Post on 19-Jan-2016
Apresentação sobre:
Marcelo OliveiraMestrando em engenharia mecânica Universidade Federal de Pernambuco
Recife, Junho 2014.
Programa de Pós-Graduação em Engenharia MecânicaUniversidade Federal de PernambucoCentro de Tecnologia e Geociências – CTGDepartamento de Engenharia Mecânica - DEMEC
Ajuste de CurvasAjuste de CurvasMétodo dos Mínimos QuadradosMétodo dos Mínimos Quadrados
Abordagem do trabalhoAbordagem do trabalho• Introdução• Definição• Objetivo• Motivação• Diagrama de dispersão• Tipos de curva• Regressão linear• Método dos mínimos quadrados • Linearização das funções• Ajustamento de curvas• Qualidade de ajuste• Exemplo
IntroduçãoIntrodução
• Freqüentemente é possível observar erros inerentes experimentais, conseqüentes dos métodos de medição utilizados.
• Funções aproximadas, que passem o mais próximo dos pontos.
É um método que utiliza um conjunto de técnicas matemáticas que servem para encontrar uma curva que se ajuste a uma série de pontos e que possivelmente cumpra uma série de parâmetros.
DefiniçãoDefinição
Linearizando
ObjetivoObjetivo
forma matemática, por meio dode uma equação que ligue as
.
Expressar a relação entre duas ou mais variáveis sob forma matemática, por meio do estabelecimento de uma equação que ligue as variáveis.
Neste caso, extrapola-se para o futuro as relações de causa-efeito, já observadas no passado, entre variáveis.
MotivaçãoMotivação• Qual é a curva mais adequada?
• Conhecendo os dados de consumo anual de carga elétrica de uma cidade, pode-se fazer projeções para o futuro e com isso, fazer-se um planejamento para que a cidade seja suprida de forma adequada nos anos subseqüentes. A idéia é ajustar uma curva que melhor se ajusta aos dados disponíveis. • O agricultor pode suspeitar que a quantidade de fertilizante aplicado tenha influenciado na safra.
Linearizando
DiagramaDiagrama de dispersão de dispersãoTêm-se uma coleção de dados que devem ser Têm-se uma coleção de dados que devem ser relacionados por meio de uma função y = f(x): relacionados por meio de uma função y = f(x):
DependenteDependente(Resposta)(Resposta)
Inde
pend
ente
(ex
plic
ativ
a)In
depe
nden
te (
expl
icat
iva)
Linearizando
RegressãoRegressão é o processo matemático pelo qual derivamos os parâmetros “a” e “b” de uma função f (x).
Estes parâmetros determinam as características da função que relaciona “y” com “x”, que no caso do modelo linear se representa por uma reta chamada de reta de regressão.
O processo de regressão O processo de regressão significa, portanto, que os pontos plotados no gráfico são definidos, modelados ou regredidos, a uma curva que corresponde à menor distância possível entre cada ponto plotado e a curva.
Regressão linearRegressão linear
Linearizando
Regressão Linear Simples: Regressão Linear Simples: Relaciona uma única variável (y) dependente com uma única variável independente (x), aplicando-se aos dados a equação: y = a + bx
Regressão Linear Múltipla: Regressão Linear Múltipla: Relaciona uma única variável (y) dependente com mais de uma variável independente (x1, x2,... Xn), e aplica-se aos dados a seguinte fórmula:
y = a + b1x1+ b2x2 + b3x3 +b4x4+...+bnxn
Regressão linear- tiposRegressão linear- tipos
Temos a equação linear: y = ay = a00 + a + a11 x + e x + e
Os coeficientes a0 e a1 representam o ponto de interseção e a inclinação da função, respectivamente. O termo “e” representa o erro ou resíduo, entre o modelo desejado e os dados.
a0 e a1 são os parâmetros do modelo que serão estimados, e que definem a reta de regressão.
Regressão linear simplesRegressão linear simples
Temos a equação linear: y = a + by = a + b11xx11+ b+ b22xx22 + b + b33xx33 +b +b44xx44+...+b+...+bkkxxkk
O modelo de regressão linear múltiplo descreve uma relação entre as k variáveis independentes (ou regressores) “xj” , e a variável dependente “y”.
Considerando a = β0 e b = βk, temos que:
yi = β0 + β1xi1 + β2xi2 + ... + βkxik + ε yi = β0 + Σβjxij + ε
Os parâmetros βj , j = 0, 1, k são os coeficientes de regressão (parciais) e ε é o erro aleatório.
O ajustamento deste modelo de regressão, é expresso utilizando notação matricial. devido às dificuldades de cálculo no manuseamento do elevado números de parâmetros.
Regressão linear múltiplaRegressão linear múltipla
O modelo apresentado na equação yi = β0 + Σβjxij + ε é um sistema de n equações que pode ser representado matricialmente por:
Analogamente à regressão linear simples, pretende-se, agora, encontrar o vetor de estimadores dos mínimos quadrados β que minimize a soma dos quadrados do erro.
Fazendo a derivada parcial da expressão acima em relação a β:
Regressão linear múltiplaRegressão linear múltipla
É o método matemático pelo qual se define a curva de regressão. Esse método É o método matemático pelo qual se define a curva de regressão. Esse método definirá a curva que minimizará a soma das distâncias ao quadrado entre os definirá a curva que minimizará a soma das distâncias ao quadrado entre os pontos plotados (x,y) e os pontos da curva (x’,y’). pontos plotados (x,y) e os pontos da curva (x’,y’).
Definição: De todas as curvas que se ajustam a um conjunto de pontos, a que tem a propriedade de apresentar o mínimo valor de: d1
2 + d22 + ... + dn
2
é a melhor curva de ajustamento. Se diz que uma curva que apresenta essa propriedade, ajusta os dados no sentido dos mínimos quadrados, e é denominada curva dos mínimos quadrados.
Método dos mínimos quadradosMétodo dos mínimos quadrados
O Método dos Quadrados Mínimos é aplicado quando se tem um conjunto de pontos e pretende-se definir a curva que melhor se ajusta a este. Estudando a relação entre duas variáveis, inicialmente o gráfico de dados (diagrama de dispersão) é plotado, o qual irá fornecer uma idéia de qual é a função aproximada determinada pelos pontos.
Método dos mínimos Método dos mínimos quadradosquadrados
Utilizando o método dos quadrados mínimos para ajustar uma curva aos dados da população brasileira entre os anos de 1872 e 1996; com isso podemos prever qual será a população em um ano posterior.
Considere a tabela abaixo da população brasileira (em milhões):
Vamos ajustar uma curva da forma de um polinômio de segundo grau y=a+bx+cx² onde y denota a população e x o ano.
De posse da tabela podemos construir um sistema AX=Y, onde:
- Exemplo:- Exemplo:
Método dos mínimos Método dos mínimos quadradosquadrados
Logo, a solução X é obtida resolvendo o sistema AT AX=AT Y cuja solução é:
- Exemplo:- Exemplo:
Com os dados poderemos calcular a população no ano de 2000 (Previsão), calculando: y(2000)=167,9y(2000)=167,9, , cujo valor é comparado com os dados oficiais do IBGE dados oficiais do IBGE que informa que a população brasileira era de 169,8169,8 milhões de habitantes. Difere da real em 1,1%.
A partir desses dados poderemos prever a população brasileira no ano de 2010 calculando Y(2010)=197,6 Y(2010)=197,6 milhões de habitantes.
Método dos mínimos Método dos mínimos quadradosquadrados- Exemplo:- Exemplo: Logo a equação:
Y = 46044,8 – 48,7163x + 0,0129 xY = 46044,8 – 48,7163x + 0,0129 x22
Método dos mínimos Método dos mínimos quadradosquadrados
- Exemplo:- Exemplo: Construindo gráfico representativo:
Na maioria das vezes, as funções que descrevem os fenômenos físicos não são lineares, ou seja, não são funções do tipo y = a + bx. Tais funções devem ser linearizadas antes de aplicarmos o Método dos Mínimos Quadrados, a fim de obtermos o sistema de equações normais lineares. O procedimento varia, dependendo do tipo de função.Vamos desenvolver o procedimento de linearização para as funções exponencial, logarítmica, potencial e hiperbólica:
EQUAÇÃO LINEARy = ao + a1x
LinearizandoLinearizando
Linearização de funçõesLinearização de funções
Ajuste FunçãoExponencial y = aebx
Logaritmico y = a + b lnxPotencial y = axb
Hiperbólico y = a + (b/x)
Linearizando
ln y = ln a + bx ln y = ln a + bx
Considerando: ln y = y’ ln a = ao
b = a1
Temos então a equação linearizada: y’ = ay’ = aoo + a + a11 x x
Observe que esta equação é idêntica à equação da regressão linear, exceto pelo fato de que a variável y' é calculada pelo logaritmo da variável y original.
Um ajuste exponencial ajuste exponencial geralmente emprega uma função do tipo: y = a.ebx
Relações de
transformação
Linearização de funçõesLinearização de funções
Linearizando
Considerando: a = ao
b = a1
lnx = x’
Temos então a equação linearizada: y = ay = aoo + a + a11 x’ x’
Um ajuste logarítmico ajuste logarítmico geralmente emprega uma função do tipo: y = a + b lnx
Relações de
transformação
Linearização de funçõesLinearização de funções
Linearizando
Considerando: ln y = y’ ln a = ao
b = a1
lnx = x’
Temos então a equação linearizada: y’ = ao + a1 x’
Um ajuste potencial ajuste potencial geralmente emprega uma função do tipo: y = axb
ln y = ln a + b lnx
Relações de
transformação
Linearização de funçõesLinearização de funções
Linearizando
Considerando: y = y’ a = ao
b = a1
x = 1/x’
Temos então a equação linearizada: y’ = ao + a1 x
Um ajuste hiperbólico ajuste hiperbólico geralmente emprega uma função do tipo: y = a + (b/x)
Relações de
transformação
Linearização de funçõesLinearização de funções
A tabela abaixo descreve uma relação entre x e y.
Vamos ajustar aos pontos tabelados as seguintes funções:
Vamos também determinar, através do através do coeficiente de correlação de Pearsoncoeficiente de correlação de Pearson, qual destas funções representa o melhor ajuste e comparar graficamente os ajustes realizados.
ExemploExemplo
X 69,7 71,6 76,3 79,6 82,6 84,3 88,6 93,3
Y 882 960 864 900 1032 1104 1200 1188
y = a.ey = a.ebxbx y’ = a y’ = aoo + a + a11x x
Exemplo – ajuste exponencialExemplo – ajuste exponencial
y = a + b ln x y = ay = a + b ln x y = aoo + a + a11x’ x’
Exemplo – ajuste logarítmicoExemplo – ajuste logarítmico
y = a + (b/x) y = ay = a + (b/x) y = aoo + a + a11x’ x’
Exemplo – ajuste hiperbólicoExemplo – ajuste hiperbólico
Coeficiente de correlação de Pearson (r)Coeficiente de correlação de Pearson (r)
O coeficiente de correlação (r): coeficiente de correlação (r): é uma medida da força e direção de uma relação linear entre duas variáveis, obtida pela equação:
A amplitude do coeficiente de correlação é: -1 ≤ r ≤ +1-1 ≤ r ≤ +1, Onde:
- Se x e y tem uma correlação linear positiva forte, r está próximo de 1. -Se x e y tem uma correlação linear negativa forte, r está próximo de -1. - Se não há correlação linear ou correlação linear fraca, r está próximo a zero.
Qualidade do ajusteQualidade do ajuste
Se r está próximo a 0, isso não significa que não há relação entre x e y. Significa somente Se r está próximo a 0, isso não significa que não há relação entre x e y. Significa somente que não há relação linear.que não há relação linear.
Qualidade do ajusteQualidade do ajuste
Coeficiente de Determinação (rCoeficiente de Determinação (r22))O Coeficiente de Determinação pode ser definido como o grau de ajuste da reta O Coeficiente de Determinação pode ser definido como o grau de ajuste da reta
estimada ao conjunto de dados, ou seja, quão bem o modelo se ajusta ao conjunto de estimada ao conjunto de dados, ou seja, quão bem o modelo se ajusta ao conjunto de dados. dados.
Poder de Explicação de r2
yi
xi
y
Variação Totalý
i Variação Explicada
Variação não Explicada
ý = a + bx
• Variação Total: é a distância entre o valor médio de y e o valor observado de cada y.
• Variação não-explicada: é a distância entre os valores estimados pela reta e os valores observados de y
• Variação explicada: é a distância entre o valor médio de y e os valores estimados pelo modelo para cada y
• Conclui-se, então que [Variação total = variação explicada + variação não-explicada].
Qualidade do ajusteQualidade do ajuste
A percentagem de variação explicada, rA percentagem de variação explicada, r22, é = Razão da variação explicada / variação total., é = Razão da variação explicada / variação total.
2
2
2
2
2
2
2
variação explicada
variação total
variação total - variação não explicada
variação total
variação não explicada1 1
variação explicada
c
i
i c
c
y yr
y y
r
y yr
y y
O coeficiente de determinação r2 indica a proporção da variação total na variável dependente “y” que é explicada pela variação da variável independente “x”.
Se r2 é próximo de 1, isso significa que a variação explicada responde por uma grande percentagem da variação total. Ex: r2 = 0,93. Indica que aproximadamente 93% da variação em y está relacionada com a variação de x e que 7% não é explicado por x.
A amplitude do coeficiente de correlação é: 0 ≤ r2 ≤ +1
Qualidade do ajusteQualidade do ajusteCoeficiente de Determinação (rCoeficiente de Determinação (r22))
Coeficiente de Determinação (rCoeficiente de Determinação (r22)): indica o quanto a reta de regressão explica o ajuste da reta.
Portanto,
Coeficiente de Correlação (r)Coeficiente de Correlação (r): deve ser usado como uma medida de força e direção da relação entre as variáveis.
Qualidade do ajusteQualidade do ajuste
Vamos determinar, através dos coeficientes de correlação e de determinação, qual das funções representa o melhor ajuste e comparar graficamente os ajustes realizados.
y = a0 + a1x
coef. de correlação (r) = 0,87
coef. de determinação (r2) = 0,76
Considerando que um bom ajuste é representado por valores de r2 > 0,99
Este coeficiente indica que a função de ajuste linear Este coeficiente indica que a função de ajuste linear NÃO REPRESENTA NÃO REPRESENTA um bom um bom ajuste para os dados desse problema.ajuste para os dados desse problema.
Qualidade do ajuste do exemploQualidade do ajuste do exemplo
Ajuste linearAjuste linear
y = a.ebx
Este coeficiente indica que a função de ajuste exponencial Este coeficiente indica que a função de ajuste exponencial NÃO REPRESENTA NÃO REPRESENTA um bom ajuste para os dados desse problema.um bom ajuste para os dados desse problema.
coef. de correlação (r) = 0,870,87
coef. de determinação (r2) = 0,750,75
Qualidade do ajuste exponencialQualidade do ajuste exponencial
y = a + b ln x y = a + b ln x
Este coeficiente indica que a função de ajuste logaritmico Este coeficiente indica que a função de ajuste logaritmico NÃO REPRESENTA NÃO REPRESENTA um um bom ajuste para os dados desse problema.bom ajuste para os dados desse problema.
coef. de correlação (r) = 0,860,86
coef. de determinação (r2) = 0,750,75
Qualidade do ajuste logarítmicoQualidade do ajuste logarítmico
y = axy = axbb
Este coeficiente indica que a função de ajuste potencial Este coeficiente indica que a função de ajuste potencial REPRESENTAREPRESENTA um bom um bom ajuste para os dados desse problema.ajuste para os dados desse problema.
coef. de correlação (r) = 0,990,99
coef. de determinação (r2) = 0,990,99
Qualidade do ajuste potencialQualidade do ajuste potencial
y = a + (b/x) y = a + (b/x)
Este coeficiente indica que a função de ajuste hiperbólico Este coeficiente indica que a função de ajuste hiperbólico NÃO REPRESENTA NÃO REPRESENTA um bom ajuste para os dados desse problema.um bom ajuste para os dados desse problema.
coef. de correlação (r) = -0,85-0,85
coef. de determinação (r2) = 0,720,72
Qualidade do ajuste hiperbólicoQualidade do ajuste hiperbólico
Etapas a seguirEtapas a seguir
1. Fazer diagrama de dispersão2. Definir visualmente tipo de curva que melhor
representa os pontos (Pegar ponto inicial e final)
3. Determinar a e b4. Descrever a equação5. Verificar a correlação – 6. Verificar o coeficiente de determinação – Q. Ajust.7. Plotar gráfico
ExemploExemplo
AJUSTE DE CURVA – AVALIAÇÃO DE ABSORÇÃO AJUSTE DE CURVA – AVALIAÇÃO DE ABSORÇÃO DE SOLVENTES EM NANOCOMPÓSITOS DE SOLVENTES EM NANOCOMPÓSITOS
PRODUZIDO A PARTIR DA POLIAMIDA 12 PRODUZIDO A PARTIR DA POLIAMIDA 12 RECICLADARECICLADA
Trabalho de conclusão de cursoUniversidade Federal de SergipeMarcelo dos Anjos Oliveira
IntroduçãoIntrodução
A indústria e desenvolvimento de novos produtos.
Compósitos
• Principio da ação combinada• Sinergia entre propriedades
• Fase: Matriz e reforço
Tubos de Poliamida 12
MetodologiaMetodologiaABSORÇÃO DE SOLVENTES
Referência: Y. Zhang et al.Procedimento:-Massa inicial (peso)-Triplicatas para cada formulação-Mergulhadas em gasolina e álcool- Alteração da massa em função do tempo- tempo final: 132 horas- Coeficiente de difusão
FLUXOGRAMAFLUXOGRAMA
FORMULAÇÕESFORMULAÇÕES
ObjetivoObjetivo
• Com os valores experimentais em mãos utilizou o software Minitab, a fim de definir o melhor ajuste de curva para cada composição e para cada tipo de solvente.
Qualidade do ajusteQualidade do ajuste
Tabela 3 – Valores obtidos no Minitab de S (Erro padrão), R-Sq (Correção) e R-Sq (Determinação), para ajuste simples e poligonal (quadrático ‘2º ordem’ e cúbico ‘3º ordem’).
Equações obtidasEquações obtidas
O software apresentou como polígono de 3º ordem, porém o valor era tão pequeno que ele considerava como sendo 0,00000 x3
ConclusõesConclusões• Foi possível ajustar as curvas de modo a obter uma
ótima relação entre a variável explicativa e a variável resposta, a fim de obter o melhor ajuste e a equação que melhor descreva as equações do sistema.
• Avaliando o ajuste linear e o poligonal, foi possível chegar a conclusão de que o poligonal de terceira ordem apresenta melhor relação entre as variáveis explicativa e resposta, portanto, satisfaz e sistema e dessa forma foi possível descrever as melhores equações possíveis.
ConclusõesConclusões
• Observou-se que o melhor ajuste seria o poligonal de terceira ordem para todos os casos e comparando entre o solvente utilizado a tendência de melhor ajuste se deu na imersão dos corpos de prova em álcool com a qualidade de ajuste média de 98,93% enquanto para a gasolina 97,68%.
ConclusõesConclusões• É possível verificar que o comportamento da curva de absorção não segue
uma linearidade em relação a quantidade de argila incorporada no polímero, pois, observando na curva de dispersão para a gasolina há um aumento de absorção em relação ao polímero puro seguidamente do aumento para 5% de argila, porém não se observa um aumento significativo entre as concentrações de 5% para 7%, Oliveira M et al descreve o comportamento analisando alguns experimentos descritos na literatura em que 5% seria quantidade máxima de mistura excelente para a argila em polímero. Já para o álcool a concentração de 5% da argila 1 apresenta bons resultados em relação ao polímero puro e ao polímero contendo 7% de argila. Em ambos experimentos foi possível observar que 5% da argila 2 apresentou os melhores resultados em relação a argila 1 em todas as situações.
Referências Referências • Callister Jr., W.D. Ciência e Engenharia de Materiais: Uma
introdução. 5° ed., Rio de Janeiro: LTC Editora, 2002.• Oliveira, M. A. Monografia: Propriedades mecânicas e de absorção
de solventes de nanocompósitos produzido a partir da poliamida 12 reciclada. Universidade Federal de Sergipe – UFS, 2012.
• KUME, Hitoshi, Métodos Estatísticos para a Melhoria da Qualidade. São Paulo:Gente,1993.
• BUSSAB, Wilton O e MORETTIN, Pedro A. Estatística básica. São Paulo: Saraiva,2002.
• KAZMIER, L.B. Estatística aplicada à Economia e à Administração. São Paulo: McGraw-Hill, 1982.
• MONTGOMERY, D. C. Introdução ao controle estatístico da qualidade. Tradução: Ana Maria Lima de Farias. 4ºEdição. Rio de Janeiro:LTC, 2004.