Post on 25-Apr-2018
Algumas aplicações wavelet naanálise de sinais atmosféricos .
Margarete Oliveira Domingues
Odim Mendes Jr.
Aracy Mendes da Costa
INPE
DINCON 2003 – p.1/??
Motivação
DINCON 2003 – p.2/??
Sinais & Representações
Estrutura musical — é vista como eventos no tempo.
Uma musica pode ser entendida como um conjunto denotas musicais que se caracterizam por quatroparâmetros:
freqüência
momento de ocorrência
duração
intensidade
DINCON 2003 – p.3/??
Sinais & Representações
DINCON 2003 – p.4/??
Sinais Atmosféricos&Representações
Muitos sinais atmosféricos podem ser caracterizadostambém como:
freqüência
momento de ocorrência
duração
intensidade
DINCON 2003 – p.5/??
ondelette, wavelet , ondeleta
Associa–se a idéia de “pequenas ondas“
Ondas localizadas, i.e., ondas que crescem e decaemem um período limitado de tempo
Morlet chapéu mexicano
DINCON 2003 – p.6/??
ondelette, wavelet , ondeleta
Associa–se a idéia de “pequenas ondas“
Ondas localizadas, i.e., ondas que crescem e decaemem um período limitado de tempo
Morlet chapéu mexicano
DINCON 2003 – p.6/??
ondelette, wavelet , ondeleta
1) Para ser uma wavelet
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Isso garante que a função wavelet tenha uma forma dotipo onda — cond. de admissibilidade.
2) A função wavelet deve ter energia unitária, i.e.,�
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Isso garante o suporte compacto, ou um decaimentorápido de amplitude (e-folding time), garantindo alocalização espacial. DINCON 2003 – p.6/??
Dupla localização
Funções wavelet possuem a propriedade de dupla locali-
zação: em freqüência e em tempo, com um compromisso
entre elas.
DINCON 2003 – p.7/??
Transformadas wavelet
Ferramenta para análise de sinais não estacionários:
DINCON 2003 – p.8/??
Transformadas wavelet
Ferramenta para análise de sinais não estacionários:
para extrair informações das variações em freqüênciadesses sinais
para detectar suas estruturas temporalmente e/ouespacialmente localizadas.
DINCON 2003 – p.8/??
Transformadas wavelet
Ferramenta para análise de sinais não estacionários:
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em que
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� se refere a escala
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é um parâmetro de translação ou localização dafunção wavelet –mãe
DINCON 2003 – p.8/??
Dilatação & Translação
A variação do parâmetro �:
Quando � � �
têm o efeito de dilatação da funçãowavelet –mãe
Quando � � �
têm o efeito de contração da funçãowavelet –mãe.
Com isto, pode–se analisar os aspectos globais elocais das séries
À medida que�
varia, a função
�
é analisadalocalmente em torno de
�
.
DINCON 2003 – p.9/??
Dilatação & Translação
A variação do parâmetro �:
Quando � � �
têm o efeito de dilatação da funçãowavelet –mãe
Quando � � �
têm o efeito de contração da funçãowavelet –mãe.
Com isto, pode–se analisar os aspectos globais elocais das séries
À medida que�
varia, a função
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é analisadalocalmente em torno de
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.
DINCON 2003 – p.9/??
Dilatação & Translação
DINCON 2003 – p.9/??
Ex: Sinal & Transf. wavelet
DINCON 2003 – p.10/??
Ex: Sinal & Transf. wavelet
FONTE: http://engineering.rowan.edu/˜polikar/WAVELETS/WTpart3.htmlDINCON 2003 – p.10/??
Transformada wavelet contínua( CWT )
os parâmetros de escala e localização assumemvalores contínuos.
a inversa dessa transformada
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� � é uma const. que depende da funçãowavelet escolhida.
DINCON 2003 – p.11/??
Ex: Sinal com amplitude modulada
(Weng&Lau,1995)
DINCON 2003 – p.12/??
Ex: Sinal com freqüência modulada
DINCON 2003 – p.13/??
Ex: Sinal com mudança abrupta emfreqüência
DINCON 2003 – p.14/??
Ex: Sinal com mudança abrupta notempo
DINCON 2003 – p.15/??
Ex. Insolação
FONTE: http://www-odp.tamu.edu/publications/178_SR/chap_32/c32_6.htmDINCON 2003 – p.16/??
Ex: Temperatura
DINCON 2003 – p.17/??
Transformada wavelet discreta( DWT )
é implementada em valores discretos de escala
�
elocalização
�
.
representações redundantes ou não
sem redundâncias, – escolher funções wavelet queformem uma base ortogonal
funções wavelet são ortogonais com suas respectivasfunções transladadas e dilatadas
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DINCON 2003 – p.18/??
Representações de sinais
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em que
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são as funções wavelet e
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os coeficientes wavelet
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A amplitude dos coeficentes wavelet está associada àsvariações mais abruptas do sinal ou “detalhes´´ demais alta freqüência (Meyer,1990;Daubechies,1992;Chui:1992b)
DINCON 2003 – p.19/??
wavelet de Haar
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� caso contrário
é utilizada para detectar variações bruscas nos sinais,i.e., um aspecto de localização no espaço físico.
Pode-se observar também que os coeficienteswavelet indicam a região de transição entre diferentestipos de movimentos.
DINCON 2003 – p.20/??
wavelet de ortogonais e biortogonaisde Daubechies
ortogonal
�
biortogonal
� ��
� �
DINCON 2003 – p.21/??
Escalograma e análise de variância
a transformada wavelet é uma transformada quepreserva a energia.
o módulo ao quadrado da CWT de escalograma
o produto de duas CWT de funções distintas deescalograma cruzado Flandrin(1988)
o escalograma destaca:se o sinal analisado possui característicasmultiescalaquais escalas participam dos processosrepresentados no sinal.Liu(1994) definiu uma função de coerência wavelet
DINCON 2003 – p.22/??
Análise de variância wavelet
Com o propósito de detectar escalas dominantes oumódulos de variações, a análise de variância wavelet ou oespectro wavelet foi definido originalmente porMeneveau(1991) como
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DWT - Energia total contida em cada escala
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é expressapor
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com o número de ondas
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considerando sinais com média zero e elementos
é o intervalo das amostras observadas Katul et
all(1994),Percival & Walden(2000)
DINCON 2003 – p.23/??
Análise de variância wavelet
Co-espectro wavelet de duas funções
�
e � a partir deseus coeficientes wavelet
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nas escalas�
usando aexpressão
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Relações entre os coeficientes wavelet e momentos deordem superior, como a simetria e a curtose, tambémforam definidas.
DINCON 2003 – p.24/??
Ex: espectro e co-espectro de sinaisturbulentos atmosféricos
DINCON 2003 – p.25/??
Ex: espectro e co-espectro de sinaisturbulentos atmosféricos
10−3
10−2
10−1
100
10−3
10−2
10−1
100
101
102
103
104
Frequency
Ene
rgy
u spectra
DINCON 2003 – p.25/??
Ex: espectro e co-espectro de sinaisturbulentos atmosféricos
DINCON 2003 – p.25/??
Como escolher uma função wavelet ?
"A transformada wavelet equivale a um microscópiomatemático, cuja ampliação é dada pelo inverso doparâmetro de dilatação e a capacidade óptica pelaescolha da função wavelet –mãe"(Foufoula e Kumar,1994)
Uma questão que sempre surge na aplicação daanálise wavelet é a escolha da função wavelet maisadequada para analisar um certo tipo de sinal.
Não existe uma receita única para esse procedimento.
DINCON 2003 – p.26/??
Como escolher uma função wavelet ?
Recomendações úteis:
A forma da função wavelet escolhida deve refletir ascaracterísticas da série temporal.
séries temporais com variações bruscas oudegraus � wavelet de Haarséries temporais com variações mais suaves �
wavelet de Morlet e chapéu mexicano
DINCON 2003 – p.26/??
Como escolher uma função wavelet ?
Caso se deseje estudar mudanças de amplitude efase, uma wavelet complexa pode ser a maisadequada, como a de Morlet. Isso ajuda a capturar ocomportamento oscilatório dos dados.
Numa análise exploratória dos dados, as funçõeswavelet não-ortogonais revelam–se úteis, poispermitem uma redundância de informação.
DINCON 2003 – p.26/??
Como escolher uma função wavelet ?
Para sintetizar dados e fazer compressões, usam–seas funções wavelet ortogonais, que representam ossinais de forma mais compacta.
Quando é necessário uma informação quantitativasobre um processo, funções wavelet ortogonais são amelhor escolha (Kumar & Foufoula,1997).
DINCON 2003 – p.26/??
Como escolher uma função wavelet ?
Katul & Vidakovic,(1996,1998) e Vidakovic(2000)
escolhas de wavelet ortogonais de Daubechies parasinais turbulentos
escolha deve ser a que menos desbalanceia a energiado sinal, isto é, a que necessite do menor número decoeficientes para representar o sinal.
desenvolveram limiar de Lorentz, para identificar oscoeficientes mais significativos.
DINCON 2003 – p.26/??
Aplicações
Nas análises, as ferramentas wavelet são essencialmenteusadas de duas formas:
como um núcleo de integração de análises para extrairinformações sobre processos e/ou
como uma base de representação ou caracterizaçãode processos.
DINCON 2003 – p.27/??
Aplicações
WengLau(1994) — a organização de convecçãotropical no Pacífico oeste
wavelet de Haar – em séries temporais sintéticasde sistemas dinâmicos, com duplo períodoPadrão de reconhecimento de imagens de satélitede alta resolução IRCWT com a wavelet de Morlet.
DINCON 2003 – p.28/??
Aplicações
Briggs & Levine(1997) aplicaram as técnicas da DWT ,no sentido exploratório, para auxiliar na verificação decampos de previsão.
Essa técnica permitiu compactar e filtrarconvenientemente o particionamento dos campos,auxiliando a interpretação física das verificações
DINCON 2003 – p.28/??
Aplicações
Torrence & Compo(1998) - utilizou previasinformações de análise de El Niño/Oscilação Sul paraavaliar e comparar com as técnicas de análise wavelet
Implementaram uma metodologia baseada nastécnicas de Monte Carlo para estabelecer limites deconfiança nas análises de variância wavelet .
DINCON 2003 – p.28/??
Aplicações
FONTE: paos.colorado.edu/research/wavelets/software.htmlDINCON 2003 – p.28/??
Aplicações
A DWT também pode ser utilizada para discriminarmesociclones em dados de radar Doppler Desrochers& Yee (1999) e para caracterizar as estruturas desistemas convectivos Yano et all(2001a,b).
Quanto a irradiância solar e reconstruções climáticas,Oh et all(2003) procederam a uma análisemultirresolução de séries temporais. A decomposiçãopor meio da DWT foi realizada de forma a facilitar aidentificação de características comuns entre essasséries temporais e as forçantes climáticas fisicamenteassociadas.
DINCON 2003 – p.28/??
Aplicações
A CWT com a wavelet de Morlet foi utilizada na detecção eprocessamento de transientes magnetotelúricosprovenientes de descargas elétricas atmosféricasZhang(1997).
audiofreqüências, tempestades próximas e a grandesdistâncias
amplitude e fase
DINCON 2003 – p.28/??
Aplicações
Ageyev(2003)
wavelet de Haar para analisar sinais de sfericsproduzidos por relâmpagos
de forma a extrair informações do campoeletromagnético, da estrutura morfológica do canalionizado e do comportamento da corrente elétrica dadescarga.
DINCON 2003 – p.28/??
Aplicações
Lawrence & Jarvis(2003)
no estudo de observações simultâneas de ondasplanetárias de
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a
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transformadas de Fourier conjugadas com asCWT utilizando Morlet
Essa análise mostrou que a relação entre asatividades de ondas planetárias em diferentesaltitudes possuem um alto grau de complexidade, poishá pulsos localizados em diversas dessas altitudes eessas séries apresentam um comportamentonão–contínuo entre si.
DINCON 2003 – p.28/??
Aplicações
Magnetograma utilizando a wavelet de Haar - as variaçõesbruscas desse sinal estão associadas a tempestadesmagnéticas no meio interplanetário.
DINCON 2003 – p.28/??
Considerações finais
A TRANSFORMADA wavelet REVELA QUAL PARTE DOSINAL ANALISADO TRANSPORTA ENERGIA E EM QUAISFREQÜÊNCIAS.
Essa frase traduz talvez todo o espírito, do ponto devista físico, dessa ferramenta.
DINCON 2003 – p.29/??
Considerações finais
Nas Ciências Atmosféricas, tem se tornado cada vezmais significativa a utilização da análise wavelet .
Os esforços realizados dentro da área de aplicação dewavelet a análise de sinais atmosféricos
DINCON 2003 – p.29/??
Considerações finais
Por outro lado, considerando um conjunto maior detrabalhos do que os apresentados aqui, a investigaçãodos fenômenos empregando essa técnica requer umbom conhecimento da ferramenta wavelet , paraassegurar o entendimento do resultado obtido e a suaconsistência.
Na maioria das aplicações atmosféricas, as funçõeswavelet utilizadas têm sido as famílias de Morlet,chapéu mexicano, Haar e Daubechies.
DINCON 2003 – p.29/??
Considerações finais
Muito provavelmente essas escolhas da funçãowavelet estão associadas a uma maior disponibilidadede softwares para o cálculo da CWT e DWT comessas funções.
Embora o esforço inicial requerido para a utilização doseu formalismo, as transformadaswavelet mostram–se realmente uma ferramenta muitoútil na análise de sinais registrados dos váriosfenômenos atmosféricos, constituindo um cenárioencorajador para as atividades de pesquisa.
DINCON 2003 – p.29/??
Endereços eletrônicos
Informações
www.wavelet.org
dmsun4.bath.ac.uk/resource/warehouse.htm
www.uni-stuttgart.de/iag/
www.cosy.sbg.ac.at/˜uhl/wav.html
norum.homeunix.net/˜carl/wavelet/
ftp.nosc.mil/pub/Shensa/Signal_process/
Softwares
Amara www.amara.com/current/wavesoft.html
FracLab/Scilab www-rocq.inria.fr/scilab/contributions.html
Lifting www.cs.kuleuven.ac.be/˜wavelets/
Morlet ftp.nosc.mil/pub/Shensa/Signal_process/
Numerical Recipes www.nr.com/public-domain.html
Rice www-dsp.rice.edu/software/rwt.shtml
Wavelab/MatLab www-stat.stanford.edu/˜wavelab/
WPLab www.math.wustl.edu/˜victor/software/WPLab/
WaveTresh/R www.stats.bris.ac.uk/˜wavethresh/software
[?] paos.colorado.edu/research/wavelets/software.html
DINCON 2003 – p.30/??
Agradecimentos
Os autores agradecem ao Dr. Elbert E. N. Macau o incentivo, ao Dr. Robi Polikar a
autorização de uso de figuras e ao CNPq o auxílio PCI-INPE�� �� � � � ��
.
DINCON 2003 – p.31/??
Obrigada a todos !!margaret@cptec.inpe.br
DINCON 2003 – p.32/??