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J. A. M. Felippe de Souza 7 Sries de Fourier
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Exemplo 7.5 43
Exemplo 7.6 44
Exemplo 7.7 46
7.9 Propriedades da Srie de Fourier para sinais discretos 47
Linearidade 47
Translao no tempo ( time shifting ) 48
Sinal reflectido / reverso no tempo ( time reversal ) 49
Escalonamento no tempo ( time scaling ) 49
Multiplicao 50
Conjugao 51
Translao na frequncia ( frequency shifting ) 52
Convoluo no perodo 53
Primeira diferena 53
Soma acumulada 54
Relao de Parseval 55
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Sries de Fourier
7.1 Introduo Anlise de Fourier
Neste captulo e no prximo estudaremos a Anlise de Fourier (tambm chamada de Anlise Harmnica ), que diz respeito representao de sinais como uma soma (oumelhor dizendo, uma combinao linear ) de sinais bsicos como senos e co-senos, ouexponenciais complexas.
A srie de Fourier, assim como a transformada de Fourier, so as importantes contri-buies do matemtico francs Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830).
Fig. 7.1 Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), francs.
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A Anlise de Fourier permite decompor um sinal nas suas componentes em frequn-cia (harmnicos) e tem muitas aplicaes no Processamento de sinal, no Processa-mento de imagem, na Fsica em vrias aplicaes, na Probabilidade e Estatstica as-sim como em muitas outras reas.
Antes de Fourier trs fsicos j tinham feito estudos preliminares em sries infinitaspara resolverem problemas diversos da Fsica: suo Leonhard Euler (1707-1783), ofrancs Jean Le Rond d'Alembert (1717-1783) e o holands Daniel Bernoulli (1700-1782).
Entretanto, Fourier foi o primeiro a fazer um estudo sistemtico das sries infinitaspara resolver a equao da propagao do calor na Fsica, na publicao Mmoiresur la thorie de la chaleur , embora ele no tenha expresso os seus resultados comgrande formalismo.
Somente uns anos mais tarde que dois matemticos: o alemo Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) e o alemo Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), expressaram os resultados de Fourier com mais rigor e preciso.
Fig. 7.2 Srie de Fourier (sinal peridico da onda quadrada).
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7.2 Srie trigonomtrica de Fourier para sinais contnuos
Considere um sinal peridico contnuo x(t) R {conjunto dos nmeros reais }, t.O sinal x(t) pode ser expresso como:
( ) ( )[ ]
=
=
++=
=
+
+=
1k ok ok
0
1k k k
0
tk senbtk cosa2
a
tk T2
senbtk T2
cosa2
a)t(x
eq. (7.1)
onde:T = perodo fundamental do sinal x(t),
o = frequncia fundamental do sinal x(t),
( )
=
=
=
To
Tk
dttk cos)t(xT2
dttk T2
cos)t(xT2
a
k = 0, 1, 2, eq. (7.2)
( )
=
=
=
To
Tk
dttk sen)t(xT2
dttk T2
sen)t(xT2
b
k = 1, 2, eq. (7.3)
sendo que as integrais acima so tomadas ao longo do intervalo do perodo T do sinalperidico x(t).
Observe que existe a o na srie a k [eq. (7.2)], mas no existe b o na srie b k [eq. (7.3)].
Alm disso, a o (na eq. (7.2) fazendo k = 0), pode ser reescrito de forma mais simplifi-cada pois, como
( ) 0,k para,1tk costk T2
cos o ===
ento,
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=T
o dt)t(xT2
a
ou seja, a o de certa forma representa um valor mdio do sinal x(t) no intervalo de um
perodo T.
Esta srie conhecida como srie trigonomtrica de Fourier pois contm termoscom senos e co-senos .
A equao eq. (7.1) acima conhecida como a
equao de sntese
e as equaes eq. (7.2) e eq. (7.3) so conhecidas como as
equaes de anlise
da srie trigonomtrica de Fourier. Os a k s e os b k s so chamados de coeficientes dasrie trigonomtrica de Fourier.
7.3 Teorema de Fourier
Definio 7.1 : x(t) um sinal seccionalmente contnuo (ou, tambm chamado decontnuo por partes ) se x(t) tem um nmero limitado de descontinuidades em qual-quer intervalo limitado.
Fig. 7.3 Um sinal seccionalmente contnuo.
Definio 7.2 : x(t) um sinal seccionalmente diferencivel se ambos x(t) e sua deri-vada x(t) forem sinais seccionalmente contnuos .
Com estas definies podemos agora ver o Teorema de Fourier que estabelece ostipos de sinais que podem ser aproximados pela srie de Fourier.
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Teorema 7.1 (Teorema de Fourier):
Se x(t) um sinal peridico seccionalmente diferencivel e de perodo T, ento asrie de Fourier [eq. (7.1)] converge em cada ponto t para:
a) x(t) , se o sinal x(t) for contnuo no instante t ;
b) [ x(t+0 +) + x(t+0 -) ] , o sinal x(t) for descontnuo no instante t.
Um ponto positivo deste resultado que a limitao do Teorema de Fourier acima muito leve pois a grande maioria dos, ou quase todos, sinais de interesse prtico soseccionalmente diferenciveis .
Portanto, o Teorema de Fourier acima assegura que, para os sinais x(t) que forem
aproximados pela srie de Fourier, quanto mais termos da srie (ou parcelas da soma)forem adicionados, melhor ser a aproximao.
Ou seja, se chamarmos de xn(t) srie de Fourier com n termos, ento:
)t(x)t(x n
nos casos em que x(t) for um sinal contnuo no instante t; e
[ ]2
)0t(x)0t(x)t(x n
+ +++
nos casos em que x(t) no for um sinal contnuo no instante t.
Exemplo 7.1:
Considere o sinal x(t) dado abaixo (onda quadrada),definido num intervalo (de t = 1 at t = 1) ilus-trado na figura 7.4.
Fig. 7.4 Sinal da onda quadrada emum perodo (de t = 1 at 1).
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Repetindo-se (ou estendendo-se) este padro para a direita de t = 1 e para esquerda det = 1, obtemos um sinal peridico para t ( < t < ).
Fig. 7.5 Sinal do Exemplo 7.1. Onda quadrada estendida para t ( < t < ).
Agora x(t), sendo um sinal peridico t ( < t < ) j pode ser aproximado por umasrie de Fourier.
De forma semelhante podemos estender qualquer outro sinal definido em um deter-minado intervalo finito e torn-lo peridico de forma a podermos aproxim-lo poruma srie de Fourier.
Calculando-se agora os coeficientes de Fourier para o sinal da onda quadrada defi-nido acima temos, para a o primeiramente,
0dt)1(dt)1(dt)t(xT2
a1
0
0
1T
o =+==
Como o perodo fundamental T = 2, ento
=
=T2
o
e portanto,
( )
( ) ( )
( )[ ] ( )[ ]( )
...2,1,k ,0
tk sentk senk
1
dttk cos1dttk cos)1(
dttk cos)t(xT2
a
10
01
1
0
0
1
1
1k
==
=+
=
=+=
==
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Logo os a k s so todos iguais a zero k = 0, 1, 2,
Quanto aos b k s, temos que:
( )
( ) ( )
( )[ ] ( )[ ]( )=+
=
=+=
==
10
01
1
0
0
1
1
1k
tk costk cosk
1
dttk sen1dttk sen)1(
dttk sen)t(xT2
b
e portanto,
=mpark se,
k 4
park se,0
b k
Ou seja,
=
4b1 ,
0b2 = ,
=
34
b3 ,
0b4 = ,
=
5
4b5 ,
0b6 = ,
=
74
b7 ,
0b8 = ,
=
9
4b9 ,
0b10 = ,
=
114
b11 ,
etc.
Logo, esta uma srie de Fourier s de senos e os primeiros termos da srie so:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ...t11sen11
4t9sen
94
t7sen74
t5sen54
t3sen34
tsen4
)t(x
+
+
+
+
+
+
+
=
As figuras 7.6 at 7.10 abaixo mostram esboos do sinal x(t) aproximado pela srie
de Fourier.
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Primeiramente na figura 7.6, com apenas um termo (isto , apenas k = 1), quando x(t) simplesmente o seno
x(t) = b 1 sen( t) = (4/ ) sen( t)
Fig. 7.6 Sinal onda quadrada. Aproximao por srie deFourier com apenas um termo (k = 1).
Na figura 7.8 vemos que com 2 termos (os dois primeiros termos no nulos, at k = 3,pois b 2 = 0) temos a soma de 2 senos (e j nota-se 2 picos no sinal aproximado pelasrie):
x(t) = b 1 sen( t) + b 3 sen( t)
Fig. 7.7 Sinal onda quadrada. Aproximao por srie deFourier com apenas dois termos (k = 1 e 3).
Depois, na figura 7.8, com 3 termos (os trs primeiros termos no nulos, at k = 5,pois b 2 = 0 e b 4 = 0) temos a soma de 3 senos (e agora j nota-se 3 picos no sinalaproximado pela srie):
x(t) = b 1 sen( t) + b 3 sen( t) + b 5 sen( t)
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Fig. 7.8 Sinal onda quadrada. Aproximao por srie de
Fourier com apenas trs termos (k = 1, 3 e 5).
e assim por diante.
As duas ltimas figuras (figuras 7.9 e 7.10) ilustram esta srie at k = 11 (6 termos
no nulos) e at k = 49 (25 termos no nulos), respectivamente.
Fig. 7.9 Sinal onda quadrada. Aproximao por srie deFourier com seis termos (k = 1, 3, 5, 7, 9 e 11).
Fig. 7.10 Sinal onda quadrada. Aproximao por srie deFourier com 25 termos (k = 1, 3, ..., 49).
Nota-se nitidamente que o sinal x(t) aproximado pela srie de Fourier vai se tornandocada vez mais prximo do original, a onda quadrada.
Nos pontos t onde x(t) um sinal contnuo esta srie de Fourier converge para o pr-prio valor de x(t).
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Por exemplo, para t = 0,5, sabemos que x(0,5) = 1. Pela srie de Fourier,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...5,4sen94
5,3sen74
5,2sen54
5,1sen34
5,0sen4
)5,0(x +
+
+
+
+
=
1,6977
0,8488
1,1035
0,9216
1,0631
que de facto converge para 1.
Por outro lado, nos pontos t onde x(t) apresenta uma descontinuidade, esta srie deFourier converge para o valor mdio de x(t), entre o imediatamente antes e o imedia-tamente depois de t.
Por exemplo, para t = 0 -, sabemos que x(0 -) = 1, e t = 0 -, e que x(0 +) = 1. Logo, oponto mdio :
02
112
)0(x)0(x=
+=
+ +
Pela srie de Fourier,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
00000
...0sen94
0sen74
0sen54
0sen34
0sen4
)0(x
++++=
=+
+
+
+
+
=
que de facto converge para 0.
Mais adiante, nas Propriedades da Srie de Fourier , veremos que:
Se x(t) um sinal par , ento a srie de Fourier para x(t) uma srie de co-senos .
Se x(t) um sinal mpar , ento a srie de Fourier para x(t) uma srie de senos .
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Isto pode ser visto pelas propriedades dos sinais pares e mpares . Recorde-se que,
- A soma de 2 sinais pares um sinal par .
- A soma de 2 sinais mpares um sinal mpar .
- O produto de 2 sinais pares um sinal par .
- O produto de 2 sinais mpares um sinal par .
Logo, se x(t) um sinal par , ento os coeficientes b k da srie de Fourier para x(t) sotodos iguais a zero:
...,3,2,1k ,0dttk T2
sen)t(xT2
bT
k ==
=
e portanto, a srie de Fourier uma srie de co-senos .
Mas se x(t) um sinal mpar , ento os coeficientes a k da srie de Fourier para x(t) sotodos iguais a zero (incluindo a o):
...,3,2,1,0k ,0dttk T2
cos)t(xT2
aT
k ==
=
e portanto, a srie de Fourier uma srie de senos .
De facto, no Exemplo 7.1 acima, como x(t) era um sinal par , ento os a k s eram todosiguais a zero k = 0, 1, 2, , e a srie de Fourier era uma srie de senos .
7.4 Uma interpretao da Srie de Fourier
A srie de Fourier pode ser interpretada como uma forma de expressar um sinalx(t), em um espao de sinais.
Recorde-se um vector v no espao R n representado como a soma
nn2211 eeev +++= L
onde e 1, e2, e n, so os vectores
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===
1
0
0
e,
0
1
0
e,
0
0
1
e n21 ML
MM
ou seja, { }n21 e,e,e L , os chamados vectores cannicos e formam uma base do R n;e 1, 2, n, so os coeficientes do vector v nesta base { }n21 e,e,e L .
Da mesma forma, um sinal x(t) pode ser representado semelhantemente na forma daeq. (7.1) como a soma infinita de senos e co-senos.
Note que aqui o espao no mais o espao de vectores ( R n, que tem dimenso n ) mas sim um espao de sinais, que ter dimenso infinita. A base do espao no sermais formada pelos vectores e 1, e2, e n , mas agora pelos sinais senos e co-senos
tk
T2
cos e
tk
T2
sen
definidos nas equaes de anlise eq. (7.2) e eq. (7.3). Alm disso, os coeficientes
que representam o sinal x(t) nesta base no sero mais 1, 2, n, mas agora seroosak e b k .
Em outras palavras, estes senos e co-senos formam uma base infinita de sinais.
Claro que a expresso da eq. (7.1) definida apenas para sinais peridicos, Entretanto, j vimos no exemplo 7.1 que um sinal x(t) que seja definido em um intervalo finitoqualquer pode ser estendido para ambos os lados deste intervalo, tornando-se assimperidico e desta forma pode ser descrito tambm na forma da eq. (7.1). As figuras7.4 e 7.5 ilustravam isto.
Outro detalhe: no espao R n os prprios vectores da base e 1, e 2, e n eram repre-sentados (de forma nica) como
ni21i e0e1e0e0
0
1
0
e +++++== LLM
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ou seja, com coeficientes
1 = 0, 2 = 0, , i = 1, n = 0
isto ,
{ } { }0,,1,,0,0,,,,, ni21 LLLL = .
Aqui tambm temos que os sinais senos e co-senos da base so representados (deforma nica) como
=
+
+=
1k
k k 0 tk
T2
senbtk T2
cosa2
at
T2
cos l
onde todos os a k e b k sero todos iguais a zero excepto o valor de a k para k = l , ouseja:
ak = 0, b k = 0, excepto a l = 1
e, alm disso
=
+
+=
1k
k k 0 tk
T2
senbtk T2
cosa2
at
T2
sen l
onde todos os a k e b k sero todos iguais a zero excepto o valor de b k para k = l , ouseja:
ak = 0, b k = 0, excepto b l = 1.
Isto ocorria porque o produto escalar entre 2 vectores e m e e n, que pertenam base,
< e m , e n > = 0 , se m n,
< e m , e n > = 1 , se m = n,
onde o produto escalar entre 2 vectores no espao R n era definido como
nn2211v,v +++=>< L
sendo 1, 2, n os coeficientes de v e n21 ,,, L os coeficientes de v .
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Devido a esta propriedade, dizemos que os vectores e 1, e 2, e n da base so ortogo-nais entre si.
Aqui, neste espao de sinais cuja base formada por senos e co-senos , o produtoescalar entre 2 sinais pode ser definido como:
LLLL +++++=>< k k 11k k oo bbbbaaaa)t(x),t(x
onde a o, a 1, , a k , , b 1, , b k so os coeficientes de x(t) na srie de Fourier e
k 1ok 1o b,,b,b,,a,,a,a LLL os coeficientes de )t(x na srie de Fourier. Destaforma pode-se verificar que
,nmse,0tnT2cos,tm
T2cos => <
,nmse,1tnT2
cos,tmT2
cos ==>
<
e,nmse,0tnT2
sen,tmT2
sen =>
<
.nmse,1tnT2
sen,tmT2
sen ==>
<
ou seja, aqui os sinais da base tambm so ortogonais entre si. Isso se verifica obser-vando-se as equaes de anlise eq. (7.2) e eq. (7.3) e devido ao facto que
nmse,0dttnT2costm
T2cos
T
=
nmse,0dttnT2
sentmT2
senT
=
e
nmse,2T
dttnT2
costmT2
cosT
==
nmse,2Tdttn
T2sentm
T2sen
T
==
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um resultado bastante conhecido em matemtica, da teoria do Clculo. Isto , asintegrais de senos e/ou co-senos de frequncia diferentes multiplicados entre si sonulas. Os senos e co-senos so ortogonais .
Fig. 7.11 Projeces de um vector v R 2 nos seus 2 eixos ( esquerda) e v R 3 nos seus 3 eixos ( direita).
Uma propriedade importante verificada nos vectores no espao R n era que o produtoescalar entre v e um elemento e k da base era o prprio coeficiente k , ou seja,
< v , e k > = k
De certa forma isto significava que os k eram as projeces dos vectores do Rn nos
seus diversos eixos, conforme ilustra a figura 7.11 para o R 2 e R 3.
Aqui no espao de funes tambm verifica-se que
k atk T2
cos,)t(x =>
< e k btk T
2sen,)t(x =>
<
o que tambm pode ser interpretado que os a k e os b k so uma espcie de projecodo sinal x(t) nos diversos sinais senos e co-senos componentes da base.
7.5 Srie exponencial de Fourier para sinais contnuos
Nesta seco estudaremos a srie exponencial de Fourier tambm chamada desrie complexa de Fourier .
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Se o sinal x(t) R , ento a srie exponencial de Fourier a mesma que a srie trigo-nomtrica escrita de uma forma diferente, em termos de exponenciais do tipo
to je
em vez de em termos de senos e co-senos.
Entretanto, considere agora
um sinal peridico contnuo x(t) C = {conjunto dos nmeros complexos }
ou seja, o sinal x(t) tem valores complexos, com parte real e parte imaginria . Asrie exponencial de Fourier permite-nos aproximar x(t), o que no era possvel coma srie trigonomtrica.
Na srie exponencial (ou complexa ) de Fourier um sinal peridico x(t) pode serexpresso como:
=
=
=
==
k k
k k
tk o j
tk T2 j
c
c)t(x
e
e
eq. (7.4)
onde:T = perodo fundamental do sinal x(t).
o = frequncia fundamental do sinal x(t).e
=
==
T
tk j
T
tk
T
2 j
k
dte)t(xT1
dte)t(xT1
c
ok = 0, 1, 2, eq. (7.5)
Portanto, a srie exponencial (ou complexa ) de Fourier generaliza a srie trigonom-trica de Fourier e tem tambm a vantagem de ser mais compacta.
Os c k s so chamados de coeficientes da srie exponencial de Fourier ou coeficientesespectrais.
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Semelhantemente srie trigonomtrica, a equao eq. (7.4) acima conhecida comoa
equao de sntese
enquanto que a equao eq. (7.5) conhecida como a
equao de anlise
da srie exponencial (ou complexa ) de Fourier .
Exemplo 7.2:
Tomemos novamente a onda quadrada x(t) emum perodo (de t = 1 at t = 1) ilustrada nafigura 7.12.
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( )
( ) ( ) =+=
==
1
0
tk j0
1
tk j
1
1
tk jk
dt1
2
1dt)1(
2
1
dt)t(xT1
c
ee
e
...2,1,,0k =
Fazendo-se as integrais, obtemos:
( )[ ]( ) ( )[ ]( )
( ) ( )
=+
=
=+
=
k jk jk jk j
1
0tk j0
1tk j
k
2 jk 2
111
jk 21
jk )1(
21
jk 1
21
c
eeee
ee
Agora, usando-se as equaes de Eler temos que:
[ ]
( )
( ))k cos(1k j
)k cos(12 jk 2
1
)k (sen j)k cos()k (sen j)k cos(2 jk 2
1c k
=
=
=
+
=
e portanto,
=
=
=...,5,3,1k se, j
k 2
...,4,2,0k se,0
c k
Logo,
[ ]
=
=
=
+
=
=
=
==
...,5,3,1k
...,5,3,1k
tk j
k
tk jk
)tk (sen j)tk (cos jk 2
jk 2
c)t(x o
e
e
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e, desmembrando-se a soma ...,5,3,1k = em duas de ...,5,3,1k = , como o seno mpar [sen (k t) = sen (k t), k ] e o co-seno par [cos (k t) = cos(k t) , k ],temos:
=
=
=
=
+
+
+
+
=
...,5,3,1k ...,5,3,1k
...,5,3,1k ...,5,3,1k
)tk (sen jk j2
)tk (cosk j2
)tk (sen jk j2
)tk (cosk j2
)t(x
e portanto os dois termos com co-senos se cancelam um ao outro, enquanto que osdois termos com senos so idnticos, logo podem se juntar ficando:
=
=
=
=
=
...,5,3,1k
...,5,3,1k
)tk (senk
4
)tk (sen jk j22)t(x
que o mesmo resultado obtido no Exemplo 1 com a srie trigonomtrica de Fourier,
ou seja:( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ...t11sen11
4t9sen
94
t7sen74
t5sen54
t3sen34
tsen4
)t(x
+
+
+
+
+
+
+
=
Isso acontece porque as sries trigonomtricas e complexa (ou exponencial ) de Fou-rier so equivalentes, um resultado que vamos ver a seguir na prxima seco.
7.6 Equivalncia das sries trigonomtrica e exponencial de Fourier
Se o sinal x(t) for de valores reais, ento existe uma relao entre a srie trigonom-
trica e a srie complexa (ou exponencial ) de Fourier . Pode-se facilmente mostrarque:
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J. A. M. Felippe de Souza 7 Sries de Fourier
22
2b ja
c k k k
= para k = 0, 1, 2, eq. (7.6)
e
2b ja
ck k
k
+= para k = 1, 2, eq. (7.7)
Embora o coeficiente b o no exista, pois no foi definido, na eq. (7.6) assume-se que0bo = . Portanto, o coeficiente c o pode ser expresso como:
2
ac oo = . eq. (7.8)
Note tambm que enquanto os coeficientes a k s e b k s so definidos nas eq. (7.2) eeq. (7.3) apenas para k = 0, 1, 2, , os coeficientes c k s so definidos nas eq. (7.6) eeq. (7.7) para k = 0, 1, 2,
Observe tambm que a eq. (7. 7) equivalentes a:
2b ja
c k k k += para k = 1, 2, eq. (7.9)
Sabemos, pelas eq. (7.2) e eq. (7.3) da srie trigonomtrica de Fourier, que noexiste a k s ou b k s para k negativos, entretanto a -k e b -k esto bem definidos naeq. (7.9) pois nesta equao k = 1, 2, e portanto os ndices de a -k e b -k sero sem-pre positivos. Por exemplo:
a-k para k = 2 ser o a 2,
ou
b-k para k = 5 ser o b 5.
Os termos c k para k positivos so os conjugados de c k para k negativos, e vice-versa,isto :
ck = (c k )* , k = 0, 1, 2, 3,
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J. A. M. Felippe de Souza 7 Sries de Fourier
23
As equaes acima permitem que se transforme uma srie trigonomtrica em umasrie exponencial .
O inverso, ou seja, as equaes que permitem transformar uma srie exponencial em
uma srie trigonomtrica so as seguintes:
oo c2a = eq. (7.10)
)cc(a k k k += para k = 1, 2, eq. (7.11)e
)cc( jb k k k = para k = 1, 2, eq. (7.12)
Com as relaes acima fcil de se mostrar que, quando x(t) um sinal real, ento:
( ) ( )[ ]
=
=
=
=
++=
=
+
+=
==
1k ok ok
0
1k k k
0
k
tk jk
k
tk T
2 j
k
tk senbtk cosa2a
tk T2
senbtk T2
cosa2a
cc)t(x oee
ou seja, as duas sries de Fourier, trigonomtrica e exponencial , so equivalentes.
7.7 Propriedades das sries de Fourier para sinais contnuos
Linearidade :
Suponha que
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x1(t) um sinal com perodo T e tem coeficientes de Fourier k c
x2(t) um sinal com perodo T e tem coeficientes de Fourier k c
e que
)t(x)t(x)t(y 21 +=
ento, mostra-se que:
y(t) tem perodo T ,
ou seja,
y(t) tem frequncia fundamental T2
o= ,
e coeficientes de Fourier
k k k ccc +=
Translao no tempo ( time shifting ): Suponha que
x(t) um sinal com perodo T e tem coeficientes de Fourier c k e que
)tt(x)t(y o= ou seja,
y(t) o sinal x(t) com uma translao ( shift ) no tempo de t o.
Ento, mostra-se que:
y(t) tem perodo T ,ou seja,
y(t) tem frequncia fundamentalT2
o= ,
e coeficientes de Fourier
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k
k k
c
cc~
otT2
k j
tok j o
=
==
e
e
Nota:
Como = ,1 je , tem-se que:
k k cc~ =
Sinal reflectido / reverso no tempo ( time reversal ) em torno de t = 0 :
Suponha que
x(t) um sinal com perodo T e tem coeficientes de Fourier c k
e que
)t(x)t(y = ento, mostra-se que:
y(t) tem perodo T ,ou seja
y(t) tem frequncia fundamentalT
2o
= ,
e coeficientes de Fourier
k k cc =
Nota:
Como consequncia desta propriedade pode-se concluir que:
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26
Se x(t) um sinal par os coeficientes de Fourier c k so, eles prprios, pares ; i.e.,
k k cc =
Se x(t) um sinal mpar os coeficientes de Fourier c k so, eles prprios, mpares ;i.e.,
k k cc =
Escalonamento no tempo ( time scaling ):
Suponha que
x(t) um sinal com perodo T e tem coeficientes de Fourier c k
(portanto x(t) tem frequncia fundamentalT2
o
= )
e que)t(x)t(y =
ento, mostra-se que:
y(t) tem perodoT
,
ou seja
y(t) tem frequncia fundamentalT
2T o
==)
e, alm disso,
tT
2k j
tok j
k k
k k
c
c)t(y
=
=
=
==
e
e
Note que a srie de Fourier muda por causa da mudana da frequncia fundamental (e do perodo ). Entretanto os coeficientes c k no mudam.
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Multiplicao:
Suponha que
x1(t) um sinal com perodo T e tem coeficientes de Fourier k c
x2(t) um sinal com perodo T e tem coeficientes de Fourier k c
e que)t(x)t(x)t(y 21 =
ento, mostra-se que:
y(t) tem perodo T , ou seja tem frequncia fundamental T
2o
=
,
e coeficientes de Fourier
[ ] [ ]k ck c
ccc ik i
ik
=
==
=
Ou seja, c k a convoluo entre os sinais discretos [ ]k cck = e [ ]k cck = .
L+++++=
==
++
=
2k 22k 21k 11k 1k o
ik ij
ik
cccccccccc
ccc
Conjugao:
Suponha que
x(t) um sinal com perodo T e tem coeficientes de Fourier ck
e que
)t(x)t(y =
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ento, mostra-se que:
y(t) tem perodo T , ou seja tem frequncia fundamentalT2
o
= ,
e coeficientes de Fourier
= k k cc
Nota:Como consequncia desta propriedade pode-se concluir que:
Se x(t) R , ento
os coeficientes de Fourier
= k k cc ;
co R ;e
k k cc = .
Alm disso, as relaes acima permitem mais uma vez concluir que:
Se x(t) R um sinal par
os coeficientes de Fourier = k k cc ; e
k k cc = (os coeficientes de Fourier so eles prprios pares ).
Se )t(x R um sinal mpar
os coeficientes de Fourier k c so imaginrios puros, 0c o = e
k k cc = (os coeficientes de Fourier so eles prprios mpares ).
Translao na frequncia ( frequency shifting ):
Suponha que
x(t) um sinal com perodo T e tem coeficientes de Fourier ck
e, para um m inteiro, constante, considere agora os coeficientes
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mk k cc =
ou seja,
k c so os coeficientes c k desfasados de m.
Ento, mostra-se que o sinal:
)t(x)t(y to jm = e
tem os coeficientes de Fourier kc
Nota :
Esta propriedade dual da translao no tempo ( time shifting ). Agora a translao(shift ) foi aplicada aos c k e no no tempo t.
Outro detalhe, como = ,1 je , ento:
k k cc = k = 0, 1, 2,
Convoluo no perodo:
Suponha que
x1(t) um sinal com perodo T e tem coeficientes de Fourier k c
x2(t) um sinal com perodo T e tem coeficientes de Fourier k c
e que y(t) a convoluo (tomada no perodo T):
==
T21
21
d)(x)t(x
)t(x)t(x)t(y
Ento, mostra-se que:
y(t) tem perodo T , ou seja tem frequncia fundamentalT2
o
= ,
e coeficientes de Fourier
k k k ccTc~~ =
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Derivada:
Suponha que
x(t) um sinal com perodo T e tem coeficientes de Fourier c k
e que
dtdx
)t(y =
ento, mostra-se que:
y(t) tem perodo T , ou seja tem frequncia fundamentalT2
o
= ,
e coeficientes de Fourier
k k ok cT2
k jck jc
==
Nota :
Para o caso de derivadas de ordem 2 ou mais, pode-se aplicar esta regra sucessivasvezes. Por exemplo, no caso da segunda derivada , se
2
2
dtxd
)t(y =
os coeficientes de Fourier de y(t) so
k
22
k 22
k 222
k ok cT2
k ck ck jck jcoo
==== .
Integral:
Suponha que
x(t) um sinal com perodo T e tem coeficientes de Fourier c k
e que
=t
dt)t(x)t(y
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ento, mostra-se que:
y(t) tem perodo T , ou seja tem frequncia fundamentalT2
o
= ,
e coeficientes de Fourier
k k o
k c
T2
k j
1c
k j1
c
=
=(
Nota :
No caso de c o = 0, esta propriedade s vlida para sinais x(t) peridicos e com valo-
res finitos.
Para o caso de integrais duplas, triplas, etc., pode-se aplicar esta regra sucessivasvezes.
Relao de Parseval:
Suponha que
x(t) um sinal com perodo T e tem coeficientes de Fourier c k
ento, mostra-se que a potncia mdia do sinal no intervalo de um perodo T:
=
=
==
k
2
k
T
2
c
dt)t(xT1
P
7.8 Srie exponencial de Fourier para sinais discretos
J vimos, no captulo 4 (sobre Sistemas), que um sinal discreto peridico se
[ ] [ ]Nnxnx +=
onde N o perodo. Alm disso, vimos que
N = perodo fundamental
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32
se N for o menor inteiro para o qual a relao acima satisfaz. E neste caso:
N2
o
= = frequncia fundamental.
O conjunto de todos os sinais discretos no tempo do tipo exponenciais complexos queso peridicos (com perodo N) dado por
[ ]n
N2 jk
no jk nk
== ee , k = 0, 1, 2, eq. (7.13)
e todos estes sinais tm frequncia fundamental que so mltiplas de
N2
e portanto so harmonicamente relacionados.
Existem apenas N sinais distintos no conjunto de funes k [n] definido pelaeq. (7.13) acima.
Isto uma consequncia do facto de que sinais discretos no tempo do tipo exponen-
ciais complexas que diferem na frequncia por um mltiplo de 2 so idnticos.Ou seja, aps N consecutivos, estes termos comeam a repetir-se.
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
MM
MM
nn
nn
nn
nn
Nk k
2N2
1N1
No
+
+
+
=
=
=
=
Esta situao diferente do caso contnuo pois os coeficientes que aparecem na equa-o de sntese da srie de Fourier para sinais contnuos:
tT2k jtok j)t(k
== ee k = 0, 1, 2, ,
so todos diferentes uns dos outros.
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J. A. M. Felippe de Souza 7 Sries de Fourier
33
Portanto, a srie de Fourier para sinais discretos ter apenas N termos, para N conse-cutivos valores de k,
de l=k at 1Nk += l .
e, semelhantemente, apenas N coeficientes c k .
Logo, a srie de Fourier para sinais discretos tem a expresso:
+
+=
+
+=
=
==
)1N(
),1(,k k
)1N(
),1(,k k
nok j
nN2k j
c
c[n]x
l
Kll
l
Kll
e
e
eq. (7.14)
onde, conforme j dito,
N = perodo fundamental do sinal x[n].
o = frequncia fundamental do sinal x[n].
A equao eq. (7.14) acima conhecida como a
equao de sntese
da srie de Fourier discreta.
J os coeficientes c k s no caso discreto so definidos por
[ ]
[ ]
+
+=
+
+=
=
==
)1N(
),1(,n
)1N(
),1(,nk
nN2k j
nok j
nxN1
nxN1c
l
Kll
l
Kll
e
e
k = 0, 1, 2, eq. (7.15)
Os c k s so chamados de coeficientes da srie Fourier discreta ou coeficientesespectrais .
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J. A. M. Felippe de Souza 7 Sries de Fourier
34
A equao eq. (7.15) conhecida como as
equao de anlise
da srie de Fourier discreta.
Exemplo 7.3:
Considere a seguinte onda quadrada x[n] discreta no tempo ilustrada na figura 7.13:
Fig. 7.13 Onda quadrada discreta de perodo N. Sinal do Exemplo 7.3.
= somaodeintervalononoutros,0
1Nn1Nse,1
[n]x
Neste caso os coeficientes espectrais c k ficam:
=
=
1
1
N
Nnk
nN2k j
N1
c e eq. (7.16)
Se L2N,N,0,k = o somatrio desta expresso de c k acima fica
)1N2(1 1N
Nn
N
Nn
1
1
1
1
2n j +== ==
e
e portanto, a expresso de c k da eq. (7.16) acima facilmente expressa como:
N1N2
c 1k +
= , L2N,N,0,k =
Entretanto, para L2N,N,0,k definimos
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35
m = n + N 1
e ento, fazemos uma mudana de ndice no somatrio, ficando
=
=
=
==
1
1
N2
0m
N2
0mk
mN2k j1NN
2k j
)1
Nm(N
2k j
N1
N1c
ee
e
.
Agora, usando a frmula da soma finita dos elementos de uma progresso geomtrica, j vista no captulo 6, eq. (6.3):
LL
LL
,qaa,qaa,qaa
:a::a:a:a
1k k 2312
k 321
===
que dada por:
)q1(
)q1(aaS
n1
n
1k k
== =
pode-se substituir o somatrio da expresso dos c k acima, uma vez que uma somafinita de uma progresso geomtrica com
( )
=+== N2
k j
11 q,e1N2n,1a e
obtendo-se:
=
+
N
2k j
)1N2(N
2k j
NN2
k j
k
1
1N1
c1
e
ee
para L2N,N,0,k
que, aps multiplicao dos termos, pode facilmente ser expresso como
8/6/2019 An Sinais Cap7
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J. A. M. Felippe de Souza 7 Sries de Fourier
36
=
++
N22
N2k j
N22
N2k j
N2k j
21
1NN2k j
21
1NN2k j
N22k j
N1
c k
eee
eee
para L2N,N,0,k
e, usando Eler, obtemos que
+
=
Nk
sen
2
1Nk
N
2sen
N1c
1
k , para L2N,N,0,k
Desta forma temos ento todos os coeficientes espectrais c k da onda quadrada discretadeste exemplo.
Resumindo:
=+
+
=
L
L
2N,N,0,k se,N
1N2
2N,N,0,k se,
Nk
sen
21
Nk N2
sen
N1
c
1
1
k
Para o caso particular de N = 9 e N 1 = 2, temos que:
(2N 1 +1) = 5
que representa o nmero de pontos que assumem o valor 1 em cada perodo e conse-quentemente,
N (2N 1 +1) = 9 5 = 4
representa o nmero de pontos que igual a 0 (zero) em cada perodo.
8/6/2019 An Sinais Cap7
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J. A. M. Felippe de Souza 7 Sries de Fourier
37
O grfico deste x[n] pode ser visto na figura 7.14.
Fig. 7.14 Sinal onda quadrada discreta. Caso particular N = 9 e N 1 = 2.
e os coeficientes c k calculados pela expresso acima so:
3199,0c
5556,0c
3199,0c
0591,0c
1111,0c
0725,0c
1
o
1
2
3
4
==
=
=
=
=
M
3199,0c
0591,0c
1111,0c
0725,0c
0725,0c
1111,0c
0591,0c
8
7
6
5
4
3
2
==
=
=
=
=
=
M
0725,0c
0725,0c
1111,0c
0591,0c
3199,0c
5556,0c
14
13
12
11
10
9
=
=
=
=
=
=
Observe que a cada N coeficientes eles se repetem. Isto , a cada 9 c k eles voltam aser os mesmos valores.
M
L
L
L
L
LL
L
M
0591,0ccc3199,0ccc5556,0ccc3199,0ccc
0591,0ccc1111,0ccc
0725,0ccc
20112
19101
189o
1781
1672
1563
1454
================
========
====
e assim por diante.
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J. A. M. Felippe de Souza 7 Sries de Fourier
38
Agora, com os valores dos coeficientes c k , podemos escrever a srie de Fourier,eq. (7.14).
Ao contrrio do caso contnuo, em que tnhamos que acrescentar mais e mais termospara obter uma aproximao melhor, aqui no caso discreto possvel uma aproxima-
o exacta com N = 9 termos consecutivos:
+
+=
=)8(
),1(,k k
n9
2k jc[n]x
l
Kll
e
Por exemplo, se tomarmos primeiramente apenas 3 termos consecutivos, k = 1, 0 e 1,teremos
=
=1
1k k 3
n9
2k jc[n]x e
que nos d uma primeira aproximao, ainda muito grosseira, do sinal x[n], comopode-se ver no grfico de [ ]nx 3 na figura 7.15 abaixo.
Fig. 7.15 Sinal onda quadrada discreta. Caso particular N = 9 e N 1 = 2. Aproxima-o por srie de Fourier com apenas 3 termos.
Se entretanto tomarmos 5 termos consecutivos, k = 2, 1, 0, 1 e 2, teremos ento
=
=2
2k k 5
n9
2k jc[n]x e
que nos d uma aproximao um pouco melhor, mas ainda longe de perfeita, do sinalx[n], como pode-se ver no grfico de [ ]nx 5 na figura 7.16 abaixo.
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J. A. M. Felippe de Souza 7 Sries de Fourier
39
Fig. 7.16 Sinal onda quadrada discreta. Caso particular N = 9 e N 1 = 2. Aproxima-
o por srie de Fourier com apenas 5 termos.
Se agora tomarmos 7 termos consecutivos, k = 3, 2, 1, 0, 1, 2 e 3, teremos ento
=
=3
3k k 7
n9
2k jc[n]x e
que j nos d uma aproximao bem melhor, mas ainda no perfeita, do sinal x[n],como pode-se ver no grfico de [ ]nx 7 na figura 7.17 abaixo.
Fig. 7.17 Sinal onda quadrada discreta. Caso particular N = 9 e N 1 = 2. Aproxima-o por srie de Fourier com 7 termos.
Finalmente, se agora tomarmos 9 termos consecutivos, k = 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3 e4, teremos ento
=
==4
4k k 9
n9
2k jc[n]x[n]x e
que nos d a aproximao perfeita, ou exacta do sinal x[n] pois N = 9. Ou seja,
[n]x[n]x 9 =
O grfico de [ ]nx 9 , que coincidente com x[n], pode ser visto na figura 7.18 abaixo.
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40
Fig. 7.18 Sinal onda quadrada discreta. Caso particular N = 9 e N 1 = 2. Aproxima-
o exacta por srie de Fourier com 9 termos.
Exemplo 7.4:
Considere agora o sinal sinusoidal discreto
)n(sen[n]x o=
Este sinal peridico quando:
o
2
um inteiro ou a razo de inteiros.
Suponha que
N2
o
=
logo,
N2
o
=
e x[n] ento um sinal peridico com perodo fundamental N.
Usando-se a equao de Eler podemos expandir este sinal x[n] como a soma de 2termos exponenciais complexas, obtendo-se
nN2 jn
N2 j
j21
j21
[n]x
= ee
e vemos ento que:
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J. A. M. Felippe de Souza 7 Sries de Fourier
41
=
=
=
=
=
.,0c
j
2
1
j2
1c
j21
j21
c
somaodeintervalonok devaloresoutrosparak
1
1
Por exemplo, no caso particular de
N = 5
ento
= n5
2sen[n]x
e os coeficientes de Fourier sero:
j21
j21
c
0c
j21
j21
c
0c
0c
j21
j21
c
0c
j21
j21
c
0c
0c
6
5
4
3
2
1
o
1
2
3
==
=
=
=
=
=
==
=
=
=
=
=
M
e assim por diante.
M
j21
j21
c
0c
j21
j21
c
0c
0c
j21
j21
c
0c
j21
j21
c
0c
0c
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
==
=
=
=
=
=
==
=
=
=
=
=
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J. A. M. Felippe de Souza 7 Sries de Fourier
42
Ou seja, a cada 5 coeficientes c k , eles se repetem, i.e., voltam a ter os mesmos valores
M
LL
L
M
j5,0ccc0ccc
0ccc
941
832
723
========
====
M
LL
L
M
0ccc j5,0ccc
0ccc
1272
1161
105o
========
====
e assim por diante.
O intervalo de somao pode ser quaisquer 5 coeficientes c k consecutivos, como porexemplo:
de -1k = at 3k = , oude 0k = at 4k = , ou
de 1k = at 5k = , ou
de 2k = at 7k = ,etc. etc.
Se tomarmos apenas 3 termos consecutivos, como por exemplo: k = 1, 2 e 3, teremos
=
=3
1k
n5
2k j
k 3 c[n]x e
que nos d uma aproximao do sinal x[n].
Entretanto, se tomarmos 5 termos consecutivos, como por exemplo: k = 1, 2, 3, 4 e 5,teremos ento
=
=5
1k
n5
2k j
k 5 c[n]x e
que nos d a aproximao exacta do sinal x[n] pois N = 5. Ou seja,
== n5
2sen[n]x[n]x 5 .
8/6/2019 An Sinais Cap7
43/55
J. A. M. Felippe de Souza 7 Sries de Fourier
43
Exemplo 7.5:
Considere novamente o sinal sinusoidal discreto
)n(sen[n]x o=
mas agora suponha que
inteiros2derazoMN2
o
==
onde N e M so 2 inteiros que no tm factores comuns.
Logo,
MN2o =
Novamente x[n] um sinal peridico e com perodo fundamental N.
Usando-se a equao de Eler podemos tambm expandir este sinal x[n] como asoma de 2 termos exponenciais complexas, obtendo-se:
nN2M jn
N2M j
j2
1
j2
1[n]x
= ee
e portanto,
==
==
j21
j21
c
j21
j21
c
M
M
Alm disso, como Nk Nk cc + = (os c k s se repetem a cada N), ento:
( ) ( )tambmMMNMN c j21
cc + ===
e
( )tambmMMNMN c j21
cc =
== ++
Entretanto,.,0c somaoervalo deintnoores de k outros valparak =
8/6/2019 An Sinais Cap7
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J. A. M. Felippe de Souza 7 Sries de Fourier
44
Exemplo 7.6:
Neste exemplo anterior (Exemplo 7.5), se tomarmos o caso particular de
N = 5 e M = 3,
ento
( )n2,1senn5
6senn
52
3sen[n]x =
=
=
e os coeficientes de Fourier sero:
0c
0c
j21
c
j21
c
0c
0c
0c
j21
c
j21
c
0c
o
1
2
3
4
5
6
7
8
9
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
M
e assim por diante.
Ou seja, a cada 5 coeficientes c k , eles se repetem, i.e., voltam a ter os mesmos valores
0c
0c
j2
1c
j21
c
0c
0c0c
j21
c
j21
c
0c
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
=
=
=
=
=
==
=
=
=
M
0c
0c
j21
c
j21
c
0c
0c
0c
j21
c
j21
c
0c
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
8/6/2019 An Sinais Cap7
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J. A. M. Felippe de Souza 7 Sries de Fourier
45
M
L
L
L
M
j5,0cccc
j5,0cccc0cccc
8327
7238
6149
=====
==========
M
L
L
L
M
0cccc
0cccc0cccc
11614
105o5
9416
=====
==========
e assim por diante.
O intervalo de somao novamente pode ser quaisquer 5 coeficientes c k consecutivos,como por exemplo:
de -1k = at 3k = , oude 0k = at 4k = , oude 1k = at 5k = ,
etc. etc.
Se tomarmos apenas 1, ou 2, ou 3, ou 4 termos consecutivos, teremos uma aproxima-o do sinal x[n]. Por exemplo: k = 1, 2 e 3,
=
=3
1k k 3
n5
6k jc[n]x e
Entretanto, se tomarmos 5 termos consecutivos, como por exemplo: k = 1, 2, 3, 4 e 5,teremos ento
=
=5
1k k 5
n5
6k j
c[n]x e
que nos d a aproximao exacta do sinal x[n] pois N = 5. Ou seja,
== n5
6sen[n]x[n]x 5
8/6/2019 An Sinais Cap7
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J. A. M. Felippe de Souza 7 Sries de Fourier
46
Exemplo 7.7:
Novamente considerando o Exemplo 7.5, se tomarmos o caso particular de
N = 7 e M = 3,
ento
( ) ( )n6928,2senn8571,0senn7
6senn
72
3sen[n]x ==
=
=
e os coeficientes de Fourier sero:
j21
c
0c
0c
0c
0c
0c
j21
c
3
2
1
0
1
2
3
=
=
=
=
=
=
=
M
j21
c
0c
0c
0c
0c
0c
j21c
10
9
8
7
6
5
4
=
=
=
=
=
=
=
M
j21
c
0c
0c
0c
0c
0c
j2
1c
17
16
15
14
13
12
11
=
=
=
=
=
=
=
e assim por diante.
Ou seja, a cada 7 coeficientes c k , eles se repetem, i.e., voltam a ter os mesmos valores
M
L
L
L
L
M
============
====
0ccc0ccc0ccc
j5,0ccc
147o
1361
1252
1143
M
L
L
L
L
M
j5,0ccc0ccc0ccc0ccc
17103
1692
1581
147o
============
e assim por diante.
8/6/2019 An Sinais Cap7
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J. A. M. Felippe de Souza 7 Sries de Fourier
47
O intervalo de somao agora pode ser quaisquer 7 coeficientes c k consecutivos, co-mo por exemplo:
de -1k = at 5k = , ou
de 0k = at 6k = , oude 1k = at 7k = ,
etc. etc.
Se tomarmos apenas 1, ou 2, ou 3, ou 4 termos consecutivos, teremos uma aproxima-o do sinal x[n]. Por exemplo: k = 1, 2, 3, 4 e 5,
=
=5
1k k 5
n7
6k j
c[n]x e
Entretanto, se tomarmos 7 termos consecutivos, como por exemplo:
k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7,
teremos ento
=
=7
1k k 7
n7
6k j
c[n]x e
que nos d a aproximao exacta do sinal x[n] pois N = 7. Ou seja,
== n7
6sen[n]x[n]x 7 .
7.9 Propriedades da Srie de Fourier para sinais discretos
Linearidade :
Suponha que
x1[n] um sinal com perodo N e tem coeficientes de Fourier k c x2[n] um sinal com perodo N e tem coeficientes de Fourier k c
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J. A. M. Felippe de Souza 7 Sries de Fourier
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e que[ ] [ ] [ ]nxnxny 21 +=
ento, mostra-se que:y[n] tem perodo N ,
ou seja,y[n] tem frequncia fundamental
N2
o
= ,
e coeficientes de Fourier
k k k ccc +=
Translao no tempo ( time shifting ):
Suponha que
x[n] um sinal com perodo N e tem coeficientes de Fourier c k
e que[ ] [ ]onnxny =
ou seja, y[n] o sinal x[n] com uma translao ( shift ) no tempo de n o.Ento, mostra-se que:
y[n] tem perodo N ,ou seja,
y[n] tem frequncia fundamentalN2
o
= ,
e coeficientes de Fourier
k
k k
c
cc~
onN2
k j
onok j
=
==
e
e
Nota :
Como = ,1 je , tem-se que
k k cc~ =
8/6/2019 An Sinais Cap7
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J. A. M. Felippe de Souza 7 Sries de Fourier
49
Sinal reflectido / reverso no tempo ( time reversal ) em torno de n = 0 :
Suponha que
x[n] um sinal com perodo N e tem coeficientes de Fourier ck
e que[ ] [ ]nxny =
ento, mostra-se que:
y[n] tem perodo N ,ou seja,
y[n] tem frequncia fundamentalN
2o
= ,
e coeficientes de Fourier
k k cc =
Nota:
Como consequncia desta propriedade pode-se concluir, ( semelhantemente ao caso
contnuo ), que:
Se x[n] um sinal par os coeficientes de Fourier ck so, eles prprios, pares ; i.e.,
k k cc =
Se x[n] um sinal mpar os coeficientes de Fourier c k so eles prprios, mpares ;i.e.,
k k cc = .
Escalonamento no tempo ( time scaling ):
Suponha que
x[n] um sinal com perodo N e tem coeficientes de Fourier ck
(portanto x[n] tem frequncia fundamentalN2
o= )
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J. A. M. Felippe de Souza 7 Sries de Fourier
50
e que
[ ] =mdemltiplononse,0
mdemltiplonse,mn
xny
ento, mostra-se que:
y[n] tem perodo Nm ,ou seja,
y[n] tem frequncia fundamentalNm
2m
o
=
, e alm disso,
[ ]
+
+=
+
+=
=
==
)1N(
),1(,k k
)1N(
),1(,k k
nNm
2k j
nm
ok j
c
cny
l
Kll
l
Kll
e
e
Note que a srie de Fourier muda por causa da mudana da frequncia fundamental (e
do perodo). Entretanto os coeficientes ck no mudam.
Multiplicao:
Suponha que
[ ]nx 1 um sinal com perodo N e tem coeficientes de Fourier k c [ ]nx 2 um sinal com perodo N e tem coeficientes de Fourier k c
e que[ ] [ ] [ ]nxnxny 21 =
ento, mostra-se que:
y[n] tem perodo N , ou seja tem frequncia fundamentalN2
o
= ,
e coeficientes de Fourier
8/6/2019 An Sinais Cap7
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J. A. M. Felippe de Souza 7 Sries de Fourier
51
+
+==
)1N(
),1(, j jk jk ccc
l
Kllk = 0, 1, 2,
Ou seja,
etcetcetcetc
)Nk (N3k 32k 21k 1
)1Nk (1N2k 21k 1k o
)1N(
),1(, j jk jk
cccccccc
cccccccc
ccc
MMMM
L
L
l
Kll
+
+
+=
++++=
++++=
==
Conjugao:
Suponha que
x[n] um sinal com perodo N e tem coeficientes de Fourier ck
e que[ ] [ ]nxny =
y[n] o conjugado de x[n] ; ento, mostra-se que:
y[n] tem perodo N , ou seja tem frequncia fundamental N2o = ,
e coeficientes de Fourier
= k k cc
Nota:
Como consequncia desta propriedade pode-se concluir que:
Se x[n] R , ento
8/6/2019 An Sinais Cap7
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J. A. M. Felippe de Souza 7 Sries de Fourier
52
os coeficientes de Fourier = k k cc ;
co R ;
e
k k cc = .
Alm disso, as relaes acima permitem mais uma vez concluir que:
Se x[n] R um sinal par
os coeficientes de Fourier= k k cc ; e
k k cc = (os coeficientes de Fourier so eles prprios pares ).
Se x[n] R um sinal mpar
os coeficientes de Fourier k c so imaginrios puros, 0c o = e
k k cc = (os coeficientes de Fourier so eles prprios impares ).
Translao na frequncia ( frequency shifting ):
Suponha que
x[n] um sinal com perodo N e tem coeficientes de Fourier ck
e, para um m inteiro, constante, considere agora os coeficientes
mk k cc = k = 0, 1, 2, ou seja,
k c so os coeficientes c k desfasados de m.
Ento, mostra-se que o sinal:
[ ] [ ]nxny nom j = e
tem os coeficientes de Fourier k c
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J. A. M. Felippe de Souza 7 Sries de Fourier
53
Nota :
Esta propriedade dual da translao no tempo ( time shifting ). Agora a translao(shift ) foi aplicada aos c k e no no tempo t.
Como = ,1 je , ento
k k cc =
Convoluo no perodo:
Suponha que
x1[n] um sinal com perodo N e tem coeficientes de Fourier k c
x2[n] um sinal com perodo N e tem coeficientes de Fourier k c
e que y[n] a convoluo (tomada no perodo N):
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]+
+==
==
)1N(
),1(,k 21
21
k xk nx
nxnxny
l
Kll
Ento, mostra-se que:
y[n] tem perodo N , ou seja tem frequncia fundamental N2
o
= ,
e coeficientes de Fourier
k k k ccNc~~ =
Primeira diferena:
Suponha que
x[n] um sinal com perodo N e tem coeficientes de Fourier ck
e que
[ ] [ ] [ ]1nxnxny = ento, mostra-se que:
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J. A. M. Felippe de Souza 7 Sries de Fourier
54
y[n] tem perodo N , ou seja tem frequncia fundamentalN2
o
= ,
e coeficientes de Fourier
( ) k N2
k j
k k jk ce1ce1c o
==
Nota :
Esta propriedade corresponde, no caso discreto, propriedade para a derivada nocaso contnuo.
Para o caso de diferenas de ordem 2 ou maior, pode-se aplicar esta regra sucessivasvezes. Por exemplo, no caso da segunda diferena , se
[ ] [ ] [ ]2nxnxny =
os coeficientes de Fourier de y(t) so
( ) k 2
N2
k j
k
2k jk ce1ce1c
o
==
.
Soma acumulada:
Suponha quex[n] um sinal com perodo N e tem coeficientes de Fourier ck
e que
[ ]=
=n
k
k x)t(y
ento, mostra-se que:
y[n] tem perodo T , ou seja tem frequncia fundamental N2
o
= ,
e coeficientes de Fourier
( )k
N
2k j
k k jk c
e1
1c
e1
1c
o
=
=
(
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J. A. M. Felippe de Souza 7 Sries de Fourier
Nota :
No caso de c o = 0, esta propriedade s vlida para sinais x[n] peridicos e com va-lores finitos.
Esta propriedade corresponde, no caso discreto, propriedade para a integral no casocontnuo.
Para o caso de integrais duplas, triplas, etc., pode-se aplicar esta regra sucessivasvezes.
Relao de Parseval:
Suponha que
x[n] um sinal com perodo N e tem coeficientes de Fourier ck
ento, mostra-se que a potncia mdia do sinal no intervalo de um perodo N:
[ ]
+
+=
+
+=
=
==
)1N(
),1(,k
2k
)1N(
),1(,n
2
c
nxN1
P
l
Kll
l
Kll