56943543 Parte 5 Porticos Isostaticos

Elementos de Cálculo Estrutural

Profa. Ana Amélia MazonProf. Ricardo A. M. Silveira

Deciv/EM/UFOP

5. PÓRTICOS (QUADROS)ISOSTÁTICOS

SUMÁRIO

5.1. Introdução5.2. Pórticos Biapoiados5.3. Pórticos Engastados-Livres5.4. Pórticos Triarticulados5.5. Pórticos Biapoiados com Articulação e Tirante (ou Escora)5.6. Pórticos Compostos5.7. Estabilidade5.8. Grau de Indeterminação5.9. Barras Inclinadas5.10. Pórticos com Barras Curvas (Arcos) 5.11. Arcos Triarticulados5.12. Pórticos Espaciais

5. Pórticos (Quadros) Isostáticos

5. PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS

5.1. INTRODUÇÃO

São estruturas reticuladas formadas por várias barras situadas num único

plano, com carregamento atuante no mesmo plano do sistema estrutural.

a) Definição

• Os nós entre as barras são LIGAÇÕES RÍGIDAS ou ROTULADAS.

• Esforços solicitantes numa dada seção: MOMENTO FLETOR (M),

ESFORÇO CORTANTE (V) e ESFORÇO NORMAL (N).

• Pórticos simples ou compostos.

• Barras retilíneas ou curvas (arcos).

b) Observações

PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS

c) Exemplos

Pórticos com barras retilíneas

(a) Biapoiado (b) Triarticulado (c) Atirantado, biapoiado e articulação interna

(d) Em balanço (e) De múltiplos vãos (f) De múltiplis andares

Pórticos com barras curvas

(a) Biapoiado

(c) Triarticulado

(b) Biengastado com articulação

(d) Atirantado

Pórticos compostos

Pórticos espaciais

c) Diagramas de esforços solicitantes

1. Momento Fletor (DMF)

2. Esforços Cortantes (DEC) e Esforços Normais (DEN)

Obter os momentos fletores atuantes nos nós das barras e, em seguida,

ligá- los por uma linha reta tracejada. A partir dessa linha reta, penduram-se

os diagramas de vigas biapoiadas referentes aos carregamentos que atuam

sobre cada uma das barras que constituem o quadro.

Obtenção imediata dos diagramas a partir do conhecimento das reações de

apoio.

5.2. PÓRTICOS BIAPOIADOS

Exemplo: Pede-se as reações e os diagramas (DMF, DEC e DEN).

5.3. PÓRTICOS ENGASTADOS-LIVRES

Exemplo : Pede-se as reações e os diagramas (DMF, DEC e DEN).

5.4. PÓRTICOS TRIARTICULADOS

Exemplo: Pede-se as reações e os diagramas (DMF, DEC e DEN).

5.5. PÓRTICOS BIAPOIADOS COM ARTICULAÇÃO E TIRANTE (OU ESCORA)

a) Escoras e tirantes

Definição: Uma barra biapoiada sem carregamento aplicado diretamente sobre

ela que funciona como uma ligação do primeiro gênero, na qual surgem apenas

forças na direção do seu eixo (esforço normal).

Quando a barra está COMPRIMIDA, diz-se que é uma ESCORA. Quando está

TRACIONADA, diz-se que é um TIRANTE.

Tirante

b) Exemplo: Pede-se as reações e os diagramas (DMF, DEC e DEN).

5.6. PÓRTICOS COMPOSTOS

a) Definição: são estruturas formadas através de associações de quadros simples.

Quadro Composto

Quadros Simples

1. Decompor o quadro composto original em quadros simples.

2. Verificar quais os quadros com e sem estabilidade própria.

3. Resolver primeiro os quadros simples sem estabilidade própria para o

carregamento atuante sobre eles.

4. Resolver em seguida os quadros simples com estabilidade própria

para o carregamento atuante sobre eles, acrescidos das forças

transmitidas pelas rótulas.

b) Solução

Quadro Composto

Quadros Simples

Exemplos:

Quadro Composto

Quadros Simples

Quadro Composto

Quadros Simples

Quadro Composto

Quadros Simples

Quadro Composto

Quadros Simples

Quadro Composto

Quadros Simples

c) Exemplo: Pede-se as reações de apoio e os diagramas (DMF e DEN).

Quadro Composto

5.7. ESTABILIDADE

Restrição Parcial

Restrição Inadequada

Está relacionado com as restrições impostas à estrutura (vigas, quadros,

pórticos, etc); ou se a estrutura é geometricamente instável ou estável.

Restrições Parciais

Restrições Inadequadas

r = número de incógnitas (reações e forças)

n = número de partes do sistema estrutural

≥r 3n

As reações são concorrentes (as linhas de ação das reações se

interceptam um ponto em comum) ou são paralelas.

Situações

a) Conceito Básico

1. Restrições Parciais: <r 3n

2. Restrições Inadequadas: ≥r 3n

Classifique cada uma das estruturas a seguir como estável ou instável. As

estruturas são submetidas a carregamentos externos conhecidos e que podem

atuar em qualquer lugar.

b) Aplicação

1. Estrutura Estaticamente Determinada

2. Estrutura Estaticamente Indeterminada

Todas as forças (reações e esforços internos) podem ser avaliadas através das

equações de equilíbrio da mecânica clássica.

As estruturas (vigas, quadros, pórticos, etc) têm mais forças incógnitas do que

equações de equilíbrio da mecânica clássica.

5.8. GRAU DE INDETERMINAÇÃO

r = número de incógnitas (reações e forças)

n = número de partes do sistema estrutural

a) Conceito Básico

Classifique cada uma das vigas a seguir como estaticamente determinada ou

estaticamente indeterminada. Se estaticamente indeterminada avalie o grau de

indeterminação. As vigas são submetidas à carregamentos externos

conhecidos e que podem atuar em qualquer lugar.

b) Aplicação

(f) (g)

(h) (i)

(j) (k)

5.9. BARRAS INCLINADAS

a) CASO A: Força distribuída em uma barra inclinada

1 x y1

p p= ll l

pp xy2 =Definição de p1 e p2:

Definição de p3 e p4: 3 1 2p p sen p cos= α + α

4 1 2p p cos p sen= − α + α

l xcos =α

l ysen =α

x3 pppl

x4 pppl

ll+−=

l y331 psenpp =α=Definição de p1 e p2:

l x332 pcospp =α=

y1x ppl

x2y ppl

y1x pppp ===

x2y pppp ===

b) CASO B: Força distribuída transversal em uma barra inclinada

Definição de p3 e p4:

l xcos =α

l ysen =α

c) Exemplo 1: Pórtico plano biapoiado com uma barra inclinada.

(i) Reações

B AM 0 R 8 30(1,5 5) 20 5 2,5 0= ∴ ⋅ − + − ⋅ ⋅ = ∴∑∴ AR = 55,625 kN

Y A BF 0 R R 30 20 5 0= ∴ + − − ⋅ = ∴∑∴ BR = 74,375 kN

cos 3 / 5 0,6α = =

sen 4 / 5 0,8α = =

(ii) Esforços solicitantes

Viga auxiliar

DMF (kNm)

• Momento Fletor

• Esforço Cortantes e Normais

� Seção A:

� Seção Cd:

� Seção Dd:

� Seção B:

A AV R cos 55,625 0,6 33,375 kN= α = ⋅ =

A AN R sen 55,625 0,8 44,5 kN= − α = − ⋅ = −

C' AV V 30cos 33,375 30 0,6 15,375 kN= − α = − ⋅ =

D AV R 30 55,625 30 25,625 kN= − = − =

B D BV V 20 5 25,625 100 74,375 kN R= − ⋅ = − = − = −

DEC (kN)

DEN (kN)

C' AN N 30sen 44,5 30 0,8 20,5 kN= + α = − − ⋅ = −

cos 3 /5 0,6α = =

sen 4 / 5 0,8α = =

d) Exemplo 2: Barra biapoiada inclinada sob força vertical uniformemente distribuída

na horizontal.

Viga auxiliar

DMF DEC DEN

e) Exemplo 3: Barra biapoiada inclinada sob força horizontal uniformemente distribuída

na vertical.

DMF DEC DEN

f) Exemplo 4: Barra biapoiada inclinada sob força horizontal uniformemente distribuída

ao longo do comprimento da barra.

DMF DEC DEN

g) Exemplo 5: Barra biapoiada inclinada sob força vertical uniformemente distribuída

ao longo do comprimento da barra

DMF DEC DEN

5.10. PÓRTICOS COM BARRAS CURVAS (ARCOS)

Exemplo: Pede-se as reações e os diagramas de esforços (DMF, DEC e DEN).

5.11. ARCOS TRIARTICULADOS

a) Estudo

1. Arcos triarticulados com carregamentos atuantes em todas as direções: princípios

gerais da Estática já utilizados.

2. Arcos triarticulados com carregamentos verticais: Viga biapoiada de substituição.

b) Viga biapoiada de substituição

Arco: X,Y, A, B, VA, VB, MS, NS, VS

Viga: x, y, a, b, Va, Vb, Ms, Ns, Vs

Notação

c) Equações de equilíbrio

= ⇒ α − α = ∴ = =∑ ' ' ' ' 'X A B A BF 0 H cos H cos 0 H H H

Y A B ii

F 0 V V P 0

= ⇒ + − =

∑ ∑

( ) ( )

= ⇒ + − + − = ∴

+ − =

∑ ∑

B A 1 2 i 1 2 ii

i 1 2 ii

M 0 V l l P l l x 0

P l l xV

Substituindo (3) em (1):

i 1 2 ii

B i A B ii i 1 2

P l l xV P V V P

+ − = − ∴ = −

∑∑ ∑

( )( )

A 1 i 1 i' ' i

A 1 i 1 iGi

V l P l xM 0 V l H cos f P l x 0 H

− − = ⇒ − α − − = ∴ = α

∑∑ ∑ (5)

Viga de substituição

y a b ii

F 0 V V P 0

= ⇒ + − =

∑ ∑ (6)

Substituindo (7) em (6):

( )g a 1 i 1 ii

M V l P l x = − − ∑ (9)Momento fletor no ponto g:

( ) ( )

b a 1 2 i 1 2 ii

i 1 2 ii

M 0 V l l P l l x 0

P l l xV

= ⇒ + − + − = ∴

+ − =

∑ ∑

i 1 2 ii

b i a b ii i 1 2

P l l xV P V V P

+ − = − ∴ = −

∑∑ ∑

Comparações: Arco x Viga de Substituição

Equações (3) e (7): VA = Va

Equações (4) e (8): VB = Vb

Equações (5) e (9): g'M

H =f cosαααα

As reações do arco triarticulado podem ser obtidas analisando-se apenas

a viga de substituição.

Conclusão

d) Esforços solicitantes numa seção genérica S

( ) 'S A i i

M V x P x x H cos y= − − − α∑' '

S A ii

V V cos P cos H cos sen Hsen cos= ϕ − ϕ − α ϕ + α ϕ∑

' 'S A i

N V sen P sen H cos cos Hsen sen= − ϕ + ϕ − α ϕ − α ϕ∑

Simplificando as expressões (14) e (15), tem-se:

( ) 'S A i i

M V x P x x H cos y= − − − α∑

( )'S A i

V V P cos H sen

= − ϕ − ϕ − α

( )'S A i

N V P sen H cos

= − − ϕ − ϕ − α

Análise dos esforços VA e H’:

H’ cos αααα:

Seção S

H' cos α

ϕNN V

ϕ N = - H' cos α cos ϕ

V = - H' cos α sen ϕ

H’ sen αααα:

Seção S

H' sen α

ϕ N = - H' sen α sen ϕ

V = H' sen α cos ϕϕ

Seção S

N = - V sen ϕ

V = V cos ϕ

( )s a i ii

M V x P x x= − −∑

s a ii

V V P= − ∑

Comparações: Arco x Viga de Substituição

= − 'S sM M H cos yαααα

( )= − −'S sV V cos H senϕ ϕ αϕ ϕ αϕ ϕ αϕ ϕ α

( )− − −'S sN = V sen H cosϕ ϕ αϕ ϕ αϕ ϕ αϕ ϕ α

Observação: essas expressões permanecem válidas se ocorrerem também

cargas verticais distribuídas.

e) Linha de Pressões: determinação e definição

Problema: Qual a forma de um triarticulado AGB tal que, para um dado

carregamento, todas as seções tenham MF nulo (MS = 0). Isto é,

adotando-se a notação empregada, obter a ordenada y para cada

seção S tal que MS = 0. São dados l1, l2, f e α.

Solução: Na expressão (22), fazendo-se MS = 0, chega-se a:

'S sM M H cos y 0= − α =

= ssss''''MMMMyyyy

H cosH cosH cosH cosαααα(25)

Demonstração que VS = 0

Derivando-se (25):

dMVdy dx

dx H cos H cos

= =α α

E levando-se em conta que*

* dy dY dy dyy Y y tg tg

dx dx dx dx= − ∴ = − ∴ = ϕ − α∴

( ) 'ss'

Vdytg tg V tg tg H cos

dx H cos= ϕ − α = ∴ = ϕ − α α

Chega-se, após a substiuição de (27) em (23), a:

( ) ( )' 'SV tg tg H cos cos H sen= ϕ − α α ϕ − ϕ − α ∴

(28)( ) ( )' 'SV H sen H sen 0= ϕ − α − ϕ − α =

Avaliação de NS

( ) ( )= + +2 2' '

S sN V H sen Hcosα αα αα αα α

Inclinação da tangente ao eixo do arco

triarticulado na seção S (ver figura ou Eq. 27):

V H sentg

ααααϕϕϕϕ

αααα

Conclusão: quando um arco triarticulado AGB, para um dado carregamento, está

submetido apenas a esforços normais, dizemos que sua forma é a da linha de

pressões desse carregamento.

Observações Finais:

1. No caso da reta AB ser horizontal:

2 '2S sN V H= +

2. Arcos triarticulados com concavidade voltada para baixo e carregamento de cima

para baixo: ESFORÇOS NORMAIS sempre de COMPRESSÃO.

3. Arcos triarticulados com concavidade voltada para cima e carregamento de cima

para baixo: ESFORÇOS NORMAIS sempre de TRAÇÃO (Caso dos CABOS).

4. Linha de pressões: forma ideal para um arco triarticulado (forma mais econômica

de trabalho estrutural).

5. Linha de pressões para carregamento uniforme: PARÁBOLA do 2º GRAU.

6. Construtores da antiguidade: notável intuição estática (venceram grandes vãos

com arcos e abóbadas de alvenaria de pedra).

7. Arcos triarticulados: encontrados em várias construções.

Arcos biengastados (hiperestáticos): mais utilizados na prática.

e) Aplicação

Deseja-se construir uma estrutura cujo eixo coincida com a linha de pressões do

carregamento indicado na figura a seguir. Pede-se:

a. A linha de pressões.

b. Os esforços normais máximo e mínimo atuantes.

c. A inclinação da tangente ao eixo da estrutura na seção de abscissa x = 2,5 m.

Solução

Viga de substituição…??

Viga de substituiçãoArco triarticulado

5.12. PÓRTICOS ESPACIAIS

Calcule as reações e os esforços internos do pórtico espacial mostrado abaixo:

a) Aplicação

Solução 1: Reações

∑∑∑

Forças

Momentos

Solução 2: Esforços Internos

Elemento 3, Nó 3 ao Nó 4 Elemento 2, Nó 2 ao Nó 3

Elemento 1, Nó 1 ao Nó 2

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