipo C, qual é a probabilidade de que a amostra apresente no máximo 5 peças tipo B ou C?
0,8822
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Exercício 5
Sabe-se que 1% dos produtos fabricados por uma empresa apresentam problemas de qualidade. Dois clientes encomendam um grande lote cada um, mas as remessas têm que passar pela inspeção de qualidade no recebimento. O cliente A seleciona ao acaso 10 produtos e o lote é aceito se não existir nenhuma peça com problema de qualidade. O cliente B toma uma amostra com 20 produtos e aceita o lote se no máximo 1 peça apresentar problemas de qualidade. Qual é a probabilidade dos dois lotes serem aceitos pelos clientes?
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Exercício
Cliente A Cliente B
n = n =
P(X P(X =
P = 0,8891 ou 88,91%
p =
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Distribuição Multinomial
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Distribuição Multinomial
O modelo multinomial é uma generalização do binomial:
São efetuados n experimentos iguais e independentes.
Cada um dos experimentos tem mais de 2 resultados possíveis e excludentes (k resultados).
A probabilidade de sim para o resultado “k” (pk) (i=1, 2, ...) em todos os experimentos é constante.
A variável aleatória de interesse é o número de sim em cada categoria.
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Distribuição Multinomial
P(X=x1, x2, ..., xk) = p1x1 p2
x2 ...pkxk
n!
x1! x2!... xk!
n = x1 + x2 + ... + xk
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Distribuição Poisson
P(X=k) =e-λ λk
k!
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VARIÁVEIS CONTÍNUAS
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Exemplo
Um jogo de azar é realizado da seguinte forma:
toma-se um círculo e divide-se-o em duas partes
iguais, 1 e 2. Sobre o centro do círculo, é fixado
um ponteiro, o qual é girado e anota-se o
número do setor onde a ponta do ponteiro parou.
78/137
Exemplo
Construir a
distribuição de
probabilidades
para o número
obtido neste
experimento.
12
79/137
Distribuição deProbabilidades
1 2
0,50 0,50
k P(X=k)
1 0,5
2 0,5
Total 1
80/137
Exemplo
Considerar a mesma situação, só que o círculo
é dividido em quatro partes iguais. Construir a
distribuição de probabilidades para o número
obtido neste experimento.
81/137
Exemplo
Construir a
distribuição de
probabilidades
para o número
obtido neste
experimento.
12
3 4
82/137
k P(X=k)
1 0,25
2 0,25
3 0,25
4 0,25
Total 1
Distribuição deProbabilidades
1 2 3 4
83/137
Exemplo
Construir a
distribuição de
probabilidades
para o número
obtido neste
experimento.
12
3
4
5 6
7
8
84/137
Histograma
1 2 3 4 5 6 7 8
0,12
5
0,12
5
0,12
5
0,12
5
0,12
5
0,12
5
0,12
5
0,12
5Número obtido
85/137
Exemplo
Construir a
distribuição de
probabilidades
para o número
obtido neste
experimento.
123
4
5
6
78
9 10 1112
13
1415
16
86/137
Histograma
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Número obtido
87/137
Dúvida...
Qual é o número máximo de setores que se
consegue em um círculo?
Resp: Infinitos
88/137
Variável Contínua
Como existem infinitos resultados possíveis, o
número obtido no experimento, temos uma
situação próxima à da variável contínua.
Como ficaria o histograma?
89/137
1 8
Histograma?
Área = 1
90/137
Dúvida...
Qual é a probabilidade dessa variável aleatória contínua assumir um determinado valor (10, por exemplo)?
Resposta: A probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir exatamente um determinado valor é zero.
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Probabilidades...
As probabilidades não podem mais ser calculadas através de equações do tipo P(X=k) = FÓRMULA.
Para identificar uma distribuição contínua, existe a função densidade de probabilidade, que é uma equação do tipo y=f(x).
92/137
Função da Densidade de Probabilidade
A função densidade de probabilidade está
relacionada com a probabilidade da variável
aleatória contínua assumir algum resultado
possível.
93/137
Função Densidade de Probabilidade
f(x)
variável aleatória
94/137
Variável Contínua
O estudo de uma variável aleatória contínua é análogo ao das variáveis discretas.
A distribuição de probabilidades indica, para uma variável aleatória, quais são os resultados que podem ocorrer e qual é a probabilidade de cada resultado acontecer.
95/137
Variável ContínuaCaracterísticas
A área sob a função densidade é 1.
f(x)
variável aleatória
área = 1 (ou 100%)
96/137
Variável ContínuaCaracterísticas
A probabilidade da variável aleatória assumir um
valor determinado é zero, pois existem infinitos
resultados possíveis.
As probabilidades sempre se referem a
intervalos de valores.
97/137
Características
f(x)
Xk
P(X=k) = 0
98/137
A probabilidade da variável aleatória assumir um
valor em um intervalo é igual à área sob a
função densidade naquele intervalo.
Variável ContínuaCaracterísticas
99/137
Características
f(x)
Xa
P(a < X < b) = área amarelab
P(a<X<b)
100/137
Exercício
Sobre o centro de um círculo, é fixado um
ponteiro, o qual é girado e anota-se o ângulo
formado pelo ponteiro com o eixo horizontal,
como na figura a seguir.
101/137
Exercício
Definir a função
densidade de
probabilidades
para o ângulo ()
obtido neste
experimento.
102/137
Exercício
f(x)
0o 360oX
Área = 1
1360
103/137
Exercício
Qual é a probabilidade de se obter um ângulo
entre 30o e 60o?
104/137
Exercício
f(x)
0o 360oX
30o 60o
área = 60 - 30
360 - 0=
112
= 0,0833
P(30o < X < 60o)
105/137
DistribuiçãoUniforme
f(x)
X
f(x) = 1
1
106/137
DistribuiçãoUniforme
P(a < X < b) = b - a
f(x)
X a b
107/137
Distribuição Normal
108/137
Função Densidade
f x ex
( )( )
1
2
1
22
- média - desvio padrão
109/137
DistribuiçãoNormal
f(x)
X
f x ex
( )( )
1
2
1
22
110/137
Características
Variável
identificada
pela média e
pelo desvio
padrão.X
111/137
Média e Desvio Padrão
= 1
= 2
= 3
= 4
X
112/137
Média e Desvio Padrão
X
= 3
1 32
113/137
Características
Simetria
em
relação à
média.
X
50%
114/137
Características
A área sob a curva entre a média e um ponto qualquer é função da distância padronizada entre a média e aquele ponto.
Distância padronizada - distância expressa em função do número de desvios padrões (distância dividida pelo desvio padrão).
115/137
+-
área = 68,3%
Exemplo
116/137
+2-2
Exemplo
área = 95,4%
117/137
Exemplo
+3-3
área = 99,7%
118/137
Características
X a
P ( X < a )
As áreas referem-se a probabilidades.
119/137
NormalPadronizada
O cálculo de áreas sob a curva normal é
consideravelmente complexo.
Por isso, é conveniente trabalhar com valores
padronizados.
120/137
NormalPadronizada
Para padronizar uma variável normal, toma-se a
média como ponto de referência e o desvio
padrão como medida de afastamento.
121/137
NormalPadronizada
Z = X -
Z - variável normal padronizadaX - variável normal - média - desvio padrão
122/137
= 0
NormalPadronizada
= 1
Z
123/137
NormalPadronizada
X- +-2 +2
0Z
-1 1-2 2
124/137
Exemplo
O peso de uma peça é normalmente distribuído com média de 500 gramas e desvio padrão de 5 gramas.
Encontrar os valores padronizados relativos aos pesos: 485g, 490g, 495g, 500g, 505g, 510g e 515g.
125/137
Exemplo
X = 510 g
Z = X -
510 - 500
5= = 2=
10
5
126/137
Exemplo
Z
495
-1
505
1
485 515
-3 3
510490
2-2 0
= 5
X500
127/137
Exemplo
Z
510
20
= 5
X500
P(X<510) = P(Z<2)
128/137
Exercício
Com base na tabela da normal padronizada,
calcular:
a) P(Z < -1)
Z0-1
0,158655
129/137
Exercício
b) P(Z > 1)
Z0 +1
0,158655
130/137
Exercício
c) P(Z < 1)
Z0 1
0,841345
131/137
Exercício
c) P(-1 < Z < 1)
1- 0, 158655 - 0,158655 = 0,68269
Z0 1-1
132/137
Exercício
c) P(-2 < Z < 2)
1 - 0, 022750 - 0,022750 = 0,9545
Z0 2-2
133/137
Exercício
c) P(-3 < Z < 3)
1- 0,001350 - 0,001350 = 0,9973
Z0 3-3
134/137
Exercício 6
Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões
seja normal, com média de 50.000 Km e desvio
padrão de 1.000 Km, qual é a probabilidade de
um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida
útil de:
a) menos de 49.000 Km? 0,158655
135/137
Exercício 6
Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de 50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de:
b) mais de 51.000 Km? 0,158655
136/137
Exercício 6
Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de 50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de:
c) entre 49.000 Km e 51.000 Km? 0,68269
137/137
Exercício 6
Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de 50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de:
d) entre 48.000 Km e 52.000 Km? 0,9545
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Exercício 6
Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de 50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de:
e) entre 47.000 Km e 53.000 Km? 0,9973