Post on 17-Dec-2018
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.1
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.2
Lost in translation...Lost in translation...“Engineering Economics” (Economia da Engenharia) nasceu nos EUA, em 1877, com o livro “The Economic Theory of Railway Location”, de Arthur Wellington;No Brasil, o termo foi traduzido incorretamente para “Engenharia Econômica”..., mas já há vários autores e instituições usando o termo “Economia da Engenharia” (UFSC, PUC-RJ, UDESC, etc).
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.3
Objetivos da Engenharia EconômicaObjetivos da Engenharia Econômica
Engenharia Econômica é uma ferramenta analítica de auxílio à tomada de decisão.
O objetivo básico é responder às perguntas: O projeto se paga?Em quanto tempo?;Qual a rentabilidade?Qual a melhor alternativa de financiamento?Qual o impacto dos impostos e outros encargos?
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.4
Resumindo...Resumindo...
“Antes de entrar pelo cano, tenha certeza que você passa por ele!”
Murphy
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.5
Lost in translation 2...Lost in translation 2...
Em inglês, “project” significa muito mais “empreendimento” do que “projeto”.
Em inglês, “projeto” é “design”...E “desenho” é “drawing”...
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.6
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.7
Por que existem juros?Por que existem juros?Teoria da abstinência (Nassau Sênior, sec. XIX):
● Emprestador deve ser remunerado pela abstinância da poupança.
Teoria da produtividade do capital (Say, Malthus e Ricardo):● Tomador se beneficia do empréstimo e deve
remunerar o emprestador.Teoria da depreciação do futuro (Turgot):
● É melhor dispor de um bem hoje do que no futuro.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.8
Juros e RiscoJuros e RiscoModernamente, os juros são vistos como um prêmio pelo risco. O risco pode ser:Sistêmico: todos estão sujeitos a ele:
Risco-Brasil.Risco internacional.
Não sistêmico: apenas os empreendedores do projeto estão sujeitos a ele:
Risco próprio do negócio.Lucro cessante.Inadimplência.Problemas administrativos.Dificuldades tributárias, etc.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.9
Capital Próprio e CMPCCapital Próprio e CMPCCusto do Capital Próprio (CCP):
Retorno mínimo exigido pelos acionistas (não necessariamente igual ao retorno desejado).
Custo do Capital de Terceiros (CCT):Custo do financiamento junto a instituições financeiras ou bancárias.
Custo Médio Ponderado do Capital (CMPC, ou WACC):
CCTCTCCPCPCMPC ×+×= )(%)(%
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.10
EXEMPLO 1EXEMPLO 1Uma empresa de fruticultura tem 60% de seu capital em poder dos acionistas, que exigem rentabilidade mínima de 20% ao ano. O restante do capital é repartido igualmente entre FINAME (TJLP + spread de 6% ao ano) e PRODEFRUTA (8,75% ao ano). Determine o CMPC da empresa.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.11
EXEMPLO 1 - ConsideraçõesEXEMPLO 1 - ConsideraçõesFINAME:
Financiamento para aquisição de equipamentos novos;TJF = TJLP + Custo BNDES + Custo Banco Credenciado = TJLP +
Spread;TJLP – Taxa de Juros de Longo Prazo;
Fixada trimestralmente, sendo definida como o custo básico dos financiamentos do BNDES;
Abril a Junho de 2005: TJLP = 9,75% aahttp://www.bndes.gov.br/produtos/custos/juros/tjlp.asp
PRODEFRUTAInvestimentos para o desenvolvimento da fruticultura, que não envolvam equipamentos.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.12
EXEMPLO 1 - SoluçãoEXEMPLO 1 - Solução
169,00875,020,0)06,00975,0(2,02,06,0 =×++×+×=CMPC
%9,16=∴ CMPC
8,75%9,75%+6%=15,75%20%Custo
20%20%60%Participação
CT2 (Prodefruta)CT1 (Finame)CP (Sócios)ITEM
CMPC=(%CP)xCCP+(%CT1)xCCT
1+(%CT
2)xCCT
2
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.13
Taxa Mínima de AtratividadeTaxa Mínima de AtratividadeTaxa Mínima de Atratividade (TMA) é o retorno mínimo que deve ser exigido de um determinado PROJETO.
CCP EmpresaTMA Projeto
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.14
Diagrama do Fluxo de CaixaDiagrama do Fluxo de CaixaPermite a representação gráfica de entradas e saídas de capital ao longo do tempo.
-
+
0
1 2 3 5 6 7 9 10
4
-
+ + + + +
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.15
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.16
Capitalização SimplesCapitalização SimplesNesse tipo de capitalização, os juros incidem somente sobre o capital inicial da operação.Os juros se comportam de maneira linear no tempo.
C = Capital inicial ou em um determinado instante.i = taxa de juros, expressa de forma por unidade.n = prazo.J = valor dos juros, em unidades monetárias.
niCJ ××=
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.17
EXEMPLO 2EXEMPLO 2Um negociante tomou um empréstimo a uma taxa de juros de 6% ao mês durante 10 meses, sob regime de capitalização simples. Ao final deste período, calculou em $ 290.000,00 o total dos juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.18
Montante e CapitalMontante e CapitalUm determinado capital C, quando aplicado a uma taxa periódica por um prazo determinado, produz um valor acumulado denominado montante M.
JCM +=
)1( niCM ×+=
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.19
Fatores de Juros SimplesFatores de Juros Simples
Fator de Capitalização ou Fator de Valor Futuro
niFCS ×+= 1
Fator de Atualização ou Fator de Valor Presente
niFAS
×+=
1
1
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.20
Representação GráficaRepresentação Gráfica
( ) FASCniCC ttt ×=×+= 1/
Ct Cn
t n
( ) FCSCniCC ttn ×=×+×= 1
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.21
EXEMPLO 3EXEMPLO 3Uma dívida de $ 1 milhão irá vencer em 5 meses. O credor está oferecendo um desconto de 2% ao mês caso o devedor antecipe o pagamento para hoje. Calcule o valor q ue o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.22
EXEMPLO 3 - SoluçãoEXEMPLO 3 - SoluçãoM=$ 1.000.000,00n= 5 mesesi=2% ao mês (0,02)C=?
( )ni
MC
×+=
1
( ) 1,1
00,000.000.1
502,01
00,000.000.1 =×+
=C
91,090.909$=∴ C
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.23
Equivalência de CapitaisEquivalência de Capitais● A equivalência de capitais é o teorema básico da
Matemática Financeira.● Dois ou mais capitais, em certa data, são
equivalentes quando, a uma dada taxa de juros, produzirem resultados iguais em uma data comum.
● No regime de capitalização simples, os prazos não podem ser fracionados, sem alterar o valor final dos juros pagos. Logo, não há equivalência de capitais para períodos mútliplos.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.24
EXEMPLO 4EXEMPLO 4Um capital de $ 100.000,00 foi emprestado a uma taxa de juros simples de 20% ao ano. Determine:a) O valor total da dívida após 2 anos;b) O valor total da dívida após 2 anos, considerando-se que esta tenha sido integralmente paga após o primeiro ano e reemprestada com os juros capitalizados incorporados.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.25
EXEMPLO 4 - SoluçãoEXEMPLO 4 - Solução
2M
$ 100.000
0 21
1M 2M
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.26
EXEMPLO 4 - SoluçãoEXEMPLO 4 - Solução
“Non-stop”
( ) 00,000.140$22,01000.1002 =×+×=M
Fracionando o período
( ) 00,000.120$12,01000.1001 =×+×=M
( ) 00,000.144$12,01000.1202 =×+×=M
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.27
EXERCÍCIO 1EXERCÍCIO 1Em quanto tempo um capital de $ 4.000,00 aplicado a 29,3% ao ano renderá $ 1.940,00, pelo regime linear ?
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.28
EXERCÍCIO 1 - SoluçãoEXERCÍCIO 1 - SoluçãoEm quanto tempo um capital de $ 4.000,00 aplicado a 29,3% ao ano renderá $ 1.940,00, pelo regime linear ?C=$ 4.000,00i=29,3% aa (0,293)J=$ 1.940,00
anos 65529,1293,0000.4
940.1 =×
=×
=iC
Jn
niCJ ××=
meses 20≅∴ n
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.29
2) Uma TV em cores é vendida nas seguintes condições:●Preço a vista: $ 1.800,00;●Condições a prazo: 30% de entrada e $ 1.306,00 em 30 dias.●Determine a taxa de juros simples cobrada na venda a prazo.
EXERCÍCIO 2EXERCÍCIO 2
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.30
EXERCÍCIO 2 - SoluçãoEXERCÍCIO 2 - SoluçãoUma TV em cores é vendida nas seguintes condições:● Preço a vista: $ 1.800,00;● Condições a prazo: 30% de entrada e $ 1.306,00 em
30 dias.
M=$ 1.306n= 1 mês C=70%x$ 1.800 = $ 1.260i=?
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.31
EXERCÍCIO 2 - SoluçãoEXERCÍCIO 2 - Solução
( )( )11260.1306.1
1
×+×=×+×=
i
niCM
0365,1260.1
306.11 ==+ i
0365,0=i mês ao 3,65%i =∴
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.32
EXERCÍCIO 3EXERCÍCIO 3Uma aplicação rende juros simples de 64,8% aa.
Investindo-se $ 400.000,00, quanto tempo será necessário para se ter $ 194.400,00 a mais do que o investido?
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.33
EXERCÍCIO 3 - SoluçãoEXERCÍCIO 3 - Solução
C = $ 400.000; i= 64,8 aa = 5,4 % amM = $ 194.400 + C; n = ?
( )niCM ×+×= 1
( )nCC ×+=+ 054,01400.194
n××= 000.400054,0400.194 mesesn 9=
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.34
EXERCÍCIO 4EXERCÍCIO 4Um investimento rende juros simples de 230%
aa. No ato da retirada, é cobrado imposto de renda, com alíquota de 9%, sobre a rentabilidade. Qual a taxa de rentabilidade líquida?
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.35
EXERCÍCIO 4 - SoluçãoEXERCÍCIO 4 - Soluçãoi= 230% aa ( simples)IR = 9% sobre valor nominal dos rendimentos
( ) RCiCCinCM +=××+=+×= 11
CiCR ×=××= 3,21
CRIR ××=×= 3,209,009,0
CIR ×= 207,0 CCCCM ×=×−×+= 093,3207,03,2
( ) CiC ×=+× 093,31 %3,209=i
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.36
Taxas de Juros VariáveisTaxas de Juros Variáveis
Quando um capital é aplicado durante um certo prazo, com diferentes taxas para períodos desse prazo, teremos
nn niCniCniCCM ××++××+××+= ...2211
( )nn nininiCM ×++×+×+×= ...1 2211
+×= ∑
=
n
1k
1CM kk ni
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.37
EXEMPLO 5EXEMPLO 5Um capital de $ 2.300 foi emprestado durante seis
meses com as seguintes taxas:2% am para o primeiro mês;2,5% am para o segundo e terceiro meses;3% am para o restante do prazo.Determine a taxa equivalente de juros ao final do
prazo de empréstimo.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.38
EXEMPLO 5 - SoluçãoEXEMPLO 5 - Solução
( )668.2$
303,02025,0102,01300.2
=×+×+×+×=
M
M
( ) 668.261300.2 =×+×= iM
1300.2
668.26 −=×i
%67,2=i
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.39
Juros Simples e PAsJuros Simples e PAs
Suponha que alguém empresou $ 1.000,00 durante cinco anos a uma taxa de 10% aa.
AnoSaldo no iníciode cada ano
Juros anuaisSaldo ao finalde cada ano
1 - - $ 1.000,002 $ 1.000,00 0,1 x 1.000 = $ 100,00 $ 1.100,003 $ 1.100,00 0,1 x 1.000 = $ 100,00 $ 1.200,004 $ 1.200,00 0,1 x 1.000 = $ 100,00 $ 1.300,005 $ 1.300,00 0,1 x 1.000 = $ 100,00 $ 1.400,00
O saldo evolui de acordo com uma Progressão Aritmética (PA).
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.40
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.41
NotaçãoNotaçãoA notação para Juros Compostos é um pouco
diferente:VP = Capital (Valor Presente);VF = Montante (Valor Futuro).
Assim:
JVPVF +=
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.42
FormulaçãoFormulaçãoNo final do primeiro ano:
00,210.1$)1,01(100.1)1()1()1( 212 =+×=+×+×=+×= iiVPiVFVF
No final do segundo ano:
Generalizando:
00,100.1$)1,01(000.1)1(1 =+×=+×= iVPVF
niVPVF )1( +×=
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.43
Fatores de Juros CompostosFatores de Juros Compostos
Fator de Capitalização ou Fator de Valor Futuro, a Juros Compostos
Fator de Atualização ou Fator de Valor Presente, a Juros Compostos
( ) niFAC
+=
1
1
( ) niFCC += 1
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.44
Cálculo dos Juros CompostosCálculo dos Juros Compostos
Considerando que
niVPVF )1( +×=
E que
JVPVF +=
Teremos
[ ]1)1( −+×= niVPJ
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.45
ComparaçãoComparação
1.000,00
2.000,00
3.000,00
4.000,00
5.000,00
6.000,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Saldo Juros Compostos Saldo Juros Simples
Juros compostos evoluem de acordo com uma Progressão Geométrica (PG).
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.46
Equivalência de JurosEquivalência de Juros
( ) 22 1 miVPVF +×=( )miVPVF +×= 11
( )qiVPVF +×= 12
0 21
VP 2VF
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.47
Equivalência de JurosEquivalência de JurosPara que as duas operações sejam equivalentes,
devemos ter
)1()1(ou
)1()1(2
22
qm
qm
ii
iVPiVPVF
+=+
+×=+×=
11 −+=∴ qm ii
Generalizando para m meses dentro de um período
11 −+= mqm ii ou
( ) 11 −+= mmq ii
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.48
EXEMPLO 6EXEMPLO 6A taxa Selic é a taxa de juros média dos
financiamentos diários com lastro em títulos federais, apurados por um sistema de liquidação diária dos títulos públicos, chamado de Sistema Especial de Liquidação e Custódia (Selic), e é fixada nas reuniões do Copom (Comitê de Política Monetária). Em junho de 2005, a taxa Selic era de 1,4924% ao mês. Considerando que esta taxa permaneça constante durante os próximos 12 meses, determine:
A taxa semestral equivalente;A taxa anual equivalente.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.49
EXEMPLO 6 - SoluçãoEXEMPLO 6 - SoluçãoTaxa semestral equivalente
( ) 05281,01100/8614,01i 6s =−+=
Taxa anual equivalente
( ) 1084,01100/86144,01i 12a =−+=
%28,5is =
%84,10ia =
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.50
EXEMPLO 7EXEMPLO 7
Um título vence daqui a 4 meses, apresentando um valor nominal (resgate) de $ 403.621,45. É proposta a troca desse título por outro de valor nominal de $ 480.000,00, vencível daqui a 8 meses. Sabendo que a rentabilidade exigida pelo aplicador é de 5% ao mês, pede-se analisar se a troca é vantajosa.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.51
EXEMPLO 7 - SoluçãoEXEMPLO 7 - SoluçãoUma maneira simples de resolver o problema é
calcular o valor presente do título que vence em 8 meses no momento do vencimento do outro título.
0 84
VP 00,000.480$V
( ) 20,897.394$05,1
00,000.4804
==VP
Como o VP é inferior ao valor nominal do título, a troca não é recomendada.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.52
EXEMPLO 8EXEMPLO 8
Para um empréstimo de $ 12.000,00, um banco exige o pagamento de duas prestações mensais e consecutivas de $ 7.000,00 cada. Determinar o custo mensal da operação.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.53
EXEMPLO 8 - SoluçãoEXEMPLO 8 - SoluçãoO Valor Presente das prestações deve igualar o valor
do empréstimo em uma data qualquer. Supondo que seja a data inicial, teremos
000.12$
0 21
000.7$000.7$
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.54
EXEMPLO 8 - SoluçãoEXEMPLO 8 - SoluçãoO VP será: 00,000.12
)1(
00,000.7
)1(
00,000.72
=+
++ ii
ou7
12
)1(
1
)1(
12
=+
++ ii
Multiplicando por (1+i)2, vem
0)1(7
121)1( 2 =+−++ ii
Resolvendo a equação do segundo-grau, teremos
%92,10=∴ i
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.55
ObservaçõesObservaçõesO cálculo anterior foi possível analiticamente porque
há apenas duas saídas de capital. Para mais de duas saídas, a solução analítica é muito difícil ou simplesmente impossível. Nesse caso, deve-se usar uma calculadora financeira ou uma planilha eletrônica;
A taxa de juros que iguala os fluxos de entrada e de saída, em uma mesma data, é denominada Taxa Interna de Retorno, ou TIR. A TIR é bastante usada para se avaliar a atratividade de projetos.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.56
EXEMPLO 9EXEMPLO 9
Um devedor emprestou $ 100 em uma financeira. Devido a vários problemas, só conseguiu saldar a dívida dois anos depois. Considerando que a taxa de juros mensal da financeira é de 12% ao mês:
Qual o valor da dívida?Qual a taxa anual de juros cobrada pelo
banco?
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.57
EXEMPLO 9 - SoluçãoEXEMPLO 9 - Soluçãoa) O valor da dívida será
niVF )1(100 +×=
86,517.1$=∴ VF24)12,01(100 +×=VF
b) A taxa de juros anualizada será
( ) 11 −+= mma ii
( ) 112,01 12 −+=ai %6,289=∴ ai
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.58
ObservaçõesObservaçõesNo Brasil, até março de 2000, valia um artigo da Lei
da Usura (Decreto 22.626/1933), que proibia a aplicação de juros compostos (anatocismo) em períodos inferiores a um ano;
Com a edição da MP 1.963-17/2000, a aplicação do anatocismo em períodos inferiores a um ano foi liberada, mas somente para instituições financeiras (não se enquadram construtoras, pessoas físicas, etc)!
Por causa de suas restrições técnicas (falta de equivalência de capitais), os juros simples têm aplicação prática limitada.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.59
EXEMPLO 10EXEMPLO 10
Um empresário irá necessitar de $ 35.000,00 em 11 meses e $ 48.000,00 em 14 meses. Quanto ele deverá depositar hoje em uma conta de investimento que oferece rentabilidade efetiva de 17% ao ano?
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.60
EXEMPLO 10 - SoluçãoEXEMPLO 10 - SoluçãoA rentabilidade mensal é
01317,0117,0112 =−+=mi
O Valor Presente da primeira aplicação é
36,308.30$)01317,01(
000.35111 =
+=VP
O Valor Presente da segunda aplicação é
82,965.39$)01317,01(
000.48142 =
+=VP
O depósito total deverá ser 18,274.70$21 =+=∴ VPVPVP
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.61
ObservaçõesObservaçõesOs devedores sempre reclamam da aplicação de
juros compostos, mas há várias situações em que o sistema de “capitalização exponencial” é usado de forma natural. Por exemplo:
Reajustes salariais;Cálculo da inflação anual;Reajustes tarifários.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.62
EXEMPLO 11EXEMPLO 11Considerando a tabela abaixo, dos IGPMs mensais,
calcule o IGPM acumulado dos últimos 12 meses.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.63
EXEMPLO 11 - SoluçãoEXEMPLO 11 - Solução
IGMPa=10,0131∗10,0122∗10,0069∗10,0039∗10,0082
10,0074∗10,0039∗10,0030∗10,0085
10,0086∗1−0,0022∗1−0,0044−1
IGMPa=7,12% a.a.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.64
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOSPara um poupador que deseja ganhar 2,5% ao mês, o
que é mais vantajoso: a) receber $ 18.500,00 daqui a 4 meses ou; b) receber $ 25.500,00 daqui a 12 meses?
Uma pessoa deve uma importância de $12.400. Para a liquidação da dívida, propõe-se os seguintes pagamentos: $3.500,00 ao final de 2 meses; $4.000,00 ao final de 5 meses; $1.700,00 ao final de 7 meses e o restante em 12 meses. Considerando que a taxa efetiva de juros é 3% ao mês, calcule o valor do último pagamento.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.65
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.66
DescontosDescontosDesconto é a liquidação de uma operação antes de seu
vencimento, envolvendo um prêmio ou recompensa;Valor Nominal, Valor de Resgate ou Valor de Face é o valor
de um título na data de vencimento.Tipos de desconto:
Desconto “por dentro” (ou racional);Desconto “por fora” (ou bancário, ou comercial).
DescontoNominalValor DescontadoValor −=
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.67
Desconto RacionalDesconto RacionalO valor do desconto é:
rVND −=r
Dr = Valor do desconto;N = Valor nominal;Vr = Valor do resgate na data da operação.
Como N e Vr devem ser calculados na mesma data, devemos aplicar uma taxa de juros sobre Vr. No desconto racional, usamos juros simples:
niVD ××= rr
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.68
Desconto RacionalDesconto RacionalPor outro lado
( )niVniVVDVN rrrrr ×+=××+=+= 1
ni
niND
×+××=∴
1r
ou
ni
NVr ×+
=1
Assim
( )ni
NniN
ni
NNDr ×+
−×+×=×+
−=1
1
1
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.69
Desconto RacionalDesconto RacionalO valor do resgate pode ser escrito como
( )ni
niNniN
ni
niNNDNV rr ×+
××+×+=×+××−=−=
1
1
1
ni
NV
×+=∴
1r
ou
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.70
EXEMPLO 12EXEMPLO 12Seja um título de valor nominal $ 4.000,00 vencível
em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% aa a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto e o valor descontado desta operação.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.71
EXEMPLO 12 - SoluçãoEXEMPLO 12 - Solução
000.4$=NrV
0 129
i=42% aa, ou i=42%/12 = 3,5% am
3035,01
3035,000,000.4
1 ×+××=
×+××=ni
niNDr
10,380$r =∴ D
3035,01
00,000.4
1 ×+=
×+=
ni
NVr 90,619.3$r =∴ V
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.72
Desconto BancárioDesconto BancárioNo desconto racional, os juros incidem somente
sobre o valor de resgate.No desconto bancário, os juros incidem sobre todo
o valor nominal.Desconto bancário:
É mais usado no mercado;Implica em maiores encargos na operação.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.73
Desconto BancárioDesconto BancárioO valor do desconto é
ndND ××=F
Onde:N = Valor nominal;d = taxa de desconto “por fora”
O valor descontado, ou de resgate, será
FF DNV −= ( )ndNV ×−= 1F
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.74
EXEMPLO 13EXEMPLO 13Repita o Exemplo 11, considerando agora que a operação de
desconto é por fora.
000.4$=NFV
0 129
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.75
EXEMPLO 13 - SoluçãoEXEMPLO 13 - SoluçãoO valor do desconto será
3035,000,000.4 ××=××= ndNDF 00,420$F =∴ D
( ) ( )3035,0100,000.41 ×−=×−= ndNVF 00,580.3$F =∴ V
O valor de resgate será
A taxa de juros efetiva será
trimestreao %73,1100,580.3$
00,420$ ==i a.m. %77,3=∴ i
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.76
ObservaçõesObservaçõesO devedor do título assume encargos maiores do
que os declarados para a operação;A operação equivale a pagar juros de $ 420,00 sobre
um valor atual de $ 3.580,00, resultando em uma taxa implícita i > d;
A taxa implícita será
nd
ndi
×−×=∴
1( )ndN
ndN
V
Di
F
F
×−××==
1
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.77
Desconto Bancário e ICMSDesconto Bancário e ICMSUma situação comum em que o critério “por fora” é
usado refere-se ao cálculo do ICMS;No Paraná, a alíquota do ICMS sobre venda de
energia é 27%;Contudo, se multiplicarmos o valor sem impostos
pelo fator 1.27, o resultado difere do apresentado pela concessionária;
A razão é que a alíquota do ICMS incide “sobre ela mesma”, caracterizando uma operação “por fora”.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.78
Desconto Bancário e ICMSDesconto Bancário e ICMSSe d for a alíquota nominal do ICMS, e considerando
que o prazo da operação é sempre n=1, teremos:
d
diICMS −
=1
O valor total a pagar será
( )
−+=+=
dViVN ICMS 1
111
−=∴
dVN
1
1
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.79
EXEMPLO 14EXEMPLO 14Calcule as alíquotas efetivas de ICMS para os
estados de SP, SC, PR e RJ.
Estado d iicms
SP 18,00% 21,95%SC 25,00% 33,33%PR 27,00% 36,99%RJ 30,00% 42,86%
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.80
EXERCÍCIO 7EXERCÍCIO 7A taxa de desconto “por fora” do banco A é de 3,1%
ao mês para operações com prazo de 90 dias. O banco B oferece taxa de desconto de 2,9% ao mês, também “por fora”, com prazo de 120 dias. Determine qual banco está cobrando a menor taxa efetiva mensal de juros.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.81
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.82
Fluxo de CaixaFluxo de CaixaUm fluxo de caixa representa uma série de pagamentos
ou recebimentos que se estima ocorrer em determinado intervalo de tempo;
Os pagamentos são genericamente representados por PMT, sendo que as demais variáveis já foram abordadas:
VP – Valor Presente;VF – Valor Futuro;n – número de períodos;i – taxa de juros.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.83
Fluxos de Caixa - ClassificaçãoFluxos de Caixa - Classificação
Quanto ao período de ocorrência:
Postecipados;
Antecipados;Diferidos.
Quanto à periodicidade:
Periódicos;
Não periódicos.
Quanto à duração:
Limitados (finitos);
Indeterminados (indefinidos).
Quanto aos valores:
Constantes;Variáveis.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.84
O “Modelo Padrão”O “Modelo Padrão”Postecipado:
Os pagamentos ou recebimentos começam a ocorrer no final do primeiro intervalo de tempo. Não há carência.
Limitado:
O prazo total dp fluxo de caixa é conhecido a priori.
Constante:
Todos os termos (pagamentos ou recebimentos) são iguais entre si.
Periódico:
Os intervalos de tempo entre os termos são idênticos entre si.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.85
O “Modelo Padrão”O “Modelo Padrão”PMT PMT PMT PMT PMT PMT
1 2 3 4 n−1 n0
VP
VP=PMT1i
PMT1i2
PMT1i 3...
PMT1in
VP=PMT∗FVP i , n
FVP (i, n) é conhecido como Fator de Valor Presente
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.86
O Fator de Valor PresenteO Fator de Valor PresenteO Fator de Valor Presente é uma Progressão Geométrica
de n termos, com primeiro termo (a1) e razão (q) iguais a
(1+i)-1, e enésimo termo (an) igual a (1+i)-n.
A soma dos termos de uma PG é:
FVP i , n=a1−an∗q
1−q
FVP i , n=1i −1
−1i −n∗1i −1
1−1i −1 FVP i , n=1−1i−n
i
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.87
EXEMPLO 15EXEMPLO 15 Um software é vendido em 7 pagamentos mensais,
iguais e consecutivos de $ 3.000,00. Considerando que a taxa de juros é 3,6% am, até que preço compensa adquirir o produto a vista?
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.88
EXEMPLO 15 - SoluçãoEXEMPLO 15 - SoluçãoPMT = $ 3.000,00;
i = 2,6% am = 0,026;
n = 7 meses;
VP = ?
VP=PMT∗FVP i , n=3.000,00∗FVP i , n
VP=3.000,00[1−1,026−7
0,026]
VP=$18.975,88VP=3.000,00∗6,325294
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.89
Usando o Excel ou o CalcUsando o Excel ou o CalcO Microsoft Excel e o Open Office Calc têm funções
financeiras para cálculo direto do PMT e do VP:VP (Taxa, NPER, PGTO);
PGTO (Taxa, NPER, VP);
PGTO = PMT;
NPER = número de períodos;
Taxa = taxa de juros unitária.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.90
Usando o Excel ou o CalcUsando o Excel ou o Calc
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.91
EXEMPLO 16EXEMPLO 16
Um empréstimo de $ 20.000,00 é concedido para pagamento em 5 prestações mensais, iguais e sucessivas de $ 4.300,00. Determine o custo mensal do empréstimo.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.92
EXEMPLO 16 - SoluçãoEXEMPLO 16 - Solução
VP = $ 20.000,00;PMT = $ 4.300,00;n = 5;
VP=PMT∗FVP i , n
20.000=4.300∗FVP i , n
20.000=4.300∗1−1i−5
i
i=2,46% a.m.Resolvendo em uma calculadora financeira...
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.93
Com auxílio de uma planilha...Com auxílio de uma planilha...O Excel e o Calc têm a função financeira Taxa (NPER, PGTO, VP), que permite o cálculo das
taxas de juros de fluxos padrão. Detalhe: VP e PGTO devem ter sinais trocados.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.94
Valor FuturoValor FuturoPMT PMT PMT PMT PMT PMT
1 2 3 4 n−10 n
VF
VF=PMT PMT∗1iPMT∗1i 2...PMT∗1in
VF=PMT [11i1i 21i 3
...1in]
VF=PMT∗FVF i , n
FVF (i, n) é conhecido como Fator de Valor Futuro
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.95
O Fator de Valor FuturoO Fator de Valor FuturoO Fator de Valor Futuro é uma Progressão Geométrica de
n termos, com primeiro termo a1 = 1 e razão q = (1+i), e
enésimo termo an = (1+i)n.
A soma dos termos de uma PG é:
FVF i , n=a1−an∗q
1−q
FVF i , n=1−1in
∗1i1−1i
FVF i , n=1i n
−1i
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.96
EXEMPLO 17EXEMPLO 17
Uma pessoa irá necessitar de $ 22.000,00 daqui a 12 meses. Para tanto, está fazendo uma poupança mensal de $ 1.250,00, com tyaxa de juros compostos de 4% am Determine se esta pessoa terá acumulado o montante necessário.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.97
EXEMPLO 17 - SoluçãoEXEMPLO 17 - Solução
PMT = $ 1.250,00n = 12 meses;i = 4,0 % am;VF = ?
VF=PMT∗FVF
FVF i , n=1in
−1
i=
10,0412−1
0,04=15,025805
VF=$18.782,26VF=1.250,00∗15,025805
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.98
EXEMPLO 18EXEMPLO 18
Um jovem executivo de 25 anos deseja se aposentar aos 55 anos com um patrimônio de $ 1.000.000,00. Qual valor mensal ele deve depositar em uma conta-investimento que rende 1,2% am?
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.99
EXEMPLO 18 - SoluçãoEXEMPLO 18 - SoluçãoPMT = ?
n = 55 - 25 = 30 anos = 360 meses;
i = 0,012 am;
VF = $ 1.000.000,00
VF=PMT∗FVF
FVF i , n=1in
−1
i=
10,012360
−1
0,012=6.023,32
PMT=$166,02PMT =1.000.0006.023,32
ou PMT=VF
FVF
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.100
EXEMPLO 19EXEMPLO 19 Uma empresa contraiu um empréstimo de $
100.000,00 para ser pago em 6 prestações mensais uniformes de $ 18.094,33. Após o pagamento da segunda prestação, a empresa solicita ao banco o refinanciamento do saldo da dívida em 12 prestações mensais, iguais e sucessivas, sendo que a primeira vence 30 dias a partir dessa data. Sabendo que a taxa de juros cobrada pelo banco é de 3,5% aa, determine o valor da prestação do refinanciamento.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.101
EXEMPLO 19 - SoluçãoEXEMPLO 19 - SoluçãoA taxa de juros do empréstimo original é
VP=PMT∗FVP=18.094,33∗FVP i ,6
Resolvendo-se com uma calculadora financeira ou planilha eletrônica:
i=2,4% a.m.
Após o pagamento da segunda prestação, faltam ainda quatro. O valor presente destas, a uma taxa de juros de 2,4% am seráVP=18.094,33∗FVP 2,4 , 4=18.094,33∗3,771054
VP=$68.234,68
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.102
EXEMPLO 19 - SoluçãoEXEMPLO 19 - SoluçãoO fluxo de 12 prestações a uma taxa de 3,5% am deve
ser equivalente ao valor presente das prestações faltantes:
68.234,68=PMT∗FVP 3,5 ,12
PMT =68.234,689,663334
68.234,68=PMT∗[1−1,035
−12]
0,035
PMT=$7.061,19
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.103
Fluxo com CarênciaFluxo com Carência
O valor presente na data 1 seráVP=PMT∗FVP 1, n
Na data zero, teremos
VP=PMT∗FVP 1, n∗1
1i ou VP=PMT∗FVP 1, n∗FAC 1,1
Generalizando para um período de carência c
PMT PMT PMT PMT PMT
1 2 3 4 n−10 n
Carência
VP=PMT∗FVP i , n∗FAC i , c
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.104
PerpetuidadePerpetuidade
VP=PMT1i
PMT1i2
PMT1i 3... PMT
1i ∞=PMT∗FVP i ,∞
Considerando que an = 0, a soma da PG será
FVP= limn∞
a1−an∗q
1−q=
a1
1−q
VP=PMT
i
PMT PMT PMT PMT PMT PMT
1 2 3 4 ∞0
VP
FVP=1i−1
1−1i −1=1i
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.105
EXEMPLO 20EXEMPLO 20 Um pequeno investidor têm um apartamento que
rende aluguel mensal constante de $ 720,00. Determine o Valor Presente dos aluguéis, avaliado pela taxa da poupança e considerando: Prazo de 10 anos; Prazo de 40 anos; Perpetuidade.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.106
EXEMPLO 20 - SoluçãoEXEMPLO 20 - Soluçãon = 10 anos = 120 meses
VP=720∗FVP 0,5% ,120=$64.852,89
n = 40 anos = 480 meses
VP=720∗FVP 0,5% ,480=$130.858,26
n = ∞
VP=720
0,005=$144.000,00
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.107
EXEMPLO 21EXEMPLO 21 Um determinado fluxo de caixa consiste de 12
prestações mensais de $ 120.000,00. Determine o fluxo de caixa equivalente para 5 prestações trimestrais iguais, considerando que a taxa de juros seja 1,5% am
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.108
EXEMPLO 21 - SoluçãoEXEMPLO 21 - SoluçãoDois fluxos de caixa são equivalentes quando
produzem o mesmo valor em um mesmo momento. Este momento é frequentemente denominado “data focal”. Admitindo o momento atual como data focal, teremos:
VP=PMT∗FVP i , n
VP=$13.089,00VP=1.200∗FVP 1,5% ,12
1.200 1.200
1 2 3 4 120
VP 1.200 1.200 1.200 1.200
11
(meses)
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.109
EXEMPLO 21 - SoluçãoEXEMPLO 21 - SoluçãoO fluxo trimestral será:
i=1,0153−1=0,0457
PMT =VP
FVP 4,57% ,5=
13.89,004,381427
A taxa de juros trimestral será
i=4,57% a.t.
PMT=$ 2.987,40
PMT PMT
1 2 3 40
$13.089 PMT PMT PMT
5 (trimestres)
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.110
EXERCÍCIO 8EXERCÍCIO 8 Um empréstimo no valor de $ 12.500,00 deve ser pago em 4
parcelas trimestrais de valores linearmente crescentes na razão de 12%. A primeira parcela vence em 3 meses, e as demais sequencialmente. A taxa de juros efetiva contratada é 27 % ao ano. Determine o valor de cada pagamento.
PMT1 = $ 3.091,80
PMT2 = $ 3.462,80
PMT3 = $ 3.833,80
PMT4 = $ 4.204,80
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.111
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.112
Principais SistemasPrincipais SistemasSistema de Amortização Constante – SAC;Sistema de Amortização Francês – SAF;Sistema de Amortização Misto – SAM;Sistema de Amortização Americano - SAA;
Obs.: O SAF, quando usado com taxas proporcionais (lineares) é denominado “Tabela Price”.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.113
Conceitos BásicosConceitos BásicosEncargos Financeiros (J) – representam os juros da operação, podendo ser
préfixados ou pós-fixados;
Principal (P) – é o capital emprestado, na data de empréstimo;
Amortização (A) – refere-se exclusivamente ao pagamento do principal,
por meio de parcelas periódicas;
Saldo Devedor (SD) – é o valor principal da dívida, após a dedução da
amortização;
Prestação (PMT) – é a soma da amortização e dos encargos financeiros;
Carência – período inicial no qual, em geral, são pagos apenas os juros da
operação.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.114
EXEMPLO GERALEXEMPLO GERAL
A operação a seguir será usada para ilustrar todos os sistemas de amortização:Principal = $ 100.000,00;Prazo = 10 anos;Taxa efetiva de juros = 30% ao ano.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.115
Sistema de Amortização ConstanteSistema de Amortização Constante
No SAC, a amortização é constante, sendo igual ao principal dividido pelo número de prestações;
O saldo devedor decresce linearmente;Os juros incidem sobre o saldo devedor e também
são decrescentes;Como os juros são decrescentes e a amortização é
constante, as prestações também são decrescentes.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.116
Sistema de Amortização ConstanteSistema de Amortização Constante
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.117
Sistema de Amortização ConstanteSistema de Amortização Constante
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
R$ 0,00
R$ 10.000,00
R$ 20.000,00
R$ 30.000,00
R$ 40.000,00
R$ 50.000,00
R$ 60.000,00
R$ 70.000,00
R$ 80.000,00
R$ 90.000,00
R$ 100.000,00
Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
Anos
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.118
SAC - FORMULAÇÃOSAC - FORMULAÇÃOA=
Pn
A amortização é fácil de calcular:
Os juros decrescem linearmente:J t=
Pn∗n−t1∗i
As prestações são PMT = J + A, ou:PMT t=
Pn∗[1n−t1∗i]
O saldo devedor também descrece linearmente:
SDt=S t−1−Pn=SD t−1−A
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.119
SAC – Valor Presente das PrestaçõesSAC – Valor Presente das Prestações
VP PMT =PMT 1
1i
PMT 2
1i2PMT 3
1i3...PMT n
1i n
VP PMT =40.000
1,3
37.000
1,32
34.000
1,33
31.000
1,34
28.000
1,35
25.000
1,36 +
+22.000
1,37
19.000
1,38
16.000
1,39
13.000
1,310
VP PMT =100.000,00
VP PMT =PO valor presente das prestações é igual ao Principal
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.120
EXEMPLO 24EXEMPLO 24
Um empréstimo de $ 80.000,00 será liquidado pelo SAC em 40 parcelas mensais. A taxa de juros contratada é de 4% ao mês. Determine:O valor da amortização;O valor dos juros correspondentes ao 22°
pagamento;O valor da última prestação;O saldo devedor logo após o 10° pagamento.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.121
EXEMPLO 24 - SoluçãoEXEMPLO 24 - SoluçãoAmortização Juros do 22° pagamento
A=Pn
A=80.000,00
40
A=$ 2.000,00
J t=Pn∗n−t1∗i
J 22=89.000,00
40∗40−221∗0,04
J=$1.520,00
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.122
EXEMPLO 24 - SoluçãoEXEMPLO 24 - SoluçãoÚltima prestação
Saldo após o 10° pagamento
PMT=$ 2.080,00
PMT t=Pn∗[1n−t−1∗i]
SD10=$ 60.000,00
PMT 40=80.000,00
40∗[140−401∗0,04]
SD t=P−A∗t
SD10=80.000,00−2.000,00∗10
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.123
Sistema de Amortização FrancêsSistema de Amortização Francês
O SAC não é muito usado no Brasil, pois as prestações variáveis causam alguma confusão, especialmente em empréstimos para pessoas físicas;
Assim, o SAF é mais usado, pois apresenta prestações constantes, sendo mais próximo ao Modelo Padrão dos fluxos de caixa;
No SAF, os juros decrescem com o tempo, e a amortização cresce;
O saldo devedor também é decrescente, embora não de maneira linear.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.124
Sistema de Amortização FrancêsSistema de Amortização FrancêsPrestação constante, amortização variável
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.125
Sistema de Amortização FrancêsSistema de Amortização Francês
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
R$ 0,00
R$ 10.000,00
R$ 20.000,00
R$ 30.000,00
R$ 40.000,00
R$ 50.000,00
R$ 60.000,00
R$ 70.000,00
R$ 80.000,00
R$ 90.000,00
R$ 100.000,00
Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
Anos
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.126
SAF - FormulaçãoSAF - FormulaçãoPMT =
PFVP i , n
=P∗i
1−1i−nA prestação é fácil:
Os juros são calculados sobre o saldo anterior: J t=SD t−1∗i
A amortização é mais fácil de calcular assim:At=PMT −J t
O saldo é o VP das
PMTs a pagarSD t=PMT∗FVP i , n−t =PMT∗
1−1i−n−t
i
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.127
EXEMPLO 25EXEMPLO 25
Um financiamento no valor de $ 90.000,00 é amortizado em 30 parcelas mensais pelo SAF. A taxa de juros contratada é 2,8% ao mês. Determine:O valor de cada prestação mensal;O valor da amortização e dos juros referentes ao
19° mês.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.128
EXEMPLO 25 - SoluçãoEXEMPLO 25 - Solução
Prestações mensais
PMT=$ 4.473,81
PMT=P
FVP i , n=P∗
i1−1i−n
PMT =90.000∗0,028
1−10,028−30
SDt=PMT∗1−1i −n−t
i
Juros e amortização no 19° mês
SD18=4.473,81∗1−10,028
−30−19
0,028=$ 45.068,70
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.129
EXEMPLO 25 - SoluçãoEXEMPLO 25 - Solução
J 19=$1.261,92
J t=SDt−1∗i
At=PMT t−J t
J 19=SD18∗i
J 19=45.068,70∗0,028
A19=PMT 19−J 19
A19=4.473,81−1.261,92 A19=$ 3.211,89
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.130
Sistema PRICE de AmortizaçãoSistema PRICE de Amortização
O Sistema Price (ou Tabela Price) foi desenvolvido originalmente
pelo inglês Richard Price. Tendo sido usado amplamente na
França, a invenção de Price passou a se denominar SAF;
Modernamente, a Tabela Price é uma variante do SAF, sendo usado
quando o período das prestações é menor do que o período da
taxa de juros, usando-se taxas proporcionais em vez de taxas
compostas;
Uma vez determinada a taxa de juros, as prestações, amortizações e
juros da Tabela Price são calculados de maneira idêntica ao SAF.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.131
EXEMPLO 26EXEMPLO 26
Um empréstimo de $ 10.000,00, com período de 10 semestres é concedido à taxa de juros de 30% aa Sabendo que será usada a Tabela Price, determine o valor das prestações semestrais.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.132
EXEMPLO 26 - SoluçãoEXEMPLO 26 - SoluçãoTaxa de juros contratada = 30% aa;Taxa proporcional semestral = 30/2 = 15% as;Taxa efetiva anual = (1,15)2 – 1 = 32,25% aa
PMT=P
FVP i , n
PMT=P∗i
1−1i−n
PMT=$1.992,52PMT =10.000,00∗
0,15
1−10,15−10
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.133
Sistema de Amortização MistoSistema de Amortização Misto
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.134
Sistema de Amortização MistoSistema de Amortização Misto
O Sistema de Amortização Misto (SAM) foi originalmente desenvolvido para as operações do Sistema Financeiro da Habitação;
O SAM é a média aritmética entre SAC e SAF, representando um compromisso entre prestações constantes e amortizações constantes.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.135
Sistema de Amortização MistoSistema de Amortização Misto
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10R$ 0,00
R$ 10.000,00
R$ 20.000,00
R$ 30.000,00
R$ 40.000,00
R$ 50.000,00
R$ 60.000,00
R$ 70.000,00
R$ 80.000,00
R$ 90.000,00
R$ 100.000,00
Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
Anos
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.136
SAM - FormulaçãoSAM - FormulaçãoO SAM é a média aritmética entre SAC e SAF
SDt=SDt SAC SDt SAF
2At=
At SAC At SAF
2
PMT t=PMT t SAC PMT t SAF
2J t=
J t SAC J t SAF
2
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.137
Sistema de Amortização AmericanoSistema de Amortização Americano
Nesse sistema, a amortização é paga de uma única vez, ao final do prazo da operação;
Os juros são pagos periodicamente, incidindo sobre o saldo devedor, que permanece constante;
As prestações, com exeção do último período, são iguais aos juros;
Para possibilitar o pagamento da amortização, é frequente a formação de um fundo de capitalização. Por esta razão, o SAA também é chamado de Sistema do Fundo de Amortização - SFA.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.138
Sistema de Amortização AmericanoSistema de Amortização Americano
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.139
Formação do Fundo de AmortizaçãoFormação do Fundo de Amortização
1 2 3 40 5 6 7 8 9 10
PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT
VF=$100.000,00
PMT=VF
FVFi ,n
PMT=$3.852,28
PMT=100.000,00
FVF 20% ,10=
100.000,0025,9587
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.140
SAA com Fundo de AmortizaçãoSAA com Fundo de Amortização
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.141
EXERCÍCIO 10EXERCÍCIO 10Um banco empresta $ 850.000,00 a uma empresa para
ser devolvido em prestações quadrimestrais, pelo sistema americano, em 4 anos. A taxa de juros a ser cobrada a cada quadrimestre é 8,5%. Pede-se:Elaborar a planilha financeira do empréstimo pelo
SAA;Sendo 4% a.q. a taxa de aplicação, determinar os
depósitos quadrimestrais para a constituição do fundo de amortização.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.142
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.143
Métodos de AnáliseMétodos de Análise
Valor Presente Líquido (VPL):
Fácil de entender, fácil de calcular;
Depende do conhecimento prévio de uma taxa de desconto.
Taxa Interna de Retorno (TIR):
Difícil de calcular;
Não depende de uma taxa de desconto;
Sensível ao ritmo de desembolso do projeto;
Depende da reaplicação dos fluxos à mesma taxa;
Útil para vender o projeto.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.144
Métodos de AnáliseMétodos de Análise
Índice de Lucratividade (IL):
Relação entre o valor presente das receitas e o valor presente dos desembolsos;
Também conhecido como Return On Investment (ROI);
Bastante usado em projetos de informática.
Taxa de Rentabilidade (TR):
Relação entre o Valor Presente Líquido e o valor presente dos desembolsos;
Pouco intuitiva.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.145
Métodos de AnáliseMétodos de Análise
Pay Back
Bastante usado, mas frequentemente de maneira errada;
Índice intuitivo e fácil de entender;
Possui grande apelo, especialmente junto aos donos do capital.
Valor Uniforme Anual Equivalente (VAUE)
Corresponde à série uniforme (Modelo Padrão) que tem o mesmo valor presente do fluxo original;
Método equivalente ao do VPL.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.146
Valor Presente Líquido - VPLValor Presente Líquido - VPL
O VPL é o valor líquido de todas as receitas e desenbolsos de capital, trazidos a valor presente por meio de uma taxa de desconto.
VPL=−I o∑j =1
n FC j
1i j
VPL=−I oFC 1
1i
FC 2
1i 2...FCn
1i n
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.147
EXEMPLO 27EXEMPLO 27
Determine o VPL do fluxo de caixa abaixo, para taxas de juros de 20% aa e 30% aa.
1 2 3 40
$750.000,00
$ 250.000,00 $320.000,00 $380.000,00 $ 280.000,00
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.148
EXEMPLO 27 - SoluçãoEXEMPLO 27 - Solução
i = 20% aa
VPL=−I o∑j =1
n FC j
1i j
VPL=−750.000[250.0001,2
320.000
1,22
380.000
1,23
280.000
1,24 ]
VPL=$35.493,82
VPL=−750.000785.493,82
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.149
EXEMPLO 27 - SoluçãoEXEMPLO 27 - Solução
i = 30% aa
VPL=−I o∑j =1
n FC j
1i j
VPL=−750.000[250.0001,3
320.000
1,32
380.000
1,33
280.000
1,34 ]
VPL=$ 97.344,29
VPL=−750.000652.655,71
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.150
EXEMPLO 27 - SoluçãoEXEMPLO 27 - SoluçãoA taxa de desconto para o qual o VPL é nulo é denominada Taxa Interna de Retorno - TIR.
5,00% 15,00% 25,00% 35,00% 45,00% 55,00% 65,00%
-R$ 400.000,00
-R$ 350.000,00
-R$ 300.000,00
-R$ 250.000,00
-R$ 200.000,00
-R$ 150.000,00
-R$ 100.000,00
-R$ 50.000,00
R$ 0,00
R$ 50.000,00
R$ 100.000,00
R$ 150.000,00
R$ 200.000,00
R$ 250.000,00
R$ 300.000,00
R$ 350.000,00
VPL
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.151
ObservaçõesObservações
O método do VPL é frequentemente denominado “Fluxo de Caixa Descontado”;
Este método pode ser usado para analisar:Atratividade de investimentos;Viabilidade de empreendimentos;Valor de uma empresa para fins de venda
ou investimento;etc.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.152
Vantagens do VPLVantagens do VPL
Fácil de calcular, mesmo com uma calculadora de quatro operações;
Leva em consideração o valor do dinheiro no tempo;
Abrange toda a vida útil do projeto.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.153
Desvantagens do VPLDesvantagens do VPL
Necessita o conhecimento prévio de uma taxa de desconto;
Não é uma medida muito intuitiva. Sabemos que projetos com VPL negativo não podem ser aceitos, mas o que significa um projeto com VPL de $ 120.000,00? O projeto é certamente bom, mas quão bom?
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.154
Custo do Capital PróprioCusto do Capital PróprioUma estimativa para a taxa de desconto é o CMPC
(Custo Médio Ponderado do Capital), como já visto;O Custo do Capital de Terceiros é razoavelmente fácil
de estimar, pois depende de contratos de financiamento previamente assinados;
O Custo do Capital Próprio, por outro lado, é difícil de estimar. Poucas empresas no Brasil conhecem seu custo de capital.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.155
CCP – Método RápidoCCP – Método Rápido
Quando uma empresa abre seu capital, emitindo ações no mercado, ela passa a ser valorizada por estas ações;
O valor de uma ação, determinado pelo mercado, é também o valor presente de todos os dividendos futuros esperados, e a taxa de desconto destes dividendos é o Custo do Capital Próprio.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.156
CCP – Método RápidoCCP – Método Rápido
Sendo D1 o valor dos dividendos
esperados, Po o valor atual das ações e g
a taxa de crescimento dos dividendos, o Custo do Capital Próprio será:
CCP=D1
P0
g
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.157
EXEMPLO 28EXEMPLO 28Uma empresa tem hoje 100 milhões de ações e pagará,
dentro de um semestre, dividendos de R$ 0,20/ação. Estima-se que os dividendos totais que a empresa pagará no futuro devem cerscer geometricamente à taxa de 2% ao semestre. Sabendo-se que o preço da ação hoje é $ 4,00, determine:
O Custo do Capital Próprio;
Considerando que 30% do capital total da empresa encontra-se financiado à taxa de 25% aa, determine o Custo Médio Ponderado do Capital.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.158
EXEMPLO 28 - SoluçãoEXEMPLO 28 - Solução
CCP=0,20
40,02
CCP=0,07
CCP=7% a.s.
CCP=10,072−1=0,1449
CCP=14,49% a.a.
CMPC=0,7∗0,14490,3∗0,25
CMPC=0,1764 CMPC=17,64 % a.a.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.159
EXEMPLO 29EXEMPLO 29Considere que a empresa do exemplo anterior
pretende implantar um projeto com o fluxo de caixa líquido mostrado abaixo. Calcule o VPL usando como taxa de desconto: a) o CCP; b) o CMPC.
1 2 3 40
$75.000,00
$ 20.000,00 $ 25.000,00 $30.000,00 $35.000,00
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.160
EXEMPLO 29 - SoluçãoEXEMPLO 29 - SoluçãoVPL=−75.000,00[
20.000,001i
25.000,00
1i 2 30.000,00
1i3 35.000,00
1i4 ]
a) i = CCP = 14,49% aa
VPL=$1.901,74
b) i = CMPC = 17,64% aa
VPL=−$3.232,64
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.161
Taxa Interna de Retorno - TIRTaxa Interna de Retorno - TIRA TIR é a taxa de desconto que iguala, em
determinado momento do tempo, o valor presente das entradas e das saídas de caixa. Geralmente adota-se a data de início de operação, o momento zero, como a data focal para comparação dos fluxos de caixa;
A TIR pode ser considerada como a rentabilidade média ponderada geometricamente, de acordo com o critério dos juros compostos.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.162
EXEMPLO 30EXEMPLO 30Um projeto exige investimento de $ 80.000,000 e
promete rendimentos de $ 21.000,00, $ 41.000,00, $ 46.000,00 e $ 31.000,00, respectivamente, ao final dos próximos quatro anos. Determine: A TIR;A rentabilidade total;O Valor Futuro das receitas;A relação entre o Valor Futuro das receitas e o
Valor Presente do investimento inicial.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.163
EXEMPLO 30 - SoluçãoEXEMPLO 30 - Solução
1 2 3 40
$80.000,00
$ 21.000,00 $ 41.000,00 $ 46.000,00 $31.000,00
−80.000,00[21.000,00
1i
41.000,00
1i 2 46.000,00
1i 3 31.000,00
1i 4 ]=0
Resolvendo em uma planilha eletrônica ou calculadora financeira:
TIR=24,54% a.a.
a)
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.164
EXEMPLO 30 - SoluçãoEXEMPLO 30 - Solução
Rentabilidade=1TIRn−1
c) Valor Futuro das receitas - VF(R):
Rentabilidade=140,55%
b) A Rentabilidade total nada mais é do que a TIR calculada
para todas a vida útil do projeto:
Rentabilidade=1,24544−1=1,4055
VF R== 21.000∗1,2454
341.000∗1,2454
246.000∗1,245431.000
VF R=$192.439,07
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.165
EXEMPLO 30 - SoluçãoEXEMPLO 30 - Solução
VF R
VP I =
192.439,0770.000
=2,4055
Não por coincidência:
VF R=VP I ∗1TIR
d) Relação entre VP(I) e VF(R):
VF R
VP I =TIR1
Assim, a TIR é também a taxa de juros que transforma o
investimento inicial na riqueza VF(R) ao final da vida útil. Mas
esse valor futuro só existirá se todas as receitas forem
reaplicadas a uma taxa igual à TIR!
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.166
TIR ModificadaTIR ModificadaA TIR, quando calculada da maneira anterior, é
frequentemente denominada Taxa Externa de Retorno, ou TIR Modificada (Modified TIR):
MTIR=VF R
VP I −1
Para calcular a MTIR, devemos definir:
Uma taxa de financiamento, para cálculo do valor presente do investimento;
Uma taxa de reinvestimento, para cálculo do valor futuro das receitas.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.167
EXEMPLO 31EXEMPLO 31
No exemplo 28, considere que a taxa de reinvestimento é 15%, e que a taxa de financiamento é 24,54%. Determine a MTIR.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.168
EXEMPLO 31 - SoluçãoEXEMPLO 31 - SoluçãoO Valor Presente do Investimento é $ 80.000, pois a
taxa de desconto é a própria TIR;O Valor Futuro das Receitas é:
VF R=21.000∗1,15341.000∗1,15
246.000∗1,1531.000
VF R=$170.060,88
MTIR=VF R
VP I −1=
170.060,8880.000
−1=1,1258
MTIR=20,75% a.a.
(para toda a vida útil)
MTIR=11,12581/4
−1=0,2075
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.169
Considerações sobre a MTIRConsiderações sobre a MTIR
O MS Excel e o Open Office Calc têm a função MTIR (valores, taxa de financiamento, taxa de reinvestimento), que permite o cálculo da MTIR;
Por causa disso, o uso da TIR e da MTIR multiplicou-se nos últimos 10 anos. Mas quando usar a MTIR?
Em uma palavra: NUNCA!
Justificativa: A MTIR exige o conhecimento prévio de duas taxas de juros. Já é difícil determinar uma delas. Determinar duas taxas, durante toda a vida útil de um projeto, é transformar a análise financeira em jogo de adivinhação.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.170
ConclusãoConclusãoSó se pode dizer que um projeto apresenta TIR de X% se
todos os fluxos de caixa do projeto forem reaplicados, em uma outra aplicação, a uma taxa de juros igual à TIR do projeto
Mas por que um investidor investiria em um projeto se existisse uma aplicação com a mesma rentabilidade?
Isso mostra que o conceito da TIR é tecnicamente confuso e de difícil aplicação, embora seja usado rotineiramente, especialmente para vender o projeto;
Mas há ainda mais problemas...
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.171
EXEMPLO 32EXEMPLO 32Uma distribuidora decidiu instalar um novo depósito
de produtos acabados. Para isso, alugou um galpão por 15 anos, pagando anualmente $ 120.000,00, e comprometeu-se a realizar uma reforma estimada em $ 300.000,00 após 5 anos. As reduções de custos de distribuição do produto foram estimadas em $ 144.000,00 anuais. Faça uma análise do VPL para taxas de desconto variando de 0% a 50% aa
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.172
EXEMPLO 32 - SoluçãoEXEMPLO 32 - SoluçãoFluxo de Caixa (em mil $)
0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00% 30,00% 35,00% 40,00% 45,00% 50,00%
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
Taxa de Desconto
VP
L (m
il $)
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.173
ObservaçõesObservaçõesO fluxo de caixa anterior não é usual, pois a única saída líquida de
capital ocorre no quarto ano;
Quando isso acontece, ou quando há mais de uma inversão de capital, o VPL pode ter mais de uma raiz. Consequentemente, o projeto terá mais de uma TIR;
No caso em questão, temos:
TIR1 = 8,43% aa
TIR2 = 33,57% aa
Nesse caso, o uso da TIR é inviável. A MTIR resolveria o problema das raízes múltiplas, mas cairíamos de novo no problema de conhecer duas taxas e juros.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.174
EXERCÍCIO 11EXERCÍCIO 11Dado o fluxo de caixa abaixo, determine o VPL, a TIR e a
MTIR, para uma taxa de desconto de 12% aa Considere que as taxas de financiamento e de reinvestimento também são iguais a 12% aa
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.175
EXERCÍCIO 11 - RespostasEXERCÍCIO 11 - Respostas
VPL = $ 55.194,28TIR = 16,33% aaMTIR = 14,78% aa
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.176
TIR e ritmo de desembolsoTIR e ritmo de desembolsoConsidere as duas alternativas de investimento a seguir,
com taxa de desconto de 12 % aa
É fácil concluir que os VPLs de ambas as alternativas são idênticos: $ 78.912,59
Contudo, as TIRs são diferentes:
TIR1 = 28,65% aa
TIR2 = 32,99% aa
Isso acontece porque a TIR é sensível ao ritmo de desembolso do projeto.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.177
TIR e ritmo de desembolsoTIR e ritmo de desembolso
0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47-50.000,00
-25.000,00
0,00
25.000,00
50.000,00
75.000,00
100.000,00
125.000,00
150.000,00
175.000,00
200.000,00
VPL 1 VPL 2
Taxa de desconto anual (% a.a.)
VP
L (
$) Intersecção de Fischer
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.178
VPL x TIRVPL x TIR
O VPL está associado ao conceito de maximização da riqueza;
A TIR está associada ao conceito de maximização da lucratividade;
Projetos com o mesmo VPL podem ter TIRs diferentes.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.179
Índice de LucratividadeÍndice de Lucratividade
O IL é uma maneira um pouco diferente de expressar o VPL. Em vez de ser uma subtração, como o VPL, o IL é uma divisão entre os valores presentes das entradas e das saídas de capital:
IL=VP Receitas
VP Desembolsos
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.180
Taxa de Rentabilidade - TRTaxa de Rentabilidade - TR
A TR é a a divisão entre o VPL e o valor presente dos desembolsos de capital:
TR %=VPL
VP Desembolsos
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.181
Tempo de Retorno Tempo de Retorno - Payback- PaybackO Tempo de Retorno do Capital, ou Payback,
mede o tempo que o projeto leva para pagar o investimento inicial;
A forma mais correta de calcular o Payback é levando-se em conta o valor do dinheiro no tempo. O método resultante é denominado Paybak descontado;
O Payback é aquele tempo para o qual o VPL acumulado se torna zero.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.182
EXEMPLO 33EXEMPLO 33Para o fluxo abaixo, calcule o Payback descontado
considerando taxa de desconto de 12% aa
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.183
EXEMPLO 33 -SoluçãoEXEMPLO 33 -SoluçãoO VPL no primeiro ano é:
VPL1=−100.0015.000
10,12=−$86.607,00
No segundo ano:
VPL2=−100.0015.000
10,12
20.000
10,122=−$ 66.607
No terceiro ano:
VPL3=−100.0015.000
10,12
20.000
10,122
30.000
10,123=−$11.607
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.184
EXEMPLO 33 -SoluçãoEXEMPLO 33 -SoluçãoDesenhando-se o gráfico VPL=f(tempo), o Payback
resultando é aproximadamente 4,4 anos.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-100.000
-75.000
-50.000
-25.000
0
25.000
50.000
75.000
100.000
125.000
150.000
175.000
200.000
225.000
Variação do VPL Acumulado
Anos
VP
L A
cum
ula
do (
$)
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.185
Valor Uniforme Anual Equivalente - VAUEValor Uniforme Anual Equivalente - VAUE
O VAUE, Valor Uniforme Anual Equivalente, consiste na série uniforme de pagamentos que são equivalentes ao fluxo de caixa original do projeto;
O VAUE é também denominado:SUL – Série Uniforme Líquida;BLAU – Benefício Líquido Anual Uniforme.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.186
CÁLCULO DO VAUECÁLCULO DO VAUEPara calcular o VAUE, basta calcular o VPL e, a
partir deste, usar o Modelo Padrão para obter os pagamentos equivalentes:
VAUE=PMT =VPL
FVP i , n
VAUE=i∗VPL
1−1i−n
VAUE=i
1−1i−n∗VPL
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.187
EXEMPLO 34EXEMPLO 34Calcule o VAUE para o fluxo de caixa abaixo,
considerando taxa de desconto de 12% aa
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.188
EXEMPLO 34 - SoluçãoEXEMPLO 34 - Solução
VPL=−200.000−250.000
1,12
100.000
1,122
120.000
1,23
200.000
1,24
300.000
1,25
VPL=$39.250,40
VAUE=i∗VPL
1−1i−n=0,12∗39.250,40
1−1,12−6
VAUE=$ 9.546,71
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.189
EXEMPLO 34 - SoluçãoEXEMPLO 34 - Solução
0 0,01 0,03 0,05 0,07 0,090,10,11 0,13 0,15 0,17 0,190,20,21 0,23 0,25-100000
-75000-50000-25000
0250005000075000
100000125000150000175000200000225000250000275000
VPL
VAUE
Taxa de Desconto
Os gráficos do VPL e do VAUE em função da taxa de desconto
mostram que o VAUE é mais “comprimido”, sendo mais fácil de
analisar.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.190
EXERCÍCIO 12EXERCÍCIO 12
Para o fluxo de caixa abaixo, calcule o VPL, a TIR, a MTIR, o IL, a TR, o Payback e o VAUE. Considere taxa de desconto de 16% aa
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.191
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.192
Alternativa ÚnicaAlternativa ÚnicaA seleção de um único projeto diz respeito à
viabilidade econômica do mesmo. Trata-se de decidir se o projeto deve ser implementado ou não
Na prática, não existe projeto com alternativa única, pois sempre existe a opção de não se fazer nada;
Assim, a pergunta a ser feita é: devemos investir no projeto ou deixar o dinheiro no banco?
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.193
Critérios de SeleçãoCritérios de Seleção
Os critérios para seleção de projetos de alternativa única são:VPL: o projeto é aceito se VPL>0;TIR: o projeto é aceito se TIR>TMA;IL: o projeto é aceito se IL > 1;
Os métodos do Payback, VAUE e TR não permitem conclusões sobre um projeto de alternativa única.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.194
Alternativas MúltiplasAlternativas Múltiplas
Os projetos de alternativas múltiplas se dividem em dois tipos:Alternativas de mesma duração;Alternativas de durações diferentes.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.195
Alternativas de mesma duraçãoAlternativas de mesma duração
Os métodos que podem ser usados para se comparar duas os mais alternativas de mesma duração de um projeto são:VPL, VAUE, Payback, IL e TR.
A TIR não deve ser usada nesses casos, pois, como já vimos, alternativas de mesmo VPL podem ter TIRs diferentes.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.196
EXEMPLO 35EXEMPLO 35Uma empresa enfrenta sérios problemas de produtividade em
uma determinada etapa de produção. Estudos técnicos evidenciaram duas alternativas para solucionar o problema, expostas abaixo. Supondo os investimentos concentrados na data zero, determine a alternativa mais viável.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.197
EXEMPLO 35 - SoluçãoEXEMPLO 35 - SoluçãoAlternativa A
Receita Líquida=Receita Operacional−CustoOperacional−Custo de Manutenção
Receita Líquida=27.500−12.500−2.000=$13.000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0
$30.000,00
$13.000,00 $10.000,00
TIR=42,93% VPL=$53.093,62
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.198
EXEMPLO 35 - SoluçãoEXEMPLO 35 - SoluçãoAlternativa B
Receita Líquida=Receita Operacional−CustoOperacional−Custo de Manutenção
Receita Líquida=38.500−19.800−2.600=$16.100
$50.000,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0
$16.100,00 $ 20.000,00
TIR=31,46 % VPL=$54.862,93
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.199
EXEMPLO 35 - SoluçãoEXEMPLO 35 - SoluçãoA alternativa B é mais atrativa, pois tem VPL maior,
quando calculado com TMA=12%aa;
Contudo, para se fazer uma melhor avaliação da atratividade das alternativas, deve-se fazer uma análise de sensibilidade, variando-se a TMA e calculando-se os VPLs;
A análise de sensibilidade mostra que ambas as alternativas são igualmente atrativas para TMA=13,6%aa;
Para TMA>13,6% aa, a alternativa A é mais atrativa.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.200
EXEMPLO 35 - SoluçãoEXEMPLO 35 - Solução
8,0% 10,0% 12,0% 14,0% 16,0% 18,0% 20,0% 22,0% 24,0% 26,0% 28,0% 30,0%0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
Análise de Sensibilidade
VPL (A) VPL (B)
TMA (%)
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.201
Durações diferentesDurações diferentesQuando as alternativas em análise têm durações (vidas
úteis) diferentes, não podemos fazer a comparação dos VPLs, ILs, etc, diretamente, pois isto violaria o princípio da equivalência dos capitais.
Nesse caso, um método que pode ser usado consiste em repetir os fluxos de caixa das alternativas, de maneira que as durações resultantes coincidam;
Por exemplo, se a alternativa A tem duração m, e a alternativa B tem duração n, as alternativas resultantes deverão ter duração mxn.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.202
EXEMPLO 36EXEMPLO 36 Uma fábrica está precisando de um novo grupo
motor-gerador e está em dúvida entre as marcas General Failure e La Bomba. Os custos de operação e manutenção são iguais, de modo que as econominas geradas pelas duas alternativas são idênticas. A única diferença é que o gerador da General Failure dura o dobro e custa o dobro. Sabendo que o valor residual de ambas as alternativas é desprezível, apresente uma solução para a tomada de decisão.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.203
EXEMPLO 36 - SoluçãoEXEMPLO 36 - SoluçãoAlternativa A: General Failure
I A=2x
n
E
VPLA=−2xE∗FVP i ,n
VPLA=−2xE∗1−1i−n
i
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.204
EXEMPLO 36 - SoluçãoEXEMPLO 36 - SoluçãoAlternativa B: La Bomba
I B=x
n
E
VPLB=−x−x∗FAC i , n /2E∗FVP i , n
VPLB=−x−x
1i n /2E∗1−1i−n
i
n2
I B=x
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.205
EXEMPLO 36 - SoluçãoEXEMPLO 36 - SoluçãoVPLA=−2xE∗
1−1i−n
i
VPLB=−x−x
1i n /2E∗1−1i−n
i
VPLB−VPLA=−x−x
1i n /22x
VPLB−VPLA=x−x
1in/2 =x∗1i n /2
−1
1in/2
VPLB−VPLA0
VPLBVPLA
É melhor investir no gerador que custa a metade e dura a metade, independente da taxa de desconto.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.206
EXEMPLO 36 – Calculando o VAUEEXEMPLO 36 – Calculando o VAUEVPLA=−2xE∗
1−1i−n
i
VPLB=−x−x
1i n /2E∗1−1i−n
i
VAUE A=i
1−1i−n∗VPLA=−2x [i
1−1i−n ]E
VAUE B=i
1−1i−n∗VPLB=−[ xx
1in/2 ]∗[i
1−1i −n ]E
VAUE B−VAUE A=x∗1in /2
−1
1i n /2 ∗[i
1−1i−n ]
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.207
EXEMPLO 36 – Calculando o VAUEEXEMPLO 36 – Calculando o VAUE
Comparando as expressões do VPL e do VAUE, concluímos que:
VAUE B−VAUE A=VPLB−VPLA∗[i
1−1i −n ]
Como esperado, as receitas intermediárias se cancelam, de modo que a comparação dos VPLs e dos VAUEs conduz ao mesmo resultado.
De maneira geral, é mais fácil comparar os VAUEs, pois isso evita o trabalho de repetir os fluxos de caixa.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.208
EXEMPLO 37EXEMPLO 37 Para taxa de juros de 12% aa, determine qual das
alternativas abaixo é melhor.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.209
EXEMPLO 37 - SoluçãoEXEMPLO 37 - SoluçãoAlternativa A
18.000
10.600
1
6.600
2 3 4 5
0
VPLA=−18.0006.6001,12
6.600
1,122
6.600
1,123+
+6.600
1,124
10.600
1,125
VPLA=$ 8.061,23
VAUE A=i∗VPL A
1−1i −n
VAUE A=0,12∗8.061,23
1−1,12−5 VAUE A=$ 2.236,26
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.210
EXEMPLO 37 - SoluçãoEXEMPLO 37 - SoluçãoAlternativa B VPLB=−16.000
5.2001,12
5.200
1,122
5.200
1,123 +
+5.200
1,124
5.200
1,125
5.200
1,126
8.200
1,127
VPLB=$ 9.088,58
VAUE B=i∗VPLB
1−1i −n
VAUE B=0,12∗9.088,58
1−1,12−7 VAUE B=$1.991,47
16.000
8.200
1
5.200
2 3 4 5
0
6 7
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.211
EXEMPLO 37 - ConclusõesEXEMPLO 37 - ConclusõesA Alternativa B, embora exija investimento menor e
dure menos do que a Alternativa A, é menos atraente para TMA=12%aa, pois tem VAUE menor;
Uma análise de sensibilidade indica que a Alternativa B só seria mais atrativa do que a Alternativa A para TMAs superiores a 29,32%aa. Contudo, nessa situação o VAUE de ambas as alternativas seria negativo;
Concluímos que a Alternativa A é mais atrativa.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.212
EXEMPLO 37 EXEMPLO 37
12% 16% 20% 24% 28% 32% 36% 40% 44% 48%-R$ 3.500,00
-R$ 3.000,00
-R$ 2.500,00
-R$ 2.000,00
-R$ 1.500,00
-R$ 1.000,00
-R$ 500,00
R$ 0,00
R$ 500,00
R$ 1.000,00
R$ 1.500,00
R$ 2.000,00
R$ 2.500,00
Análise de Sensibilidade
VAUE A
VAUE B
TMA
VU
AE
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.213
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.214
Tipos de ImpostosTipos de ImpostosA maioria dos impostos empresariais pode ser
classificada em um dos seguintes grupos:Impostos do tipo custo fixo, que são pagos uma
única vez ou periodicamente (IPTU, IPVA, etc).Impostos do tipo custo variável, que incidem sobre
o faturamento (IPI, ICMS, ISS).Impostos que incidem sobre o lucro líquido (IRPJ e
CSLL, no caso de empresas que optaram pelo regime de lucro real).
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.215
Regimes tributáriosRegimes tributáriosTributação pelo lucro presumido: Nesse regime, o IRPJ e
a CSLL são calculadas presumindo-se lucro trimestral de 12% ou 32%, conforme o caso. Regime recomendado para empresas que tenham poucas despesas, como é o caso das prestadoras de serviços.
Tributação pelo lucro real. Nesse tipo de regime, o IRPJ e a CSLL são calculados mensalmente, incidindo sobre o lucro líquido efetivamente apurado. Recomendada para empresas que possam abater muitas despesas do lucro bruto.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.216
Obrigatoriedade do Lucro RealObrigatoriedade do Lucro Real
As empresas obrigadas a recolher impostos pelo lucro real são aquelas que:
tiveram faturamento total, no ano-calendário anterior, acima de R$ 48 milhões.
exercem atividades de bancos comerciais, bancos de investimentos, bancos de desenvolvimento, caixas econômicas, sociedades de crédito, financiamento e investimento, sociedades de crédito imobiliário, sociedades corretoras de títulos, valores mobiliários e câmbio, distribuidora de títulos e valores mobiliários, empresas de arrendamento mercantil, cooperativas de crédito, empresas de seguros privados e de capitalização e entidades de previdência privada aberta;
tiverem lucros, rendimentos ou ganhos de capital no exterior.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.217
EXEMPLO 42EXEMPLO 42
Um determinado projeto de uma empresa apresenta lucro tributável de $ 30 mil mensais. Determine o valor do lucro após o pagamento do IRPJ e da CSLL.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.218
EXEMPLO 42 - SoluçãoEXEMPLO 42 - SoluçãoIRPJ
CSLL
IRPJ 1=30.000∗0,15=$ 4.500,00
IRPJ 2=30.000−20.000∗0,10=$1.000,00
IRPJ =IRPJ 1 IRPJ 2=$5.500,00
CSLL=0,12∗30.000=$3.600
Lucro Líquido
LL=LT − IRPJ −CSLL=30.000−5.500−3600LL=$ 20.900,00
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.219
ATIVO PASSIVO
Balanço patrimonialBalanço patrimonial
Circulante
Realiz. Longo Prazo
Permanente:InvestimentosDiferidoImobilizado
Circulante
Exigível Longo Prazo
Patrimônio Líquido:Capital socialReservas de capitalReservas de lucrosLucros e prejuízos
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.220
EXEMPLO 46EXEMPLO 46Um grupo motor-gerador a diesel de 450 kVA apresenta as seguintes características:
Preço de aquisição: US$ 65.000,00 (incluindo IPI, frete e startup)
Consumo de combustível: 280 litros por MWh
Custos de manutenção: US$ 10/MWh
Custos com lubrificantes: US$ 1,5/MWh
O fator de potência médio do gerador é 0,95 e o gerador será usado com 90% de sua capacidade. Considerando ainda que a taxa de câmbio seja US$ 1,00 = R$ 2,50, que o preço do diesel seja R$ 1,50/litro, que a vida útil do gerador seja 15 anos, que 70% do custo do gerador seja financiado pelo SAF em 5 anos e taxa de juros de 15% aa, e que o custo do capital próprio da empresa seja 10% aa, determine:
a) VPL e o VAUE do equipamento, com e sem financiamento.
b) O custo efetivo em R$/MWh, com e sem financiamento.
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.221
EXEMPLO 46 - SoluçãoEXEMPLO 46 - SoluçãoEnergia Gerada
EG=300,105 MWh
Potência Ativa Gerada = Potência Instalada * Fator de Potência * Fator de Capacidade
Potência Ativa Gerada=PAG=450∗0,9∗0,92=384,75 kW
Energia Gerada=EG=PAG∗n° horas anuais
EG=384,75∗65 horas * 12 meses=300.105 kWh
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.222
EXEMPLO 46 - SoluçãoEXEMPLO 46 - SoluçãoCustos de Operação e Manutenção
O&M =R $134.672,12 /ano
Custo do Combustível =CC=280 litros/MWh∗R$ 1,50/litros∗300,105 MWh=R$126.044,10
Custo de Manutenção =CM =US$ 10/MWh∗R$ 2,50/US$∗300,105 MWh=R $7.502,63
Custo do Lubrificante =CL=US$ 1,5/MWh∗R$ 2,50/US$∗300,105 MWh=R $1.125,39
Custos de O&M = O&M =CCCM CL
28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.223