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Análise de Redes Elétricas
Joinville, 1 de Abril de 2012
Matriz de Admitância NodalE
Cálculo de Redes
Escopo dos Tópicos AbordadosMatriz de Admitância Nodal e Cálculo de Redes;A referência para esta aula foi o livro dos autores: Graiger e Stevenson, intitulado: “Power System Analisys” – Capítulo 7.
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Matriz de Admitância eCálculo de Redes
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Generalidades:
• Sistemas de transmissão estão distribuídos porvastas regiões geográficas, envolvendo umgrande número e variedade de componenteselétricos;
• A interligação destes componentes formam asredes elétricas, que para serem analisadas,necessitam de representação adequada, feita deforma matricial, onde cada elemento édeterminado pela escolha de parâmetros.
Matriz de Admitância eCálculo de Redes
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Generalidades:
• Existem duas maneiras de representação matricialde redes elétricas:• Via matriz de admitância – utilizada em fluxo de potência;
• Via matriz de impedância – utilizada em cálculo de curto-circuito.
• A abordagem via matriz de admitância seráapresentada e utilizada para representar oselementos em regime permanente;
• Tal matriz é determinada via análise nodal.
Matriz de Admitância eCálculo de Redes
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Generalidades:
• A matriz de admitância de um sistema de potênciatípico é esparsa e pode ser obtida de formasistemática, o que facilita sua implementaçãonumérica em algoritmos;
• Devido a grande dimensão destas matrizes, técnicasde esparsidade e ordenação ótima são utilizadaspara aumentar a eficiência computacional – nãoabordado neste curso.
Matriz de Admitância eCálculo de Redes
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Admitâncias de ramo e nodais:
Matriz de Admitância eCálculo de Redes
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Exemplo de montagem da matriz de Admitâncianodal:
Matriz de Admitância eCálculo de Redes
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Circuito equivalente:
Matriz de Admitância eCálculo de Redes
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Circuito equivalente: transformando reatâncias em admitâncias e fontes de tensão em fontes de corrente:
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Matriz de admitância:
Matriz de admitânciaNodal é simétrica.
Obtida por inspeção:
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Matriz de admitância:
YV I= (1)
Matriz de Admitância eCálculo de Redes
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Extensão considerando acoplamentos mútuos entre ramos:
(2)
Matriz de Admitância eCálculo de Redes
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Deseja-se escrever a matriz de admitância do circuito:
Matriz de Admitância eCálculo de Redes
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Escrevendo na forma de admitância o circuito:
⇒ (3)
(4)
Matriz de Admitância eCálculo de Redes
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Representando as mútuas na matriz de admitância do circuito:
– Escrevendo as equações de queda de tensão do circuito:
(5)
Matriz de Admitância eCálculo de Redes
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Representando as mútuas na matriz de admitância do circuito:
– Escrevendo as equações relacionadas às correntes do circuito:
(6)
Matriz de Admitância eCálculo de Redes
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Representando as mútuas na matriz de admitância do circuito:
– Como tem-se que:
– E que:
– Substitui-se Va e Vb de (5) em (3):
(3)
(5)
(7)
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Representando as mútuas na matriz de admitância do circuito:
– É necessário escrever Ia e Ib em função de Im, In, Ip e Iq:
– Usa-se a relação:
(6)
(7)
Matriz de Admitância eCálculo de Redes
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Representando as mútuas na matriz de admitância do circuito:
– Multiplicando a equação por A transposto , tem-se que:tA
(8)
(7)
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Representando as mútuas na matriz de admitância do circuito:
– Resultando em:
(9)
(8)
Matriz de Admitância eCálculo de Redes
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Desta forma, as mútuas fazem parte uma matriz aumentada (4x4) que formam a matriz de admitância do circuito:
(10)
(9)
Matriz de Admitância eCálculo de Redes
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Assim, por exemplo, se deseja-se inserir o efeito das mútuas (n) e (p), do circuito, insere-se (-Ym):
(10)
(9)
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Exemplo: encontre a matriz de admitância nodal do circuito:
Inicialmente, monta-se a matriz de impedância nodal e inverte-se a mesma a fim de obter a matriz de admitância nodal primitiva:
Matriz de Admitância eCálculo de Redes
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Exemplo: encontre a matriz de admitância nodal do circuito:
Da matriz inversa:
Resultando:
Matriz de Admitância eCálculo de Redes
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De:
O nó (barra) com
o “ponto” (polaridade)
corresponde ao
primeiro elemento.
Neste caso o Nó 3.
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Como existem apenas 3 nós, deve-se encontrar uma matriz 3x3, adicionando linhas e colunas do nó comum 3:
Matriz de Admitância eCálculo de Redes
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Como existem apenas 3 nós, deve-se encontrar uma matriz 3x3, adicionando linhas e colunas do nó comum 3:
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( )( )
( 2 )
a M a M
M a b M
a b M
Y Y a Y YY Y a Y Y
a Y Y Y
= − +⎡ ⎤⎢ ⎥= − +⎢ ⎥⎢ ⎥× × = + +⎣ ⎦
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Resultando em:
Matriz de Admitância eCálculo de Redes
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Resultando em:
Onde V1, V2 e V3 representam as tensões nos nós 1, 2 e 3 e as correntes I1, I2 e I3 representam as correntes externas injetadas nos respectivos nós.
Neste exemplo não foram representadas injeções de correntes nas barras. Um exemplo mais real será apresentado na próxima aula.
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Resolvendo o sistema linear, pode-se encontrar o fluxo de potência que fluem na linhas que interligam as barras de um sistema elétrico de potência:
Exemplos de obtenção de tensões em um sistema serão apresentado napróximas aulas.
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O resultado poderia ser extendido para, por exemplo:
O procedimento para tal pode ser encontrado no livro dos autores: Graiger e Stevenson - “Power System Analisys” Capítulo 7.