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1-1
Introdução ao Magnetismo
Alberto Passos Guimarães
Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas
IV Escola Brasileira de MagnetismoSão Carlos, 24/11/2003
apguima@cbpf.br
1-2
RoteiroParte I
1. O fenômeno do magnetismo2. Momento angular e magnetização3. Momentos magnéticos localizados
Parte II
4. Magnetismo em metais5. A curva de magnetização6. Mecânica estatística e magnetismo7. Magnetismo e dimensionalidade8. Unidades
1-3
Parte I
1-4
Cientistas dizem que fim de semana será de muitas alterações na atmosfera
Meteorologistas finlandeses anunciaram que a Terra foi atingida ontem à noite por novas tempestades solares. O fenômeno confundiu satélites e provocou auroras boreais até o sul dos Estados Unidos. A previsão dos cientistas é de que o fim de semana será de muitas alterações na atmosfera. As tempestades solares são causadas pelo encontro de partículas eletricamente carregadas do sol com o campo magnético da Terra. Suspeita-se que, em outubro, elas teriam sido responsáveis por um blecaute que prejudicou 50 mil pessoas na Suécia.
Jornal NacionalJornal Nacional21/11/2003
1-5
Manchas solares e campos magnéticos
Imagens do Sol em 20/11/03: 1) Imagem com 612 nm, 2) Campos magnéticos
1-6
Escalas dos fenômenos magnéticos
Sistemas físicos com dimensões muito diferentes apresentam propriedades magnéticas
Galáxia M51: as barras indicam direção e intensidade do campo magnético
Elétron
1-7
Escala dos campos magnéticos
10-1210-1010-810-610-410-2100 102 104 106 1081010
galá
xia
cora
ção
ímãs
per
man
ente
s
mai
or c
ampo
exp
erim
enta
l
estre
las
de n
êutro
ns
cam
po n
o nú
cleo
do
Fe
Terra
cére
bro
Campo magnético (T)Os campos magnéticos observados no Universo variam numa ampla escala
1-8
Magnetismo e corrente elétrica
Linhas de força do campo devido a fios transportando corrente, visualizadas com limalha de ferro (M. Faraday (Phil. Trans. (1852))
1-9
Gravação magnética
A gravação magnética é uma das mais importantes aplicações práticas do magnetismo
Densidade dobrou a cada 2 anos desde os 1950s!
1-10
Magnetismo e seres vivos
Bactérias magnetotáticasapresentam pequenos cristais magnéticos
Tipos de cristais encontrados em bactérias
1-11
Portadores e interação no magnetismo
•O magnetismo da matéria surge essencialmente dos elétrons, que contribuem com dois termos: orbital e de spin.
•Os sistemas relevantes para o magnetismo são aqueles nos quais existem a) átomos com camadas eletrônicas incompletas, b) elétrons de condução.
•A ordem magnética surge da interação de troca (ou intercâmbio), interação de origem eletrostática.
1-12
1. O fenômeno do magnetismoUm campo magnético existe quando um objeto com carga elétrica q e velocidade v sofre a ação de uma força (Força de Lorentz) dada por:
BvF ×= q
A Lei de Ampère relaciona a densidade total de correntes Jtcom o campo B:
trot JB 0 µ=
Uma corrente i que circula num circuito de área A produz um dipolo magnético de momento m:
n é o vetor unitário da direção perpendicular à área A.
nm ˆiA=
1-13
A magnetização M é dada pela soma de momentos de dipolo, dividida pelo volume V:
∑=i
i V/mM
O momento de um elemento de volume é
dzdydxMdm =
Podemos associar uma corrente i’ a m
i'dxdydmA'im == ;
Mdzi'Mdvdm =→=
dyM'J
'dA'i
dydz'i
===A corrente i’ (figura) por unidade de área:
1-14
A componente x da densidade de corrente fica
dyM
dyM'J x
21 +−=
Como
)dyy(MM);y(MM +== 21
yM
yM'J z
x ∂∂
=∂∂
=dy
)dyy(Mdy)y(M'J x
++−=
zM
yM'J yz
x ∂
∂−
∂∂
=Repetindo o procedimento para a componente My obtemos outro termo:
1-15
Juntando as componentes x, y, z, resulta
MJ rot' =
O campo B resulta das correntes usuais i e das correntes i’(amperianas)
Aplicando a Lei de Ampère:
)'(rot JJB +µ= 0 Eliminando J’
−
µ= MBJ
0
rot
Finalmente, a relação entre B, H e M
( )MHB +µ= 0 (µ0 = 4π×10-7 H m-1)
1-16
Se M é proporcional a H num dado meio,
HB µ=
e µ é a permeabilidade do meio.
A permeabilidade relativa µr é definida em relação à permeabilidadedo vácuo µ0
0µµ=µ /r
A suscetibilidade é definida por
H/M=χ
Com
χ+=µ 1rH/B=µ
1-17
Campo de desmagnetização
É o campo que surge da descontinuidade de M. O campo H total é
MHHHH dd N−=−= 00
1/3-Esfera
02Cilindro longo
0,042Cilindro(l/d=5)
0,272Cilindro(l/d=1)
02Plano
1zPlano
NdDireçãoForma
No caso geral, Hd varia de ponto a ponto e Nd é um tensor. No caso de amostra elipsoidal e isotrópica, Nd é o fator de desmagnetização
1-18
2. Momento angular e magnetização
Uma carga –e percorrendo umcírculo com freqüência angularω tem momento magnético µ: 22
222 rererI ω
πωππµ −
=−
==
O momento angular (nesse caso, orbital) é
vL emr×=
A relação entre momento angular e magnético é portanto
Lµeme
2−
=
1-19
Se escrevermos o momento em função domomento angular total J=L+S, teremos
Jµ hγ= (γ - razão giromagnética)
1gfator ou =µγ= B/hpuro orbitalangular momento 2 em/e−=γ
2gfator ou =µγ= B/hpurospin deangular momento em/e−=γ
eB m
e2
h=µ Bohr) de(magneton T J10279 -124−×=µ ,B
Um elétron que só tenha momento angular de spin (γ=-e/me )tem um momento magnético igual a 1 magneton de Bohr
1-20
Classificação geral dos materiais quanto ao magnetismo
•Diamagnéticos: repelidos por uma região de campo mais intenso
•Paramagnéticos: atraídos por uma região de campo mais intenso
•Ferromagnéticos: fortemente atraídos por uma região de campo mais intenso
Diamagnéticos: χ< 0: tipicamente χ ~ -10-6 µ r<1 Paramagnéticos: χ > 0: tipicamente χ ~ 10-5 µ r>1Ferromagnéticos:χ>> 0: tipicamente χ ~ 104 µ r >>1
1-21
Um elétron num campo magnéticotem energia dada por
BmgE sBM µ=⋅−= Bµ 21 /ms ±=
A hamiltoniana de um átomo com Z elétrons é dada por
∑=
+=
Z
ii
e
i Vmp
1
2
0 2H
Na presença de um campo B
BSAp⋅µ+
+
+=∑
=B
Z
ii
e
i gVm
]e[1
22
2H
1-22
Com o campo B ligado ao potencial vetor A por
2 r;rot ×
==BAAB
Usando
LBprBrBp h⋅=×⋅=×⋅ ∑∑ ii
Z
ii
Z
ii
Resulta
( )22
1
2
82 ∑∑ ×+⋅+µ+
+=
=
Z
ieB
Z
ii
e
i
me)g(V
mp rBBLSH
1-23
3. Momentos magnéticos localizados
DiamagnetismoO diamagnetismo é um efeito observado em qualquer amostra. Noscasos em que não há paramagnetismo ou ferromagnetismo, ele épredominante. O diamagnetismo pode ser ilustrado classicamente empregando a Lei de Lenz, mas de fato é um efeito quântico.
O diamagnetismo resulta do último termo da hamiltonianaacima. Com o campo B paralelo a z, (B x r)=B(-y, x, 0)
)yx(B)r( ii2222 +=×B
A variação da energia com a presença do campo é
∑ >+<=∆Z
iii
e
|)yx(|mBeE 00
822
22
1-24
∑ ><=∆Z
ii
e
|r|mBeE 00
122
22
A magnetização pode ser calculada da energia livre F (vide Parte II)
∑ ><−=∂∆∂
−=∂∂
−=Z
ii
e
rmBNe
BE
VN
BFM 2
2
6
A suscetibilidade diamagnética fica portanto
∑ ><µ
−==χZ
ii
e
rm
NeH/M 202
6
1-25
Diamagnetismo: exemplo
Diamagnetismo: levitação de uma rã (Geim 1996)
1-26
Momento atômico totalz
m’
m
mJ
mS
mL
z
S
L
J
Dois termos do momento magnético
Sµ BS µ2−=Lµ BL µ−=
Como os fatores g são diferentes, o momento magnético total não tem a direção do momento angular total µ, que pode ser escrito:
'µµµ += J
A parte paralela a J é escrita
Jµ BJ gµ−=
1-27
Da figura, pode se obter
||2
||||
JJS
JJLµ ⋅−
⋅−= BBJ µµ
Usando
)(21 222 LSJ −+=⋅JS)(
21 222 SLJ −+=⋅JL e
ResultaJµ BJ gµ−=
Com
)1(2)1()1()1(1
++−+++
+=JJ
LLSSJJg )1(|| += JJg BJ µµe
g - fator de Landé
1-28
Paramagnetismo
A interação de um momento µJ com um campo B é dada por
Bµ ⋅−= JH
Com energias
BMgE JBM µ=
As probabilidades de ocupação dos estados rotulados por J são
∑ −
−=
JM
J
J
)kT/Eexp()kT/Eexp(
)M(PM
MJ
1-29
Para o caso J=1/2, as energias são
BEBE
B
B
µ−=µ+=
1
2
As frações de elétrons com spin -1/2 e +1/2 são
kT/BkT/B
kT/B
BB
B
eee
NN
µ−µ
µ
+=1
kT/BkT/B
kT/B
BB
B
eee
NN
µ−µ
µ−
+=2
21 NNN +=
A magnetização é
)NN(V
)NN(V
M BBB 212111
−µ=µ−µ=
kT/Bx Bµ=Ou, substituindo x:
xx
xx
BkT/BkT/B
kT/BkT/B
B eeeeN
VeeeeN
VM
BB
BB
−
−
µ−µ
µ−µ
+−
µ=+−
µ=11
1-30
µµ=µ=kTBtghn)x(tghnM B
BB
No caso geral, para J qualquer, a magnetização é
)x(JBngM JBµ=
Onde BJ(x) é a função de Brillouin:
)xJ
(ghcotJ
]x)J
[(ghcot)J
()x(BJ 21
21
211
211 −++=
Como x para J qualquer é igual a
kT/JBgx Bµ=Nas situações em que
1<<µ
=kTJBgx B
1-31
ou seja, alta temperatura ou baixo campo, pode se aproximar
...xx
)x(ghcot ++=3
1
xJ
J)x(BJ 31+
≈
A magnetização fica
kTB)J(JngnM Bz
J 3122 +µ
>≈µ<= )x(JBg JBzJ µ>=µ<de
E a suscetibilidade
TC
BM
HM
=∂∂
µ=∂∂
=χ 0
)J(JngC B 1220 +µµ=Com C dado por
C é constante de Curie
1-32
Paramagnetismo: exemplo
Momento magnético de sais de Gd, Fe e Cr, em função de B/T α x.
1-33
Ferromagnetismo
Paramagnetismo:
>µ<= zJnM)x(JBg JB
zJ µ>=µ< kT/JBgx Bµ=
Ferromagnetismo: além do campo aplicado B, temos um campomédio Bm devido aos outros momentos magnéticos. No caso mais simples (campo molecular) Bm é proporcional à magnetização.
kT/)BB(Jg'x mB +µ=
)'x(JBngnMB JBzJm µλ>=µ<λ=λ= Eq. 2-1
Eq. 2-2kT/nJg'x zJB >µ<λµ=Para B=0, x’ fica:
1-34
Da Eq. 2-1
)'x(JBg JBzJ µ>=µ<
Da Eq. 2-2
kT/nJg'xzJB
zJ >µ<λµ>=µ< Eq. 2-3
Para se obter a curva de momento versus campo énecessário resolver o sistema de equações acima.
1-35
Podemos calcular a temperatura para a qual a magnetização se anula – a temperatura de Curie.
Para pequenos valores de x’
'xJ
J)'x(BJ 31+
≈ kT/nJg'x zJB >µ<λµ=com
Substituindo na expressão do momento magnético
'xJ
JJg)'x(BJg BJBzJ 3
1 +µ≈µ>=µ<
Usando a Eq. 2-3
kT/nJg'x'x
JJJg
BB λµ
=+
µ3
1
Resolvendo para T:
k)J(JngT B
C 3122 +λµ
= TC é a temperatura de Curie
1-36
Ferromagnetismo: exemplo
Magnetização e 1/suscetibilidade do Gd metálico
2-37
Resumo – Parte I
1. O magnetismo está presente em todas as escalas de tamanho e em muitos fenômenos naturais
2. Os materiais devem suas propriedades magnéticas essencialmente aos momentos orbital e de spin dos elétrons. A ordem magnética se deve a uma interação eletrostática (troca).
3. O campo B é devido à soma dos efeitos de H e de M
( )MHB +µ= 0
4. A classificação mais ampla de materiais é: diamagnéticos, paramagnéticos e ferromagnéticos
5. O paramagnetismo pode ser descrito de forma semi-clássica (Brillouin) e o ferromagnetismo pode ser descrito com modelo de campo molecular (Weiss)
2-38
Parte II
2-39
4. Magnetismo em metais
Os momentos magnéticos nos metais não são dados por númerosinteiros de magnetons de Bohr
-0.105-0.28-0.21Momento 4s
0.6201.992.39Momento 3d
0.6161.7152.216Momento total
NiCoFe
(Wohlfarth 1980)
2-40
Formação de bandas ou faixas
Energias disponíveis para os elétrons do Fe metálico versus separação entre átomos.
2-41
Paramagnetismoelétrons livres
≠0
do gás de
Densidade N(E) para B=0 e B
212
3
2
24 EhmV)E(N e
π=
Elétrons livres contidos num volume V têm estados disponíveis de energia E dados pela densidade de estados N(E):
2-42
Integrando sobre todos os estados ocupados até a energia máxima (EF) achamos o número total de elétrons N:
2323
20
243
8 /F
eEE
hmVVdE)E(NN F
π
π== ∫
Número de elétrons por unidade de volume
V/Nn =Número de elétrons com spin para cima e para baixo
dE)E(ndE)BE(nnBEE
B BBFF
B∫∫
µ+
µ−↑ =µ+=02
121
dE)E(ndE)BE(nnBEE
B BBFF
B∫∫
µ−
µ↓ =µ−=02
121
2-43
Magnetização do gás de elétrons
Magnetização:
)nn(M B ↓↑ −µ=
dE)E(ndE)E(n)nn(MBE
BE
BBBF
BF
∫∫ µ−
µ+
↓↑ +µ=−µ=0
021
dE)E(nBE
BEBBF
BF∫
µ+
µ−µ=
21
Para µBB/ EF pequeno a integral é igual ao integrando no ponto EF vezes 2 µBB, e M fica
)E(nBM FB 2µ=
2-44
O critério de Stoner
Interação entre a magnetização do gás e o campo molecular:
21
21
21 22 )nn()nn()nn(E BBBm ↓↑↓↑↓↑ −λµ−=−λµ−µ−=⋅−= BM
)nnn( ↓↑−λµ−= 421 22
B
O termo que envolve n↑n↓ é
↓↑= nUnE 2 2BU λµ=com
2-45
Variação da energia magnética de B=0 para B≠0
22
21
4122 )nn(UnUnUnEm ↓↑↓↑ −−=−=∆
Variação da energia cinética
E)nn(Ek δ−=∆ ↓↑21
Variação total da energia
E)nn()nn(UEEE kmT δ−+−−=∆+∆=∆ ↓↑↓↑ 21
21 2
2-46
Usando
)nn(E)E(n F ↓↑ −=δ
Obtemos
[ ] )]E(Un[)E(Un)nn(
)E(UnU)nn(E F
FFT −
−=−−−=∆ ↓↑
↓↑ 12
1121 2
2
Donde
0M para mínimo é 01 =∆→>− TF E)]E(Un[Se
0M para mínimo é 01 ≠∆→<− TF E)]E(Un[Se
Finalmente
01 <− )E(Un FCritério de Stoner
2-47
Modelo Stoner
Campo total agindo sobre os elétrons (hipótese de campo molecular)
MBBB ext λ+== ↓↑
Com Bext=0
)nn(MBB B ↓↑↓↑ −λµ=λ==
Bn)nn('k
BBµ−θ
−= ↓↑↓↑
kn' B
2µλ=θ
As energias das sub-bandas no campo molecular são
n)nn('k
EE k↓↑
↑
−θ−=
n)nn('k
EE k↓↑
↓
−θ+=e
2-48
Introduzindo a função de Fermi-Dirac f(E) para dar conta da variação da ocupação dos estados com T,
11
+µ−=
]kT/)Eexp[()E(f
os números de elétrons com spin para cima e para baixo ficam
dE)n/)nn('kBE(f)E(nn B∫∞
↓↑↑ −θ−µ−=0 02
1
dE)n/)nn('kBE(f)E(nn B∫∞
↓↑↓ −θ−µ+=0 02
1
EscrevendoBn/Mn/)nn( µ=−=ζ ↓↑
Obtemos para o número total de elétrons
µ+ζθ−
+
µ+ζθ
=
kT'kF
kT'kF
EkTn
/
F
23
43
2-49
Finalmente, a partir do número de elétrons com spin para cima e para baixo, obtemos a magnetização no modelo Stoner
µ+ζθ−
−
µ+ζθ
µ=
kT'kF
kT'kF
EkTnM
/
FB
23
43
Curvas de M(T/TC) calculadas numericamente para diferentes valores do parâmetro de campo molecular λ (ou θ’).
2-50
5. A Curva de Magnetização
O registro da magnetização M fazendo variar H de +Hmax até-Hmax e de volta até +Hmax, é chamado ciclo de histerese.
GAm-1ODMrRetentividade(remanência)
OeAm-1OEHCCoercividade(força coerciva)
CGSSIGrandeza
2-51
O processo de magnetização
Curva de magnetização virgem: três regiões, caracterizadas por diferentes mecanismos físicos:
1) aumento da magnetização por deslocamento reversível de paredes de domínios,
2) magnetização por deslocamentos irreversíveis das paredes, e
3) rotação da magnetização (reversível e irreversível).
2-52
Materiais Magnéticos de Uso Prático
MateriaisMagnéticos
Maciosaços baixo carbono
ligas ferro-silícioligas ferro-cobalto ligas níquel-ferro
amorfos nanocristalinos ferritas macias
Materiais Magnéticos
MateriaisMagnéticos
DurosalnicoSmCo5
Sm(CoCuFeZr)7Nd2Fe14BR2Fe17N3
ferritas duras
MateriaisMagnéticos
Intermediários
γ-Fe2O3CrO2
Co-γ-Fe2O3ferrita de bário
Hc<103 Am-1 Hc>104 Am-1
2-53
Coercividade e anisotropia de alguns materiais
2-54
6. Mecânica Estatística e Magnetismo
magB
magB
EBE
EBE
−=µ−=
+=µ+=
1
2Energia de um spin ½ nocampo B
A energia total do sistema de N spins é
magmagmag
N
ii E)p(E)NN(ENEE −=−−==∑ 111 N/Np 1=
O número total de arranjos dos N spins é dado pelo peso estatístico
!!!
)NN(NN)N(
111 −=Ω
2-55
Podemos definir o grau de desordem de um sistema pela entropia S
Ω= lnkS
Substituindo a expressão de Ω, obtemos para a entropia S
!!!
)NN(NNlnk)N(S
111 −=
A temperatura é definida pela derivada (E é a energia)
TES
V
1=
∂∂
Podemos expandir o fatorial usando a fórmula de Stirling
NNlnNNln −≈!
2-56
A entropia S fica então
)]NNln()NN(NlnNNlnN[k)N(S 11111 −−−−=
Usando a definição de temperatura
−
−=
∂∂
∂∂
=magEN
NNlnkEN
N)N(S
T 211
1
11
1
1
Depois de uma manipulação algébrica, obtemos a fração de elétrons com spin para cima, o mesmo resultado obtido na Seção 3, usando a função de Boltzmann
xx
x
eee
NNp −+
== 1
2-57
O denominador é a função de partição Z
xx eeZ −+=Cuja forma mais geral é
∑∑ β−− ==m
E
m
kT/E mm eeZ com
A energia livre F pode ser definida a partir de Z
kT/1=β
ZlnkTF −=
Para um sistema cuja magnetização tem valores Mm, interagindo com um campo B, a função de partição Z é
∑ −β−=m
)BM( meZ
2-58
A soma é feita sobre os estados m. A magnetização M (média térmica) é calculada usando Z:
BZlnkt
BZ
ZeM
ZM
m
)BM(m
m
∂∂
=∂∂
β== ∑ −β− 11
Substituindo a expressão
ZlnkTS −=
Chegamos ao resultado da média térmica de M:
BSM∂∂
−=
2-59
7. Magnetismo e Dimensionalidade
As propriedades magnéticas das amostras dependem da sua dimensionalidade, isto é, se estas se apresentam como um sólido de três dimensões, ou se, ex., apresentam-se como um filme fino (bidimensional). Nas amostras não volumosas, uma ou mais das suas dimensões podem ter grandeza mesoscópica ou nanoscópica. A dependência com dimensionalidade é especialmente importante quando as dimensões menores se aproximam das dimensões dos domínios, ou mais além, quando são da ordem das dimensões atômicas.
Segundo a dimensionalidade, as amostras são
a) granulares (quase zero-dimensionais);b) nanofios (unidimensionais);c) filmes finos (bidimensionais);d) volumosas ou massivas (tridimensionais).
2-60
Momentos magnéticos e dimensionalidade
Momentos magnéticos de Ni e Fe em µB:
2,272,963,34,0Fe0,560,681,12,0NiTrêsDoisUmZeroD
Momentos magnéticos de Ni e Fe em µB para diferentes dimensões: zero (átomo livre), um (cadeia de átomos), dois (filme) e três (volume) (Song e Ketterson 1992).
2-61
TC de filmes ultra-finos
Razão entre as temperaturas de ordenamento magnético (TC) de filmes ultra-finos e TC dos correspondentes materiais massivos, em função da espessura, medida em número de monocamadas atômicas. (Gradman 1993).
2-62
8. Unidades
Unidades de base: metro (m), quilograma (kg), segundo (s), ampère (A), kelvin (K), mol (mol) e candela (cd).
O ampère é a unidade básica de corrente elétrica. É a corrente que ao percorrer dois condutores paralelos de comprimento infinito e seção reta desprezível, separados por uma distância de 1 m no vácuo, produz entre eles uma força de 2×10-7 N por metro de comprimento.
Unidades derivadas de interesse, que têm um nome especial:
weber (Wb): fluxo magnéticohenry (H): indutância (equivalente a Wb A-1)tesla (T): densidade de fluxo magnético (equiv. a Wb m-2)
2-63
O campo H (intensidade de campo magnético) não tem uma unidade com nome específico; é medido em ampères por metro (A m-1).
A indução magnética ou densidade de fluxo magnético B (ou simplesmente `campo B’) é medida em tesla (T).
No vácuo, B (tesla) e H (ampère por metro) se relacionam por um fator µ0=4π×10-7 H m-1 (permeabilidade magnética do vácuo):
HB 0µ=
2-64
Relação entre SI e CGSRelação entre algumas grandezas nos dois sistemas:
CGS
SI
411
πχ+=µχ+=µ
r
rCGSSI 4πχ=χ
(SI) 0 )( MHB +µ=
(CGS) 4 MHB π+=
Relação entre algumas unidades
kg T J 1 gemu 1
mA 80 mA 410 Oe 1
T 10 1
1-1-1-
1-1-3
-4
=
≈π
=
=G
2-65
Resumo – Parte II
1. O magnetismo dos metais pode ser descrito por um modelo de elétrons itinerantes; no ferromagnetismo o modelo de Stoner usa um campo molecular
2. O critério de Stoner dá a condição para existir ferromagnetismo
3. A forma da curva de histerese reflete a ação de processos reversíveis e irreversíveis. Dessa curva se extraem a coercividade e a retentividade
01 <− )E(Un F
4. Da expressão da entropia de um sistema podemos extrair sua magnetização
5. A dimensionalidade das amostras afeta seu magnetismoBSM∂∂
−=
2-66
Grupos de Magnetismo no Brasil
Grupo de Magnetismo do CBPF (LABMAG)
Armando Y. TakeuchiElis SinneckerFlavio GarciaGeraldo CernicchiaroIvan S. OliveiraLuiz C. SampaioRoberto SarthourAlberto P. Guimarães
(Baseado em S.M. Rezende (2000))www.cbpf.br/~labmag
2-67
Fim
Bibliografia
S. Blundell, Magnetism in Condensed Matter, Oxford (2001).A.P. Guimarães, Magnetism and Magnetic Resonance in Solids, Wiley (1998).