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CF100 - Física Moderna II2º Semestre de 2018
Prof. Ismael André Heisler
Aula 10/08/2018
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Átomos Multieletrônicos
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Partículas Idênticas
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Na física quântica, o princípio da incerteza impede a
observação sem que o comportamento das partículas seja
alterado.
Um filme implica ⇒ fótons ⇒ interação.
Portanto, qualquer tentativa de as distinguir ⇒ alteração do
comportamento.
Werner Heisenberg
Funções de onda (associadas ao elétron) têm extensão finita
⇒ superposição
⇒ indistinguibilidade.
No átomo de He, por exemplo: os elétrons apresentam funções
de onda muito superpostas. Não se pode saber qual é qual.
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Por exemplo ψ𝛼(1) = ψ𝛼(𝑥1) = 𝑒𝑥12
ψ𝛽(2) = ψ𝛽(𝑥2) = cos 𝑥2
quântico
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Partículas não interagentes
⇒movimento independente
⇒ energia potencial total (VT) é a soma das energias potenciais de cada partícula:
VT(r1,r2) = V(r1) + V(r2).
Portanto, usando separação de variáveis, a autofunção total pode ser escrita como:
ψT(r1, Sz1, r2, Sz2) = ψ(r1, Sz1) ψ(r2, Sz2) = ψ(1) ψ(2)
Se o sistema tem 2 estados distintos possíveis, α e β, podemos ter:
partícula 1 no estado α e a 2 no estado β ou vice-versa.
Temos, então, 2 situações possíveis:
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Como as partículas são idênticas e deveriam ser indistinguíveis ⇒
podemos trocar 1 ↔ 2 sem que o resultado seja alterado. Vejamos o
caso A:
Não funciona! O resultado depende da rotulação. Porque?
𝜓𝛼∗(1)𝜓𝛽
∗ (2)𝜓𝛼(1)𝜓2(2) = (𝑒𝑥12cos 𝑥2)
2
𝜓𝛼∗(2)𝜓𝛽
∗ (1)𝜓𝛼(2)𝜓2(1) = (𝑒𝑥22cos 𝑥1)
2
Para conseguirmos algo que funcione, precisamos exigir que:
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Para isso, vamos fazer combinações lineares das autofunções:
são soluções da eq. de Schrödinger independente do tempo para a
energia total ET. Como a eq. é linear em ψT
ψS e ψA também são soluções (degeneradas).
O fator 1
2garante a normalização.
As funções ou
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Qualquer outra quantidade mensurável tem o mesmo comportamento.
Assim, embora os índices 1 e 2 apareçam nas autofunções, isso não viola
os requisitos de indistinguibilidade, pois o valor de qualquer quantidade
mensurável obtida a partir dessas autofunções mostra-se independente
desses índices.
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Exemplo 9 – 1 (Eisberg pg 393)
Duas partículas idênticas se movem independentemente em uma caixa unidimensional de
comprimento a, uma estando no estado fundamental do potencial de poço quadrado infinito que
descreve a caixa e a outra estando no primeiro estado excitado. (não vamos assumir spin)
a) Calcule as autofunções totais simétricas e antissimétricas e verifique que o fator 1/ 2normaliza corretamente as autofunções
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Poço potencial infinito
autofunções
𝜓𝑛 𝑥 =2
𝐿sin𝑛𝜋𝑥
𝐿para n par
𝜓𝑛 𝑥 =2
𝐿cos𝑛𝜋𝑥
𝐿para n impar
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=0
17
=0
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−𝑎
𝑏
𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 =𝑥
2+1
4sin 2𝑥
𝑎
𝑏
=1
=1
21 + 1 = 1
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a) Calcule as autofunções totais simétricas e antissimétricas e verifique que o fator 1/ 2normaliza corretamente as autofunções
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b) Escreva expressões para o valor esperado da distância de separação, D, entre as partículas
para o caso em que a autofunção espacial para o sistema de duas partículas é simétrica, e para o
caso em que ela é antissimétrica. Mostre então que em nenhum desses casos este valor esperado
é afetado por uma troca das coordenadas das partículas.
A distância de separação, D, é o valor absoluto da diferença entre as coordenadas x das
partículas, isto é, 𝐷 = 𝑥2 − 𝑥1 = 𝑥1 − 𝑥2
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Autofunções simétricas
Autofunções antissimétricas
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Principio de Exclusão de Pauli
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Exemplo 9 – 2 (Eisberg pg 396)
Determinar a forma da autofunção total antissimétrica normalizada para um sistema de 3
partículas no qual as interações entre as partículas podem ser ignoradas.
Se notarmos que a autofunção antissimétrica para 2 partículas pode ser escrita também como o
resultado de um determinante de Slater
Podemos aplicar o mesmo raciocínio a um número maior de partículas.
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Fér
mio
ns
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Consideremos um sistema de 2 e-, desprezando a interação entre eles (como se eles não
tivessem carga). A autofunção total deve ser antissimétrica:
Forças de troca
Ela depende das variáveis espaciais e de spin.
Vamos fazer uma separação de variáveis:
Cada uma das autofunções deve ter simetria bem definida em relação à troca de
partículas.
As autofunções espaciais podem ser escritas como:
x
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As autofunções de spin são diferentes, pois a variável de spin é discreta, e não
contínua, como as espaciais. O spin de 1 e-, por exemplo, só pode ter duas
componentes z
Portanto não podem ser representadas por funções contínuas. Como temos 2 e- e cada
um pode ter 2 orientações de spin, existem 4 estados possíveis para o sistema. Vamos
usar símbolos (↑↓) para representar esses estados:
Singleto
Tripleto
Uma interpretação física dos estados singlete e de triplete pode ser obtida calculando-se,
para cada estado, o módulo S’ e a componente z, Sz’ do momento angular total de spin
S’ = S1 + S2
𝑆′ = 𝑠′(𝑠′ + 1)ℏ
𝑆𝑧′ = 𝑚𝑠
′ℏ
𝑚𝑠′ = −𝑠′, … , +𝑠′
𝑠′ = 0, 1
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SingletoTripleto
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Singleto
Tripleto
𝑆1𝑧 = 𝑆2𝑧 = +1/2ℏ
𝑆1𝑧 = 𝑆2𝑧 = −1/2ℏ
𝑆1𝑧 = +1/2ℏ 𝑆2𝑧 = −1/2ℏ
𝑆1𝑧 = +1/2ℏ 𝑆2𝑧 = −1/2ℏ
𝑆′ = 1 (1 + 1)ℏ
𝑆𝑧′ = 1ℏ
𝑆′ = 1 (1 + 1)ℏ
𝑆𝑧′ = 0ℏ
𝑆′ = 1 (1 + 1)ℏ
𝑆𝑧′ = −1ℏ
𝑆′ = 0 (0 + 1)ℏ
𝑆𝑧′ = 0ℏ
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Representação das autofunções espaciais
+a/2-a/2 0
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Exercício 9 - Quadro
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