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Unidade de Ensino Superior Dom BoscoCurso de Sistemas de InformaçãoDisciplina de Lógica Matemática e ComputacionalSemestre 2013.2 1º Período
A Lógica das Sentenças Abertas
Profa. Ana Florencia
Aula 9
Roteiro1. Sentenças abertas com uma variável2. Conjunto- verdade de uma sentença aberta3. Sentenças com N variáveis e seu conjunto verdade4. Conjunção sobre sentenças abertas5. Disjunção sobre sentenças abertas6. Negação sobre sentenças abertas7. Demais operadores
1. O operador Condicional2. O operador Bicondicional
8. Equivalências tautológicas9. Exercício sobre sentenças abertas
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Sentenças abertas com uma variável
• Definição:– Uma sentença aberta com uma variável num
conjunto A;– Ou uma sentença em A;• P(x) tal que p(a) é verdadeira (V) ou falsa (F) para todo
elemento a pertencente ao conjunto A ,ou seja,• Para todo a A;∈• O conjunto A também é chamado de domínio da
variável x.
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• Em outras palavras:– uma sentença aberta em A é uma frase que contém
“espaços em brancos” (as variáveis) que devem ser preenchidos com valores retirados do conjunto A.
• Quando um elemento é retirado deste conjunto e “encaixado” na sentença aberta, então esta sentença deixa de ser aberta;
• e passa a se comportar como uma proposição simples:– tendo um valor lógico possível: ou ela é uma sentença que
afirma algo verdadeiro (proposição verdadeira) ou uma sentença que afirma algo falso (uma proposição falsa).
• Diz-se que a sentença é fechada quando isto ocorre.
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Construir sentenças abertas, definindo
domínios apropriados para suas variáveis, é
similar a jogar um jogo de montar
“frases” ou “versos”, onde uma frase ou
texto mais complexo é formado a partir de
trechos sugeridos pelos participantes.
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• No caso do “jogo de montar sentenças abertas” da lógica:– é necessário escolher primeiro qual será o
domínio das variáveis, ou seja, de onde serão retirados os elementos que se encaixarão na frase aberta.
• Isto ocorre também nos jogos de montar frases ou palavras.
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Exemplo
• Sabendo qual é o domínio então pode-se começar a “montar” as sentenças.
• No exemplo, poderíamos ter frases como:– (a.1) “A minha mesa não está firme.”– (b.1) “Esta é a cadeira que faltava.”– (c.1) “A cadeira que falta aqui é a cadeira que está
sobrando lá no canto.”
Vamos supor o conjunto de móveis que podem pertencer a uma sala de aula: estantes, mesas, cadeiras, quadro, computadores (e seus componentes), etc.
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• Estes exemplos apresentam proposições simples, que são sentenças fechadas, sem variáveis.
• Porém as variáveis poderiam aparecer como espaços:– (a.2) “A minha _ _ _ _ não está firme.”– (b.2) “Esta é a _ _ _ _ que faltava.”– (c.2) “A _ _ _ _ que falta aqui é a _ _ _ _ que está
sobrando lá no canto.”
– ......
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• Um problema:– “espaço em branco” é um espaço em branco igual
aos outros;– Quando existe um só espaço em branco na frase,
então não há ambiguidade;
• Porém, quando ela aparece em vários lugares é necessário indicar claramente quem é quem em termos de “espaços em branco”.
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Solução
• é dar “nome” aos espaços em branco, que deixam de ser espaços e passam a ser variáveis:– (a.3) “A minha x não está firme.”– (b.3) “Esta é a x que faltava.”– (c.3) “A x que falta aqui é a x que está sobrando lá
no canto.”
– Para os x pertencentes aos móveis da sala de aula.– .....
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• Para completar o processo de formalização, ou seja, deixar as claro somente a forma das sentenças e não se preocupar com seu conteúdo (seu significado), são atribuídos símbolos para as afirmações abertas:
– (a.4) P(x) = “A minha x não está firme.”– (b.4) Q(x) “Esta é a x que faltava.”– (c.4) R(x) = “A x que falta aqui é a x que está sobrando lá no
canto.”
• Que são válidas para o domínio A que é o conjunto de móveis da sala de aula.
• Dessa forma as sentenças são expressas simplesmente como:
» P(x), Q(x) e R(x) para x A.∈
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• Em termos da língua portuguesa, uma sentença simples é formada basicamente por dois elementos: o sujeito e seu predicado.
• Já as sentenças abertas formais:
– são normalmente construídas, considerando-se que o sujeito da frase é substituído por uma variável;
– é definido um domínio para esta variável, dizendo quem são os objetos, pessoas, entidades, coisas, etc.
– O predicado restante passa a ser então a afirmação que está sendo feita sobre algum sujeito do domínio.
– Definição: sentenças abertas também são denominadas simplesmente de PREDICADOS.
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Outros exemplos:
• São sentenças abertas em N= {1, 2, 3, ... ,n, ...} as seguintes expressões:
(d) x+1>8 (f) x2 - 5x + 6 = 0(e) x é primo (g) x é divisor de 10
para os x N.∈
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Conjunto- Verdade de uma Sentença Aberta
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• Definição: – chama-se conjunto- verdade de uma sentença
aberta P(x) num domínio A, o conjunto de todos os elementos a A tais que P(a) é uma ∈ proposição verdadeira.
• Formalmente o conjunto- verdade pode ser definido como:
VP = {x | x A P(x)=V}∈ ∧• ou, mais simplesmente como:
VP = {x A | P(x)}∈
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Exemplos
• (a) O conjunto- verdade de P(x) = “x+1 > 8” em N={1, 2, 3, ...} (conjunto dos números naturais) é dado por:
VP = {x N | P(x)} = {x N | x+1 > 8}= {8, 9, 10, ... } ∈ ∈ ⊂N
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Exemplos
• (b) O conjunto- verdade de P(x) = “x+7 < 8” em N={1, 2, 3, ...} (conjunto dos números naturais) é dado por:
VP = {x N | x+7 < 5}= N∈ ∅⊂
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Exemplos
• (c) O conjunto- verdade de P(x) = “x é divisor de 10” em N={1, 2, 3, ...} (conjunto dos números naturais) é dado por:
VP = {x N | x é divisor de 10}= {1, 2, 4, 10} N∈ ⊂
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Exemplos
• (d) O conjunto- verdade de P(x) = “x+5 > 3” em N={1, 2, 3, ...} (conjunto dos números naturais) é dado por:
VP = {x N | x+5 > 3}= {1, 2, 3, 4, ...} = N N∈ ⊂
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Importante
(I) Se P(x) é uma sentença aberta em A, então três casos podem ocorrer:– P(x) é verdadeira para todo x A. Neste caso o ∈
conjunto- verdade de P(x) é igual ao próprio domínio A. Quando isto ocorre se diz que P(x) exprime uma condição universal ou propriedade universal no conjunto A;
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– (II) P(x) é verdadeira para alguns x A. Neste caso ∈o conjunto- verdade de P(x) é um subconjunto próprio do domínio A. Quando isto ocorre se diz que P(x) exprime uma condição possível ou propriedade possível no conjunto A.
– P(x) não é verdadeira para nenhum x A. Neste ∈caso o conjunto- verdade de P(x) é vazio (VP = ). ∅Quando isto ocorre se diz que P(x) exprime uma condição impossível ou propriedade impossível no conjunto A.
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Sentenças com N variáveis e seu Conjunto- Verdade
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• Supondo n conjuntos primitivos A1, A2, ..., An que serão usados como domínios individuais de cada variável da sentença.
• conjunto de todas as variáveis como o conjunto resultante do produto cartesiano destes conjuntos primitivos:
A1×A2×...×An
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• O produto cartesiano de 2 conjuntos: – A1×A2 é o conjunto formado por todos as duplas
ordenadas (a1, a2) onde,• a1 A1 e a2 A2 . ∈ ∈
• Definição:– uma sentença aberta com n variáveis num
conjunto A1×A2×...×An, ou simplesmente – uma sentença aberta em A1×A2×...×An, é uma
expressão P(x1, x2,..., xn)– tal que p(a1, a2,..., an) é verdadeira (V) ou falsa (F)
para todo ênupla (a1, a2,..., an) A∈ 1×A2×...×An.
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Então!!• O conjunto-verdade de uma sentença aberta
P(x1, x2,..., xn) no domínio A1×A2×...×An é– o conjunto de todas as ênuplas – (a1, a2,..., an) A1×A2×...×An ∈– tais que P(a1, a2,..., an) é uma proposição verdadeira.
– Formalmente este conjunto- verdade pode ser definido como:
VP = {(x1, x2,..., xn) A1×A2×...×An | P(x1, x2,..., xn)}∈
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Exercício
• Determinar o conjunto- verdade em N (conjunto dos números naturais) de cada
• uma das sentenças abertas a seguir:(a) 2x = 6 (b) x-1<4(c) x2 - 5x + 6 = 0 (d) x2 - x + 2 = 0(e) x2 - 5x = 0 (f) x - 5 N∈
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Conjunção sobre Sentenças Abertas ( )∧
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• A conjunção lógica (a operação E lógico, representada pelo símbolo ) pode ser ∧aplicada sobre sentenças abertas ou predicados.
• ...
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• Vamos começar a análise da conjunção de sentenças abertas, supondo 2 sentenças abertas bastante simples:– “x é médico”, “x é professor”– podem ser aplicadas sobre o domínio (conjunto) das
pessoas vivas atualmente.
• Agora se conectarmos ambas afirmações pelo conectivo E lógico ( ) fica-se com a expressão:∧
– “x é médico” “x é professor”∧– que somente pode ser verdadeira (satisfeita) para as
pessoas (os “x”) que são ambos médico(a) e professor(a).
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• Em todas as conjunções de sentenças abertas onde os domínios são finitos pode-se teoricamente montar uma tabela similar a vista acima e verificar, usando as regras da lógica proposicional, qual o valor-verdade da conjunção.
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• Porém o que se pode fazer quando os domínios são infinitos?
• Que tipo de significado se poderia atribuir para a conjunção de sentenças abertas sobre domínios infinitos?
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A solução para este problema é?
• usando-se a Teoria Elementar dos Conjuntos para definir o significado da operação de conjunção lógica sobre duas sentenças abertas.
• ...
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• Vamos supor as duas sentenças já vistas anteriormente:
• Deste desenho deve ficar claro que somente a intersecção das duas áreas (e portanto dos dois conjuntos) é que corresponde as pessoas que são ambas médicos e professores.Lógica matemática e Computacional- Profa.
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• Graficamente isto pode ser mostrado pelo seguinte diagrama:
• Ou seja o conjunto- verdade correspondente a conjunção de duas sentenças abertas é dado pela intersecção dos conjuntos- verdade de ambas sentenças.
• Formalmente, este conjunto- verdade é definido como:VP Q = VP ∩ VQ = {x A | P(x)} ∩ {x A | Q(x)}∧ ∈ ∈
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Exemplo• Sejam as seguintes sentenças abertas em Z
(conjunto dos número inteiros):P(x) = x2 + x -2 = 0 Q(x) = x2 - 4 = 0
• Tem-se que:VP Q = {x Z | P(x)} ∩ {x A | Q(x)}∧ ∈ ∈
• = {x Z | x2 + x -2 = 0} ∩ {x A | x2 - 4 = 0}∈ ∈• = {-2, 1} ∩ {-2, 2}• = {-2}
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Disjunção sobre Sentenças Abertas ( )∨
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