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1
RESISTÊNCIA DOS
MATERIAISCAPITULO
Notas de Aula:
Prof. Gilfran Milfont
As anotações, ábacos, tabelas, fotos e
gráficos contidas neste texto, foram
retiradas dos seguintes livros:
-RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-
Beer, Johnston, DeWolf- Ed. McGraw
Hill-4ª edição-2006
- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-R.
C. Hibbeler-Ed. PEARSON -5ª edição-
2004
-MECÂNICA DOS MATERIAIS-James
M. Gere-Ed. THOMSON -5ª edição-2003
-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Ansel
C. Ugural-Ed. LTC-1ª edição-2009
-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Riley,
Sturges, Morris-Ed. LTC-5ª edição-2003
3 Torção
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Momento Torçor em Eixos Circulares
1 - 2
• O sistema da figura é composto de
um gerador e uma turbina,
interligados por um eixo.
• Efeitos da torção :
- Dá origem a tensões de cisalhamento nas diversas seções tranversais do eixo;
- Produz um deslocamento angular de uma seção transversal em relação à outra.
• O eixo transmite o torque para o
gerador e o gerador cria um torque
igual e contrário T’, chamado
Momento Torçor.
• A turbina exerce um torque T no eixo.
2
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Torque Interno
1 - 3
dAdFT
• A resultante das tensões de cisalhamento,
geram um torque interno igual e oposto ao
torque externo aplicado,
• Embora a resultante do torque devido às tensões
de cisalhamento seja conhecida, a distribuição
das tensões ainda não o é.
• Diferentemente da distribuição das tensões
normais devido à cargas axiais, a distribuição das
tensões de cisalhamento devido ao torque não
pode ser considerada uniforme.
• A determinação da distribuição das tensões de
cisalhamento é estaticamente indeterminada,
deve-se considerar as deformações do eixo para
a sua solução.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Componentes das Tensões de Cisalhamento
1 - 4
• O torque aplicado na barra circular
produz tensões de cisalhamento nas faces
perpendiculares ao eixo axial.
• A existência destas tensões pode ser
demonstrada, considerando que a barra é feita
de tiras axiais, conforme figura ao lado.
• As condições de equilíbrio requerem a
existência de tensões iguais nas faces dos dois
planos que contêm o eixo da barra.
3
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Cisalhamento na Torção
1 - 5
• Considere um elemento no interior de uma seção de
um eixo, submetido a um torque T.
• Desde que a extremidade do elemento permanece
plana, a deformação de cisalhamento é proporcional
ao ângulo de torção.
• Logo:
• Temos então:
máxmáx e g
gf
gcL
c
LL
fg fg ou
Pela lei de Hooke para o cisalhamento:
LG
fg
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Cisalhamento na Torção – cont.
dAJOnde 2:
1 - 6
Jc
dAc
dAT máxmáx
2
• Como a soma dos momentos internos causados pela
tensão de cisalhamento deve ser igual ao torque
externo,
• Ficamos então com: emáxJ
T
J
Tc
máxc
00
Logo, se:
Encontramos então, a seguinte relação:
máxmáx
cc
4
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Momento Polar de Inércia
1 - 7
a) Eixos Circulares Cheios:
32
22.
2
4
4
0
2
2
2
DJ
ou
cdJ
ddAA
dAJ
c
b) Eixos Circulares Vazados:
)(32
44
ie DDJ
421 cJ
41
422
1 ccJ
41
422
1 ccJ ou
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Deformação do Eixo – Ângulo de Torção
1 - 8
• Verifica-se que o ângulo de torção no eixo, é
proporcional ao torque aplicado e ao
comprimento do eixo.
L
T
f
f
• A seção transversal de barras não circulares
submetidas a torção são distorcidas, devidas a
falta de axisimetria.
• Quando submetido a torção, o eixo circular
permanece com a sua seção tranversal plana e
sem distorção.
5
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Ângulo de Torção
1 - 9
• Sabemos que o ângulo de torção e a deformação
de cisalhamento estão relacionadas por:
L
cmáx
fg
• Pela lei de Hooke para o cisalhamento:
JG
Tc
G
máxmáx
g
• Igualando as equações e resolvendo para o
ângulo de torção, encontramos:
JG
TLf
• Se o torque, a seção, o material ou o
comprimento variam ao longo do eixo:
i ii
ii
GJ
LTf
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 3.1
1 - 10
O eixo BC é ôco com diâmetro interno de
90mm e diâmetro externo de 120mm. Os
eixos AB e CD são cheios e de diâmetro d.
Para o carregamento mostrado, determine:
(a) as tensões de cisalhamento minima e
máxima no eixo BC,
(b) o diâmetro d necessário para os eixos
AB e CD, se a tensão admissível ao
cisalhamento para o material do eixo é de
65 MPa.
6
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
1 - 11
SOLUÇÃO:
• Corte o eixo através de AB e BC e
aplique as equações de equilíbrio para
encontrar os torques internos:
CDAB
ABx
TT
TM
mkN6
mkN60
mkN20
mkN14mkN60
BC
BCx
T
TM
Exemplo 3.1
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
1 - 12
• Para o eixo BC, temos:
46
4441
42
m1092.13
045.0060.022
ccJ
MPa2.86
m1092.13
m060.0mkN2046
22max
J
cTBC
MPa7.64
mm60
mm45
MPa2.86
min
min
2
1
max
min
c
c
MPa7.64
MPa2.86
min
max
• Para os eixos AB e BC, temos:
m109.38
mkN665
3
3
2
4
2
max
c
cMPa
c
Tc
J
Tc
mm8.772 cd
Exemplo 3.1
7
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 3.2
4644
3
10021,1)(32
109,34180
2
mDDJ
rad
L
GJT
GJ
TL
ie
1 - 13
Que valor de momento de torção deve ser
aplicado à extremidade do eixo circular da
figura, de modo a produzir um ângulo de torção
de 20? Adotar G=80 GPa.
SOLUÇÃO:
LOGO:
mKNT
T
.9,1
109,345,1
10021,11080 369
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 3.3
03
6min
6
9
6
minmin
76,3106,65
1087520
1500
108751080
1070
rad
radmm
mm
r
L
radG
i
g
g
1 - 14
Calcular, para o eixo da figura, o valor do
ângulo de torção que provoca uma tensão de
cisalhamento de 70 MPa na face interna do
eixo. Adotar G=80 GPa.
SOLUÇÃO:
A distribuição das tensões no
eixo se dá como abaixo:
LOGO:
8
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 3.4
1 - 15
Dois eixos sólidos de aço são
conectados por engrenagens.
Sabendo que o material dos eixos tem
G = 77,2 GPa e tensão admissível ao
cisalhamento de 55 MPa, determine:
(a) o torque máximo T0 que pode ser
aplicado em A,
(b) o correspondente ângulo de
torção em A.
900mm
25mm
19mm
650mm
62mm
22mm
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
1 - 16
SOLUÇÃO:
• Aplique a equação de equilíbrio da
estática para as engrenagens,
encontrando a relação entre TCD e T0
• Aplique a analise cinemática para as
engrenagens, encontrando a relação
entre as suas rotações
Exemplo 3.4
0
0
82.2
0
22mm0
TT
TFM
TFM
CD
CDC
B
62mm
62mm22mm 62mm
22mm
CB
CCB
CB
CCBB
r
r
rr
ff
fff
ff
82.2
62mm.
22mm.
9
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
1 - 17
• Encontre o correspondente ângulo de torção
para cada eixo e a rotação da extremidade A
o54,10Af
Exemplo 3.4
• Encontre T0 permitido em função
de cada eixo e escolha o menor:
9,5mm
0,65m
12,5mm
0,9m
59,84N.m0 =>T
max J
cT
CD
CD
max J
x cT
AB
AB
74,07N.m0 =>T
0,009555MPa
4
2
0T
0,0095
0,01258.255Mpa
4
2
0T
0,0125
59,84 N.m0 T
o2.26rad394.0
oo
/
oo
2,2628.8,
28,894,22,82
BABA
CB
fff
ff
942
/Pa1077,20,0095m
0,6m59,84 N.m
AB
ABBA
GJ
LTf
o
42
/
94.2,rad513.0
91077,20,0125
0,9 m59,84822,
CD
CDDC
GJ
LTf
Pa
2,82
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Tensões em Planos Ortogonais ao Eixo
1 - 18
• Elementos com faces perpendiculares e
paralelas ao eixo axial, estão submetidas a
cisalhamento puro. Tensões normais e tensões
de cisalhamento são encontradas para outras
orientações.
máxmáx
máxmáx
A
A
A
F
AAF
2
2
245cos2
0
0
45
00
o
• Considere um elemento a 45o do eixo axial,
• Elemento a está sob cisalhamento puro.
• Elemento c está submetido a tração em duas
de suas faces e a compressão nas outras duas.
10
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Falhas Sob Torção
1 - 19
• Materiais dúcteis geralmente
falham por cisalhamento. Materiais
frágeis são mais suceptiveis a falhas
por tensão normal.
• Quando submetidos a torção, os
materiais dúcteis rompem no plano
onde ocorre a tensão de
cisalhamento máxima, isto é, o
plano perpendicular ao eixo axial.
• Quando submetidos a torção, os
materiais frágeis ropem em um
plano que forma 45o com eixo axial,
isto é, o plano onde ocorre a tensão
normal máxima.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Eixos Estaticamente Indeterminados
1 - 20
• São aqueles, onde o número de incógnitas a
encontrar é maior que o número de equações da
estática aplicáveis.
• Ex: Dado o eixo da figura, desejamos determinar
os torque reativos em A e B.
ABBA T
JL
JLT
GJ
LT
GJ
LT
12
21
2
2
1
121 0 fff
• Dividindo o eixo em duas partes, as quais
precisam ter compatibilidade de deformações,
• Da análise do diagrama de corpo livre do eixo:
T BA TT
TJLJL
JLTB
2112
21
• Substituindo na equação de equilíbrio,
T12
21 AA TJL
JLT
TJLJL
JLTA
2112
12 e
11
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Projeto de Eixos de Transmissão
1 - 21
• O projeto de eixos de
transmissão (árvores) baseia-se
na Potência transmitida e na
Velocidade de rotação do eixo
• O torque aplicado é uma função
da potência e da velocidade de
rotação,
f
PPT
fTTP
2
2
• A seção do eixo é encontrada,
igualando-se a tensão máxima à tensão
admissível do material,
• O projetista precisa selecionar o
material e calcular
adequadamente a seção do eixo,
sem que exceda a tensão
admisível do material e o ângulo
de torção máximo permitido para
a aplicação.
• O ângulo de torção deve ser
verificado pela expressão:
JG
TLf
Eixo ôco2
Eixo cheio2
máx
41
42
22
máx
3
máx
Tcc
cc
J
Tc
c
J
J
Tc
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Concentração de Tensões
1 - 22
• A equação da tensão de cisalhamento,
supõe a seção circular uniforme, sem
descontinuidades.
J
Tcmáx
J
TcKmáx
• Nestes casos, deve-se multiplicar a
tensão pelo fator de concentração de
tensões:
• A utilização de acoplamentos, engrenagens,
polias, etc., acopladas através de chavetas,
ou no caso de descontinuidades na seção,
causam concentrações de tensão.
• Para eixos com rasgo para chavetas:
K=1,25
12
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Deformações Plásticas Em Eixos
máxcg
g
1 - 23
• Na região elástica do material: J
Tcmax
• A deformação de cisalhamento γ varia linearmente
com a distância ρ ao centro da seção, independente
das propriedades do material. Podemos então,
continuar utilizando a relação:
• Se a tensão de escoamento é atingida ou se o material
tem uma cuva tensão-deformação não linear (material
frágil), a expressão anterior não pode ser usada.
cc
ddT0
2
0
22
• A integral do momento causado pela distribuição
interna das tensões de cisalhamento é igual ao torque
externo aplicado,
AAdAdFT ...
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Eixos de Material Elastoplástico
1 - 24
f
g YL
Y
• O máximo torque elástico é:
YYY cc
JT 3
21
c
L YY
gf
e
• A medida que o torque aumenta, uma região plástica
( ) se desenvolve no eixo, com ( )Y YY
3
3
41
34
3
3
413
32 11
cT
ccT Y
YY
Y
3
3
41
34 1
f
fYYTT
• Se , o torque atinge o seu valor
máximo,
0Y
plástico torque TT YP 34
Material Elastoplástico
13
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Tensões Residuais
1 - 25
• Uma região plástica é desenvolvida em um eixo, quando
submetido a um torque suficientemente grande.
• Na curva T-f , o eixo é descarregado ao longo de uma
linha reta, ficando no final com um ângulo residual,
surgindo no final as tensões residuais..
• Quando o torque é removido, a redução da tensão e da
deformação se dá ao longo de uma linha reta, paralela a
reta inicial do carregamento.
• As tensões residuais são encontradas pelo pricípio da
superposição
0 dA
J
Tcm
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 3.08/3.09
1 - 26
Um eixo circular maciço é sumetido
a um torque T=4,60 KN.m em cada
uma de suas extremidades. Adotando
o material do eixo como sendo
elastoplástico, com e
G=77GPa determine:
(a) o raio do núcleo elástico,
(b) O ângulo de torção.
Após a remoção do torque,
determine:
(c) O ângulo de torção permanente,
(d) A distribuição das tensões
residuais.
MPa150Y
14
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
1 - 27
SOLUÇÃO:
a) Resolva a Eq. (3.32) e encontre
o raio do núcleo elástico
31
3413
3
41
34
Y
YYY
T
T
ccTT
mkN68.3
m1025
m10614Pa10150
m10614
m1025
3
496
49
3
214
21
Y
YY
YY
T
c
JT
J
cT
cJ
630.068.3
6.434
31
c
Y
mm8.15Y
• b) Resolva a Eq. (3.36) para o ângulo
de torção:
o33
3
49-
3
8.50rad103.148630.0
rad104.93
rad104.93
Pa1077m10614
m2.1N1068.3
f
f
f
ff
f
f
Y
YY
Y
YY
Y
JG
LT
cc
o50.8f
Exemplo 3.08/3.09
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
1 - 28
TL
• c) Utilize a Eq. (3.16) para o
ângulo de torção no
descarregamento. O ângulo de
torção permanente é a diferença
entre o âgulo no carregamento e
o no descarregamento:
o
33
3
949
3
1.81
rad108.116103.148
rad108.116
Pa1077m1014.6
m2.1mN106.4
ff
f
pφ
JG
o81.1pf
• d) Utilize o método da superposição
de efeitos para encontrar as tensões
residuais
MPa3.187
m10614
m1025mN106.449-
33
max
J
Tc
Exemplo 3.08/3.09
15
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Torção em Barras Não Circulares
1 - 29
• Para altos valores de a/b, a tensão de
cisalhamento máxima e o ângulo de
torção podem ser calculados pelas eq.
Anteriores, desde que a seção seja
aberta.
Gabc
TL
abc
T3
22
1
max f
• Para seções retangulares uniformes,
• As fórmulas anteriormente vistas, são
válidas para eixos circulares.
• Seções planas de barras não circulares
não permanecem planas durante a torção
e a distribuição da tensão e da
deformação não é linear.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Eixos Vazados de Paredes Finas
1 - 30
• Somando as forças na direção x em AB,
a tensão de cisalhamento varia inversamente
com a espessura.
de cisalhamentofluxo
0
DD
qttt
xtxtF
BBAA
BBAAx
tA
T
qAdAqdMT
dAqpdsqdstpdFpdM
2
22
2
0
0
• O torque e a tensão de cisalhamento são
calculados conforme abaixo:
t
ds
GA
TL24
f
• O ângulo de torção é calculado por:
16
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 3.10
1 - 31
Um tubo de aluminio de seção
retangular de 60 x 100mm, fabricado
por extrusão, é submetido a um torque
3 KN.m. Determine a tensão de
cisalhamento em cada uma das quatro
paredes, com:
(a) espessura uniforme de 4mm.
(b) espessura de parede de 3mm em AB
e AC e espessura de 5mm em CD e BD.
4mm
4mm
100mm
60mm
100mm
60mm3mm
5mm
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
1 - 32
SOLUÇÃO:
• Determine o fluxo de cisalhamento
através das paredes do tubo:
• A tensão de cisalhamento para cada
espessura de paredes é o fluxo de
cisalhamento pela espessura.
a) Para espessura uniforme de
paredes,
m
mKN
t
q3-104
/02,279
MPa8,69
b) Para espessura de paredes
variável
m
mKNACAB 3103
/02,279
MPaBCAB 0,93
MPaCDBC 8,55
Exemplo 3.10
96mm
56mmt=4mm
t=4mm
m
KN
A
Tq
mA
02,27910376,52
103
2
10376,510)5696(
3
3
236
m
mKNCDBD 3105
/02,279