Álgebra Lineare

Geometria Analítica

Engenharia Civile

Engenharia Topográfica

Equipa docente:Engenharia Civil Diurno:Marília Pires; Susana Fernandes; Nelson Pires

Engenharia Civil Nocturno:Marília Pires; Nelson Pires

Engenharia Topográfica:Marília Pires

Para tirar dúvidas:

• mpires@ualg.pt

• sfer@ualg.pt

• Página web: w3.ualg.pt/~mpires

Vamos jogar à Batalha Naval

Precisamos de mar:

Agora precisamos de barcos:

Agora precisamos de barcos:

Agora arranjar maneira de localizar os tiros:

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

10987654321

Tiros:A7H3J9

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

10987654321

Matrizes

1

2

3

4

5

7654321

Matrizes

45 56 -9 5 0.9 56 7

-9

99

0

10

7 0 0 0 3 6

-10

89

0

76

9

6532

-1

54 89

65 32 12 0

0 276 4

1

2

3

4

5

7654321

Matrizes

45 56 -9 5 0.9 56 7

-9

99

0

10

7 0 0 0 3 6

-10

89

0

76

9

6532

-1

54 89

65 32 12 0

0 276 4

1

2

3

4

5

7654321

Esta matriz tem 5 linhas e 7 colunasDiz-se que tem dimensão 57

Matrizes

45 56 -9 5 0.9 56 7

-9

99

0

10

7 0 0 0 3 6

-10

89

0

76

9

6532

-1

54 89

65 32 12 0

0 276 4

1

2

3

4

5

7654321

Para localizar um elemento temos que saber em que linha e coluna está.

Matrizes

45 56 -9 5 0.9 56 7

-9

99

0

10

7 0 0 0 3 6

-10

89

0

76

9

6532

-1

54 89

65 32 12 0

0 276 4

1

2

3

4

5

7654321

Este elemento está na linha 3 e coluna 5.Diz-se que está na posição (3,5)

1234010103106734

A

1234010103106734

A

A tem dimensão 34

1234010103106734

A

13a

1234010103106734

A

013 a

1234010103106734

A

21a

1234010103106734

A

321 a

Uma matriz A com m linhas e n colunasdiz-se que tem dimensão mne representa-se por

[aij] i =1,…,m; j=1,…,n

Matrizes especiais:

• Matrizes nulasOmn

Matriz com m linhas e n colunas e entradas todas nulas

• O23=

000000

Matrizes especiais:

• Matrizes quadradasAnn

Matriz com n linhas e n colunas

• A33=

365435874

Matrizes especiais:

• Matriz triangular superiorAnn

aij = 0 se i > j

• A33=

100120013

Matrizes especiais:

• Matriz triangular inferiorAnn

aij = 0 se i < j

• A33=

151024003

Matrizes especiais:

• Matriz diagonalAnn

aij = 0 se i j

• A33=

100020003

Matrizes especiais:

• Matrizes colunaAn1

Matriz com n linhas e 1 coluna

• A51=

20154

Matrizes especiais:

• Matrizes linhaA1n

Matriz com 1 linha e n colunas

• A15= 53210

Matrizes especiais:

• Matrizes identidadeInn

Matriz com n linhas e n colunas diagonal com todas as entradas principais iguais a 1.

• I33=

100010001

Matrizes especiais:

• Matrizes escalaresAnn

Matriz com n linhas e n colunas diagonal com todas as entradas principais iguais a .

• A33=

4.30004.30004.3

Matriz simétrica de outra:

• A matriz B diz-se simétrica da matriz A se as entradas de B forem os simétricos das entradas correspondentes de A.

• (É claro que A e B têm a mesma dimensão)

A= B =

B = - A

560142203

560142203

Matriz transposta doutra:

• A matriz B diz-se transposta da matriz A se as entradas de B foram tais que bik = aki.

• Escreve-se B = AT

A= B = AT =

b12 = a21 = 2

252141

215421

Multiplicar uma matriz por um escalar:

• Todas as entradas da matriz são multiplicadas pelo mesmo valor .

• B= A• (É claro que A e B têm a mesma dimensão)

A= B =3 A =

560142203

151803126609

Somar matrizes

• Só se podem somar matrizes da mesma dimensão.

• C = A + B• Cada entrada de C é a soma das entradas na mesma posição

de A e de B

A= B =

A + B =

014233

102125

112118

Multiplicar Matrizes CASO 1• Multiplicar uma matriz linha por uma matriz

coluna

Só se podem multiplicar estas matrizes se tiverem o mesmo número de elementos.

C = A BA= B = 2101

5140

Multiplicar Matrizes CASO 1• Multiplicar uma matriz linha por uma matriz

colunaSó se podem multiplicar matrizes se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.C = A B

A= B = 2101

5140

Multiplicar Matrizes CASO 1

• Multiplicar uma matriz linha por uma matriz colunaSó se podem multiplicar matrizes se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.

C = A BA= B =

A B = [10 + 04 + (-1)(-1) + 25] = [11]

2101

5140

Multiplicar Matrizes CASO 2• Multiplicar uma matriz com n linhas por uma matriz

colunaFaz-se o produto de cada linha da primeira matriz pela coluna.Só se podem multiplicar matrizes se o número de colunas da matriz for igual ao número de elementos da coluna.

C = A B

A= B =

5140

1321

0201

Multiplicar Matrizes CASO 2

• Multiplicar uma matriz com n linhas por uma matriz colunaC = A B

A= B =

5140

1321

0201

Multiplicar Matrizes CASO 2• Multiplicar uma matriz com n linhas por uma

matriz colunaC = A B

A= B =

C = =

5140

1321

0201

51)1(3420150)1(24001

102

Multiplicar Matrizes CASO GERAL

• Multiplicar uma matriz Anp

por uma matriz Bpm

C = A BCada coluna de C é o produto da matriz A pela coluna respectiva da matriz BEntão Cnm

421562262417

02132011

121321

ABC

32 24 34

421562262417

02132011

121321

ABC

32 24 34

O elemento cij da matriz C é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B

O produto de matrizes não é comutativo.

Pode ser possível efectuar AB e não ser possível efectuar BA.

Mesmo quando ambos os produtos são possíveis o resultado não é em geral o mesmo.

Matriz Inversa:

• Se A é uma matriz quadrada e existe B tal que AB = BA = I, então diz-se que A é invertível e escreve-se B = A-1

1021

1021

BA

1001

1021

1021

1001

1021

1021

Propriedades das operações com matrizes

• A + B = B + A (comutativa)• (A + B) + C = A + (B + C) (associativa)• A + O = A (elemento neutro)• A + (-A) = O (simétricos)• (A + B) = A + B• ( + ) A = A + A• ( A )= ( ) A

Propriedades das operações com matrizes

• 1 A = A• O = O• (AT)T = A• ( A + B) T = AT + BT

• ( A) T = AT

• A (B + C) = AB + AC (distributiva)• (B + C) A = BA + CA• (AB)C = A(BC)

Propriedades das operações com matrizes

• (AB) = ( A)B = A( B)• ( A B) T = BT AT

• ( A) T = AT

• (A-1)-1 = A• (AB) -1 = B-1 A-1

• (AT ) -1 = (A -1) T

• ( A) -1 = -1 A -1