Fundacao Centro de Ciencias e Educacao Superior a Distancia do Estado do Rio de Janeiro

Centro de Educacao Superior a Distancia do Estado do Rio de Janeiro

2a AD 2015/1 IPE Licenciatura em Fsica Gabarito Coord. Edson Cataldo

1a Questao [2,5 pontos] Um dado honesto e lancado duas vezes. Determine a probabilidade de se obter umnumero maior que quatro em pelo menos um dos lancamentos.

Resolucao:

O espaco amostral e dado por = {(x, y)|1 x 6 e 1 y 6}. Assim # = 36.Consideremos o evento E = {(x, y) |x e maior que quatro ou y e maior que quatro}.Para contar o numero de elementos de E podemos dividir o problema em tres casos: (i) apenas no primeiro

lancamento e obtido um numero maior que quatro; (ii) apenas no segundo lancamento e obtido um numeromaior que quatro e (iii) nos dois lancamentos sao obtidos numeros maiores que quatro.

Para o primeiro caso, ha 2 4 = 8 possibilidades. Para o segundo caso, ha 4 2 = 8 possibilidades. Final-mente, para o terceiro caso, ha 2 2 = 4 possibilidades.

Logo, no total, ha 8 + 8 + 4 = 20 possibilidades. Portanto, P (E) =20

36=

5

9.

2a Questao [2,5 pontos] Um grupo de alunos e formado por 6 meninas e 4 meninos. Renata e uma das meninase Bruno e um dos meninos. Um professor decide formar grupos de 4 alunos para um determinado jogo. Cadagrupo deve conter pelo menos 1 menina e 1 menino. Escolhendo-se, aleatoriamente, um dos grupos possveis,determine a probabilidade de Renata e Bruno fazerem parte do grupo escolhido.

Resolucao:

O numero total de grupos contendo pelo menos uma menina e um menino que podem ser formados e calculadoconsiderando-se o numero total de grupos que podem ser formados (C(10, 4)) e subtraindo-se o numero de gruposque contem so meninas (C(6, 4)) e os que contem so meninos (C(4, 4)).

Temos, C(10, 4) C(6, 4) C(4, 4) = 210 15 1 = 194.Desse total, o numero dos grupos nos quais participam Bruno e Renata e calculado da seguinte forma:1 1 C(8, 2) = 28.

Logo, a probabilidade de Bruno e Renata fazerem parte do grupo escolhido e28

194=

14

97.

3a Questao [2,5 pontos] Uma caixa contem 12 macas boas e 8 estragadas. Extraindo-se, aleatoriamente, 3macas desta caixa (sem reposicao), determine a probabilidade de nenhuma das macas estar estragada.

Resolucao:Nao ha uma ordem na escolha das 3 macas extradas da caixa e elas tem a mesma chance de serem retiradas.

Portanto, o espaco amostral e equiprovavel e a obtencao do numero de elementos deste espaco envolvecalculos de combinacao.

1

O numero de elementos do espaco amostral e dado por C(20, 3) =20 19 18

3!= 1.140.

Para escolher as 3 macas boas, temos C(12, 3) =12 11 10

3!= 220 possibilidades.

Assim, a probabilidade de nenhuma das macas estar estragada e220

1.140=

11

57.

4a Questao [2,5 pontos] Uma urna contem 12 bolas azuis e 4 bolas brancas. Duas bolas sao retiradas da urnaao acaso, uma apos a outra, sem reposicao. Determine:

(a) [1,0 ponto] A probabilidade de a primeira bola retirada ser azul.

(b) [1,5 ponto] A probabilidade de a segunda bola retirada ser branca, sabendo que a primeira bola retiradafoi azul.

Resolucao:(a) Como ha 12 bolas azuis e um total de 16 bolas, a probabilidade de a primeira bola retirada ser azul e

12

16=

3

4.

(b) Como a primeira bola retirada foi azul, restarao 15 bolas, das quais 4 sao brancas. Logo, a probabilidade

de a segunda bola retirada ser branca e4

15.

2