Post on 14-Jul-2020
A EQUAÇÃO DE
SCHRÖDINGER
A equação de Schrödinger
independente do tempo
2
Dia Aula Tópico
09 Setembro 9 2a Fótons, Raios X, interação da radiação com a
matéria
11 Setembro 10+11 4a Interação da radiação com a matéria, exercícios
16 Setembro 12 2a Dualidade onda – partícula e de Broglie
18 Setembro 13 4a Princípio da incerteza – Propriedades das ondas de
matéria
23 Setembro 14 2a Experimento de Rutherford
25 Setembro 15 4a Experimento de Franck – Hertz, átomo de Bohr
30 Setembro 16+17 2a Átomo de Sommerfeld, princípio da
correspondência; Exercícios
02 Outubro 18 4a Equação de Schrödinger, interpretação, valores
esperados
07 Outubro 19 2a Ainda Equação de Schrödinger, interpretação,
valores esperados
09 Outubro 19 4a Ainda Equação de Schrödinger, interpretação,
valores esperados
14 Outubro 2a Poço degrau e barreira de potencial
16 Outubro 4a Poço de potencial infinito e finito
21 Outubro 2a 2º teste – Poço de potencial infinito e finito
23 Outubro 4a 2ª prova
3
Na aula passada,....
Radiação Eletromagnética
Partículas
( ) ( )t.sintz,y,x, −= rkEE
0
( ) ( )tkxsintz,y,x, −= 0EE
,vetor de Poynting S intensidade I
kp
hE
=
==
E h
p k
= =
=
???????
_____________________________________________________
As equações de Maxwell levam
naturalmente a uma equação de
onda para os campos E e B
Qual é a grandeza que obedece
uma equação de onda?
4
Fótons
Introduzindo a função de onda
( )tz,y,x,Ψ
a qual é uma solução de uma equação diferencial,
a equação de Schrödinger.
,
5
6
A equação de Schrödinger
Procura-se:
• Uma equação diferencial a ser satisfeita pela função de
onda (r,t);
• A equação deve ser consistente com os postulados de
de Broglie e Einstein =h/p e = E/h.
• A equação deve ser consistente com a equação da energia
não relativística E=p2/2m + V.
• A equação diferencial deve ser linear para que valha o
princípio da superposição
(r,t) = c11 (r,t)+ c22(r,t)
A equação de Schrödinger
7
Ademais,
• No caso particular em que V = V0 = constante, ou seja, na
ausência de forças, a quantidade de movimento e a energia
da partícula são constantes (Newton), e espera-se também
que o comprimento de onda de de Broglie e a frequência
associados à partícula sejam constantes.
• Neste caso, esperamos que a equação diferencial procurada
tenha como solução ondas senoidais/cossenoidais se
propagando com e constantes.
8
Chegamos à equação procurada:
( ) ( ) ( )( )2
2 ,, , ,
2
r tr t V r t r t i
m t
− + =
• O movimento de uma partícula atômica numa região em
que a energia potencial é será inteiramente descrito
pela chamada função de onda , que é uma solução da
equação de Schrödinger para aquele potencial e à qual
podemos aplicar:
A interpretação da função de onda
( , )r t
1 2( , ) ( , ) ( , )r t r t r t = +
2( , ) | ( , ) |P r t r t=
• Princípio da superposição:
• Interpretação probabilística de Max Born:
3( , ) 1
V
P r t d r =
A função de onda carrega a informação
máxima que podemos ter sobre o sistema
em questão.Max Born
Prêmio Nobel 1954
9
( , )V r t
A função de onda
( )tz,y,x,Ψ
• É uma função escalar, complexa, que é solução da
equação de Schrödinger.
• Ela é também chamada amplitude de probabilidade.
• Com ela construiremos a densidade de probabilidade,
esta sim com uma interpretação física.
10
11
Interpretação probabilística de Max Born
Densidade de probabilidade
Probabilidade de encontrar
a partícula entre x e x + dx
no instante t
=
(a partícula está se movendo em apenas uma dimensão espacial)
(1D)
REAL!!
Interpretação probabilística de Max Born
12
Probabilidade de encontrar a partícula entre x e x + dx e entre y e y +dy no instante t
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
, , , , , ,
, , , , , , , , ,
P x y t dxdy x y t x y t dxdy
P x y z t dxdydz x y z t x y z t dxdydz
=
=
Probabilidade de encontrar a partícula entre x e x + dx, e entre y e y +dy e entre
z e z + dz no instante t
(2D)
(3D)
13
Exemplo da interpretação probabilística
A função de onda que descreve uma partícula de massa mem movimento harmônico simples no seu estado de menor
energia (estado fundamental) é:
14
Densidade de probabilidade quântica:
amplitude mínima
clássica
amplitude máxima
clássica
22
2
2222 22
portanto, = .2
xx
CmCmP A e A e
Cm
−−
= =
15
No estado fundamental, .
Classicamente, um oscilador com esta
energia teria uma amplitude de movimento
que poderíamos obter de
2E
=
2
max
1
2 2E Cx
= =
2 2
max
22
Ex
C C Cm
= = = =
C
m =já que .
22
2
2222 22
= 2
xx
CmCmP A e A e
E
CCm
−−
= =
=
e portanto
16
Densidade de probabilidade quântica:
amplitude mínima
clássica
amplitude máxima
clássica
22
2
2222 22
portanto, = .2
xx
CmCmP A e A e
E
CCm
−−
= =
=
− +
68% probabilidade
E
C+
E
C−
17
Densidade de probabilidade clássica: (1/v)
18
Ainda a interpretação probabilística
Normalização
Valores médios
(valores esperados)
de grandezas físicas
19
Exercício:
Como encontraríamos A em ?
20
Continuação do Exercício:
21
Valores médios (= valores esperados):
22
Ainda valores médios:
23
Associamos a uma grandeza física um operador
24
Associamos a uma grandeza física um operador
que vai operar sobre a
25
Os postulados de Schrödinger
26
A equação de Schrödinger
Quando V(x,t) V(x)
Dependente do tempo
Poderemos escrever uma equação independente do tempo:
Como chegamos nesta última equação?
•Vamos procurar tentativamente uma solução para (x,t)
que possa ser escrita como um produto de duas funções
de uma única variável:
•Substituindo na equação de Schrödinger original,
27
•Dividindo ambos os lados da equação anterior por
(x,t)= (x)(t), obteremos:
•Observe que do lado esquerdo da igualdade só
aparecem funções da posição x e do lado direito só
aparecem funções do tempo t. Como esses dois
membros podem ser iguais para todos os x e t ?
28
Como chegamos nesta última equação?
• A igualdade apenas será satisfeita se ambos os lados forem iguais a uma constante. Vamos chamar a constante de G:
•Conseguimos agora obter duas equações envolvendo não mais derivadas parciais, mas derivadas totais.
29
Como chegamos nesta última equação?
• Vamos resolver primeiro a mais simples, que é a equação
temporal.
30
Como chegamos nesta última equação?
O que é G ?
A equação de Schrödinger independente do tempo
31
• Chegamos em
• com (x) satisfazendo a equação de Schrödinger
independente do tempo
(x) é chamada autofunção (eigenfunction)
A função de onda será escrita como
( ) ( )
( ) ( )
/iEt
i t
Ψ x,y,z,t x,y,z e
Ψ x,y,z,t x,y,z e
−
−
=
=
32
33
• A (x) deverá ser finita, contínua e unívoca.
• A d(x)/dx deverá ser finita, contínua e unívoca.
A autofunção deverá satisfazer...
Não finitaNão contínuaNão unívoca
34
Aplicações em casos particulares
• Potencial constante igual a 0 V(x) = 0
Neste caso, a equação de Schrödinger independente do tempo pode ser
escrita como:
e a função de onda será
.
Mas nós já conhecemos a autofunção para o caso da
partícula livre da aula passada.....
35
k = 2/
= 2
onde
36
Part
e r
eal de
(x
, t)
*(
x, t)
(x
, t)
Todos os t
Representa uma onda se
propagando no sentido
positivo do eixo dos x
37
MAS.....• Temos outra solução possível para .
• com
.
• A solução geral da equação é obviamente a combinação linear das
duas soluções:
•
onde
onde
38
Como interpretaremos?
39
E se fizermos o mesmo com a outra?
e
40
Normalização da função de onda
Fazemos a normalização dentro de uma “caixa”
41
Cadê a partícula?
*(
x, t)
(x
, t)
Movimento e alargamento de um pacote de onda
42
Note que conforme a onda se move, a velocidade de grupo (ou seja, a velocidade
do pacote) é maior do que a velocidade de fase (velocidade de uma particular
crista da onda). Note também que após um certo tempo, o pacote se alarga e a
frente da onda tem comprimemento de onda menor do que o “fundo” da onda.
Veja a animação em http://www.physics.nyu.edu/~ts2/Animation/quantum.html e
clique em cima da barra em baixo para modificar os comprimenros de onda.
43
• Vimos no nosso exemplo do pacote de onda que o pacote se move com
a velocidade de grupo, que corresponde à velocidade da partícula
que o pacote descreve.
• Porém, a velocidade de fase de cada componente que forma o pacote
é diferente.
• Devido às diferentes velocidades de fase, o pacote acaba alargando
com o tempo.
• Como consequência, pacotes muito localizados acabam se alargando
rapidamente.
https://quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node83.html
Interessante: Cadê a partícula?
44
https://quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node82.html
Uma é a transformada
de Fourier da outra