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100 Unidade 2 • Geometria anal’tica: ponto, reta e circunfer•ncia
2 Posi•›es relativas entre reta e circunfer•nciaConsideremos as três possíveis posições de uma reta em relação a uma circunferência:
1a) A reta t é secante à circunferência:
O
M
B
A
t
d � r
Nesse caso, a distância do centro da circunferência à reta é menor que o raio. A reta e a circunferência
têm dois pontos comuns.
Observação: Propriedades de reta e da circunferência secantes:
• OM � AB
• M é ponto médio de AB (AB � 2AM)
• Teorema de Pitágoras: (OM)2 � (BM)2 � (BO)2
2a) A reta t é tangente à circunferência:
O
A
t
d � r
Nesse caso, a distância do centro da circunferência à reta é igual ao raio. A reta e a circunferência têm um
único ponto comum.
3a) A reta t é exterior à circunferência:
O
t
d � r
Nesse caso, a distância do centro da circunferência à reta é maior que o raio. A reta e a circunferência não
têm ponto comum.
Vejamos, a partir das equações, como identificar qual desses casos se verifica.
Fique atento!Note que t � tOAu.
101Capítulo 4 • Geometria anal’tica: a circunfer•ncia
Exercício resolvido
7. S‹o dadas a reta r, de equa•‹o 2x � y � 1 � 0, e a circunferência equa•‹o x2 � y2 � 6x � 8y � 0. Qual Ž a posi•‹o da reta r em rela•‹o ˆ circunferência?
Resolução:
Vamos calcular, inicialmente, as coordenadas do centro e o raio da circunferência:
x2 � y2 � 6x � 8y � 0 ⇒ x2 � 6x � y2 � 8y � 0 ⇒ x2 � 6x � 9 � y2 � 8y � 16 � 9 � 16 ⇒
⇒ (x � 3)2 � (y � 4)2 � 25
Ent‹o, C(�3, 4) e r � 5.
Agora vamos determinar a dist‰ncia do centro ˆ reta:
d � | ( ) ( ) |2 3| (| ( 1 4 ( ( | |
2 12 22 12 1
� �) 2 32 3 �
2 12 12 12 1
� | |
,
| || |�
| || |
5
3
5
3
2 2,� � 1,3
Comparando d e r, temos d � r, pois 1,3 � 5.Logo, a reta r Ž secante ˆ circunferência.
Outra resolução:
Os pontos comuns ̂ reta e ̂ circunferência, se houver, s‹o as solu•›es do sistema formado por suas equa•›es:
2 1 0 1 2
6 82 2
x y2 12 1 y x0 10 1 2
x y2 2 x6 86 8
2 12 12 12 12 1 0 10 10 10 1� �0 1y xy x� �
2 22 2x yx y2 22 22 26 86 8
0 10 1⇒0 10 10 10 1
yy � 0{Substituindo y na segunda equa•‹o, temos:
x2 � y2 � 6x � 8y � 0 ⇒ x2 � (1 � 2x)2 � 6x � 8(1 � 2x) � 0 ⇒
⇒ x2 � 1 � 4x � 4x2 � 6x � 8 � 16x � 0 ⇒ 5x2 � 18x � 7 � 0
O c‡lculo de � ser‡ suficiente para determinar quantos pontos comuns têm a reta e a circunferência e daí a posi•‹o relativa. Ent‹o:
� � 182 � 140 � 324 � 140 � 464 � 0
O valor de � � 0 indica a existência de dois valores reais e distintos de x e, consequentemente, dois pontos comuns ˆ reta e ˆ circunferência.Logo, a reta Ž secante ˆ circunferência.
Observação: A resolu•‹o completa do sistema permite descobrir quais s‹o os dois pontos comuns ˆ reta e ˆ circunferência.
Fique atento!Para � � 0, h‡ um s— ponto comum (reta tangente ˆ circunfer•ncia).Para � � 0, n‹o h‡ ponto comum (reta exterior ˆ circunfer•ncia).
17. (UFBA) Determine o comprimento da corda determi-nada pela intersec•‹o da reta r, de equa•‹ox � y � 1 � 0, com a circunferência de equa•‹o x2 � y2 � 2x � 2y � 3 � 0.
18. ATIVIDADE EM DUPLA A reta r de equa•‹o x � y � 3 � 0 e a circunfe-
rência de equa•‹o (x � 2)2 � (y � 1)2 � 10 s‹o secantes nos pontos A e B. Determinem a ‡rea do tri‰ngulo cujos vŽrtices s‹o o centro da circunferência e os pontos A e B.
19. Consideremos a reta r, de equa•‹o x � y � 3 � 0 e a circunferência de equa•‹o x2 � y2 � 2x � 2y � 3 � 0. Qual Ž a posi•‹o da reta r em rela•‹o ̂ circunferência?
Exercícios
20. ATIVIDADE EM DUPLA Dadas uma reta r e uma circunferência �, veri-
fiquem a posi•‹o relativa de r e �. Se houver pontos co-muns (tangente ou secante), determinem esses pontos:a) r: 2x � y � 1 � 0 e �: x2 � y2 � 2x � 0
b) r: y � x e �: x2 � y2 � 2x � 4y � 4 � 0
21. Determine as coordenadas dos pontos em que a reta r, de equa•‹o y � �x � 5, intersecta a circunferência de equa•‹o x2 � y2 � 10x � 2y � 21 � 0.
22. ATIVIDADE EM DUPLA A reta x � y � 1 � 0 secciona a circunferência
x2 � y2 � 2x � 3 � 0 nos pontos A e B. Calculem a dist‰ncia do centro C ˆ corda AB.
102 Unidade 2 • Geometria anal’tica: ponto, reta e circunfer•ncia
3 Problemas de tang•nciaPara resolver problemas que envolvem retas tangentes à circunferência, devemos lembrar dois detalhes
já vistos:
¥ Quando a reta é tangente à circunferência, a dist‰ncia do centro da circunferência à reta tangente Ž o raio.
¥ A reta tangente é sempre perpendicular ao raio no ponto de tangência.
Em razão disso, talvez seja uma boa ideia revisitar o capítulo 3, itens Posições relativas de duas retas no
plano e Perpendicularidade de duas retas e Distância de um ponto a uma reta.
Acompanhe nos exercícios resolvidos a seguir as situações mais comuns que envolvem tangência.
8. A reta de equação x � y � k � 0 é tangente à circunferência de equação x2 � y2 � 9. Calcule o valor de k.
Resolu•‹o:
Se a reta é tangente à circunferência, a distância do centro até a reta é igual ao raio.Centro e raio da circunferência:x2 � y2 � 9 ⇒ (x � 0)2 � (y � 0)2 � 32
Então, C(0, 0) e r � 3.Distância do centro (0, 0) à reta 1x � 1y � k � 0:
d � | | | |1 0| | 1 0
1 1 22 21 11 1
� �1 01 0 � �1 0� �� �1 01 0
1 11 11 11 1�
k k | | | || |
Cálculo de k, sabendo que d � r:
| || |
| || |k kk k| || |
23 3| |3 3k kk k| || | 2 3k kk k 2� �3 3 2 32 3⇒ ⇒⇒ ⇒| |k kk k3 33 3| |3 33 3| |k kk k| || | 2 32 3k kk kk k3 33 3| |k kk k| || |
Fique atento!Se há dois valores para k, existem duas
retas, x � y � 3 23 2 � 0 e x � y � 3 23 2 � 0,
que satisfazem à condição imposta.
Outra resolução:
Se a reta é tangente à circunferência, então o sis-tema formado pelas duas equações tem uma única solução:
x y k x y kx y
� �x yx y � �k xk x y ky k� �x yx y
k xk xk xk x9
2 2x yx y� �� �x yx yk xk xk xk x{
Substituindo x na segunda equação, temos:
x2 � y2 � 9 ⇒ (y � k)2 � y2 � 9 ⇒
⇒ y2 � 2ky � k2 � y2 � 9 � 0 ⇒
⇒ 2y2 � 2ky � k2 � 9 � 0
Para que a solução seja única devemos ter � � 0:
� � 4k2 � 8(k2 � 9) � 0 ⇒ 4k2 � 8k2 � 72 � 0 ⇒
⇒ �4k2 � 72 � 0 ⇒ k2 � 72
418� ⇒
⇒ k � � � �18 3 23 2
9. O ponto P(5, 2) pertence à circunferência de equa-ção x2 � y2 � 2x � 6y � 27 � 0. Determine a equa-ção da reta t tangente a essa circunferência em P.Lembre-se de que, se uma reta t tangencia uma circunferência de centro C e raio r em P, então t é perpendicular à reta-suporte de tCP..
r
P
t
C
Resolu•‹o:
Calculando as coordenadas do centro C e o raio r, temos:x2 � y2 � 2x � 6y � 27 � 0 ⇒
⇒ x2 � 2x � y2 � 6y � 27 ⇒⇒ x2 � 2x � 1 � y2 � 6y � 9 � 27 � 1 � 9 ⇒
⇒ (x � 1)2 � (y � 3)2 � 37Então, C(�1, 3) e r � 37 .
Vamos determinar o coeficiente angular m1 da
reta que passa pelos pontos C(�1, 3) e P(5, 2):
m1 �
2 3
5 1
1
6
2 32 3
5 15 1� �
Vamos determinar o coeficiente angular m2 da
reta t perpendicular à reta que passa pelos pontos C e P:
m2 �
1 1
1
6
1m� � �
�
� 6
Calculamos agora a equação da reta t que passa pelo ponto P(5, 2) e tem declividade 6:y � 2 � 6(x � 5) ⇒ y � 2 � 6x � 30 ⇒
⇒ 6x � y � 28 � 0Logo, a equação pedida é 6x � y � 28 � 0.
Exerc’cios resolvidos
103Capítulo 4 • Geometria anal’tica: a circunfer•ncia
10. O ponto P(1, �2) é externo à circunferência de equa-ção (x � 1)2 � (y � 2)2 � 8. Determine as equações das retas tangentes à circunferência e que passam por P.
Pela equação dada, temos C(1, 2) e r � 8 .
0
y
x
C(1, 2)
P(1, Ð2)
t1
t2
8
Fique atento!Se P pertence à circunferência,
existe uma só reta que passa por P
e é tangente à circunferência.
O
t
P
t tOPu
Se P é externo, há duas tangentes.
O
P
T1
PT1 PT
2T
2
Se P é interno, não existe tangente.
Considerando o coeficiente angular m das retas t1
e t2, podemos escrever a equação geral dessas re-
tas, lembrando que passam por P(1, �2).y � 2 � m(x � 1) ⇒ y � 2 � mx � m ⇒
⇒ mx � y � 2 � m � 0Como a distância entre o centro C(1, 2) e a reta de equação mx � y � 2 � m � 0 deve ser igual ao raio r, temos:
| ( ) ( ) |m m| (| ( ( | |m m (
m
1 1) ( (m mm m) ( (2 2) m mm m)
1
82
m m (m mm m ( (m mm mm m) m mm m
�� ⇒
⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒|
⇒ ⇒ |
⇒ ⇒⇒ ⇒m m| | | |
m
m mm m
�
⇒ ⇒⇒ ⇒2 2m mm mm mm mm m
1
82
⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒ ⇒| |
⇒ ⇒⇒ ⇒| || |
⇒ ⇒⇒ ⇒
��
| || |8⇒ ⇒⇒ ⇒
4
1
82 2
� 1m mm m� 12 2
� 1
⇒ 16
12m �
� 8 ⇒ 8m2 � 8 � 16 ⇒ 8m2 � 8 � 0 ⇒
⇒ m2 � 1 � 0 ⇒ m2 � 1 ⇒ m� � 1 e m� � �1
Vamos calcular, agora, as equações das retas t1 e t
2,
substituindo o valor de m por m� e por m� na equa-ção geral mx � y � 2 � m � 0.Para m� � 1, temos:
(1)x � y � 2 � 1 � 0 ⇒ x � y � 3 � 0
Para m� � �1, vem:(�1)x � y � 2 � (�1) � 0 ⇒ �x � y � 1 � 0 ⇒
⇒ x � y � 1 � 0
Logo, as equações das retas tangentes t1 e t
2 são
x � y � 3 � 0 e x � y � 1 � 0.
Fique atento!Se houver duas retas tangentes, porém
um único valor para m, significa que
uma das retas é vertical.
23. ATIVIDADE
EM DUPLA (UFRGS-RS) A reta r de equação x � 3 é tangente
à circunferência de equação x2 � y2 � 4x � 2y � k � 0.Nessas condições, calcule o valor de k.
24. ATIVIDADE
EM DUPLA O ponto A(2, 3) pertence à circunferência
de equação x2 � y2 � 2x � 2y � 3 � 0. Determinem
a equação da reta tangente à circunferência no ponto A.
25. ATIVIDADE
EM DUPLA (UFU-MG) A circunferência de equação
x2 � y2 � 2x � 2y � 5 � 0 possui duas retas tangentes, t1 e t
2, que são paralelas à reta s de equação
3x � 4y � 1 � 0. Determinem as equações das retas t1 e t
2.
Exercícios
26. ATIVIDADE
EM DUPLA (UFSM-RS) As retas r e s tangenciam a circun-
ferência de equação x2 � y2 � 4x � 3 � 0, respectiva-mente, nos pontos P e Q e passam pelo ponto O(0, 0). A medida do ângulo PBOQ vale:a) 15°.
b) 30°.
c) 45°.
d) 60°.
e) 90°.
27. ATIVIDADE
EM DUPLA A circunferência com centro C(1, 1) é tangen-te à reta t de equação x � y � 10 � 0. Determinem a equação da circunferência.
104 Unidade 2 • Geometria analítica: ponto, reta e circunferência
4 Aplicações à Geometria planaAcompanhe a seguinte situação:
Um engenheiro precisa construir uma ponte em forma de
arco de circunferência, semelhante à que aparece na fotografia
ao lado. O vão livre sobre o rio a ser vencido pela ponte é de
24 m, e a pilastra central, segundo o arquiteto, deverá ter 4 m
de altura. O engenheiro, usando seus conhecimentos de Geo-
metria plana, já calculou que o raio do arco de circunferência
projetado pelo arquiteto é de 20 m. Agora ele precisa calcular o
tamanho das outras quatro pilastras menores (duas à esquerda
e duas à direita da pilastra central). Segundo o projeto, todas as
pilastras estão a 4 m uma da outra.
Com base nas informações do problema, vamos escolher
um sistema de eixos coordenados conveniente e obter a altura
dessas quatro pilastras menores.
Escolhendo um sistema de eixos cartesianos que coloque
a pilastra central no eixo y e o vão da ponte no eixo x, o cen-
tro da circunferência será C(0, �16), pois o raio tem 20 m e a
pilastra maior tem 4 m. Para obter o tamanho das pilastras
pedidas, precisamos apenas das ordenadas dos pontos A e B,
cujas abscissas são respectivamente 4 e 8. Nesse exemplo,
a escolha do sistema de eixos cartesianos adequado é muito
importante para facilitar a resolução.
A equação da circunferência é, então, x2 � (y � 16)2 � 400.
Para obtermos a ordenada yA do ponto A, basta substituir a
abscissa xA � 4 na equação da circunferência:
42 � (yA � 16)2 � 400 ⇒ (y
A � 16)2 � 384 ⇒ y
A � 16 � 384 � 19,60 ⇒ y
A � 3,60 m
Da mesma forma, para obtermos a ordenada yB do ponto B, basta substituir a abscissa x
B � 8 na equação da
circunferência:
82 � (yB � 16)2 � 400 ⇒ (y
B � 16)2 � 336 ⇒ y
B � 16 � 336 � 18,33 ⇒ y
B � 2,33 m
Por causa da simetria da ponte, as duas pilastras do lado esquerdo terão o mesmo tamanho de suas
correspondentes no lado direito. Assim, as pilastras são tais que duas têm, aproximadamente, 2,33 m e duas
têm 3,60 m, e a central, como já sabíamos, tem 4 m.
Alamy/Other Images
Ponte em Hamburgo, Alemanha.
y
Modelo matem‡tico
x
P(0, 4) A(4, yA)
B(8, yB)
C(0, �16)
Exercícios
Escolha um sistema de eixos coordenados adequado e resolva, usando Geometria analítica, os seguintes problemas de Geometria plana:
28. ATIVIDADE
EM DUPLA Obtenham o raio da circunferência inscrita em um triângulo retângulo cujos catetos meçam 3 cm e 4 cm.
Fique atento!Dica: Coloquem o vértice do ângulo reto do triângulo retângulo na origem.
29. ATIVIDADE
EM DUPLA Uma circunferência L está inscrita em um triângulo equilátero de lado 2 3. Mostrem que, para todo ponto de L, a soma dos quadrados de suas distâncias aos três vértices do triângulo é constante.
105Capítulo 4 • Geometria anal’tica: a circunfer•ncia
Um poucomais...
Posições relativas de duas circunferências
Duas circunferências distintas podem ter dois, um ou nenhum ponto comum. Veja as possíveis
posições relativas:
1a) Dois pontos comuns:
secantes
2a) Um ponto comum:
ou
tangentes exteriormentetangentes interiormente
3a) Nenhum ponto comum:
ou
circunfer•ncias externas uma circunfer•ncia interna ˆ outra
A partir das equações das duas circunferências podemos descobrir quantos e quais são os pontos
comuns resolvendo o sistema formado por elas. Além disso, no segundo caso (um ponto comum) e
no terceiro caso (nenhum ponto comum) podemos identificar a posição relativa usando os dois raios
e a distância entre os centros.
Fique atento!Poss’veis posi•›es relativas entre duas circunfer•ncias:¥ externas: d(C
1, C
2) � r
1 � r
2
¥ tangentes externas: d(C1, C
2) � r
1 � r
2
¥ secantes: |r1 � r
2| � d(C
1, C
2) � r
1 � r
2
¥ tangentes internas: d(C1, C
2) � |r
1 � r
2|
¥ uma interna ˆ outra: d(C1, C
2) � |r
1 � r
2|
¥ conc•ntricas: C1 � C
2, d(C
1, C
2) � 0
Fique atento!No 2o caso, os dois centros e o ponto de tang•ncia s‹o colineares.
106 Unidade 2 • Geometria anal’tica: ponto, reta e circunfer•ncia
Vamos verificar a posi•‹o relativa das circunfer•ncias:
a) x2 � y2 � 30 e (x � 3)2 � y2 � 9
Resolvendo o sistema formado pelas duas equações, temos:
x y
x y x y
2 2
2 2 2 2
30
( 3) 9 6
� �
� � � � �⇒ xx x x x0 30 6 0 6 30 5� � � � �⇒ ⇒ ⇒
Substituindo x na primeira equação, vem:
x2� y2
� 30 ⇒ 25 � y2� 30 ⇒ y2
� 5 ⇒ y � � 5
Logo, as duas circunferências são secantes e seus pontos comuns são (5, 5 ) e (5, � 5 ).
b) x2 � y2 � 20x � 2y � 100 � 0 e x2 � y2 � 2x � 2y � 98 � 0
Resolvendo o sistema, temos:
x y x y
x y x
2 2
2 2
20 2 100 0
2
� � � � �
� � � 22 98 0 1y ( )� � ��
⇒
x y x y
x y x
2 2
2 2
20 2 100 0
2
� � � � �
� � � �� � � 2 98 0y
198 0 18 19� � � �18x x⇒ 88 ⇒
⇒ ⇒ x x� �
198
1811
Substituindo x na primeira equação, vem:
x2 � y2 � 20x � 2y � 100 � 0 ⇒ 112 � y2 � 20 � 11 � 2y � 100 � 0 ⇒ y2 � 2y � 121 � 220 � 100 � 0 ⇒
⇒ y2 � 2y � 1 � 0 ⇒ y � 2 0
2
� � 1
(11, 1) é o œnico ponto comum às duas circunferências, portanto elas são tangentes.
Como já vimos, as circunferências tangentes podem ser externas ou internas. Podemos determinar a
sua posição relativa por meio da distância entre os centros das circunferências e por meio de seus
raios (lembrando que os centros das circunferências e o ponto de tangência estão sempre alinhados).
C1C2
r1
r2
ouC1
C2
r1
r2
circunferências tangentes externamented(C
1, C
2) � r
1 � r
2
circunferências tangentes internamented(C
1, C
2) � |r
1 � r
2|
Considerando a primeira equação, temos:
x2 � y2 � 20x � 2y � 100 � 0 ⇒ x2 � 20x � 100 � y2 � 2y � 1 � �100 � 100 � 1 ⇒
⇒ (x � 10)2 � (y � 1)2 � 12
Então, C1(10, 1) e r
1 � 1.
Agora, pela segunda, vem:
x2 � y2 � 2x � 2y � 98 � 0 ⇒ x2 � 2x � 1 � y2� 2y � 1 � 98 � 1 � 1 ⇒
⇒ (x � 1)2 � (y � 1)2 � 100 � 102
Então, C2(1, 1) e r
2 � 10.
107Capítulo 4 • Geometria analítica: a circunferência
Exerc’cio resolvido
Calculamos, então, a distância entre os centros C1 e C
2:
d(C1, C
2) � ( ) ( ) 10 1 1 1 81
2 2� � � � � 9
Como os raios medem r1 � 1 e r
2 � 10 e 9 � |1 � 10|, temos d(C
1, C
2) � |r
1 � r
2|.
Logo, as circunferências são tangentes internamente e o ponto comum é (11, 1).
Determine a equação da circunferência de centro em (8, 4) e que tangencia exteriormente a circunfe-rência x2 � y2 � 4x � 8y � 16 � 0.
Resolução:Nesse caso, a distância entre os centros é igual à soma dos raios.Inicialmente, calculamos o centro (C
1) e o raio (r
1)
da circunferência dada abaixo:
C1
C2
r1
r2
d(C1, C
2) � r
1 �
r
2
x2 � 4x � 4 � y2 � 8y � 16 � 16 � 4 � 16 ⇒
⇒ (x � 2)2 � (y � 4)2 � 36
Então, C1(2, �4) e r
1 � 6.
Agora, calculamos a distância entre os centros C1(2, �4) e C
2(8, 4):
d � 6 8 1002 2
6 86 8� �6 86 82 2
6 86 8 � 10
Como d � r1 � r
2, podemos calcular o raio r
2:
d � r1 � r
2 ⇒ 10 � 6 � r
2 ⇒ r
2 � 4
A equação procurada é a da circunferência de raio 4 e centro (8, 4):
(x � 8)2 � (y � 4)2 � 42
ou
x2 � y2 � 16x � 8y � 64 � 0
1. Dadas as circunferências �1 e �
2, descubra suas posições
relativas e seus pontos comuns (se houver):
a) �1: x2 � y2 � 4x � 8y � 5 � 0
�2: x2 � y2 � 2x � 6y � 1 � 0
b) �1: x2 � y2 � 8x � 4y � 10 � 0
�2: x2 � y2 � 2x � 10y � 22 � 0
c) �1: (x � 2)2 � (y � 1)2 � 4
�2: (x � 2)2 � (y � 2)2 � 1
d) �1: x2 � y2 � 16
�2: x2 � y2 � 4y � 0
2. �1 e �
2 são duas circunferências concêntricas, com �
1
interna à �2. Sabendo que a equação de �
1 é
x2 � y2 � 6x � 8y � 0 e que a área do anel circular
formado por �1 e �
2 é igual a 24�, determine a equação
de �2 na forma geral.
3. Determinando-se o centro e o raio das circunferên-cias x2 � y2 � 2y � 8 � 0 e x2 � y2 � 4x � 2y � 4 � 0, pode-se garantir que:
a) elas não têm ponto em comum.
b) elas são secantes.
c) elas são tangentes exteriormente.
d) elas são tangentes interiormente.
4. As circunferências de equação x2 � y2 � 2x � 2y � 10 � 0 e (x � 1)2 � (y � 1)2 � 4 são:a) secantes.
b) tangentes internas.
c) tangentes externas.
d) exteriores, sem ponto comum.
e) interiores, sem ponto comum.
5. Sabendo que o ponto M(1, �3) não pertence à cir-cunferência de equação x2 � y2 � 2x � 4y � 3 � 0, determine se o ponto M é interno ou externo à circunferência.
Exerc’cios adicionais
108 Unidade 2 • Geometria analítica: ponto, reta e circunferência
Competição entre os melhores atletas do mundo, confraternização entre os povos
e, acima de tudo, a grande festa do esporte. As Olimpíadas são um dos mais impor-
tantes eventos do planeta, mobilizando populações de centenas de países e emocio-
nando a todos com vitórias, recordes e histórias de superação. De quatro em quatro
anos, uma cidade do mundo tem o privilégio de sediar os jogos, onde competidores
e torcedores se misturam e, durante pouco mais de duas semanas, ajudam a preser-
var e fortalecer o espírito olímpico.
A bandeira olímpica
A bandeira olímpica é o mais importante símbolo das Olimpíadas. Ela é forma-
da por cinco anéis de cores diferentes (azul, vermelho, preto, amarelo e verde) en-
trelaçados e localizados no centro da bandeira. Esta bandeira representa a univer-
salidade do olimpismo. Ela tem fundo branco e os anéis representam os cinco
continentes habitados no mundo. As seis cores, contando com o branco, aparecem
em todas as bandeiras dos países em 1896.
A bandeira é hasteada na cerimônia
de abertura das Olimpíadas e é levada, na
posição horizontal, ao estádio olímpico por
atletas e hasteada em um mastro. Enquan-
to a chama olímpica queima no estádio ela
permanece hasteada. Na cerimônia de
encerramento a bandeira é recolhida e
entregue ao prefeito da cidade sede das
Olimpíadas para os jogos seguintes.
Disponível em: <www.suapesquisa.com/olimpiadas/bandeira_olimpica.htm>. Acesso em: 17 dez. 2012.
Alguns esportes olímpicos
Tiro com arco
O tiro com arco é disputado em duas
categorias — individual e por equipes —,
na distância de 70 m em relação ao alvo,
que tem 1,22 m de diâmetro e é formado
por dez círculos concêntricos. O círculo
mais central — a mosca — vale 10 pontos;
cada círculo seguinte perde um ponto em
valor. Para vencer, o competidor tem de
somar o maior número possível de pontos.
A disputa é eliminatória e, a cada etapa, o
atleta dispara 36 flechas — seis séries de
seis flechas com quatro minutos cada.
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Prova de tiro com arco, Londres, 2012.
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OlimpíadasOutros
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