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CÁLCULO PROPOSICIONAL
1. Proposições
Uma proposição é uma sentença declarativa que pode ser verdade ou falsa, mas não ambas. As proposições podem ser divididas em proposições simples e compostas.
1.1. Proposições simples a) Pedro é aluno do Curso de Informática. b) A terra gira em torno do sol. c) O leite é branco. d) 7 é quadrado perfeito.
1.2. Proposições compostas
e) Cabral descobriu o Brasil e Colombo a América.f) Bruno cursa Informática e Mariel Estatística.g) O triângulo ABC é isóscele ou retângulo.h) Se Pedro é estudioso, então será aprovado.i) ABC é triângulo eqüilátero se, e somente se, é eqüiângulo.
1.3. Princípio da não contradição
Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.São verdadeiras (a), (b) e (c) e falsa (d).
1.4. Princípio do terceiro excluído.
Toda proposição ou é verdadeira ou falsa. Sempre ocorre esses casos e nunca um terceiro.
2. Operações lógicas
O cálculo das proposições consiste nas operações fundamentais que partem de proposições simples para se chegar às proposições compostas. As operações que podem ser efetuadas são: A negação, a conjunção, a disjunção, a condicional e a bicondicional.
2.1. Conectivos O Cálculo das proposições destaca cinco operadores lógicos, a saber: ...não...(denota-se “ ”) ... e... (denota-se “ ”) ...ou...(denota-se “ ”) ...se,... então... (denota-se “ ”) ...se, e somente se ... (denota-se “ ”)
O primeiro operador “ ” é dito unário, pelo fato de operar sobre um só operando; os demais são operadores binários, já que operam sobre dois operandos.
2.2. Negação
É a mais simples operação-verdade. Se a proposição A é verdadeira, então A é falsa, se A é falsa, então A é verdadeira.
A: 2/3 é um número racional. (verdade) A: 2/3 não é um número racional. (falso) ou A: 2/3 é um número irracional. (falso)
Tabela verdade para a negação
2.3. Conjunção ( )
Essa operação-verdade corresponde ao termo “e” e seu símbolo é “ ”. Por meio da conjunção é possível, dadas duas proposições simples A e B obter-se outra composta A B que será verdadeira somente quando A e B forem verdadeiras.
A: Recife é a capital de Pernambuco.B: Manaus é a capital do Amazonas.
A B: Recife é a capital de Pernambuco e Manaus é a capital do Amazonas.
A B A B A B A BV V V 1 1 1V F F 1 0 0F V F 0 1 0F F F 0 0 0
Exemplo 01. José de Alencar escreveu o Guarani e Machado de Assis Capitu. ( V V = V)5+2=7 e 3> 5. ( V F = F )
> 4 e 7 é número primo. ( F V = F ) > 4 e 8 é número ímpar. ( F F = F )
A A A AV F 1 0F V 0 1
2.4. Disjunção ( )
Essa operação-verdade corresponde ao termo “ou” e seu símbolo é “ ”. Por meio da disjunção é possível, dadas duas proposições simples A e B obter-se outra composta A
B que será falsa somente quando A e B forem falsas.
A: Recife é a capital de Pernambuco.B: Manaus é a capital do Amazonas.
A B: Recife é a capital de Pernambuco ou Manaus é a capital do Amazonas.
A B A B A B A BV V V 1 1 1V F V 1 0 1F V V 0 1 1F F F 0 0 0
Exemplo 02.
2+2=4 ou 5>3 ( V V = V) 4 ou 7 é número primo. ( F V =V) 4 ou 8 é número primo. ( F F =F )
2.5. Condicional ( )
Se chover, então irei ao cinema.Se estudar, então serei aprovado. Seja A: estudar B: serei aprovado
A partir de duas proposições A e B, construímos uma nova proposição A B (se A, então B) ou A implica B.
A tabela verdade é dada por:
A B A B A B A BV V V 1 1 1V F F 1 0 0F V V 0 1 1F F V 0 0 1
Observação 01: Da teoria dos conjuntos sabemos que ou , assim, se
, então isto é, sempre é verdade que se está em , então
está em Logo, na tabela é sempre verdadeira.
A B A B A B BV V V V V VV F F F V FF V F F V VF F F F V F
Observando as três últimas colunas podemos escrever: V V = VF F = VF V = V
Observação 02: Uma proposição A B é sempre Verdadeira (V) desde que A seja Falsa (F),
independente do valor de B.
Observação 03: Uma proposição A B é Verdadeira sempre que B é verdadeira.
Exemplo 03.1) Se 2 + 2 =5, então 1 1 (verdade)2) Se 2 + 2 =5, então 1 = 1 (verdade)3) Se o Papa joga no Corinthians, então o Palmeiras será campeão.3) Se o Papa joga no Corinthians, então todos os alunos de Matemática Discreta
serão aprovados.
Observação 04: As proposições no Exemplo 03 são trivialmente verdadeiras pois, A : 2 + 2 =5 ou
A: O Papa joga no Corinthians,são falsas.
2.5. Bicondicional ( )
Encontramos com freqüência a forma:
“A se, e somente se, B ” que é definida por (A B) ( B A)
A B A B B A (A B) ( B A)V V V V VV F F V FF V V F FF F V V V
Segue, portanto, a tabela verdade para a bicondicional.
A B A B A B A BV V V 1 1 1V F F 1 0 0F V F 0 1 0F F V 0 0 1
Exercícios de aplicação 01:
Escreva em linguagem corrente.
1) A: Está frio. B: Está chovendo.
a) A:
b) A B:
c) A B:
d) A B;
e) A B:
f) A B:
g) A B:
2) Analogamente: A: Pedro é aluno de ADS
B: ADS é Curso da Fatec SP
3) Escreva em linguagem simbólica as sentenças.
p: Carolina é alta.
q: Carolina é elegante.
a) Carolina é alta e elegante.
b) Carolina é alta mas não é elegante.
c) É falso, que Carolina é baixa ou elegante.
d) Carolina não é nem baixa nem elegante.
e) Carolina é alta, ou ela é baixa e elegante.
4) Dar o valor lógico das proposições.
a) Porto Alegre é a capital do Estado do Paraná ou 10 é par. ( )
b) Se 3 > , então é racional. ( )
c) Se 3 > , então o Corinthians será campeão Paulista de 2009. ( )
d) Se , então . ( )
e) 2+3=5 se, e somente se ( )
f) se, e somente se 2+2+2=6. ( )
2.7. Formas sentenciais
Quando estudamos as expressões numéricas , observamos expressões com as
operações de adição, subtração, multiplicação e divisão organizadas com parênteses,
colchetes e chaves. Da mesma forma ocorrem as formas sentenciais usando
.
2.8. Tabelas-verdade
Para cada forma sentencial podemos montar uma tabela-verdade.
Exemplo 04.Construir a tabela verdade relativa à forma sentencial
A B C
V V V V F V F F F
V V F V F F F V V
V F V F F V V F F
V F F F F F V V F
F V V V V V F F F
F V F V V V V V V
F F V V V V F F F
F F F V V V F V F
Exemplo 05.Construir a tabela verdade relativa à forma sentencial
A B C
V V V V V V V
V V F V F V F
V F V F V V V
V F F F V V F
F V V V V V V
F V F V F V V
F F V V V V V
F F F V V V V
Exemplo 06.Tabela-verdade simplificada.
V V V V F V V V F F V F F F F V V V V V V F V F V V V F
Exercícios de aplicação 01:
Construir a tabela verdade relativa à forma sentencial (Simplificada ou não).
1)
2)
3)
4)
5)
6)
2.9. Tautologia –Contradição
Uma forma sentencial diz-se tautologia, se assumir valor V para quaisquer que
sejam os valores atribuídos às variáveis e se assumir o valor F diremos que é uma
contradição.
Exemplo 07. A forma sentencial que segue é uma tautologia.
V V V V F V V V F F V F F F F V V V V V V F V F V V V F
Exemplo 08. A forma sentencial que segue é uma contradição.
V V V F F F F V V F F F F V F V V F V F F F F F F V V V
Exemplo 09.
Se a forma sentencial é falsa,
quais valores possíveis de verdade, que podem assumir A, B e C?
____________________0___________ 1ª conclusão ____1______________________ 0_______2ª conclusão __________1____0_________1_____0___ 3ª conclusão_________0_________________________ 4ª conclusão _0__________0_____________________ 5ª conclusão
Assim, A=0, B=1 e C=0Exercícios de aplicação 02: As formas sentencias que seguem são falsas, quais valores possíveis de verdade, que
podem assumir A, B, C e D?
1)
2)
3)
4)
5) Se a forma sentencial é falsa, e a
sentença é verdadeira. Quais os valores possíveis de verdade, que podem assumir A, B e C?
Respostas dos exercícios de aplicação 02:1) A=B=1 e C=D=0 2) A=B=1 e C=0 3)A=B=C=D=E=14) A=B=0e C=1 5) A=C=0 e B=1
2.10. Implicações e equivalências lógicas (~)
Dizemos que uma forma sentencial X implica logicamente uma forma sentencial Y, se a forma sentencial X Y for uma tautologia.
Exemplo 10.
Seja X: e Y: , mostremos que X ~ Y isto é
V V V V F V VV F F V F F FF V V V V V VF F V V V V F
2.11. Equivalências lógicas Fundamentais
: Lei da dupla negação:
V F VF V F
Exemplo 11. Não entendi nada desta explicação ~ entendi tudo.: Entendi essa explicação.
: Não entendi essa explicação.
: Não entendi nada essa explicação ~ : entendi tudo.
: Lei da idempotência:
V V V VF F V F
V V V VF F V F
: Lei da Comutatividade:
a)
V V V V V V VV F F V F F VF F V V V F FF F F V F F F
b)
V V V V V V VV F F V F F VF F V V V F FF F F V F F F
: Leis da associatividade:
a)
b)
: Leis de De Morgan
a)
b)
Demonstração: Usaremos 1 para V e 0 para F
a)
0 1 1 1 1 0 0 00 1 1 0 1 0 0 10 0 1 1 1 1 0 01 0 0 0 1 1 1 1
b)
0 1 1 1 1 0 0 00 1 1 0 1 0 0 10 0 1 1 1 1 0 01 0 0 0 1 1 1 1
Mostre as propriedades que seguem usando as tabelas- verdade.
: Leis distributivas ou de fatoração
a)
b)
: Leis de absorção
1)
2)
3)
4)
5) Se T é tautologia e F uma contradição, então
a) b)
c) d)
Mostremos a)
T
1 1 1 1 11 1 1 1 11 0 0 1 01 0 0 1 0
Mostre as propriedades b) c) d) usando as tabelas- verdade.
: Contrapositivo.
1 1 1 1 0 1 01 0 0 1 1 0 00 1 1 1 0 1 10 1 0 1 1 1 1
: Eliminação da condicional
a)
1 1 1 1 0 1 11 0 0 1 0 0 00 1 1 1 1 1 10 1 0 1 1 1 1
b)
1 1 1 1 1 0 01 0 0 1 0 1 10 1 1 1 1 0 0
0 1 0 1 1 0 1
: Eliminação da Bicondicional
a)
1 1 1 1 1 1 01 0 0 1 0 0 00 0 1 1 0 0 00 1 0 1 0 1 1
b)
1 1 1 1 1 1 11 0 0 1 0 0 10 0 1 1 1 0 00 1 0 1 1 1 1
Exercícios de aplicação 03:
Nota: Nos exercícios que seguem use as leis apresentadas, indicando qual esta sendo usada.
1)A forma sentencial é logicamente
equivalente a A) b) c) d)
2)A forma sentencial é logicamente
equivalente a
a) b) c)
3)A forma sentencial é
logicamente equivalente a
a) b) c) d)
4) A forma sentencial é logicamente
equivalente a
a) b) c)
5) A forma sentencial
é logicamente equivalente a
a) b) c)
Respostas dos exercícios de aplicação 03:1)c 2) a 3) d 4) c 5)a
Observação:
Nos exercícios que seguem é importante conhecer a leitura das proposições e sua simbologia. Assim
: lê-se: Se , então
somente se
é condição suficiente para .
é condição necessária para .
: é condição necessária é suficiente para .
Exemplo 12.
Indique em quais casos temos c.s, c.n e c.n.s.
a) A: n é divisível por 6 B: n número par (c.s)b) A: x < 0 e y < 0 B: x .y > 0 (c.s)c) A: x é ímpar B: é impar (c.n.s)
d) A: x = 2 B: =4 (c.s)
e) A: =4 B: x = 2 (c.n)
Exemplo 13.
Dar a negação em linguagem corrente das proposições.
As rosas são amarelas e os cravos brancos.Solução:
Definindo: A: As rosas são amarelas.B: Os cravos brancos. Assim, podemos escrever
Negação de é ~ (Leis de De Morgan)
As rosas não são amarelas ou os cravos não são brancos.
Exemplo 14.Dar a negação em linguagem corrente das proposições.
Se estiver cansado ou com fome, não consigo estudar.Definindo:
C: estiver cansadoF: com fomeE: consigo estudar
E: não consigo estudar.
Assim, podemos escrever: , negando:
~ .
Portanto, Mesmo cansado ou com fome eu estudo. Estando cansado ou com fome consigo estudar.
Exemplo 15.Dar a negação em linguagem corrente das proposições.
A temperatura diminuirá somente se chover ou nevar.Definindo:
D: A temperatura diminuiráC: chover
N: nevar
Assim, podemos escrever: , negando
~ ~ ~
A temperatura diminuirá mesmo não chovendo e não nevando.Não choverá e não nevará e mesmo assim a temperatura diminuirá.
Exercícios de aplicação 04:
Dar a negação em linguagem corrente das proposições.
1) Fará sol se, e somente se não chover.2) Bruno é aluno MD ou pesquisador.3) Existe menina feia.4)Todo menino gosta de futebol.5) Nenhuma menina gosta do Corinthians.6) Tudo que é bom engorda.7)Todos os homens são mortais.
8)Thaís é inteligente e estuda.9)O Corinthians ganhará o campeonato brasileiro se o juiz roubar ou os santos
ajudarem.
Respostas dos exercícios de aplicação 04:
1) Fará sol se, e somente se chover.2) Não é aluno Bruno MD e não é pesquisador.3) Todas as meninas não são feias.4) Existe menino e que não gosta de futebol.5) Existem meninas que não gostam do Corinthians.6) Nem Tudo que é bom engorda.( Existe coisa boa e que não engorda)7) Existem homens que não são mortais.8) Thaís não é inteligente ou não estuda.9) Mesmo o juiz roubando ou os santos ajudando, o Corinthians não ganhará o
campeonato brasileiro. 2.11. Argumentos
Sejam e proposições. Denomina-se argumento a toda afirmação
de que uma dada seqüência finita de proposições acarreta uma proposição
final .
denominam-se premissas, e conclusão. Lê-se
acarreta ou
decorre de .
Um argumento que consiste em duas premissas e uma conclusão, denomina-se silogismo.
Um argumento é valido se, e somente se a condicional
é uma tautologia.
Exemplo 16.
Verifique em cada um dos casos abaixo, se a argumentação é válida ou é uma falácia .
1) Sejam as Premissas:i) Se um homem é feliz, ele não é solteiro.
ii) Se um homem não é feliz, ele morre cedo.Conclusão:
Homens solteiros morrem cedo.
Chamando
F: Homem é felizS: SolteiroC: morre Cedo
Podemos escrever a forma simbólica (argumentação) como:
______1________1________1___________ 1_______ 1ª conclusão___________1__________________________________2ª conclusão__________0___________________________________3ª conclusão___0__________________0_______________________4ª conclusão____________________1________1______________1_ 5ª conclusão__________________________________1______1____final
Portanto, a argumentação é verdadeira.
2) Sejam as Premissas:
i) Se um homem não fuma , então é atleta ou não é alcoólatra. ii) Se um homem fuma, então tem câncer. iii) Paulo não é atleta mas alcoólatra.Conclusão:
Paulo tem câncer.Chamando
F: Fuma C: Câncer At: Atleta
Al: Alcoólatra
______ 1____________________1__________ __ 1__________1ª conclusão ______________________________________1__ ___1____ 2ª conclusão___________0______1_____________________0____________3ª conclusão ________________0____________________________________4ª conclusão______________0______________________________________5ª conclusão___0_________________________________________________6ª conclusão_____1____________________1_____1_________________ 1_ 7ª conclusão_________________________________________________1__ Verdade__
Portanto, a argumentação é verdadeira.
3) Sejam as Premissas:
i) Se eu não jogar xadrez,jogarei futebol. ii) Se estiver machucado, não jogarei futebol Conclusão:
Se estiver machucado jogarei xadrez.
Chamando
X: jogar Xadrez F: Futebol
M: Machucado
______ V_____________ V_____________________ 1ª conclusão _______________V____________________ V hip ____ 2ª conclusão___________________V_________________________ 3ª conclusão ___________F________________F________________ 4ª conclusão___F__________________________________________ 5ª conclusão______V____________________________________V__6ª conclusão_____________________________________V_______ 7ª conclusão_______________________________V_______________Verdade
Portanto, a argumentação é verdadeira.
Exercícios de aplicação 05:
Verifique em cada um dos casos abaixo, se a argumentação é válida ou é uma falácia .
1) Sejam as Premissas:
i) Os bebes não são lógicos. ii) Quem consegue amestrar um crocodilo não é desprezado. iii) Pessoas não lógicas são desprezadas.Conclusão:
Bebes não conseguem amestrar crocodilo.2) Sejam as Premissas:
i) O professor não erra. ii) Andréia é distraída. iii) Quem é distraído erraConclusão:
a) Andréia não é professora.b) Nenhum professor é distraído.
3) Sejam as Premissas:i) Gracielli é estudiosa.
ii) Todo estudioso é aprovado em Matemática discreta. Conclusão:
Gracielli será reprovada em Matemática discreta.
Respostas dos exercícios de aplicação 05:1) e 2) A argumentação é verdadeira.3) A argumentação é falsa.