Post on 19-Nov-2020
A concepção geométrica de Mannheim nos escritos de Poncelet
Jansley Alves Chaves
chavesrizo@gmail.com
UFRJ - Brasil
Gérard Emile Grimberg
gerard.emile@terra.com.br
UFRJ-PEMAT – Brasil
Introdução
No início da década de 60 do séc. XIX, Jean-Victor Poncelet, um matemático já
octogenário, debruça-se sobre um grande trabalho, escrever à posteridade toda sua obra.
Nesta laboriosa tarefa contou com a colaboração de dois ex-alunos da École
Polytechnique (EP): MM Moutard e Mannheim. Neste capítulo nos interessa abordar a
contribuição de Mannheim.
O primeiro trabalho de Mannheim é sobre a teoria da reciprocidade polar, escrito em
1851, nele dava uma primeira ideia das transformações das relações métricas. Em 1857,
Mannheim apresenta um trabalho sobre transformações das propriedades métricas das
figuras utilizando a teoria da reciprocidade polar. Assim define a métrica utilizando a
reciprocidade polar: sejam 𝑎 e 𝑏 as polares de dois pontos 𝐴 e 𝐵 e se pelo centro 𝑂 do
círculo diretor, traçarmos a reta 𝑂𝑀 que passa pelo ponto de intersecção 𝑀 das polares
𝑎 e 𝑏, e em seguida traçarmos uma reta qualquer por 𝐴 e outra paralela a esta por 𝐵. Ao
traçarmos uma perpendicular a estas duas retas passando por 𝑂 ela irá intersectar as
polares de 𝐴 e 𝐵 nos pontos 𝐶 e 𝐷 ,respectivamente, que são os polos das duas retas que
construímos passando por 𝐴 e 𝐵. A reta 𝑂𝐶 (𝑂𝐷) determinará os inversos de 𝐶 e 𝐷,
respectivamente, 𝐶1 e 𝐷1. Assim teremos que,
𝐴𝐵 = (1
𝑂𝐶−
1
𝑂𝐷).
1
𝑠𝑒𝑛 �̂�
Mannheim foi aluno na École Polytechnique no período em que Poncelet foi diretor e a
Reciprocidade polar é uma teoria apresentada inicialmente por Poncelet em sua obra de
1822, Traité des propriétés projectives des figures, desta forma não nos parece
coincidência que Mannheim tenha sido o principal colaborador, junto de M. Moutard, na
elaboração da coletânea das obras de Poncelet, 1862, 1864, 1865 e 1866, publicadas ao
final de sua vida. Na obra de 1862, Applications d’Analyse et Géométrie, Mannheim
escreve uma nota sobre os polígonos inscritos e circunscritos às curvas e observações
concernentes ao traçado das tangentes. Nesta nota consta que um polígono é susceptível
de variar de forma contínua, podendo ocupar condições muito diversas. Mannheim
definirá geometricamente a lei de deformação de um polígono supondo conhecido as
diferentes curvas que tocam seus vértices. Supõe todas as curvas contínuas e ligadas entre
elas de modo que determinando uma conhece-se todas as outras. Admite um movimento
infinitesimal dos lados do polígono e se um ponto for desconhecido exigirá apenas uma
construção linear para determiná-lo.
É interessante ver o jovem Mannheim acrescentar à obra de Poncelet algumas notas e
observações, sobretudo por apresentar uma métrica o que contraria completamente as
ideias de Poncelet, um geômetra sintético. Aliás, o próprio Poncelet diz que as adições de
M. Mannheim são feitas sem nenhuma participação do autor e sem nenhuma intervenção
em suas correções (Poncelet, 1862, 551, nota).
1. Transformações Geométricas: Polo ↔ Polar
Inicialmente vamos considerar uma circunferência de círculo 𝛼 com centro 𝑂 e um ponto
𝑃 exterior e coplanar à 𝛼. Por 𝑃 tracemos uma reta 𝑡 secante à 𝛼 nos pontos 𝐶 e 𝐷. Nestes
pontos tracemos as tangentes à 𝛼, que se intersectarão no ponto 𝑇. O lugar geométrico
dos pontos 𝑇′𝑠, quando a secante 𝑡 gira sobre o ponto 𝑃, é uma reta 𝑝 perpendicular à reta
𝑂𝑃. Desta forma, o ponto 𝑃 é denominado de polo e a reta 𝑝 é sua polar.
Figura 1- relação entre Polo e Polar
Quando o ponto 𝑃 é exterior à circunferência de círculo, sua polar se confunde com a
corda de contato das tangentes traçadas por 𝑃. Assim:
Figura 2 – corda de contato é a reta polar
Os polos de todas as retas que passam por um ponto incidem na polar deste ponto.
(mannheim,1857, introdução). A recíproca deste teorema é verdadeira, e anuncia-se: As
polares de todos os pontos de uma reta passam pelo polo desta reta. (mannheim,1857,
introdução).
Estes dois teoremas acima enunciados são a base da Teoria dos polos e polares.
Figura 3 – Transformação geométrica
Quando temos um quadrângulo completo 𝐴𝐵𝐶𝐷, circunscrito por uma circunferência de
círculo 𝛼, as intersecções dos prolongamentos dos seus lados determinam os polos cujas
retas polares são definidas pelos outros dois polos. Assim, os três polos determinam o
triângulo polar. As duas figuras, o quadrângulo completo e o triângulo polar, são ditas
polares recíprocas. Esta expressão foi introduzida por Poncelet, autor da Teoria das
polares recíprocas.
Figura 4 – figuras polares recíprocas
Pode-se dizer que as duas figuras são transformadas uma da outra em relação à
circunferência de círculos 𝛼. Esta circunferência de círculo é denominada de círculo
diretor ou curva diretriz, que pode ser uma cônica qualquer (mannheim, 1857, introdução,
vi, Nota).
2. Transformações das propriedades métricas das figuras
Podemos compartimentar as propriedades das figuras em duas classes: As propriedades
descritivas e as propriedades métricas. Nas propriedades descritivas ou de situação
considera-se apenas as posições das retas, independente das grandezas. Um exemplo
suficiente para compreender a natureza desta propriedade é:
Dois triângulos quaisquer são dispostos no plano tal que seus vértices
se apoiam dois a dois sobre três retas que convergem em um mesmo
ponto, os lados homólogos irão concorrer sobre uma mesma reta, ou
seja, os três pontos de concorrência dos lados homólogos são colineares
(Poncelet, 1862, p.168).
Figura 5 - Homologia
Nas propriedades métricas consideramos as grandezas. As propriedades relativas aos
ângulos são denominadas propriedades angulares. Podemos determinar, facilmente, a
relação métrica de área de duas figuras, mas podemos determinar as propriedades
angulares pela simples transformação da teoria das polares recíprocas em virtude do
seguinte teorema:
O ângulo de duas retas 𝑟 e 𝑡 é igual ao ângulo das retas que passam pelo centro do círculo
diretor e os polos 𝑅 e 𝑇 das retas 𝑟 e 𝑡.
Figura 6 -ângulos entre as polares e o polo e o centro
Assim, consideremos a afirmação de que em um triângulo a soma dos ângulos internos é
equivalente a dois retos. Logo, no triângulo 𝑒𝑑𝑓, esta propriedade se exprime pela relação
métrica dos ângulos
�̂� + �̂� + 𝑓 = 1800
Desta relação retiramos a relação
𝑠𝑒𝑛 �̂� = 𝑠𝑒𝑛 (�̂� + 𝑓)
Desenvolvendo tal expressão teremos,
𝑠𝑒𝑛 �̂� = 𝑠𝑒𝑛 �̂� 𝑐𝑜𝑠 𝑓 + 𝑠𝑒𝑛 𝑓 𝑐𝑜𝑠 �̂�
Elevando ao quadrado,
[𝑠𝑒𝑛 �̂� = 𝑠𝑒𝑛 𝑑 cos 𝑓 + 𝑠𝑒𝑛 𝑓 cos 𝑑]2
𝑠𝑒𝑛2�̂� = 𝑠𝑒𝑛2�̂� 𝑐𝑜𝑠2𝑓 + 2 𝑠𝑒𝑛�̂� 𝑐𝑜𝑠𝑓 𝑠𝑒𝑛𝑓 𝑐𝑜𝑠�̂� + 𝑠𝑒𝑛2𝑓 𝑐𝑜𝑠2�̂�
Substituindo 𝑐𝑜𝑠2𝑑 ̂𝑝𝑜𝑟 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑑 ̂𝑒 𝑐𝑜𝑠2𝑓 ̂𝑝𝑜𝑟 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑓 ̂, teremos
𝑠𝑒𝑛2�̂� = 𝑠𝑒𝑛2�̂� (1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑓) + 2 𝑠𝑒𝑛�̂� 𝑐𝑜𝑠𝑓 𝑠𝑒𝑛𝑓 𝑐𝑜𝑠�̂� + 𝑠𝑒𝑛2𝑓 (1 − 𝑠𝑒𝑛2�̂�)
𝑠𝑒𝑛2�̂� = 𝑠𝑒𝑛2�̂� − 𝑠𝑒𝑛2�̂�𝑠𝑒𝑛2𝑓 + 2 𝑠𝑒𝑛�̂� 𝑐𝑜𝑠𝑓 𝑠𝑒𝑛𝑓 𝑐𝑜𝑠�̂� + 𝑠𝑒𝑛2𝑓 − 𝑠𝑒𝑛2𝑓𝑠𝑒𝑛2�̂�
𝑠𝑒𝑛2�̂� = 𝑠𝑒𝑛2�̂� + 𝑠𝑒𝑛2𝑓 + 2 𝑠𝑒𝑛�̂� 𝑠𝑒𝑛𝑓 (𝑐𝑜𝑠𝑓𝑐𝑜𝑠�̂� − 𝑠𝑒𝑛�̂� 𝑠𝑒𝑛𝑓)
𝑠𝑒𝑛2�̂� = 𝑠𝑒𝑛2�̂� + 𝑠𝑒𝑛2𝑓 − 2 𝑠𝑒𝑛 �̂� 𝑠𝑒𝑛𝑓 𝑐𝑜𝑠𝑓
Assim, transformamos a relação métrica de ângulos em relação trigonométrica. Podendo
escrever,
1 =𝑠𝑒𝑛2�̂�
𝑠𝑒𝑛2�̂�+
𝑠𝑒𝑛2𝑓
𝑠𝑒𝑛2�̂�− 2
𝑠𝑒𝑛 �̂�
𝑠𝑒𝑛�̂� 𝑐𝑜𝑠𝑓
𝑠𝑒𝑛�̂� 𝑐𝑜𝑠𝑓
E podemos escrever,
𝑑𝑓2 = 𝑒𝑑2 + 𝑒𝑓2 − 2 𝑒𝑑 𝑒𝑓 𝑐𝑜𝑠𝑓
Desta forma, transformamos as relações métricas de ângulos em relações de distância.
Retomemos a relação trigonométrica
𝑠𝑒𝑛 �̂� = 𝑠𝑒𝑛 𝑑 cos 𝑓 + 𝑠𝑒𝑛 𝑓 cos 𝑑
Baixemos do vértice 𝑒 a perpendicular 𝑒ℎ sobre𝑓𝑑; esta relação pode ser escrita
𝑠𝑒𝑛 �̂� =𝑒ℎ
𝑒𝑑𝑠𝑒𝑛 (90 − �̂�) +
𝑒ℎ
𝑒𝑓𝑠𝑒𝑛 (90 − 𝑓)
De onde temos a identidade
área 𝑑𝑒𝑓 = área 𝑑𝑒ℎ + área ℎ𝑒𝑓
Obtemos uma relação métrica de área.
Podemos, por analogia, realizar as transformações de áreas e volumes. No momento,
pensamos que o exemplo acima é suficiente para fazer compreender os diferentes tipos
de relações métricas e suas transformações umas nas outras.
3. Transformações das propriedades métricas das figuras com reciprocidade
polar
Ocupemos agora da transformação das propriedades das figuras com a ajuda da teoria da
reciprocidade polar.
As propriedades descritivas das figuras planas são muito simplesmente transformadas em
relação a uma circunferência de círculo, ou um círculo diretor: não é sequer necessário
representá-las por uma figura; obtemos o resultado da transformação alterando na
declaração as palavras pontos e retas por retas e pontos. Se operarmos assim na
propriedade descritiva que estabelecemos por exemplo, encontramos o recíproco dessa
propriedade.
Abaixo um exemplo de uma declaração colocada uma ao lado da outra1 para facilitar a
comparação:
Quando dois triângulos possuem seus
vértices dois a dois sobre três retas
concorrentes em um ponto, seus lados
homólogos concorrerão em três pontos
colineares.
Quando dois triângulos são tais que seus
lados se intersectam dois a dois em três
pontos colineares, seus vértices incidem
sobre três retas concorrentes em um
mesmo ponto.
As propriedades angulares são transformadas simplesmente pela teoria das polares
recíprocas em virtude do seguinte teorema:
Os ângulos de duas retas 𝑎, 𝑏 é igual ao ângulo das retas que incidem no centro do círculo
diretor aos polos 𝐴 e 𝐵 destas retas, conforme a Fig. 6.
Vamos tomar o teorema seguinte para melhor exemplificar:
Em um triângulo as três alturas intersectam-se em um mesmo ponto.
1 Esta forma dá uma ideia de dualidade. Foi realizada por Georgonne no Annales des
Mathématiques Pures et Appliqées
Sejam 𝐴, 𝐵, 𝐶 os vértices de um triângulo dado ℎ, ℎ’, ℎ′′, as perpendiculares aos lados e
incidentes ao vértices. O triângulo dado tem por polar recíproco o triângulo 𝐷𝐸𝐹.
Procuramos determinar o ponto 𝐻, polo de ℎ. Este ponto deve se encontrar sobre a reta
𝑎, polar de 𝐴, pois ℎ passa por 𝐴. Por outro lado, a reta 𝑂𝐻 deve ser perpendicular (será
mais fácil vê-la como paralela à ℎ) em virtude do teorema anunciado acima, pois ℎ é
perpendicular ao lado oposto ao vértice 𝐴, o polo 𝐻 é então a intersecção das retas 𝑂𝐻 e
𝑎. Da mesma forma determinamos 𝐻′, 𝐻′′, polos de ℎ′, ℎ′′. Como os pontos 𝐻, 𝐻′, 𝐻′′
são colineares as suas polares ℎ, ℎ′, ℎ′′ concorrem em um mesmo ponto, o ortocentro.
Figura 7 – três retas concorrentes, três pontos colineares
Poncelet fez uso do círculo diretor na sua memória sobre a Teoria geral das polares
recíprocas. Chasles e Bobillier também fazem uso desta curva. Embora, Chasles utiliza
muita da curva parabólica e Bobillier dê umas soluções utilizando como curva diretriz a
hipérbole.
Em sua memória sobre Teoria geral das polares recíprocas, Poncelet mostrou como se
poderia transformar as propriedades métricas que qualifica como projetivas. As
propriedades angulares se transformam, como vimos acima, adotando a circunferência de
círculo como curva diretriz. As relações métricas se transformam também conservando
esta curva em virtude do seguinte teorema:
O raio da circunferência de círculo diretriz é média proporcional entre as distâncias ao
polo e a polar.
Assim, sendo 𝐴 um ponto qualquer, 𝑎 sua polar em relação à circunferência de círculo
de centro 𝑂 e raio 𝑟, se a reta 𝐴𝑂 intersecta 𝑎 no ponto 𝐴1 temos,
𝑂𝐴 . 𝑂𝐴1 = 𝑟2
Se o raio do círculo diretor é unitário, então teremos,
𝑂𝐴 . 𝑂𝐴1 = 1 → 𝑂𝐴 =1
𝑂𝐴1
Esta relação dá imediatamente a transformação de um segmento de uma reta que passa
pelo centro da curva diretriz. De fato, sejam A e B dois pontos da reta AO, a, b polares
destes pontos em relação à circunferência de círculo de centro O, A1 e B1 os pontos onde
estas polares intersectam a reta AO. Teremos,
𝑂𝐴 =1
𝑂𝐴1 , 𝑂𝐵 =
1
𝑂𝐵1
De onde,
𝑂𝐵 − 𝑂𝐴 ou 𝐴𝐵 =1
𝑂𝐵1−
1
𝑂𝐴1
Figura 8 – Métrica de 𝐴1𝐵1
Quando o segmento transformado é qualquer em relação ao círculo diretor, por exemplo
Fig. 8, procedemos com a projeção sobre uma reta passando pelo centro O por meio de
uma relação trigonométrica. E chegamos a uma expressão geral:
𝐶1𝐷1 = 𝐴𝐵 𝑠𝑒𝑛 �̂� → 𝐴𝐵 = 𝐶1𝐷1.1
𝑠𝑒𝑛 �̂�
Como, 𝐶1𝐷1 =1
𝑂𝐶−
1
𝑂𝐷 ,temos
Figura 9 – Métrica de 𝐶1𝐷1
𝐴𝐵 = (1
𝑂𝐶−
1
𝑂𝐷).
1
𝑠𝑒𝑛 �̂�
Esta é uma relação constante o que nos permite determinar diversas soluções utilizando
a reciprocidade polar. Da mesma forma que podemos obter a distância com o auxílio da
reciprocidade polar, podemos obter a área e volume. Tendo o cuidado de observar que a
diretriz será uma esfera, pois possui as propriedades análogas às circunferências de
círculo.
Façamos uma aplicação. Determinar a distância de um ponto 𝐴 a uma reta 𝑚.
Baixemos uma perpendicular 𝑛 à reta 𝑚 e determinemos a intersecção 𝑃. A questão é
encontrar a distância do segmento 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ .
Seja 𝑚 a polar de 𝑀. 𝐴 o polo de 𝑎, e 𝑂 o centro do círculo diretor. A reta 𝑂𝐴 é
perpendicular à reta 𝑎 polar de 𝐴, o polo de 𝑛 estará sobre 𝑂𝑁, perpendicular à 𝑂𝐴, mas
deve ser incidente à 𝑚, 𝑁 é então o polo de 𝑛. A polar do ponto 𝑃 é a reta 𝑝 que passa
por 𝐴 e 𝐵.
𝐴𝑃 =1
𝑂𝐶−
1
𝑂𝐴
Figura 10 - distância de reta e ponto
4. Considerações finais
Ao utilizar a teoria das polares recíprocas para apresentar as transformações das
propriedades métricas, Mannheim faz uma série de aplicações que demonstram a
simplicidade das construções e as vantagens de realizar, com uma geometria
sintética, diversos problemas. Aplicando o método e os princípios, ele desenvolve
em seus trabalhos muitas soluções curiosas e interessantes.
Referências
MANNHEIM, A. Transformation des propriétés métriques des figures à l’aide de la
théorie des polaires réciproques. [S.l.]: Mallet-Bachelier, 1857.
PONCELET, J.-V. Application d’analyse et géométrie. Mallet-Bachelier, 1862.