Post on 25-Oct-2020
Olá estudantes!
Esta semana vamos estudar na Aula Paraná, para ajudar em seus estudos, você está recebendo o
resumo dos conteúdos. Relembrando que teremos cinco aulas e vamos tratar sobre:
AULA 29 – POSIÇOES RELATIVAS ENTRE RETA E A CIRCUNFERÊNCIA
Os objetivos dessa aula é resolver inequações do 2º grau com duas incógnitas e identificar as
posições relativas entre a reta e a circunferência.
Relembrando
• Inequação representa a desigualdade entre duas expressões matemáticas, cujo objetivo é
determinar os valores das variáveis que satisfazem essa desigualdade.
• Uma inequação envolvendo uma circunferência admite infinitas soluções que podem ser
representadas num sistema de eixos.
• Lembrar que:
AULA: 29 Posições relativas entre a reta e a circunferência
AULA: 30 Retomada – Matemática Financeira
AULA: 31 Retomada - Polinômios
AULA: 32 Retomada - Reta e suas equações
AULA: 33 Retomada - Circunferência
MATEMÁTICA
3ª Série SEMANA 08
EXEMPLOS
1 - Resolver graficamente a inequação de 2º grau com 2 incógnitas: x2 + y2 – 4x – 4y + 5 < 0
sabendo que para a circunferência de Centro (x,y), ou seja f(x,y) < 0 refere-se aos pontos
internos da circunferência; decompondo a inequação para a estrutura algébrica da equação
reduzida da reta temos que: f (x, y) = (x – 2) 2 + (y – 2) 2 – 3 < 0
Resposta
f (x, y) = (x – 2) 2 + (y – 2) 2 – 3 < 0
Relembrando::Existem 3 posições possíveis entre uma circunferência e uma reta no plano:
a) A reta r é secante a circunferência; ambas possuem dois pontos em comum. drC < R
b) A reta r é tangente a circunferência; ambas possuem somente um ponto em comum. drC = R
c) A reta r é externa a circunferência e ambas não possuem nenhum ponto em comum. drC > R
EXEMPLO
1 - Determine a que distância está o ponto A(– 2, 3) da reta t: 4x + 3y – 2 = 0.
Dica : Utilize a fórmula Resposta: 1
5
2 - Verifique se a reta s: 2x + y + 2 = 0 é tangente à circunferência de equação:
(x – 1)2 + (y – 1)2 = 5
Resolução: Devemos verificar se a distância do centro da circunferência até a reta s é igual à
medida do raio.
Da equação da circunferência, temos que: x0 = 1 e y0 = 1 → O(1, 1) e r2 = 5 → r = √5. E da
equação da reta, obtemos: a = 2, b = 1 e c = 2
Vamos aplicar a fórmula da distância entre ponto e reta.
Resposta: Como dOs = R podemos afirmar que a reta s é tangente à circunferência.
AULA 30 –RETOMADA - MATEMÁTICA FINANCEIRA
O objetivo desta aula será resolver problemas relacionados à Matemática financeira
(porcentagem, juros simples e compostos).
Relembrando
• Porcentagem é uma proporção de uma quantidade em relação a uma outra (avaliada sobre a
centena % percentual)
EXEMPLO
1 - O preço de custo de uma mercadoria é de R$ 210,00. Para que se tenha um lucro de 20% na
venda dessa mercadoria, por quanto devo vendê-la?
Resolução
20% = 20
100 = 0,2 20% de 210,0 0,2 x 210,00 = 42,00 210,00 + 42,00 = 252,00
Resposta: Devemos vendê-la por R$ 252,00 para que se tenha um lucro de 20 %.
2 - Um capital de R$ 80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante um trimestre. Pede-
se determinar o valor dos juros acumulados neste período.
J = C . i . n
Dados
C = R$ 80.000,00
i = 2,5% AO MÊS (0,025) lembre que 2,5: 100 = 0,025
n = 3 MESES
J = ?
Resolução
J = 80.000,00 . 0,025 . 3
J = R$ 6.000,00
3 - Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% ao mês
durante nove meses. Ao final deste período, calculou em R$ 270.000,00 o total dos juros
incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo.
Dados
C = ?
i = 6% AO MÊS (0,06)
n = 9 MESES
J = R$ 270.000,00
Resolução
4 - Uma pessoa aplica R$ 18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses. Determine o valor
acumulado ao final deste período.
M = C . ( 1 + i . n)
Dados
M = ?
i = 1,5% AO MÊS (0,015)
n = 8 meses
C = R$ 18.000,00
Resolução
M = 18.000,00 (1 + 0,015 × 8) M = 18.000,00 × 1,12 = R$ 20.160,00
5 - Se uma pessoa deseja obter R$ 27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá depositar hoje
numa caderneta de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês?
M = C . (1 + i)n
Dados
Juros Compostos
i = 1,7% ao mês (0,017)
n = 12 meses (1ano)
Resolução
6 - Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 12.000,00 em um título pelo prazo de 8
meses à taxa de juros compostos de 3,5% a.m.? M = C . (1 + i)n
Dados
M = ?
i = 3,5% ao mês (0,035)
n = 8 meses
C = R$12.000,00
Resolução
M = 12.000,00 . ( 1 + 0,035)8
M = 12.000,00 . ( 1 + 0,035)8
M = 12.000,00 . 1,316809 R$ 15.801,71
AULA 31 – RETOMADA – POLINÔMIOS
Os objetivos desta aula será identificar um polinômio e seu grau, reconhecer, adicionar,
subtrair, multiplicar e dividir polinômios; decompor e resolver problemas que envolvam
polinômios.
Relembrar
• Os polinômios são expressões algébricas formadas por números (coeficientes) e letras
(partes literais). As letras de um polinômio representam os valores desconhecidos da
expressão: axn ... + ax4 + ax3 + ax2 + ax1 + ax0
• O grau de um polinômio é representado pelo maior expoente da sua variável, quando a
variável for única.
• Obtemos o valor numérico de um polinômio quando substituímos o valor da variável por um
valor constante, ou seja, x = k (constante).
EXEMPLOS
1 - Determine o grau do polinômio Q(x) e os valores numéricos para x = 1.
Q(x) = 7x5 + 2x3 + 4x – 7
Resolução
Q(1) = 7.(1)5 + 2.(1)3 + 4.(1) – 7
Q(1) = 7.1 + 2.1 + 4.1 – 7
Q(1) = 7 + 2 + 4 – 7
Q(1) = 6
gr(Q) = 5
2 - Determine os valores de a, b, c e d de modo que P(x) Q(x), sendo:
P(x) = ax³ + 2x² + cx + d Q(x)= x³ + bx² + 4x.
Resolução
3 - Determine o polinômio O(x) = P(x) + Q(x), sendo P(x) = 4x5 + 8x3 + 5x + 2 e
Q(x) = 3x5 – 6x3 – x – 9:
Resolução
O(x) = (4+3)x5 + (8+(– 6))x3 + (5+(– 1))x + (2+(– 9))
O(x) = 7x5 + 2x3 + 4x – 7
4 - Dados P(x) = (3x – 1) e Q(x) = (5x2 + 2),determine o produto (P.Q)(x):
5 – Resolva a divisão entre os polinômios pelo método da chave:
(6x4 – 10 x3 + 9x2 + 9x – 5) : ( 2x² – 4x + 5)
AULA 32 – RETOMADA – RETA E SUAS EQUAÇÕES
O objetivo desta aula é compreender e aplicar o estudo analítico do ponto e da reta: distância
entre dois pontos, alinhamento entre três pontos, equação geral e reduzida de uma e reta.
Relembrando
• Distância entre dois pontos
EXEMPLO
1 - Em um plano, qual a distância entre o ponto A (3, 1) e o ponto B (1, 2)?
Resolução
2 - Verifique se os pontos A(5, 5), B(1, 3) e C(0, 5) estão alinhados.
Dica: Para solução devemos fazer o cálculo do determinante das coordenadas dos pontos A, B
e C e verificar se o resultado é igual a zero.
Resolução
3 - Encontre uma equação geral da reta que passa pelos pontos A(–1, 8) e B(–5, –1).
4 - De acordo com os pontos A (2, 4) e B (1, –3) encontre a equação reduzida da reta:
Resolução
1º Passo: Encontrar o coeficiente angular m utilizando as coordenadas oferecidas e a equação
reduzida: (yB – yA) = m(xB – xA)
(– 3 – 4) = m (1 – 2) m = 7
2º Passo: Substitua o coeficiente angular e as coordenadas de A na equação:
(y – 4) = 7 (x – 2) y – 4 = 7x – 14
– 7x + y = – 10 7x – y = 10
AULA 33 – RETOMADA - CIRCUNFERÊNCIA
Os objetivos desta aula ão compreender e aplicar os conceitos da circunferência na geometria
analítica, equação reduzida e posições relativas entre a circunferência.
Relembrando:
• Distância entre dois pontos:
EXEMPLO
1 - Escreva a equação reduzida da circunferência de centro C (– 4, 4) e raio r = 4.
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Resolução
2 - Encontre a equação geral da circunferência centrada em (1, 1) e raio 4.
Resolução
1º passo: definir a equação reduzida: (x – 1)2 + (y – 1)2 = 42]
2º passo: Desenvolver os quadrados da equação reduzida e obter a equação geral.
(x – 1)2 + (y – 1)2 = 42 (equação reduzida)
x2 – 2x + 1 + y2 – 2y + 1 = 16
x2 – 2x + 1 + y2 – 2y + 1 – 16 = 0
x2 + y2 – 2x – 2y – 14 = 0 (equação geral)
RELEMBRANDO
EXEMPLOS
1 - Analise a posição relativa entre o ponto A (–2, 2) e a circunferência M: (x + 1)2 + (y + 1)2 = 9.
Resolução
1º Passo: Obtemos o centro e o raio da circunferência, a partir da equação: C (–1, –1) e raio 3.
2º Passo: Calcular a distância do ponto até o centro.
3º Passo: Comparar essa distância com o raio e fazer a análise: r = 3 e dAC 3,16.
r < d, então A é externo.
RELEMBRANDO
• Posições relativas: a reta e a circunferência
EXEMPLOS
1 - Verifique a posição relativa entre a reta m: 3x + y – 13 = 0 e a circunferência de equação
(x – 3)2 + (y – 3)2 = 25.
Resolução
Para solução devemos calcular a distância entre o centro da circunferência e a reta m e comparar com
a medida do raio.
1º Passo: Obter da equação da circunferência:
xc = 3 e yc = 3 C (3, 3)
r2 = 25 r = 5
2º Passo: Agora, utilizar a fórmula da distância entre ponto e reta para calcular a distância entre C e m.
3º Passo: Obter, da equação geral da reta: a = 3, b = 1 e c = – 13
4º Passo: Comparar distância e o raio: dCm = 0,316 r = 5 dCm < r m é interna.
Exercícios Aula
AULA 29 – POSIÇOES RELATIVAS ENTRE RETA E A CIRCUNFERÊNCIA
1 – Calcule e indique a distância entre o ponto P(0, 10) e a reta s: x – y + 1 = 0.:
a) 9√2/2
b) 9√3/2
c) 8√2/3
d) 9√5/2
2 – Qual o posicionamento da reta r, dada pela equação 2x + y – 1 = 0 em relação à circunferência de equação x² + y² + 6x – 8y = 0?
a) a reta é secante à circunferência.
b) a reta é tangente à circunferência.
c) a reta é externa à circunferência.
AULA 30 –RETOMADA - MATEMÁTICA FINANCEIRA
1. Luís aplicou R$ 2500,00 à taxa de 2% ao mês, durante 5 meses. Quanto receberá de juros se
o regime da aplicação for de juros simples?
a) Luís receberá R$ 25,00 de juros.
b) Luís receberá R$ 250,00 de juros.
c) Luís receberá R$ 2500,00 de juros.
d) Luís receberá R$ 3125,00 de juros.
2. Andrea deseja aplicar R$ 18000,00 a juros compostos de 0,5% ao mês. Que montante ela
terá após 1 ano de aplicação?
a) Após um ano de aplicação Andrea terá R$19080,00.
b) Após um ano de aplicação Andrea terá R$19110,00.
c) Após um ano de aplicação Andrea terá R$19118,00.
d) Após um ano de aplicação Andrea terá R$29160,00.
Escola/Colégio:
Disciplina: Matemática Ano/Série: 3ª Série
Estudante:
AULA 31 – RETOMADA – POLINÔMIOS
1. Luís aplicou R$ 2500,00 à taxa de 2% ao mês, durante 5 meses. Quanto receberá de juros se
o regime da aplicação for de juros simples?
a) Luís receberá R$ 25,00 de juros.
b) Luís receberá R$ 250,00 de juros.
c) Luís receberá R$ 2500,00 de juros.
d) Luís receberá R$ 3125,00 de juros.
2. Andrea deseja aplicar R$ 18000,00 a juros compostos de 0,5% ao mês. Que montante ela
terá após 1 ano de aplicação?
a) Após um ano de aplicação Andrea terá R$19080,00.
b) Após um ano de aplicação Andrea terá R$19110,00.
c) Após um ano de aplicação Andrea terá R$19118,00.
d) Após um ano de aplicação Andrea terá R$29160,00.
AULA 32 – RETOMADA – RETA E SUAS EQUAÇÕES
1. Em um plano, qual a distância entre o ponto A (1, 3) e o ponto B (9, 9)?
a) √28
b) 10
c) 12
d) 2√7
2. Encontre a equação geral da reta que passa pelos pontos A (1, 2) e B (3, 1).
a) 3x + 4y – 5 = 0
b) x + 2y – 6 = 0
c) x + 2y – 5 = 0
d) 3x + 2y – 7 = 0
AULA 33 – RETOMADA - CIRCUNFERÊNCIA
1. Escreva a equação reduzida da circunferência de centro C (– 3, 6) e diâmetro = 8.
a) (x + 3)2 + (y – 6)2 = 16
b) (x - 3)2 + (y – 6)2 = 16
c) (x + 3)2 + (y – 6)2 = 64
d) (x + 3)2 + (y + 6)2 = 16
2. Em relação às posições relativas entre a reta e a Circunferência, pode-se afirmar que a reta
pode ser:
a) Secante a circunferência quando possuem dois pontos em comum.
b) Tangente a circunferência quando não possuem nenhum ponto em comum.
c) Externa a circunferência quando possuem um ponto em comum.
d) Interna à circunferência quando possuem três pontos em comum.