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ConvencoesRegularidade em aneis

Limpeza em aneisMotivacao

Aneis de gruposResultados

Referencias

Aneis de grupo ∗-limpos

Paula Murgel Veloso

Universidade Federal Fluminense, Departamento de Analise, Niteroi – RJ

2 de outubro de 2015

Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos

Referencias

Algumas definicoes

A anel (associativo com 1).

grupo de unidades de A:U(A) = {a ∈ A ; ∃ b ∈ A, ab = 1 = ba}; u e uma unidade emA se u ∈ U(A).

elemento idempotente: e ∈ A tal que e2 = e.e, f ∈ A sao idempotentes ortogonais se sao ambosidempotentes e ef = 0.

elemento nilpotente: x ∈ A tal que xn = 0 para algum n ≥ 1.

radical de Jacobson de A:J (A) =

⋂M ideal maximal a esquerda de AM.

Referencias

Algumas definicoes

Referencias

Algumas definicoes

grupo de unidades de A:

U(A) = {a ∈ A ; ∃ b ∈ A, ab = 1 = ba}; u e uma unidade emA se u ∈ U(A).

Referencias

Algumas definicoes

grupo de unidades de A:U(A) = {a ∈ A ; ∃ b ∈ A, ab = 1 = ba};

u e uma unidade emA se u ∈ U(A).

Referencias

Algumas definicoes

Referencias

Algumas definicoes

elemento idempotente:

e ∈ A tal que e2 = e.e, f ∈ A sao idempotentes ortogonais se sao ambosidempotentes e ef = 0.

Referencias

Algumas definicoes

elemento idempotente: e ∈ A tal que e2 = e.

e, f ∈ A sao idempotentes ortogonais se sao ambosidempotentes e ef = 0.

Referencias

Algumas definicoes

Referencias

Algumas definicoes

elemento nilpotente:

x ∈ A tal que xn = 0 para algum n ≥ 1.

Referencias

Algumas definicoes

Referencias

Algumas definicoes (cont.)

involucao de anel: anti-automorfismo (de anel) de ordem 2(∗ : A −→ A; ∀a, b ∈ A, (a + b)∗ = a∗ + b∗, (ab)∗ = b∗a∗,(a∗)∗ = a).

∗-anel: anel com involucao.

projecao: p ∈ A, com A um ∗-anel, tal que p e idempotente e∗-simetrico (i.e., p∗ = p).

involucao de grupo: anti-automorfismo (de grupo) de ordem 2(∗ : G −→ G ; ∀x , y ∈ G , (xy)∗ = y∗x∗, (x∗)∗ = x).

Referencias

involucao de anel:

anti-automorfismo (de anel) de ordem 2(∗ : A −→ A; ∀a, b ∈ A, (a + b)∗ = a∗ + b∗, (ab)∗ = b∗a∗,(a∗)∗ = a).

Referencias

involucao de anel: anti-automorfismo (de anel) de ordem 2

(∗ : A −→ A; ∀a, b ∈ A, (a + b)∗ = a∗ + b∗, (ab)∗ = b∗a∗,(a∗)∗ = a).

Referencias

involucao de anel: anti-automorfismo (de anel) de ordem 2(∗ : A −→ A;

∀a, b ∈ A, (a + b)∗ = a∗ + b∗, (ab)∗ = b∗a∗,(a∗)∗ = a).

Referencias

involucao de anel: anti-automorfismo (de anel) de ordem 2(∗ : A −→ A; ∀a, b ∈ A,

(a + b)∗ = a∗ + b∗, (ab)∗ = b∗a∗,(a∗)∗ = a).

Referencias

∗-anel:

anel com involucao.

Referencias

projecao:

p ∈ A, com A um ∗-anel, tal que p e idempotente e∗-simetrico (i.e., p∗ = p).

Referencias

projecao: p ∈ A, com A um ∗-anel, tal que p e idempotente

e∗-simetrico (i.e., p∗ = p).

Referencias

involucao de grupo:

anti-automorfismo (de grupo) de ordem 2(∗ : G −→ G ; ∀x , y ∈ G , (xy)∗ = y∗x∗, (x∗)∗ = x).

Referencias

involucao de grupo: anti-automorfismo (de grupo) de ordem 2

(∗ : G −→ G ; ∀x , y ∈ G , (xy)∗ = y∗x∗, (x∗)∗ = x).

Referencias

involucao de grupo: anti-automorfismo (de grupo) de ordem 2(∗ : G −→ G ;

∀x , y ∈ G , (xy)∗ = y∗x∗, (x∗)∗ = x).

Referencias

involucao de grupo: anti-automorfismo (de grupo) de ordem 2(∗ : G −→ G ; ∀x , y ∈ G ,

(xy)∗ = y∗x∗, (x∗)∗ = x).

Referencias

Elementos regulares e unit-regulares

(Lam [4, Chapter 2, Section 4])

a ∈ A e um elemento (von Neumann-)regular se existe b ∈ A talque a = aba.

a ∈ A e um elemento unit-regular se existe u ∈ U(A) tal quea = aua.

Exemplos

Zero: 0 = 0a0, para todo a ∈ A;

Elementos idempotentes: e = e1e;

Unidades: u = uu−1u.

Referencias

Exemplos

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Exemplos

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Exemplos

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Exemplos

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Exemplos

Referencias

Aneis (von Neumann-)regulares e unit-regulares

A e um anel (von Neumann-)regular se todo elemento a ∈ A eregular.

A e um anel (unit-)regular se todo elemento a ∈ A e unit-regular.

Teorema

Sao equivalentes:

A e anel regular;

todo ideal principal/finitamente gerado a esquerda e geradopor um idempotente;

todo ideal principal/finitamente gerado a esquerda e umsomando direto do A-modulo A.

Referencias

Teorema

Sao equivalentes:

A e anel regular;

Referencias

Teorema

Sao equivalentes:

A e anel regular;

Referencias

Teorema

Sao equivalentes:

A e anel regular;

Referencias

Teorema

Sao equivalentes:

A e anel regular;

Referencias

Teorema

Sao equivalentes:

A e anel regular;

Referencias

Teorema

Sao equivalentes:

A e anel regular;

Referencias

Aneis regulares e unit-regulares (cont.)

Exemplos e propriedades

Todo corpo e unit-regular.

Todo anel Booleano e unit-regular.[Um anel Booleano e aquele em que todo elemento eidempotente.]

D anel de divisao =⇒ Mn(D) e regular.

Proposicao

a ∈ A e unit-regular ⇐⇒ a = ue, para algum idempotente e ∈ A ealgum u ∈ U(A).

Referencias

Proposicao

Referencias

Todo anel Booleano e unit-regular.

[Um anel Booleano e aquele em que todo elemento eidempotente.]

Proposicao

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Proposicao

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Proposicao

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Proposicao

Referencias

Elementos limpos e ∗-limpos

a ∈ A e um elemento limpo se pode ser escrito na formaa = u + e, com u ∈ U(A) e e ∈ A idempotente.

a ∈ A, com A um ∗-anel, e um elemento ∗-limpo se pode serescrito na forma a = u + p, com u ∈ U(A) e p ∈ A projecao.

Exemplos

Unidades: u = u + 0;

Elementos idempotentes: e = (2e − 1) + (1− e);

Elementos nilpotentes: x = (x − 1) + 1.

Referencias

a ∈ A e um elemento limpo se pode ser escrito na formaa = u + e,

com u ∈ U(A) e e ∈ A idempotente.

Exemplos

Referencias

Exemplos

Referencias

a ∈ A, com A um ∗-anel, e um elemento ∗-limpo se pode serescrito na forma a = u + p,

com u ∈ U(A) e p ∈ A projecao.

Exemplos

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Exemplos

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Exemplos

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Exemplos

Referencias

Exemplos

Referencias

Aneis limpos e ∗-limpos

A e um anel limpo se todo elemento a ∈ A e limpo.

Um ∗-anel A e um anel ∗-limpo se todo elemento a ∈ A e ∗-limpo.

Todo corpo e limpo.

Todo anel Booleano e limpo.

Z nao e limpo.

Aneis de polinomios nao sao limpos. (Nicholson & Zhou,2004 [9, Proposition 13])

A limpo =⇒ Mn(A) limpo. (Han & Nicholson, 2001 [3,Corollary 1])

Referencias

Todo corpo e limpo.

Z nao e limpo.

Referencias

Todo corpo e limpo.

Z nao e limpo.

Referencias

Todo corpo e limpo.

Z nao e limpo.

Referencias

Todo corpo e limpo.

Z nao e limpo.

Referencias

Todo corpo e limpo.

Z nao e limpo.

Referencias

Todo corpo e limpo.

Z nao e limpo.

Aneis de polinomios nao sao limpos.

(Nicholson & Zhou,2004 [9, Proposition 13])

Referencias

Todo corpo e limpo.

Z nao e limpo.

Referencias

Todo corpo e limpo.

Z nao e limpo.

A limpo =⇒ Mn(A) limpo.

(Han & Nicholson, 2001 [3,Corollary 1])

Referencias

Todo corpo e limpo.

Z nao e limpo.

Referencias

Aneis limpos (cont.)

Exemplos e propriedades (cont.)

ΠiAi limpo ⇐⇒ cada Ai limpo.

(Nicholson & Zhou, 2004 [9,Example 3])

Toda imagem homomorfica de um anel limpo e um anellimpo. (Nicholson & Zhou, 2004 [9, Theorem 22])

Subaneis de aneis limpos podem nao ser limpos (e.g., Z e umsubanel de Q).

Todo anel ∗-limpo e um ∗-anel limpo.

Referencias

ΠiAi limpo ⇐⇒ cada Ai limpo. (Nicholson & Zhou, 2004 [9,Example 3])

Referencias

Toda imagem homomorfica de um anel limpo e um anellimpo.

(Nicholson & Zhou, 2004 [9, Theorem 22])

Referencias

Subaneis de aneis limpos podem nao ser limpos

(e.g., Z e umsubanel de Q).

Referencias

Breve historico

von Neumann propos a nocao de aneis regulares em 1936 [7]quando do seu estudo com Murray sobre algebras de operadoresem espacos de Hilbert e geometria contınua.

Nicholson definiu aneis limpos em 1977 [8] enquanto estudavaaneis ‘exchange’: se todos idempotentes sao centrais, entao todoelemento de um anel ‘exchange’ e a soma de uma unidade e umidempotente.

Han e Nicholson foram os primeiros a abordar a propriedade delimpeza em aneis de grupos em 2001. [3]

Referencias

Breve historico

Referencias

Breve historico

Nicholson definiu aneis limpos em 1977 [8] enquanto estudavaaneis ‘exchange’:

se todos idempotentes sao centrais, entao todoelemento de um anel ‘exchange’ e a soma de uma unidade e umidempotente.

Referencias

Breve historico

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Breve historico

Referencias

Breve historico (cont.)

Notar: aneis limpos sao o “analogo aditivo” de aneis unit-regulares.

Pergunta:

Qual e exatamente a relacao entre aneis unit-regulares e aneislimpos?

Teorema (Camillo & Khurana, 2001 [1, Theorem 1])

Um anel A e unit-regular ⇐⇒ para todo a ∈ A, existem u ∈ U(R)e um idempotente e ∈ R tais que a = e + u (i.e., A e um anellimpo) e aR ∩ eR = {0}.

Referencias

Pergunta:

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Pergunta:

Referencias

Pergunta de T. Y. Lam:

(na Conference on Algebra and Its Applications, 2005, OhioUniversity)

Quais algebras de von Neumann sao limpas como aneis?

Algebras de von Neumann sao ∗-aneis; e mais simples comprojecoes do que com idempotentes.

Em 2010, Vas propos a definicao de anel ∗-limpo em [12].

Pergunta de Vas:

Existem ∗-aneis limpos, mas nao ∗-limpos?

Referencias

(na Conference on Algebra and Its Applications, 2005, OhioUniversity)Quais algebras de von Neumann sao limpas como aneis?

Pergunta de Vas:

Referencias

Algebras de von Neumann sao ∗-aneis;

e mais simples comprojecoes do que com idempotentes.

Pergunta de Vas:

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Pergunta de Vas:

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Pergunta de Vas:

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Pergunta de Vas:

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Li & Zhou [6, Example 2.6]

A = T2(Z2) (anel das matrizes triangulares superiores de ordem2× 2 sobre Z2)

A e um ∗-anel limpo: A e limpo e ∗ :

(a b0 c

)7→(

c b0 a

)e uma involucao;

A nao e ∗-limpo para nenhuma ∗: Suponha, por absurdo, queA seja ∗-limpo para alguma ∗. Assim, id∗ = id , e u∗ ∈ U(A)para todo u ∈ U(A). Como U(A) tem apenas 2 elementos,u∗ = u, para todo u ∈ U(A). Sendo ∗-limpo, a∗ = a, paratodo a ∈ A, i.e., ∗ = id . Logo, A e comutativo – contradicao.

Referencias

(a b0 c

)7→(

c b0 a

)e uma involucao;

Referencias

A e um ∗-anel limpo:

A e limpo e ∗ :

(a b0 c

)7→(

c b0 a

)e uma involucao;

Referencias

A e um ∗-anel limpo: A e limpo e

(a b0 c

)7→(

c b0 a

)e uma involucao;

Referencias

(a b0 c

)7→(

c b0 a

)e uma involucao;

A nao e ∗-limpo para nenhuma ∗:

Suponha, por absurdo, queA seja ∗-limpo para alguma ∗. Assim, id∗ = id , e u∗ ∈ U(A)para todo u ∈ U(A). Como U(A) tem apenas 2 elementos,u∗ = u, para todo u ∈ U(A). Sendo ∗-limpo, a∗ = a, paratodo a ∈ A, i.e., ∗ = id . Logo, A e comutativo – contradicao.

Referencias

(a b0 c

)7→(

c b0 a

)e uma involucao;

A nao e ∗-limpo para nenhuma ∗: Suponha, por absurdo, queA seja ∗-limpo para alguma ∗.

Assim, id∗ = id , e u∗ ∈ U(A)para todo u ∈ U(A). Como U(A) tem apenas 2 elementos,u∗ = u, para todo u ∈ U(A). Sendo ∗-limpo, a∗ = a, paratodo a ∈ A, i.e., ∗ = id . Logo, A e comutativo – contradicao.

Referencias

(a b0 c

)7→(

c b0 a

)e uma involucao;

A nao e ∗-limpo para nenhuma ∗: Suponha, por absurdo, queA seja ∗-limpo para alguma ∗. Assim, id∗ = id , e u∗ ∈ U(A)para todo u ∈ U(A).

Como U(A) tem apenas 2 elementos,u∗ = u, para todo u ∈ U(A). Sendo ∗-limpo, a∗ = a, paratodo a ∈ A, i.e., ∗ = id . Logo, A e comutativo – contradicao.

Referencias

(a b0 c

)7→(

c b0 a

)e uma involucao;

A nao e ∗-limpo para nenhuma ∗: Suponha, por absurdo, queA seja ∗-limpo para alguma ∗. Assim, id∗ = id , e u∗ ∈ U(A)para todo u ∈ U(A). Como U(A) tem apenas 2 elementos,u∗ = u, para todo u ∈ U(A).

Sendo ∗-limpo, a∗ = a, paratodo a ∈ A, i.e., ∗ = id . Logo, A e comutativo – contradicao.

Referencias

(a b0 c

)7→(

c b0 a

)e uma involucao;

A nao e ∗-limpo para nenhuma ∗: Suponha, por absurdo, queA seja ∗-limpo para alguma ∗. Assim, id∗ = id , e u∗ ∈ U(A)para todo u ∈ U(A). Como U(A) tem apenas 2 elementos,u∗ = u, para todo u ∈ U(A). Sendo ∗-limpo, a∗ = a, paratodo a ∈ A, i.e., ∗ = id .

Logo, A e comutativo – contradicao.

Referencias

(a b0 c

)7→(

c b0 a

)e uma involucao;

Referencias

Definicao

Li e Zhou [6] foram os primeiros a abordarem a ∗-limpeza em aneisde grupo. No entanto, muito pouco e sabido sobre o assunto.

R um anel; G um grupo;RG , o anel de grupo de G sobre R: o R-modulo livre com base Gmunido de multiplicacao definida estendendo-se R-linearmente amultiplicacao de G .

RG = ⊕g∈GRgα ∈ RG ; α =

∑g∈G αgg , αg ∈ R

operacoes:α =

∑g∈G αgg , β =

∑g∈G βgg ∈ RG , r ∈ R

α + β =∑

g∈G (αg + βg )g ∈ RGα · β = (

∑g∈G αgg)(

∑h∈G βhh) =

∑g ,h∈G (αgβh)gh ∈ RG

Referencias

Definicao

Li e Zhou [6] foram os primeiros a abordarem a ∗-limpeza em aneisde grupo.

No entanto, muito pouco e sabido sobre o assunto.

operacoes:α =

α + β =∑

g∈G (αg + βg )g ∈ RGα · β = (

∑g∈G αgg)(

∑h∈G βhh) =

Referencias

Definicao

operacoes:α =

α + β =∑

g∈G (αg + βg )g ∈ RGα · β = (

∑g∈G αgg)(

∑h∈G βhh) =

Referencias

Definicao

R um anel;

G um grupo;RG , o anel de grupo de G sobre R: o R-modulo livre com base Gmunido de multiplicacao definida estendendo-se R-linearmente amultiplicacao de G .

operacoes:α =

α + β =∑

g∈G (αg + βg )g ∈ RGα · β = (

∑g∈G αgg)(

∑h∈G βhh) =

Referencias

Definicao

R um anel; G um grupo;

RG , o anel de grupo de G sobre R: o R-modulo livre com base Gmunido de multiplicacao definida estendendo-se R-linearmente amultiplicacao de G .

operacoes:α =

α + β =∑

g∈G (αg + βg )g ∈ RGα · β = (

∑g∈G αgg)(

∑h∈G βhh) =

Referencias

Definicao

R um anel; G um grupo;RG , o anel de grupo de G sobre R:

o R-modulo livre com base Gmunido de multiplicacao definida estendendo-se R-linearmente amultiplicacao de G .

operacoes:α =

α + β =∑

g∈G (αg + βg )g ∈ RGα · β = (

∑g∈G αgg)(

∑h∈G βhh) =

Referencias

Definicao

operacoes:α =

α + β =∑

g∈G (αg + βg )g ∈ RGα · β = (

∑g∈G αgg)(

∑h∈G βhh) =

Referencias

Definicao

RG = ⊕g∈GRg

α ∈ RG ; α =∑

g∈G αgg , αg ∈ R

operacoes:α =

α + β =∑

g∈G (αg + βg )g ∈ RGα · β = (

∑g∈G αgg)(

∑h∈G βhh) =

Referencias

Definicao

operacoes:α =

α + β =∑

g∈G (αg + βg )g ∈ RGα · β = (

∑g∈G αgg)(

∑h∈G βhh) =

Referencias

Definicao

operacoes:

α =∑

g∈G αgg , β =∑

g∈G βgg ∈ RG , r ∈ Rα + β =

∑g∈G (αg + βg )g ∈ RG

α · β = (∑

g∈G αgg)(∑

h∈G βhh) =∑

g ,h∈G (αgβh)gh ∈ RG

Referencias

Definicao

operacoes:α =

α + β =∑

g∈G (αg + βg )g ∈ RGα · β = (

∑g∈G αgg)(

∑h∈G βhh) =

Referencias

Definicao

operacoes:α =

α + β =∑

g∈G (αg + βg )g ∈ RG

α · β = (∑

g∈G αgg)(∑

h∈G βhh) =∑

g ,h∈G (αgβh)gh ∈ RG

Referencias

Definicao

operacoes:α =

α + β =∑

g∈G (αg + βg )g ∈ RGα · β = (

∑g∈G αgg)(

∑h∈G βhh) =

Referencias

Involucoes em aneis de grupos

G grupo tal que existe g 6= 1 com |〈g〉| 6= 2;

involucao classica em G : g 7→ g−1.

Se R e um anel comutativo, a extensao R-linear da involucaoclassica de G nos da uma involucao (de anel) em RG :∗ : RG −→ RG , α∗ =

∑g∈G αgg

∗ (involucao classica em RG ).

Referencias

∑g∈G αgg

Referencias

∑g∈G αgg

Referencias

Se R e um anel comutativo, a extensao R-linear da involucaoclassica de G nos da uma involucao (de anel) em RG :

∗ : RG −→ RG , α∗ =∑

g∈G αgg∗ (involucao classica em RG ).

Referencias

∑g∈G αgg

(involucao classica em RG ).

Referencias

∑g∈G αgg

Referencias

Gao, Chen & Li, 2015 [2]Li, Parmenter & Yuan, 2015 [5]Algumas ideias

Anel local comutativo e grupos cıclicos

Teorema

Sejam R um anel local comutativo e C3 o grupo cıclico de ordem 3.

Se 3 ∈ J (R), entao RC3 e ∗-limpo.

Se 3 6∈ J (R), entao RC3 e ∗-limpo ⇐⇒ RC3 e limpo e aequacao X 2 + X + 1 = 0 nao tem solucoes em R.

Teorema

Se 2 ∈ U(R), entao RC4 e ∗-limpo ⇐⇒ RC4 e limpo e aequacao X 2 + 1 = 0 nao tem solucoes em R.

Referencias

Teorema

Referencias

Teorema

Referencias

Teorema

Referencias

Teorema

Referencias

Anel local comutativo e grupos nao abelianos

Teorema

Seja R um anel local comutativo com 2 ∈ J (R). Entao RS3 elimpo, mas nao ∗-limpo.

Teorema

Seja R um anel local comutativo

Se 2 ∈ J (R), entao RQ8 e ∗-limpo.

Se 2 ∈ U(R), entao RQ8 e ∗-limpo ⇐⇒ RQ8 e limpo e aequacao X 2 + Y 2 + Z 2 + 1 = 0 nao tem solucoes em R.

Referencias

Teorema

Referencias

Teorema

Referencias

Teorema

Referencias

Teorema

Seja R um anel local comutativo.

Se n ∈ J (R), com 3 ≤ n ≤ 5, entao RCn e local e ∗-limpo.

Se n 6∈ J (R), com 3 ≤ n ≤ 5, entao RCn e ∗-limpo ⇐⇒ RCn

e limpo e Φn(X ) = 0 nao tem solucoes em R/J (R).

Se 3 ∈ J (R), entao RC6 e ∗-limpo ⇐⇒ RC6 e limpo.

Se 2 ∈ J (R) ou 6 6∈ J (R), entao RC6 e ∗-limpo ⇐⇒ RC6 elimpo e Φ3(X ) = 0 nao tem solucoes em R/J (R).

Referencias

Teorema

Referencias

Teorema

Referencias

Teorema

Referencias

Teorema

Referencias

Grupos abelianos finitos

K corpo; G grupo abeliano de ordem n; char(K ) - n

Teorema de Maschke =⇒ KG e uma algebra de gruposemissimples

KG '⊕

d |n adK (ζd), onde adK (ζd) e a soma direta de ad copiasde K (ζd), ζd sao raızes primitivas de 1 de ordem d ead = nd/[K (ζd) : K ], com nd o numero de elementos de ordem dem G [10]

KG e limpo (soma direta de corpos)

KG e um ∗-anel (com ∗ a involucao classica)

Referencias

K corpo;

G grupo abeliano de ordem n; char(K ) - n

KG '⊕

Referencias

K corpo; G grupo abeliano de ordem n;

char(K ) - n

KG '⊕

Referencias

KG '⊕

Referencias

KG '⊕

Referencias

KG '⊕

d |n adK (ζd),

onde adK (ζd) e a soma direta de ad copiasde K (ζd), ζd sao raızes primitivas de 1 de ordem d ead = nd/[K (ζd) : K ], com nd o numero de elementos de ordem dem G [10]

Referencias

KG '⊕

Referencias

KG '⊕

KG e limpo

(soma direta de corpos)

Referencias

KG '⊕

Referencias

KG '⊕

Referencias

Abordagem naive

Queremos determinar sob que condicoes KG e um anel ∗-limpo.

Vamos calcular os idempotentes de KG e verificar sob quecondicoes os mesmos sao projecoes.

Consideramos: K corpo algebricamente fechado; G grupo abelianode ordem n; char(K ) - n.

Referencias

Abordagem naive

Referencias

Abordagem naive

Referencias

Abordagem naive

Consideramos: K corpo algebricamente fechado;

G grupo abelianode ordem n; char(K ) - n.

Referencias

Abordagem naive

Consideramos: K corpo algebricamente fechado; G grupo abelianode ordem n;

char(K ) - n.

Referencias

Abordagem naive

Referencias

Calculando idempotentes centrais primitivos

(Quoos & Veloso [11])

KG ' K ⊕ . . .⊕ K (n copias de K ). Os idempotentes centraisprimitivos de KG sao as imagens inversas das n-uplas(0, . . . , 1, . . . , 0).

Escreva G ' C1 × . . .× Cs , com Ci = 〈gi ; gnii = 1〉.

As n componentes da soma direta K ⊕ . . .⊕K serao indexadas pors-uplas l = (l1, . . . , ls), com 0 ≤ li ≤ ni − 1,: as primeiras nscoordenadas tem li = 0, para i 6= s, e ls variando de 0 a ns − 1; asproximas ns coordenadas tem li = 0, para i 6= s, s − 1, ls−1 = 1 els variando de 0 a ns − 1; as proximas ns coordenadas tem li = 0,para i 6= s, s − 1, ls−1 = 2 e ls variando de 0 a ns − 1; e assim pordiante.

Referencias

KG ' K ⊕ . . .⊕ K (n copias de K ).

Os idempotentes centraisprimitivos de KG sao as imagens inversas das n-uplas(0, . . . , 1, . . . , 0).

Referencias

As n componentes da soma direta K ⊕ . . .⊕K serao indexadas pors-uplas l = (l1, . . . , ls), com 0 ≤ li ≤ ni − 1,:

as primeiras nscoordenadas tem li = 0, para i 6= s, e ls variando de 0 a ns − 1; asproximas ns coordenadas tem li = 0, para i 6= s, s − 1, ls−1 = 1 els variando de 0 a ns − 1; as proximas ns coordenadas tem li = 0,para i 6= s, s − 1, ls−1 = 2 e ls variando de 0 a ns − 1; e assim pordiante.

Referencias

As n componentes da soma direta K ⊕ . . .⊕K serao indexadas pors-uplas l = (l1, . . . , ls), com 0 ≤ li ≤ ni − 1,: as primeiras nscoordenadas tem li = 0, para i 6= s, e ls variando de 0 a ns − 1;

asproximas ns coordenadas tem li = 0, para i 6= s, s − 1, ls−1 = 1 els variando de 0 a ns − 1; as proximas ns coordenadas tem li = 0,para i 6= s, s − 1, ls−1 = 2 e ls variando de 0 a ns − 1; e assim pordiante.

Referencias

As n componentes da soma direta K ⊕ . . .⊕K serao indexadas pors-uplas l = (l1, . . . , ls), com 0 ≤ li ≤ ni − 1,: as primeiras nscoordenadas tem li = 0, para i 6= s, e ls variando de 0 a ns − 1; asproximas ns coordenadas tem li = 0, para i 6= s, s − 1, ls−1 = 1 els variando de 0 a ns − 1;

as proximas ns coordenadas tem li = 0,para i 6= s, s − 1, ls−1 = 2 e ls variando de 0 a ns − 1; e assim pordiante.

Referencias

As n componentes da soma direta K ⊕ . . .⊕K serao indexadas pors-uplas l = (l1, . . . , ls), com 0 ≤ li ≤ ni − 1,: as primeiras nscoordenadas tem li = 0, para i 6= s, e ls variando de 0 a ns − 1; asproximas ns coordenadas tem li = 0, para i 6= s, s − 1, ls−1 = 1 els variando de 0 a ns − 1; as proximas ns coordenadas tem li = 0,para i 6= s, s − 1, ls−1 = 2 e ls variando de 0 a ns − 1;

e assim pordiante.

Referencias

Calculando idempotentes centrais primitivos (cont.)

Defina m := mmc(n1, . . . , ns).

Denote por ζm uma raiz primitivade 1 de ordem m em K , e, para i = 1, . . . , s, por ζni uma raizprimitiva de 1 de ordem ni em K .

Dada uma s-tupla l = (l1, . . . , ls), com 0 ≤ li ≤ ni − 1, defina opolinomio Pl ∈ K (ζm)[X1, . . . ,Xs ] = K [X1, . . . ,Xs ] como:

Pl =s∏

ni−1∏ki=0

ki 6=li

(Xi − ζkini ),

com ζm uma raiz primitiva de 1 de ordem m.

Notar: Pl(ζk1n1, . . . , ζksns ) 6= 0⇐⇒ k = l .

Referencias

Defina m := mmc(n1, . . . , ns). Denote por ζm uma raiz primitivade 1 de ordem m em K , e, para i = 1, . . . , s, por ζni uma raizprimitiva de 1 de ordem ni em K .

Pl =s∏

ni−1∏ki=0

ki 6=li

(Xi − ζkini ),

Referencias

Pl =s∏

ni−1∏ki=0

ki 6=li

(Xi − ζkini ),

Referencias

Pl =s∏

ni−1∏ki=0

ki 6=li

(Xi − ζkini ),

Referencias

Os idempotentes centrais primitivos de KG sao os elementos:

el :=Pl(g1, . . . , gs)

Pl(ζl11 , . . . , ζ

lss ),

com 0 ≤ li ≤ ni − 1, para i = 1, . . . , s.

Para todo idempotente central primitivo el ∈ KG , temos e∗l

tambem e um idempotente central primitivo em KG (pois

−11 , . . . , g−1

Pl(ζl11 , . . . , ζ

e cada g−1i tambem e um gerador de Ci ).

Referencias

el :=Pl(g1, . . . , gs)

Pl(ζl11 , . . . , ζ

lss ),

com 0 ≤ li ≤ ni − 1, para i = 1, . . . , s.

tambem e um idempotente central primitivo em KG

−11 , . . . , g−1

Pl(ζl11 , . . . , ζ

Referencias

el :=Pl(g1, . . . , gs)

Pl(ζl11 , . . . , ζ

lss ),

com 0 ≤ li ≤ ni − 1, para i = 1, . . . , s.

−11 , . . . , g−1

Pl(ζl11 , . . . , ζ

Referencias

el :=Pl(g1, . . . , gs)

Pl(ζl11 , . . . , ζ

lss ),

com 0 ≤ li ≤ ni − 1, para i = 1, . . . , s.

−11 , . . . , g−1

Pl(ζl11 , . . . , ζ

Referencias

Projecoes em KG

Em geral: el 6= e∗l

Pergunta: Assim, KG nao e em geral um anel ∗-limpo?

Referencias

Projecoes em KG

Referencias

Projecoes em KG

Referencias

Obrigada pela atencao!

Referencias

V. P. Camillo, D. Khurana, A characterization of unit-regularrings, Communications in Algebra 29 (2001), 2293 – 2295.

Y. Gao, J. Chen, Y. Li, Some star-clean Group Rings, AlgebraColloquium 22 (2015) 169–180 (to appear).

J. Han, W. K. Nicholson, Extensions of clean rings,Communications in Algebra 29 (2001), 2589–2595.

T. Y. Lam, A First Course in Noncommutative Rings,Springer-Verlag, New York, 2nd Edition, 2001.

Y. Li, M. M. Parmenter, P. Yuan, On star-clean group rings,Journal of Algebra and Its Applications 14 (2015) (to appear).

C. Li, Y. Zhou, On strongly ∗-clean rings, J. Algebra Appl. 10(6) (2011) 1363–1370.

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W. K. Nicholson, Lifting idempotents and exchange rings,Transactions of the AMS 229 (1977), 269 – 278.

W. K. Nicholson, Y. Zhou, Rings in which elements areuniquely the sum of an idempotent and a unit, GlasgowMathematical Journal 46 (2004), 227 – 236.

S. Perlis, G. Walker, Abelian Group Algebras of Finite Order,Trans. Amer. Math. Soc. 68, 420–426, 1950.

L. Quoos; P. M. Veloso, Primitive Central Idempotents ofNilpotent Group Algebras, Scientia Series A: MathematicalSeries 16, 87–93, 2008.

Referencias

L. Vas, ∗-Clean rings; some clean and almost clean Baer∗-rings and von Neumann algebras, J. Algebra 324 (2010),3388–3400.

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