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MATEMÁTICA P/ DETRAN-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
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AULA 01: MATEMÁTICA
SUMÁRIO PÁGINA
1. Teoria 01
2. Resolução de questões 40
3. Questões apresentadas na aula 76
4. Gabarito 92
Olá!
Hoje temos a nossa primeira aula deste curso de Matemática para o
DETRAN/SP. Trabalharemos os seguintes tópicos do seu edital:
Operações com números reais. Sistemas de medidas usuais.
Introduziremos ainda a regra de três simples, para que você consiga resolver
alguns exercícios. Tenha uma boa aula, e fique à vontade para me procurar através
do fórum disponível na área do aluno!
1. Teoria
1.1 Operações com números reais
As tabelas abaixo resumem o que há de mais importante nessa parte
matéria, e talvez seja suficiente para você relembrar os conceitos básicos.
TABELA 01. CONJUNTOS NUMÉRICOS
Nome do
conjunto
(e símbolo)
Definição Exemplos Observações
Números
Naturais (N)
Números
positivos
construídos com
os algarismos
N = {0, 1, 2, 3 …}
Subconjunto dos números
positivos:
N* = {1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, 10, 11...}
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de 0 a 9, sem
casas decimais
Lembrar que o zero não é
positivo nem negativo,
mas está incluído aqui.
Números
Inteiros (Z)
Números
naturais
positivos e
negativos
Z = {... -3, -2, -1, 0,
1, 2, 3...}
Subconjuntos:
Não negativos: {0, 1, 2...}
Não positivos: {..., -2, -1, 0}
Positivos: {1, 2, 3...}
Negativos: { …-3, -2, -1}
Números
Racionais (Q)
Podem ser
representados
pela divisão de
2 números
inteiros
Frações: , ;
Números decimais
de representação
finita. Ex.:
1,25 (igual a )
As dízimas periódicas são
números racionais. Ex.:
0,333333... ou ou
Números
Irracionais (I)
Não podem ser
representados
pela divisão de
2 números
inteiros
Número “pi”:
Não citados no edital, mas
fazem parte dos Números
Reais
Números
Reais (R)
Números
Racionais e
Irracionais
juntos
Todos acima
R Q Z N
e
R I
TABELA 02. PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES COM NÚMEROS N ATURAIS
Elem.
Neutro Comut. Assoc. Fecham.
Distributiva
Adição zero Sim Sim Sim Não:
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( ) ( ) ( )A B C A B A C+ + ≠ + + +
Multiplicação 1 Sim Sim Sim Sim:
( ) ( ) ( )A B C A B A C× + ≠ × + ×
Subtração Zero Não Não
Não. Ex.:
5 – 7 = -2
Não:
( ) ( ) ( )A B C A B A C− + ≠ − + −
Divisão 1 Não Não
Não. Ex.:
10,5
2=
Não:
( ) ( ) ( )A B C A B A C÷ + ≠ ÷ + ÷
TABELA 03. PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES COM NÚMEROS I NTEIROS
Elem.
Neutro Comut. Assoc. Fecham.
Distributiva
Adição zero Sim Sim Sim Não:
( ) ( ) ( )A B C A B A C+ + ≠ + + +
Multiplicação 1 Sim Sim Sim Sim:
( ) ( ) ( )A B C A B A C× + ≠ × + ×
Subtração Zero Não Não Sim
Não:
( ) ( ) ( )A B C A B A C− + ≠ − + −
Divisão 1 Não Não
Não. Ex.:
10,5
2=
Não:
( ) ( ) ( )A B C A B A C÷ + ≠ ÷ + ÷
TABELA 04. PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES COM NÚMEROS R ACIONAIS
E REAIS
Elem.
Neutro Comut. Assoc. Fecham.
Distributiva
Adição zero Sim Sim Sim Não:
( ) ( ) ( )A B C A B A C+ + ≠ + + +
Multiplicação 1 Sim Sim Sim Sim:
( ) ( ) ( )A B C A B A C× + ≠ × + ×
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Subtração Zero Não Não Sim
Não:
( ) ( ) ( )A B C A B A C− + ≠ − + −
Divisão 1 Não Não Sim Não:
( ) ( ) ( )A B C A B A C÷ + ≠ ÷ + ÷
Vamos às explicações detalhadas a respeito de cada conjunto numérico.
1.1.1 NÚMEROS NATURAIS
Os números naturais têm esse nome por serem aqueles mais intuitivos, de
“contagem natural”. Isto é, são aqueles construídos com os algarismos de 0 a 9. O
símbolo desse conjunto é a letra N, e podemos escrever os seus elementos entre
chaves:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22…}
As reticências indicam que este conjunto não tem fim, ou seja, existem
infinitos números naturais.
Apesar de incluído neste conjunto, o zero não é um número natural
propriamente dito (pois não é um número de “contagem natural”). Por isso, utiliza-se
o símbolo N* para designar os números naturais positivos, isto é, excluindo o zero.
Vejam: N* = {1, 2, 3, 4…}
Alguns conceitos básicos relacionados aos números naturais:
a) Sucessor : é o próximo número natural. Isto é, o sucessor de 2 é 3, e o
sucessor de 21 é 22. E o sucessor do número “n” é o número “n+1”.
b) Antecessor : é o número natural anterior. Isto é, o antecessor de 2 é 1, e o
antecessor de 21 é 20. E o antecessor do número “n” é o número “n-1”.
Observe que o número natural zero não possui antecessor, pois é o primeiro
número desse conjunto.
c) Números consecutivos : são números em sequência. Assim, {2,3,4} são
números consecutivos, porém {2, 5,4} não são. E {n-1, n e n+1} são números
consecutivos.
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d) Números naturais pares : {0, 2, 4...}. Número par é aquele que, ao ser dividido
por 2, não deixa resto. Por isso o zero também é par.
e) Números naturais ímpares : {1, 3, 5...}. Ao serem divididos por 2, deixam
resto 1.
Sobre pares e ímpares, vale a pena perceber que:
- a soma ou subtração de dois números pares tem resultado par. Ex.: 12 + 6 = 18;
12 – 6 = 6.
- a soma ou subtração de dois números ímpares tem resultado par. Ex.: 13 + 5 = 18;
13 – 5 = 8.
- a soma ou subtração de um número par com outro ímpar tem resultado ímpar. Ex.:
12 + 5 = 17; 12 – 5 = 7.
- a multiplicação de números pares tem resultado par: 4 x 6 = 24.
- a multiplicação de números ímpares tem resultado ímpar: 3 x 5 = 15.
- a multiplicação de um número par por um número ímpar tem resultado par: 2 x 3 =
6.
1.1.1.1 REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS NA RETA
Veja abaixo como os números naturais podem ser representados
graficamente, isto é, na reta numérica:
Este é o padrão adotado: os números naturais crescem da esquerda para a
direita. A seta à direita significa que o conjunto dos números naturais é infinito. O
mesmo não acontece à esquerda, pois não há nenhum número natural abaixo de
zero. O ponto à esquerda é também chamado de ponto de origem.
Observando a reta, vemos claramente que apenas o zero não possui
antecessor, e que todos os números naturais possuem sucessores.
1.1.2 NÚMEROS INTEIROS
Os números inteiros são os números naturais e seus respectivos opostos
(negativos). Isto é,
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Z = {...-12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
12...}
Observem que todos os números Naturais são também Inteiros, mas nem
todos os números inteiros são naturais. Assim, podemos dizer que o conjunto de
números naturais está contido no conjunto de números inteiros, isto é, N Z, ou
ainda que N é um subconjunto de Z. O diagrama abaixo explicita esta relação entre
N e Z:
Dentro deste conjunto, podemos destacar alguns subconjuntos de números.
Vejam que os nomes dos subconjuntos são auto-explicativos:
a) Números Inteiros não negativos = {0,1,2,3...}. Veja que são os números naturais.
b) Números Inteiros não positivos = {… -3, -2, -1, 0}. Veja que o zero também faz
parte deste conjunto, pois ele não é positivo nem negativo.
c) Números inteiros negativos = { … -3, -2, -1}. O zero não faz parte.
d) Números inteiros positivos = {1, 2, 3...}. Novamente, o zero não faz parte.
1.1.2.1 REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS INTEIROS NA RETA
Veja abaixo como os números inteiros podem ser representados na reta
numérica:
Aqui seguimos o mesmo padrão: os números inteiros crescem da esquerda
para a direita. As setas à direita e à esquerda significam que o conjunto dos
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números inteiros é infinito para ambos os lados. Temos ainda o ponto de origem,
isto é, o zero.
Observando a reta, vemos claramente que todos os números inteiros
possuem antecessor e sucessor. Dizemos ainda que o conjunto dos números
inteiros é simétrico em relação à origem (temos duas metades “iguais”, com o zero
no meio).
Para finalizar esse tópico, devemos ainda conhecer o operador módulo. O
módulo de um número inteiro é a sua distância até o ponto de origem, isto é, o zero.
Também é conhecido pelo nome valor absoluto. Veja na reta numérica que tanto o
número 5 (positivo) quanto o número -5 (negativo) possuem a mesma distância até
o zero. Utilizando o símbolo |A| para representar o módulo do número A, podemos
dizer então que:
|5| = |-5| = 5 unidades, ou simplesmente 5.
Generalizando, podemos dizer que:
|A| = |-A| = A
Também é possível dizer que o módulo de um número A é o maior entre dois
valores: A e –A. Em termos matemáticos, podemos escrever:
|A| = max{A,-A} = valor absoluto de A
1.1.3 NÚMEROS RACIONAIS
Os números racionais são aqueles que podem ser representados na forma
da divisão de dois números inteiros. Isto é, são aqueles números que podem ser
escritos na forma (A dividido por B), onde A e B são números inteiros. Exemplos:
é Racional, pois é a divisão do número inteiro 5 pelo número inteiro 4.
é Racional, pois é a divisão do número inteiro -15 pelo número inteiro 9,
ou a divisão de 15 por -9.
73 e -195 são Racionais, pois são a divisão dos números 73 e -195 pelo
número 1.
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Observe este último exemplo. Já tínhamos visto que qualquer número natural
é também inteiro. E agora vemos que todo número inteiro é também racional! Isto
porque qualquer número inteiro é o resultado da divisão dele mesmo por 1, podendo
ser representado na forma (A dividido por 1, onde A é um número inteiro
qualquer). Veja se este novo diagrama, contendo os números Naturais, Inteiros e
Racionais, faz sentido para você:
O zero também faz parte dos Números Racionais (pode ser escrito na forma
, concorda?). Porém, quando escrevemos um número racional na forma , o
denominador (isto é, o número B) nunca é zero. Isto porque a divisão de um número
por zero é impossível (exceto 00
, cujo valor é indeterminado).
No conjunto dos Números Racionais, temos basicamente 3 tipos de números:
a) Frações. Ex.: , , etc.
b) Números decimais. Ex.: 1,25
Veja que este número decimal tem escrita finita, isto é, um número
definido de casas após a vírgula. Por isso, ele também poderia ser escrito na
forma . Neste caso, poderíamos representá-lo como , ou mesmo
simplificá-lo para .
c) Dízimas periódicas. Ex.: 0,33333... ou simplesmente (a barra indica que o
algarismo 3 repete-se indefinidamente).
As dízimas periódicas são consideradas racionais porque também
podem ser escritas na forma . O número deste exemplo poderia ser escrito
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na forma . Existem métodos que nos permitem encontrar qual fração é
equivalente a uma determinada dízima periódica. Outro exemplo de dízima
periódica: 1,352525252... ou .
Antes de prosseguirmos, vejamos como obter as frações que dão origem a
dízimas periódicas. Divida 1 por 3 e você obterá 0,333... , ou simplesmente 0,3.
Assim, dizemos que a “fração geratriz” da dízima 0,3 é igual a 1
3. Existem métodos
que nos permitem, a partir de uma dízima periódica, chegar até a fração que deu
origem a ela.
Em alguns casos, a parte que se repete já começa logo após a vírgula. Isto é
o caso em:
0,333...
0,353535...
0,215215215...
Em outros casos, existem alguns números entre a vírgula e o início da
repetição. Veja esses números sublinhados nas dízimas abaixo:
0,1333...
0,04353535...
0,327215215215...
Vamos começar trabalhando com os casos onde a repetição começa logo
após a vírgula, para a seguir estender o método aos casos onde existem números
entre a vírgula e o início da repetição.
� Casos onde a repetição começa logo após a vírgula:
Vamos trabalhar com a dízima 0,333... . Chamemos de X a fração que dá
origem a esta dízima. Ou seja,
X = 0,333...
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Como a repetição é formada por um único número (3), se multiplicarmos esta
dízima por 10 conseguimos passar, para o outro lado da vírgula, o primeiro número
da repetição:
10X = 10 x 0,333... = 3,333...
Observe que 10X = 3 + 0,333... . Veja ainda a seguinte subtração:
10X – X = 3,333... – 0,333...
Os dois números à direita da igualdade acima possuem infinitas casas
decimais idênticas. Portanto, o resultado desta subtração é:
9X = 3
3 1
9 3X = =
Assim, descobrimos que a fração geratriz da dízima 0,333... é 1
3X = .
Vejamos um segundo exemplo: vamos buscar a fração geratriz da dízima
0,216216216... . Repare que temos a repetição de 216, e não há nenhuma casa
separando a vírgula e o início da repetição. Chamando de X a fração geratriz da
dízima, temos:
X = 0,216216216...
Para passar a primeira repetição (216) para a esquerda da vírgula,
precisamos multiplicar X por 1000:
1000X = 216,216216216...
Efetuando a subtração 1000X – X podemos obter a fração geratriz:
1000X – X = 216,216216216... – 0,216216216...
999X = 216
216 24
999 111X = =
Assim, a geratriz de 0,216 é a fração 24
111.
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� Casos onde existem números entre a vírgula e o iníc io da repetição:
Vejamos como obter a fração geratriz da dízima 1,327215215215... . Veja
que, neste caso, temos a repetição do termo 215. Entre a vírgula e o início da
repetição temos 3 números (327). Deste modo, chamando de X a fração geratriz,
temos:
X = 1,327215215215...
Multiplicando X por 1000 conseguimos deixar, à direita da vírgula, apenas os
termos que se repetem:
1000X = 1327,215215215...
E multiplicando X por 1000000 conseguimos passar a primeira repetição
“215” para o lado esquerdo da vírgula:
1000000X = 1327215,215215215...
Assim, podemos efetuar a seguinte subtração:
1000000X – 1000X = 1327215,215215215... - 1327,215215215...
999000X = 1327215 – 1327
999000X = 1325888
1325888
999000X =
Temos, portanto, a fração geratriz da dízima 1,327215215215... . Poderíamos
ainda simplificá-la, se quiséssemos.
1.1.3.1 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS
As quatro operações básicas que podemos efetuar com estes números são:
adição, subtração, multiplicação e divisão. Vejamos em detalhes cada uma delas.
Os conceitos vistos aqui também valem para os demais conjuntos numéricos, com
as devidas ressalvas que farei ao longo da explicação.
a) Adição:
A adição de dois números é dada pela soma destes dois números. Isto é, a
adição de 15 e 6 é:
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15 + 6 = 21
Você se lembra do método para se efetuar a soma de dois números? Vamos
exercitar efetuando a soma 728 + 46. Primeiramente, você deve posicionar estes
números um abaixo do outro, alinhados pela direita (casa das unidades):
728
+46
A seguir devemos começar a efetuar a soma pela direita. Somando 8 + 6
obtemos 14. Com isto, devemos colocar o algarismo das unidades (4) no resultado
e transportar o algarismo das dezenas (1) para a próxima soma:
1
728
+46
4
Agora, devemos somar os dois próximos números (2 + 4), e adicionar
também o número que veio da soma anterior (1). Assim, obtemos 7. Devemos
colocar este número no resultado:
728
+46
74
Temos ainda o algarismo 7 na casa das centenas do número 728. Como o
segundo número (46) não possui casa das unidades, podemos simplesmente levar
este 7 para o resultado, obtendo:
728
+46
774
Chegamos ao nosso resultado final. Antes de conhecermos a próxima
operação, vejamos as principais propriedades da operação de adição.
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- propriedade comutativa: dizemos que a adição de números racionais possui a
propriedade comutativa, pois a ordem dos números não altera a soma. Isto é, 728 +
46 é igual a 46 + 728.
- propriedade associativa: ao adicionar 3 ou mais números racionais, podemos
primeiramente somar 2 deles, e a seguir somar o outro, em qualquer ordem, que
obteremos o mesmo resultado. Logo, esta propriedade está presente na adição. Ex.:
2 + 5 + 7 = (2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7) = 14.
- elemento neutro: dizemos que o zero é o elemento neutro da adição, pois qualquer
número somado a zero é igual a ele mesmo. Ex.: 2 + 0 = 2; 45 + 0 = 45.
- propriedade do fechamento: esta propriedade nos diz que a soma de dois números
racionais SEMPRE gera outro número racionais. Ex: a soma dos números racionais
2 e 5 gera o número racional 7 (2 + 5 = 7).
b) Subtração: efetuar a subtração de dois números significa diminuir, de um deles,
o valor do outro. Isto é, subtrair 5 de 9 significa retirar 5 unidades de 9, restando 4
unidades:
9 – 5 = 4
Acompanhe a subtração abaixo para relembrar o método para a subtração de
números racionais (veja que, por simplicidade, estamos usando números inteiros
nos exemplos, que não deixam de ser também racionais). Vamos efetuar a
operação 365 – 97:
365
- 97
Observe que o primeiro passo é posicionar um número abaixo do outro,
alinhando as casas das unidades. Começamos a efetuar a subtração a partir da
casa das unidades. Como 5 é menor do que 7, não podemos subtrair 5 – 7.
Devemos, portanto, “pegar” uma unidade da casa das dezenas de 365. Levando
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este valor para a casa das unidades, temos 10 unidades, que somadas a 5 chegam
a 15 unidades. Agora sim podemos subtrair 15 – 7 = 8, e anotar este resultado:
365
- 97
8
Devemos agora subtrair as casas das dezenas. Devemos subtrair 5 – 9, e
não 6 – 9, pois já utilizamos uma unidade na primeira subtração acima. Como 5 é
menor que 9, devemos novamente “pegar” uma unidade da casa das centenas de
365, e somar ao 5. Assim, teremos 15 – 9 = 6. Vamos anotar este resultado:
365
- 97
68
Agora devemos subtrair a casa das centenas. Veja que não temos mais um 3
na casa das centenas de 365, e sim 2, pois já usamos uma unidade na operação
anterior. Como 97 não tem casa das centenas, basta levarmos este 2 para o
resultado:
365
- 97
268
E se quiséssemos efetuar a subtração 97 – 365? Neste caso, como 97 é
menor que 365, devemos:
- subtrair o menor número do maior, isto é, efetuar a operação 365 – 97;
- colocar o sinal negativo (-) no resultado.
Desta forma, 97 – 365 = -268. Vejamos as principais propriedades da
operação de subtração.
- propriedade comutativa: dizemos que a subtração de números racionais NÃO
possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números ALTERA o resultado.
Como vimos acima, 365 – 97 = 268, já 97 – 365 = -268.
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- propriedade associativa: a subtração NÃO possui essa propriedade, pois (A – B) –
C pode ser diferente de (C – B) – A
- elemento neutro: o zero é o elemento neutro da subtração, pois, ao subtrair zero
de qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 2 – 0 = 2.
- propriedade do fechamento: a subtração de números racionais possui essa
propriedade, pois a subtração de dois números racionais SEMPRE gera outro
número racional. Entretanto, repare que esta propriedade não se aplica aos
números naturais! Isto porque a subtração entre dois números naturais pode gerar
um número negativo, que não faz parte do conjunto dos naturais.
- elemento oposto: para todo número racional A, existe também o seu oposto, com
sinal contrário, isto é, -A. Exemplos de números opostos: 5 e -5, 29 e -29 etc.
Também podemos dizer que o elemento oposto de A é aquele número que, somado
a A, resulta em zero:
A + (-A) = 0
c) Multiplicação: a multiplicação nada mais é que uma repetição de adições. Por
exemplo, a multiplicação 15 x 3 é igual à soma do número 15 três vezes (15 + 15 +
15), ou à soma do número 3 quinze vezes (3 + 3 + 3 + ... + 3). Vejamos como
efetuar uma multiplicação:
57
x 13
Novamente alinhamos os números pela direita. Começamos multiplicando os
números das unidades: 3 x 7 = 21. Deixamos o algarismo das unidades (1) no
resultado, e levamos o algarismo das dezenas (2) para a próxima operação:
2
57
x 13
1
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Agora devemos multiplicar os número das unidades do segundo número (3)
pelo número das dezenas do primeiro número: 3 x 5 = 15. Antes de colocar este
valor no resultado, devemos adicionar o 2 que veio da operação anterior: 15 + 2 =
17. Assim, temos:
57
x 13
171
Agora devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número (1)
pelo algarismo das unidades do primeiro número (7): 1 x 7 = 7. Devemos levar este
número para o resultado, entretanto devemos colocá-lo logo abaixo do algarismo
das dezenas do segundo número (1). Veja:
57
x 13
171
7
A seguir, devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número
(1) pelo algarismo das dezenas do primeiro número (5): 1 x 5 = 5. Assim, temos:
57
x 13
171
57
Por fim, devemos somar as duas linhas de resultado, obtendo:
57
x 13
171
570
741
Veja que antes de efetuar a soma, colocamos um zero à direita do 57,
transformando-o em 570. Fazemos isto porque este resultado (57) surgiu da
multiplicação do algarismo das dezenas do multiplicador (13). Se fosse do algarismo
das centenas do multiplicador, colocaríamos 2 zeros, e assim por diante.
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É importante relembrar as regras de sinais na multiplicação de números.
Você deve se lembrar que:
- a multiplicação de números de mesmo sinal tem resultado positivo.
Ex.: 5 x 5 = 25, e (-5)x(-5) = 25.
- a multiplicação de números de sinais diferentes tem resultado negativo.
Ex.: 5x(-5) = -25.
Portanto, se tivéssemos multiplicado (-57) x 13, ou então 57 x (-13),
deveríamos obter -741. E se tivéssemos multiplicado (-57) x (-13) deveríamos obter
741.
Vejamos as principais propriedades da operação de multiplicação:
- propriedade comutativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois A x B é
igual a B x A, isto é, a ordem não altera o resultado (ex.: 3 x 5 = 5 x 3 = 15).
- propriedade associativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois (A x B) x C
é igual a (C x B) x A, que é igual a (A x C) x B etc. Ex.: (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) = (4 x
3) x 2 = 24.
- elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da multiplicação, pois ao
multiplicar 1 por qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 5 x 1 =
5.
- propriedade do fechamento: a multiplicação possui essa propriedade, pois a
multiplicação de números racionais SEMPRE gera um número racional (ex.: 5 x 7 =
35, que é racional).
- propriedade distributiva: apenas a multiplicação possui essa propriedade. Esta
propriedade nos permite dizer que:
Ax(B+C) = (AxB) + (AxC)
Exemplificando:
5x(3+7) = 5x(10) = 50
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ou, usando a propriedade:
5x(3+7) = 5x3 + 5x7 = 15+35 = 50
d) Divisão: quando dividimos A por B, queremos repartir a quantidade A em partes
de mesmo valor, sendo um total de B partes. Ex.: Ao dividirmos 10 por 2, queremos
dividir 10 em 2 partes de mesmo valor. No caso, 10 2 5÷ = . Vamos relembrar como
efetuar divisões com o caso abaixo, onde dividimos 715 por 18:
715 |18
Neste caso, chamamos o 715 de dividendo (número a ser dividido) e o 18 de
divisor (número que está dividindo o 715). Como o divisor possui 2 casas (18),
devemos tentar dividir as primeiras duas casas da esquerda do dividendo (71). Veja
que 18x4 = 72 (que já é mais que 71). Já 18x3 = 54. Assim, temos:
715 |18
3
Devemos multiplicar 3 por 18 e anotar o resultado abaixo de 71, e a seguir
efetuar a subtração:
715 |18
-54 3
17
Agora devemos “pegar” o próximo algarismo do dividendo (5):
715 |18
-54 3
175
Dividindo 175 por 18, temos o resultado 9. Devemos anotar o 9 no resultado,
à direita, e anotar o resultado da multiplicação 9 x 18 abaixo do 175, para
efetuarmos a subtração:
715 |18
-54 39
175
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-162
13
Agora temos o número 13, que é inferior ao divisor (18). Portanto,
encerramos a divisão. Obtivemos o quociente (resultado) 39 e o resto igual a 13.
Dizemos que esta divisão não foi exata, pois ela deixou um resto.
Observe que o dividendo (715) é igual à multiplicação do divisor (18) pelo
quociente (39), adicionada do resto (13). Isto é:
715 = 18 x 39 + 13
Como regra, podemos dizer que:
Dividendo = Divisor x Quociente + Resto
As regras de sinais na divisão de números racionais são as mesmas
da multiplicação:
- a divisão de números de mesmo sinal tem resultado positivo.
- a divisão de números de sinais diferentes tem resultado negativo.
Portanto, se tivéssemos dividido (-10) por 2, ou então 10 por (-2),
deveríamos obter -5. E se tivéssemos dividido (-10) por (-2) deveríamos obter 5.
Vejamos as principais propriedades da operação de divisão:
- propriedade comutativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois A / B pode
ser diferente de B / A. Ex.: 2 / 5 = 0,4; e 5 / 2 = 2,5.
- propriedade associativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois (A / B) / C
pode ser diferente de (C / B) / A. Ex.: (2/5)/3 é diferente de (3/5)/2.
- elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da divisão, pois ao dividir
qualquer número por 1, o resultado será o próprio número. Ex.: 5 / 1 = 5.
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- propriedade do fechamento: a divisão possui essa propriedade, pois a divisão de
números racionais SEMPRE gera um número racional (ex.: 2 / 100 = 0,02; que é
racional). Entretanto, utilizando este mesmo exemplo vemos que a propriedade do
fechamento NÃO está presente na divisão de números inteiros e também de
números naturais.
Para sedimentar seus conhecimentos, segue uma tabela-resumo sobre as
propriedades das operações com números racionais:
Elem.
Neutro Comut. Assoc. Fecham.
Distributiva
Adição zero Sim Sim Sim Não:
( ) ( ) ( )A B C A B A C+ + ≠ + + +
Multiplicação 1 Sim Sim Sim Sim:
( ) ( ) ( )A B C A B A C× + ≠ × + ×
Subtração zero Não Não Sim
Não:
( ) ( ) ( )A B C A B A C− + ≠ − + −
Divisão 1 Não Não Sim Não:
( ) ( ) ( )A B C A B A C÷ + ≠ ÷ + ÷
1.1.3.2 Operações com frações
Ao trabalhar com números racionais, recorrentemente estaremos lidando com
frações, que nada mais são que operações de divisão. Escrever
2
5 é equivalente a
escrever 2 5÷ . As frações estão constantemente presentes na resolução de
exercícios, motivo pelo qual é essencial lembrar como efetuamos cada operação
com elas: soma, subtração, multiplicação e divisão.
a) Para somar ou subtrair frações, é preciso antes escrevê-las com o mesmo
denominador, isto é, com um denominador comum. Este denominador é,
simplesmente, um múltiplo comum entre os denominadores das frações originais.
Falaremos sobre múltiplos adiante, de modo que aqui veremos apenas o básico.
Vamos entender isto com o exemplo abaixo:
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1 3
6 8+
Veja o número 24 é um múltiplo de 6 (pois 6x4 = 24) e de 8 (pois 8x3 = 24).
Para trocar o denominador da fração 1
6 para 24, é preciso multiplicar o
denominador 6 por 4. Assim, também devemos multiplicar o numerador 1 por 4,
para manter a fração. Portanto, 1 4
6 24= .
Já para trocar o denominador da fração 3
8 para 24, é preciso multiplicar o
denominador 8 por 3. Assim, também devemos multiplicar o numerador 3 por 3,
para manter a fração. Portanto, 3 9
8 24= .
Agora sim podemos efetuar a soma:
1 3 4 9 4 9 13
6 8 24 24 24 24
++ = + = =
b) Para multiplicar frações, basta multiplicar o numerador de uma pelo numerador
da outra, e o denominador de uma pelo denominador da outra. Veja nosso exemplo:
1 3 1 3 3
6 8 6 8 48
×× = =×
c) Para dividir frações, basta multiplicar a primeira pelo INVERSO da segunda. Veja
isso em nosso exemplo:
11 3 1 8 86
3 6 8 6 3 188
= ÷ = × =
*** Dica importantíssima: trabalhando com frações, normalmente podemos
substituir a expressão “de” pela multiplicação. Veja como:
- quanto é um terço de 1000? Ora, simplesmente 1
10003
× !
- e quanto é dois sétimos de 25? A resposta é 2
257
× .
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- quanto vale um quarto da soma do número de homens (700) e de mulheres (600)
presentes em um evento? Simplesmente 1
(700 600)4
× + .
- por fim, quanto vale 5/9 da diferença entre os números X e Y? Aqui, a resposta é
dada pela expressão 5
( )9
X Y× − .
Certifique-se de que você entendeu isso. Usaremos bastante ao longo dos
exercícios!
1.1.3.3 Operações com números decimais
Os números decimais são, em regra, aqueles que resultam da divisão não-
exata de dois números inteiros. São os números que possuem “casas após a
vírgula”. A manipulação deles é essencial para a resolução de diversas questões,
motivo pelo qual você precisa saber somá-los, subtraí-los, multiplicá-los, dividi-los,
elevá-los a potências e extrair raízes dos mesmos. Vejamos cada uma dessas
operações em detalhes.
a) Adição de números decimais:
A adição de dois números decimais segue a mesma lógica da adição comum.
Isto é:
- os números devem ser posicionados um embaixo do outro, com a vírgula logo
abaixo da vírgula do outro, e as casas correspondentes uma embaixo da outra
- as casas correspondentes devem ser somadas, começando da direita para a
esquerda.
- à medida que forem sendo formadas dezenas, estas devem ser transferidas para a
próxima adição (das casas logo à esquerda).
Vamos aplicar estes passos na adição de 13,47 e 2,9. Colocando os números
um embaixo do outro, com a vírgula uma embaixo da outra, temos todas as casas
correspondentes em uma mesma vertical:
13,47
+ 2,9
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Veja que a casa das unidades do primeiro número (3) está logo acima da
casa das unidades do segundo número (2). A primeira casa decimal do primeiro
número (4) está logo acima da primeira casa decimal do segundo (1). E assim por
diante. Como não há casa decimal abaixo do 7, podemos considerá-la igual a 0.
Agora, basta começar a somar as casas correspondentes, começando pelas da
direita, anotando o resultado. Quando houver a formação de dezenas (ex.: 4 + 9 =
13), a dezena (1) deve ser transferida para a próxima operação (3 + 2). Com isso,
temos:
13,47
+ 2,9
16,37
b) Subtração de números decimais:
Aqui também devemos posicionar os números um abaixo do outro, com a
vírgula do primeiro na mesma vertical da vírgula do segundo número. A seguir
devemos subtrair as casas correspondentes, da direita para a esquerda. Vejamos:
13,47
- 2,9
10,57
Repare, neste exemplo, que no momento de efetuar a subtração 4 – 9 foi
preciso pegar uma unidade da casa à esquerda do 4 (no caso, o 3) e “transformá-la”
em uma dezena, somando-a ao 4. Assim, subtraimos 14 – 9, obtendo o resultado 5.
A seguir, ao invés de subtrair 3 – 2, tivemos que subtrair 2 – 2 pois uma unidade do
“3” já havia sido utilizada.
c) Multiplicação de números decimais:
Aqui aplicamos o mesmo procedimento da multiplicação comum, com duas
observações:
- devemos posicionar os números assim como fizemos na adição e na subtração,
isto é, com a vírgula de um logo abaixo da vírgula do outro.
- o número de casas decimais do resultado será igual à soma do número de casas
decimais dos dois números sendo multiplicados. Assim você saberá posicionar a
vírgula.
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Vejamos o nosso exemplo:
13,47
x 2,9
12123
+ 26940
39,063
Repare que a primeira linha abaixo do 2,9 refere-se à multiplicação de 13,47
por 9. Já a segunda linha refere-se à multiplicação de 13,47 por 2. Nesta linha há
um 0 à direita porque o 2 está uma casa decimal à frente do 9. Efetuando a soma
das duas linhas, obtém-se 39063. E, lembrando que existem 3 casas decimais nos
números sendo multiplicados (duas em 13,47 e uma em 2,9), devemos ter 3 casas
decimais no resultado, o que leva ao número 39,063.
d) Divisão de números decimais:
Para efetuar a divisão de números decimais, devemos inicialmente multiplicar
ambos os números (divisor e dividendo) por uma potência de 10 (10, 100, 1000,
10000 etc.) de modo a retirar todas as casas decimais presentes. Após isso, é só
efetuar a operação normalmente.
Para exemplificar, vamos dividir 3,5 por 0,25. Observe que o número que
possui mais casas decimais é o divisor (0,25), possuindo 2 casas decimais. Assim,
devemos multiplicar ambos os números por 100, de modo a retirar ambas as casas
decimais:
3,5 x 100 = 350
0,25 x 100 = 25
Agora, basta efetuar a divisão de 350 por 25, que você sabe fazer, tendo
como resultado o número 14.
0. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO – NÚMEROS DECIMAIS) Para fixar o que foi visto
aqui, efetue as seguintes operações, cujo gabarito é fornecido em seguida.
a) 2,25 + 1,7
b) 2,25 – 1,7
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c) 2,25 x 1,7
d) 2,25 / 1,5
e) 0,898 + 1,12
f) 0,898 – 1,12
g) 0,898 x 1,12
h) 0,898 / 0,01
Respostas:
a) 3,95
b) 0,55
c) 3,825
d) 1,5
e) 2,018
f) -0,222
g) 1,00576
h) 89,8
1.1.3.4 REPRESENTAÇÃO NA RETA
Veja abaixo a reta numérica, onde podemos representar todos os números
racionais. As setas nas extremidades denotam que a reta cresce infinitamente para
ambos os lados:
É possível localizar a posição exata de um número racional na reta numérica,
ainda que ele seja fracionário. Por exemplo, vamos localizar o número 34
, ou 0,75
(na forma decimal). Na reta numérica, basta dividirmos o espaço entre 0 e 1 em
quatro partes, e colocar o número 34
ao final da terceira delas:
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1.1.4 NÚMEROS IRRACIONAIS
Atenção: o edital não cobra explicitamente o conjunto dos Números
Irracionais, entretanto é fundamental conhecê-los (superficialmente) para entender
os Números Reais.
Os Números Irracionais são aqueles que, ao contrário dos Racionais, não
podem ser obtidos da divisão de dois inteiros, ou seja, não podem ser escritos na
forma (onde A e B são números inteiros). Isto porque esses números são
formados por uma seqüência infinita de algarismos.
Exemplo: na obtenção da raiz quadrada do algarismo 2, nos deparamos com
um número irracional:
(as reticências indicam que este número é composto por infinitos algarismos)
Da mesma forma, o conhecido número (“pi”), muito utilizado na
trigonometria, possui infinitas casas decimais que não se repetem como em uma
dízima periódica, o que faz dele um número irracional:
Não entraremos no estudo das propriedades dos números irracionais, uma
vez que eles não foram citados no edital. Entretanto, devo fazer uma observação a
respeito da representação desses números na reta numérica:
- não é possível localizar precisamente um número irracional na reta numérica. Isto
porque esses números tem infinitas casas decimais que não se repetem, não sendo
possível escrevê-los na forma AB
e usar o mesmo método que vimos para localizar
os números racionais.
Obs.: existem formas indiretas para a localização desses números na reta com boa
precisão. Ex.: sabemos que a diagonal de um quadrado de lados iguais a 1 mede
exatamente 2 , que é um número irracional. Portanto, basta desenhar esse
quadrado, pegar a sua diagonal e utilizá-la para medir, na reta numérica, a distância
entre a origem (zero) e a posição onde deve estar o número 2 .
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1.1.5 NÚMEROS REAIS
O conjunto dos Números Reais é formado pela união dos números Racionais
e Irracionais. Desta forma, podemos dizer que:
(O conjunto dos Números Naturais está contido no dos Inteiros, que está contido no
dos Racionais, que está contido no dos Reais)
E, além disso,
(O conjunto dos Números Irracionais está contido no dos Números Reais)
Complementando o diagrama que desenhamos nos tópicos acima, agora
temos:
No diagrama acima, Q/R significa que aquele subconjunto pertence aos
Números Racionais e Reais, e I/R significa que aquele subconjunto pertence aos
Números Irracionais e Reais.
1.1.5.1 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
As propriedades das operações com números reais são as mesmas já vistas
para os racionais.
1.1.5.2 REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS REAIS NA RETA
Dado que os números reais são formados por 2 subconjuntos (racionais e
irracionais), sabemos que alguns números reais podem ser posicionados
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precisamente na reta numérica (os racionais) e outros não podem ser localizados
exatamente (os irracionais).
1. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Marque certo (C) ou errado (E) nas afirmações
abaixo:
( ) Todo número racional é real, porém nem todo número real é racional
( ) Todo número natural é também inteiro, e todo número irracional não é inteiro
( ) -1520 é um número natural, inteiro, racional e real
( ) 72 é um número natural, inteiro, racional e real
( ) 4 é um número natural, inteiro, racional e real
( ) 6 é um número irracional e real
( ) 0,789789789... é um número irracional e real
( ) 56
é um número racional, porém não é inteiro nem natural
( ) 126
é um número natural e inteiro
( ) A multiplicação de dois números naturais resulta sempre em um número natural
( ) A subtração entre dois números naturais resulta sempre em um número natural
( ) O elemento neutro da multiplicação e divisão é o número 1, enquanto o da
adição e subtração é o 0
( ) A propriedade distributiva aplica-se tanto à adição quanto à multiplicação
( ) A propriedade associativa está presente na adição e na multiplicação, porém
não é válida na subtração e na divisão
( ) A soma de um número racional com um número irracional tem como resultado
um número irracional
( ) É possível localizar o número 11 exatamente na reta numérica
( ) O módulo de um número é igual ao módulo de seu oposto
( ) Todo número inteiro tem um sucessor e um antecessor
( ) Todo número natural positivo tem um sucessor e um antecessor
( ) O conjunto dos números inteiros não negativos é equivalente ao conjunto dos
números naturais positivos
( ) Os números decimais, desde que representados com um número finito de casas
decimais, fazem parte do conjunto dos números racionais
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( ) 53,2% é um número racional, porém não é um número inteiro
( ) Sabendo que o número de Euler é e = 2,718281828459045235360287..., ele
deve ser um número real
( ) Nos conjuntos dos números inteiros e racionais, a adição e a subtração
possuem a propriedade do fechamento, entretanto o mesmo não ocorre no conjunto
dos números naturais
( ) A divisão de números inteiros sempre gera um número racional, porém não
necessariamente inteiro.
RESOLUÇÃO: Vamos examinar cada alternativa rapidamente. Se tiver dúvidas,
sugiro que você volte no tópico de teoria específico.
( ) Todo número racional é real, porém nem todo número real é racional
Certo. Q está contido em R, porém há números reais que não são racionais
(ex.: números irracionais).
( ) Todo número natural é também inteiro, e todo número irracional não é inteiro
Certo. Sobre a segunda parte, veja que todo número irracional possui infinitas
casas decimais, logo não pode ser inteiro.
( ) -1520 é um número natural, inteiro, racional e real
Errado. –1520 é negativo, logo não pode ser natural (porém é inteiro, racional
e real).
( ) 72 é um número natural, inteiro, racional e real
Certo.
( ) 4 é um número natural, inteiro, racional e real
Certo, pois 4 = 2, que é natural.
( ) 6 é um número irracional e real
Certo, pois 6 não é exata, sendo formada por infinitas casas decimais.
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( ) 0,789789789... é um número irracional e real
Errado, pois trata-se de uma dízima periódica, sendo portanto um número
racional.
( ) 56
é um número racional, porém não é inteiro nem natural
Certo.
( ) 126
é um número natural e inteiro
Certo, pois 126
= 2, que é natural e inteiro.
( ) A multiplicação de dois números naturais resulta sempre em um número natural
Certo. Essa é a propriedade do fechamento na multiplicação de números
naturais.
( ) A subtração entre dois números naturais resulta sempre em um número natural
Errado. Ex.: 5 – 7 = -2 (negativo, portanto não natural)
( ) O elemento neutro da multiplicação e divisão é o número 1, enquanto o da
adição e subtração é o 0
Certo.
( ) A propriedade distributiva aplica-se tanto à adição quanto à multiplicação
Errado. Somente à multiplicação.
( ) A propriedade associativa está presente na adição e na multiplicação, porém
não é válida na subtração e na divisão
Certo.
( ) A soma de um número racional com um número irracional tem como resultado
um número irracional
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Certo. Um número irracional tem uma quantidade infinita de casas decimais
(que não se repetem numa ordem definida). Ao somar com um número racional, o
resultado terá também um número infinito de casas decimais, sendo impossível
escrevê-lo na forma AB
(pois não será uma dízima periódica). Veja um exemplo:
3
22
1,5 1,41421356...
2,91421356...
+ =
+ =
( ) É possível localizar o número 11 exatamente na reta numérica
Errado. Trata-se de um número irracional.
( ) O módulo de um número é igual ao módulo de seu oposto
Certo. |A| = |-A|
( ) Todo número inteiro tem um sucessor e um antecessor
Certo.
( ) Todo número natural positivo tem um sucessor e um antecessor
Certo. No conjunto dos números naturais, todos tem um sucessor, e apenas
o zero não tem antecessor. Entretanto, como o item mencionou apenas os números
naturais positivos, podemos excluir o caso do zero.
( ) O conjunto dos números inteiros não negativos é equivalente ao conjunto dos
números naturais positivos
Errado. A diferença é a presença ou não do zero. Veja:
- números inteiros não negativos = {0, 1, 2, 3, 4, 5...}
- números naturais positivos = {1, 2, 3, 4, 5...}
( ) Os números decimais, desde que representados com um número finito de casas
decimais, fazem parte do conjunto dos números racionais
Certo. Veja no material teórico os 3 tipos de números racionais (fracionários,
decimais e dízimas periódicas).
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( ) 53,2% é um número racional, porém não é um número inteiro
Certo. 53,2% escrito na forma decimal corresponde a 0,532. Portanto, possui
número finito de casas decimais, sendo racional, porém não inteiro.
( ) Sabendo que o número de Euler é e = 2,718281828459045235360287..., ele
deve ser um número real
Certo. Trata-se de um número irracional, que também pertence ao conjunto
dos números reais.
( ) Nos conjuntos dos números inteiros e racionais, a adição e a subtração
possuem a propriedade do fechamento, entretanto o mesmo não ocorre no conjunto
dos números naturais
Certo.
( ) A divisão de números inteiros sempre gera um número racional, porém não
necessariamente inteiro.
Certo, pois a própria definição dos números racionais diz que todos os
números na forma AB
, onde A e B são inteiros, faz parte daquele conjunto.
Entretanto, a divisão AB
pode resultar em um número inteiro (ex.: 6
32
= ) ou não
(ex.: 5
2,52
= ).
1.2 Sistemas de medidas usuais
Uma unidade de medida é uma quantidade de uma grandeza física que é
usada como um “padrão” para a medida de outras quantidades da mesma
grandeza. Por exemplo, o “metro” é uma quantidade específica da grandeza física
“comprimento”, sendo utilizado para medir o comprimento de outros corpos. Para
cada grandeza física, é definida uma unidade padrão de medida.
Para lidar com comprimento, área, volume, massa, tempo e dinheiro, você
precisa conhecer:
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- qual a unidade padrão de medida daquela grandeza;
- quais os principais múltiplos e submúltiplos da unidade padrão de medida;
- como converter uma medida de um múltiplo para outro.
1.2.1 Medidas de comprimento
A unidade padrão de medida de comprimento é o metro, representado pela
letra m. Um metro é dividido em 10 decímetros, que por sua vez é dividido em 10
centímetros, que por sua vez é dividido em 10 milímetros. Assim, podemos dizer
que 1 metro é dividido em 100centímetros (10x10), ou em 1000milímetros. Por outro
lado, podemos dizer que 1 decímetro é igual a 1
10 metro (0,1 metro), 1 centímetro é
igual a 1
100 metro (0,01 metro), e 1 milímetro é equivalente a 0,001 metro.
Por sua vez, 10 metros equivalem a 1 decâmetro. 10 decâmetros equivalem
a 1 hectômetro, e 10 hectômetros equivalem a 1 quilômetro. Veja isso na tabela
abaixo:
Milímetro
(mm)
Centímetro
(cm)
Decímetro
(dm)
Metro
(m)
Decâmetro
(dam)
Hectômetro
(hm)
Quilômetro
(km)
1000mm 100cm 10dm 1m 0,1dam 0,01hm 0,001km
Portanto, se tivermos o valor de um comprimento em qualquer dessas
unidades, vejamos como obtê-lo em outra unidade. Pela tabela acima, repare que
para “andar” para a direita, basta dividir o número por 10 (por ex.: 10dm/10 = 1m). E,
para “andar” para a esquerda, basta multiplicar por 10 (por ex.: 0,001km x 10 =
0,01hm).
Sabendo disso, vamos escrever 15 centímetros na unidade hectômetros.
Veja que precisamos andar 4 “casas” para a direita (passando por dm, m, dam e
chegando em hm). Portanto, precisamos dividir por 10 quatro vezes em sequência:
15cm / 10 = 1,5dm
1,5dm / 10 = 0,15m
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0,15m / 10 = 0,015dam
0,015dam / 10 = 0,0015hm
Portanto, 15 centímetros equivalem a míseros 0,0015 hectômetros. Da
mesma forma, se quiséssemos escrever 15 hectômetros em centímetros,
precisaríamos andar 4 casas para a esquerda, portanto, precisaríamos multiplicar o
número 15 por 10 quatro vezes seguidas, obtendo a quantia de 150000cm.
1.2.2 Medidas de área
A unidade padrão de medida de área é o metro quadrado, representado pelo
símbolo 2m . Veja a tabela de conversão do metro quadrado em seus múltiplos e
submúltiplos:
Milímetro
quadrado
(mm 2)
Centímetro
quadrado
(cm 2)
Decímetro
quadrado
(dm 2)
Metro
quadrado
(m2)
Decâmetro
quadrado
(dam 2)
Hectômetro
quadrado
(hm 2)
Quilômetro
quadrado
(km 2)
1.000.000mm2 10.000cm2 100dm2 1m2 0,01dam2 0,0001hm2 0,000001km2
Repare que agora, ao andar uma casa para a direita, devemos dividir por
100, e ao andar uma casa para a esquerda, devemos multiplicar por 100, para
garantir que obtenhamos a conversão correta.
Sabendo disso, vamos escrever 15 centímetros quadrados na unidade
hectômetros quadrados. Precisamos andar 4 “casas” para a direita (passando por
dm2, m2, dam2 e chegando em hm2). Portanto, precisamos dividir por 100 quatro
vezes em sequência:
15cm2 / 100 = 0,15dm2
0,15 dm2 / 100 = 0,0015m2
0,0015m2 / 100 = 0,000015dam2
0,000015dam2 / 100 = 0,00000015hm2
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Portanto, 15 centímetros quadrados equivalem a apenas 0,00000015
hectômetros quadrados. Da mesma forma, se quiséssemos escrever 15
hectômetros quadrados em centímetros quadrados, precisaríamos andar 4 casas
para a esquerda, portanto, precisaríamos multiplicar o número 15 por 100 quatro
vezes seguidas, o que equivale a escrever o número 15 seguido de 8 zeros (4 x 2),
obtendo a quantia de 1500000000cm2.
1.2.3 Medidas de volume
Já a unidade padrão de medida de volume é o metro cúbico, representado
pelo símbolo 3m . Veja a tabela de conversão do metro cúbico em seus múltiplos e
submúltiplos:
Milímetro
cúbico (mm 3)
Centím etro
cúbico
(cm 3)
Decímetro
cúbico
(dm 3)
Metro
cúbico
(m3)
Decâmetro
cúbico
(dam 3)
Hectômetro
cúbico
(hm 3)
Quilômetro
cúbico (km 3)
1000000000mm3 1000000cm3 1000dm3 1m3 0,001dam3 0,000001hm3 0,000000001km3
Repare que agora, ao andar uma casa para a direita, devemos dividir por
1000, e ao andar uma casa para a esquerda, devemos multiplicar por 1000, para
obter a conversão correta.
Sabendo disso, vamos escrever 15 centímetros cúbicos na unidade
hectômetros cúbicos. Precisamos andar 4 “casas” para a direita (passando por dm3,
m3, dam3 e chegando em hm3). Portanto, precisamos dividir por 1000 quatro vezes
em sequência:
15cm3 / 1000 = 0,015dm3
0,015dm3 / 1000 = 0,000015m3
0,000015m3 / 1000 = 0,000000015dam3
0,000000015dam3 / 1000 = 0,000000000015hm3
Portanto, 15 centímetros cúbicos equivalem a apenas 0,000000000015
hectômetros cúbicos. Da mesma forma, se quiséssemos escrever 15 hectômetros
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cúbicos em centímetros cúbicos, precisaríamos andar 4 casas para a esquerda,
portanto, precisaríamos multiplicar o número 15 por 1000 quatro vezes seguidas, o
que equivale a escrever o número 15 seguido de 12 zeros (4 x 3), obtendo a quantia
de 15.000.000.000.000cm3 (quinze trilhões de centímetros cúbicos).
Para finalizar o estudo de unidades de volume, é importante você conhecer
outra unidade muito utilizada: o litro. Sabendo que 1 litro é igual a 1dm3 (decímetro
cúbico), você consegue descobrir outros valores facilmente. Veja que, como
1000dm3 = 1 m3, podemos dizer que 1000 litros = 1m3.
1.2.4 Medidas de tempo
A unidade padrão de medida de tempo é o segundo, representado pelo
símbolo s. Aqui não trabalharemos da mesma forma que as demais unidades de
medida, pois normalmente não contamos o tempo em múltiplos de 10. De qualquer
forma, é importante você conhecer o milissegundo (ms): 1 segundo corresponde a
1000ms.
As principais unidades de tempo que utilizamos, além do segundo, são o
minuto, a hora e o dia. Veja-os na tabela abaixo
Milissegundo
(ms)
Segundo
(s)
Minuto
(min) Hora (h) Dia
1.000ms = 1s 1s 1 min = 60s 1 h = 60 min 1 dia = 24 h
Note que 1 hora equivale a 3600 segundos (60 x 60). E 1 dia corresponde a
1440 minutos (24 x 60). Para exercitar-nos, vamos escrever 2 horas na unidade
segundos. Para isso, podemos utilizar algumas regras de três:
1 hora ------------------------------- 60 minutos
2 horas ----------------------------- X minutos
1 2 60
120minutos
X
X
× = ×=
Continuando, temos:
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1 minuto ---------------------- 60 segundos
120 minutos------------------ Y segundos
1 120 60
7200segundos
Y
Y
× = ×=
1.2.5 Medidas de massa
A unidade padrão de medida de massa é o grama (e não o quilograma!),
representado pelo símbolo g. Veja a tabela de conversão do grama em seus
múltiplos e submúltiplos:
Miligrama
(mg)
Centigrama
(cg)
Decigrama
(dg)
Grama
(g)
Decagrama
(dag)
Hectograma
(hg)
Quilograma
(kg)
1.000mg 100cg 10dg 1g 0,1dag 0,01hg 0,001kg
Assim como no caso das medidas de comprimento, ao andar uma casa para
a direita, devemos dividir por 10, e ao andar uma casa para a esquerda, devemos
multiplicar por 10, para obter a conversão correta.
Sabendo disso, observe que 15 centigramas corresponderão a 0,0015
hectogramas (basta dividir por 10 quatro vezes seguidas). Da mesma forma, 15
hectogramas corresponderão a 150.000 centigramas (multiplique por 10 quatro
vezes seguidas, ou coloque 4 zeros após o 15).
Você já deve ter ouvido falar na tonelada métrica, ou simplesmente tonelada
(ton). Uma tonelada equivale a 1.000 quilogramas. Portanto, para obter o valor de 1
tonelada em gramas, basta multiplicar 1.000 por 10 três vezes seguidas (de kg para
hg, de hg para dag, e de dag para g), chegando a 1.000.000 gramas.
2. Exercício de fixação – Unidades) Efetue as conversões de unidades solicitadas:
a) 5litros para m3
b) 10dam em cm
c) 40hm2 em km2
d) 2 dias em minutos
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e) 36 horas em dias
f) 150 milissegundos em segundos
g) 20 cm3 em m3
h) 15dag em hg
Respostas:
a) 0,005m3
b) 10000cm
c) 0,40km2
d) 2880minutos
e) 1,5dias
f) 0,150s
g) 0,000020 cm3
h) 1,5hg
1.3 Regra de três simples
A regra de três simples é uma ferramenta essencial na resolução de várias
questões. Apesar de a aula 03 ser dedicada ao estudo da proporcionalidade, vamos
neste momento relembrar os conceitos mais básicos para já começar a resolver
exercícios requeiram este assunto.
Imagine uma empresa onde o salário dos profissionais é diretamente
proporcional ao tempo de serviço. Isso quer dizer que, à medida que o tempo de
serviço aumenta, o salário do profissional também aumenta, e vice-versa. Esse
crescimento ocorre de maneira proporcional, isto é, de maneira a manter a mesma
razão entre o salário e o tempo trabalhado. Assim, se S1 é o salário de um
empregado e T1 é o tempo trabalhado por ele atualmente, e S2 é o salário de outro
empregado que já trabalhou pelo período T2.
Neste caso, podemos montar uma regra de três simples para relacionar
essas grandezas:
Tempo...........................................Salário
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T1 S1
T2 S2
As setas apontadas no mesmo sentido indicam que as duas grandezas
aumentam (ou diminuem) juntas, ou seja, são diretamente proporcionais. Uma vez
montada essa regra de três, basta usar a “multiplicação cruzada”, isto é, multiplicar
os termos das diagonais para obter a seguinte igualdade:
1 2 2 1T S T S× = ×
Vamos usar números para entender melhor esse exemplo: nessa empresa
onde salários e tempos de serviço são diretamente proporcionais, João tem 5 anos
de serviço e ganha R$1000 por mês. Se o salário de Kléber é de R$1500 por mês,
há quanto tempo ele trabalha nesta empresa?
Temos duas grandezas envolvidas (tempo trabalhado e salário). Para encontrar
o tempo trabalhado por Kléber (que chamaremos de T), montamos a seguinte regra
de três:
Tempo (anos)...........................................Salário (reais)
5 1000
T 1500
Assim, basta multiplicar os termos de uma diagonal (5 x 1500) e igualar à
multiplicação dos termos da outra diagonal (T x 1000):
5 1500 1000
7500 1000
75007,5
1000
T
T
T
× = ×= ×
= =
Portanto, Kléber trabalha na empresa há 7,5 anos.
Depois de tanta teoria, vejamos uma bateria de exercícios para ajudar na
fixação dos temas tratados nesta aula.
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2. Resolução de questões
3. FGV – BESC – 2004) Quantos mililitros há em um milímetro cúbico?
(A) 103
(B) 1
(C) 10−3
(D) 10−6
(E) 10−9
RESOLUÇÃO:
Aqui devemos começar nos lembrando que 1 litro equivale a 1 decímetro
cúbico:
1 litro -------------------------- 1dm3
Sabemos também que 1 litro equivale a 1000 mililitros (1000ml). Fazendo
essa substituição na relação acima, temos:
1000ml -------------------------- 1dm3
Por outro lado, 1dm3 equivale a 1000cm3, que equivale a 1.000.000mm3.
Fazendo essa substituição na relação acima, temos:
1000ml -------------------------- 1000000mm3
ou melhor,
103ml ---------------------106mm3
Igualando essas duas grandezas, temos:
103ml = 106mm3
Como o enunciado pede o equivalente a 1mm3, podemos dividir ambos os
lados da equação acima por 106. Veja: 3 6 3
3 63
6 6
3 3
10 10
10 1010 1010 1
ml mm
ml mm
ml mm−
=
=
=
Portanto, 1mm3 equivale a 10-3ml.
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Resposta: C
4. FCC – PREF. SÃO GONÇALO – 2011 Adaptada) Uma caixa d’água tem 2,4m3
de volume. A caixa está vazia, e uma torneira começa a enchê-la a uma razão
constante de 15 litros por minuto. O tempo em que a torneira deve ficar aberta para
que a caixa fique cheia é de:
a) 2 horas
b) 2 horas e 20 minutos
c) 2 horas e 40 minutos
d) 3 horas
e) 3 horas e 30 minutos
RESOLUÇÃO:
Veja que o volume da caixa está em metros cúbicos, enquanto a vazão
(quantidade de água que jorra da torneira por minuto) está em litros. Devemos
trabalhar com apenas 1 unidade. Neste caso, vamos transformar 2,4m3 em litros.
Veja:
1m3------------------------------------------1000 litros
2,4m3-------------------------------------------X litros
1 2,4 1000
2400
X
X litros
× = ×=
Agora sim, observe que a torneira é capaz de encher 15 litros em 1 minuto.
Para calcular o tempo que ela leva para encher 2400 litros, usamos a regra de três
abaixo:
15 litros ---------------------------------------- 1 minuto
2400 litros ------------------------------------ T minutos
15 2400 1
2400160min.
15
T
T
× = ×
= =
Portanto, a torneira leva 160 minutos para encher a caixa. Entretanto, as
respostas estão em horas e minutos. Sabemos que 60 minutos correspondem a 1
hora, 120 minutos a 2 horas, e 180 minutos a 3 horas. Portanto, temos 2 horas e
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mais 40 minutos (letra C). Você poderia ter usado regras de três, se preferisse.
Veja:
1 hora ------------------------------ 60 minutos
X horas-----------------------------160 minutos
160 120 40 402
60 60 60X
+= = = + horas
Agora basta separar a parte inteira (2 horas) e fazer a seguinte regra de três
com a parte fracionária:
1 hora------------------------------- 60 minutos
4060
horas--------------------------- M minutos
4060 40min.
60M = × =
Portanto, temos 2 horas e 40 minutos.
Resposta: C
5. FCC – TRT/9ª – 2010 – Adaptada) Simplifique a expressão abaixo:
−−
−
13
13
13
3
RESOLUÇÃO:
Acompanhe os passos abaixo:
− = − = − =− − −−−
− = − = − = − =−− × −
−− × = − = =
1 1 13 3 3
1 1 13 3 3
1 9 1 83
3 3 3
1 1 1 13 3 3 3
3 3 24 3 213 1 3
8 8 8 8
8 8 63 8 553 1 3
21 21 21 21
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Resposta: 55/21
6. VUNESP – Pref. São Carlos/SP – 2012) De um trajeto, percorri um terço de
skate, três oitavos de bicicleta, um quarto de patins e os últimos 100 metros a pé. O
trajeto todo percorrido tem
(A) 2 km.
(B) 2,1 km.
(C) 2,2 km.
(D) 2,3 km.
(E) 2,4 km.
RESOLUÇÃO:
Chamemos de T o tamanho do trajeto. Um terço de T, ou seja, 1
3T foram
percorridos de skate. Da mesma forma, 3
8T foram percorridos de bicicleta,
1
4T
foram percorridos de patins. Até aqui temos:
1 3 1
3 8 4T T T+ +
Para efetuarmos esta soma, precisamos calcular um denominador comum,
que deve ser um múltiplo de 3, 8 e 4. Veja que 24 é um múltiplo desses três
números. Assim, temos:
1 3 1
3 8 4
8 9 6
24 24 24
8 9 6
24
23
24
T T T
T T T
T
T
+ + =
+ + =
+ + =
Veja que foram percorridos 23
24T até aqui. Para completar T, falta:
23 24 23 1
24 24 24 24T T T T T− = − =
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Repare que este restante (1
24T ) corresponde aos 100 metros finais.
Portanto,
1100
24T m=
24 100 2400T m m= × =
T = 2,4km
Resposta: E
7. VUNESP – Pref. São Carlos/SP – 2012) As temperaturas da semana passada,
em Roma, foram anotadas na tabela a seguir.
A maior oscilação de temperatura ocorreu de
(A) segunda para terça-feira.
(B) terça para quarta-feira.
(C) quarta para quinta-feira.
(D) quinta para sexta-feira.
(E) sexta para sábado.
RESOLUÇÃO:
Para calcularmos a oscilação de temperatura de um dia para o outro, basta
subtrairmos uma temperatura da outra. Veja:
Dias da semana Oscilação de temperatura
Segunda para terça 8 – (-3) = 8 + 3 = 11
Terça para quarta -7 – (-3) = -7 + 3 = -4
Quarta para quinta 1 – (-7) = 1 + 7 = 8
Quinta para sexta 5 – 1 = 4
Sexta para sábado 0 – 5 = -5
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Portanto, veja que a maior oscilação ocorreu de segunda para terça feira,
quando a temperatura caiu 11 graus (de 8 para -3).
Resposta: A
8. VUNESP – Pref. São Carlos/SP – 2012) O saldo de gols de uma equipe de
futebol na 10.ª rodada era de – 6 gols. Na 11.ª rodada, essa equipe ganhou de 3 x
1, na 12.ª rodada, ela perdeu por 4 x 0 e na 13.ª rodada, ganhou de 2 x 1. Ao final
da 13.ª rodada, o saldo de gols* dessa equipe era de:
* Saldo de gols é a diferença entre os gols marcados e sofridos por uma equipe.
(A) – 6 gols.
(B) – 7 gols.
(C) – 8 gols.
(D) – 9 gols.
(E) – 10 gols.
RESOLUÇÃO:
Como foi dito, a equipe tinha um saldo de – 6 gols. Na 11.ª rodada, essa
equipe ganhou de 3 x 1. Assim, o número de gols marcados pela equipe aumentou
em 3 (o que aumenta o saldo em 3 gols), mas o número de gols sofridos aumentou
em 1 (o que diminui o saldo em 1 gol). Após esta rodada, o saldo passou a ser de:
-6 + 3 – 1 = -4 gols
Na 12.ª rodada, ela perdeu por 4 x 0 e na 13.ª rodada, ganhou de 2 x 1.
Somando essas duas rodadas, a equipe marcou 2 gols (na vitória da 13ª rodada), o
que aumenta o saldo, e sofreu 5 gols (4 na 12ª e 1 na 13ª rodadas), o que reduz o
saldo. Assim, o saldo de gols passou a ser:
-4 + 2 – 5 = -7 gols
Assim, ao final da 13.ª rodada, o saldo de gols dessa equipe era de -7 gols.
Resposta: B
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9. VUNESP – Pref. São Carlos/SP – 2012) Ao caminhar, cada passo de João tem
80cm, e os de seu filho Jonas, 60 cm. Caminhando juntos, após percorrerem 2,4
km, o número de passos que Jonas deu a mais que seu pai João foi
(A) 100.
(B) 400.
(C) 800.
(D) 1 000.
(E) 1 200.
RESOLUÇÃO:
Primeiramente, podemos escrever os tamanhos dos passos em metros, bem
como a distância total. É essencial trabalhar sempre com uma única unidade de
comprimento!
Os passos de João e Jonas medem, respectivamente, 0,80m e 0,60m. E a
distância total vale 2400m. Portanto, o número de passos de João é:
Passos de João = 2400 / 0,80 = 24000 / 8 = 3000 passos
E o de Jonas é:
Passos de Jonas = 2400 / 0,60 = 24000 / 6 = 4000 passos
Portanto, Jonas deu 4000 – 3000 = 1000 passos a mais do que seu pai.
Resposta: D
10. VUNESP – SEAP/SP – 2012) Dona Marta fez 1 litro de suco com 12 laranjas.
Deu 250 mL de suco para sua filha e o restante guardou na geladeira. Pode-se
afirmar que o suco guardado na geladeira corresponde a
(A) 3 laranjas.
(B) 5 laranjas.
(C) 7 laranjas.
(D) 9 laranjas.
(E) 11 laranjas.
RESOLUÇÃO:
Veja que 250mL correspondem a 0,25 litro. Portanto, após dar esta
quantidade de suco para a filha, Marta guardou na geladeira:
1 – 0,25 = 0,75 litro de suco
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Sabemos que 12 laranjas correspondem a 1 litro de suco. Podemos fazer
uma regra de três simples para saber quantas laranjas (L) correspondem a 0,75
litro:
1 litro ---------------------- 12 laranjas
0,75 litro------------------- L laranjas
Efetuando a multiplicação cruzada, temos:
1xL = 0,75 x 12
L = 9 laranjas
Resposta: D
11. VUNESP – SEAP/SP – 2012) Valdomiro cronometrou as voltas que correu em
uma pista de 400 m e anotou os tempos na tabela a seguir.
Pode-se afirmar que o tempo médio dessas quatro voltas foi, em segundos, de
(A) 80.
(B) 82.
(C) 84.
(D) 86.
(E) 88.
RESOLUÇÃO:
Sabemos que 1 minuto corresponde a 60 segundos. Assim, os tempos das
voltas foram 60+15, 60+18, 60+23 e 60+24 segundos, isto é, 75s, 78s, 83s e 84s.
O tempo médio de uma volta é dado pela soma do tempo das 4 voltas,
dividido pelo número de voltas (4):
75 78 83 84 32080
4 4Média s
+ + += = =
Resposta: A
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12. VUNESP – SAP/SP – 2012) Uma nova penitenciária foi projetada para
acomodar 400 detentos em duas alas, sendo que a capacidade da ala maior
corresponde a 5/3 da capacidade da ala menor. A ala maior foi projetada para
acomodar
(A) 150 detentos.
(B) 180 detentos.
(C) 240 detentos.
(D) 250 detentos.
(E) 280 detentos.
RESOLUÇÃO:
Seja m a quantidade de detentos da ala menor, e M a da ala maior. Como a
capacidade da ala maior corresponde a 5/3 da capacidade da ala menor, podemos
dizer que:
Ala maior = 5/3 da ala menor
5
3M m=
Como o total de detentos é igual a 400, podemos dizer que:
M + m = 400
Como já vimos que M é igual a 5
3m, podemos efetuar esta substituição na
equação acima:
5400
3
5 3400
3 3
8400
3
3400 150detentos
8
m m
m m
m
m
+ =
+ =
=
= × =
Sabendo isso, podemos calcular o número de detentos da ala maior:
M + m = 400
M + 150 = 400
M = 400 – 150 = 250 detentos
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Resposta: D
13. VUNESP – SAP/SP – 2012) Quatro agentes penitenciários fizeram um
determinado número total de horas extras no último mês. Sabe-se que Luís fez 1/5
desse total, que Mário fez o triplo de Luís, que João fez 1/3 do que Luís fez e que
Otávio fez 5 horas extras. Pode-se concluir, então, que o número de horas extras
que Mário fez
nesse mês foi
(A) 2,5.
(B) 7,5.
(C) 15,5.
(D) 22,5.
(E) 37,5.
RESOLUÇÃO:
Seja H o total de horas extras efetuadas. Assim, Luis fez 1
5H . Mário fez o
triplo de Luis, ou seja, 1
35
H× . João fez 1/3 do que Luis fez, ou seja, João fez
1 1
3 5H× . Até aqui temos:
1 1 1 13
5 5 3 5
1 3 1
5 5 15
3 9 1
15 15 15
3 9 1
15
13
15
H H H
H H H
H H H
H
H
+ × + × =
+ + =
+ + =
+ + =
Faltam ainda:
13 15 13 2
15 15 15 15H H H H H− = − =
Este restante é justamente o número de horas extras de Otávio, ou seja,
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25
15
155 37,5
2
H
H
=
= × =
Mário fez 1
35
H× , ou seja:
Horas extras de Mário = 1
3 37,5 22,55
horas× × =
Resposta: D
14. VUNESP – Pref. São José dos Campos – 2012) Um produto de beleza é
vendido em 3 tipos de frascos: 20 mL, 100 mL e 250 mL. Em três dias, foram
vendidos um
total de 45 frascos, totalizando 5 400 mL. Alguns dados dessa venda estão
registrados na tabela seguinte:
Os números que faltam nessa tabela, em relação aos frascos de 100 mL e 250 mL,
respectivamente, são
(A) 6 e 6.
(B) 5 e 7.
(C) 4 e 8.
(D) 3 e 9.
(E) 2 e 10.
RESOLUÇÃO:
Sejam X o número de frascos de 100mL vendidos na quarta-feira, e Y o
número de frascos de 250mL vendidos na segunda-feira.
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Considerando apenas os números apresentados na tabela, sabemos que
foram vendidos 5+5+5 = 15 frascos de 20mL, 10+2 = 12 frascos de 100mL e 4+2 =
6 frascos de 250mL.
Assim, ao todo temos:
15 + 12 + 6 = 33 frascos
Como o total é de 45 frascos, então faltam 12 frascos. Logo,
X + Y = 12 frascos
ou seja,
Y = 12 – X
O volume total dos frascos que aparecem na tabela é dado pela multiplicação
das quantidades (15, 12 e 6 frascos) pelos volumes de cada tipo de frasco (20, 100
e 250mL). Assim,
Volume total = 15 x 20 + 12 x 100 + 6 x 250 = 3000mL
Como o total vendido foi de 5400mL, faltam 2400mL. Logo, o volume dos
frascos X e Y somam 2400mL:
2400 = X x 100 + Y x 250
Como Y é igual a 12 – X, podemos efetuar esta substituição na equação
acima:
2400 = 100X + 250Y
2400 = 100X + 250 x (12 – X)
2400 = 100X + 3000 – 250X
250X – 100X = 3000 – 2400
150X = 600
X = 600 / 150 = 4 frascos
Portanto, Y = 12 – X = 12 – 4 = 8 frascos.
Resposta: C
15. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012 – Adaptada) São necessários 50 litros de
água para irrigar um gramado retangular de 8 metros de largura por 10 metros de
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comprimento. Sabendo que a área do retângulo é dada pela multiplicação entre
largura e comprimento, para que outro gramado, também retangular, de 4 metros de
largura por 20 metros de comprimento, tenha uma irrigação na mesma proporção,
serão necessários
(A) 24 litros.
(B) 36 litros.
(C) 42 litros.
(D) 50 litros.
(E) 56 litros.
RESOLUÇÃO:
O primeiro gramado tem área de 8 x 10 = 80m2 (veja que o resultado é dado
em metros quadrados, uma vez que tanto a largura quanto o comprimento são
dados em metros).
Já o segundo gramado tem área de 4 x 20 = 80m2. Repare que ambos os
quadrados possuem a mesma área, logo vão exigir a mesma quantidade de água:
50 litros.
Resposta: D
16. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) A cada 40 minutos, decola de São Paulo
um avião para a Europa. O primeiro decolou às 12 horas, o sétimo avião irá decolar
para a Europa às
(A) 15 h.
(B) 15 h e 20 min.
(C) 15 h e 40 min.
(D) 16 h.
(E) 16 h e 40 min.
RESOLUÇÃO:
Repare que entre o 1º avião e o 7º, teremos 6 intervalos de 40 minutos cada,
totalizando 6 x 40 = 240 minutos de intervalo. Como 1 hora corresponde a 60
minutos, temos que 240 minutos correspondem a:
1 hora ------------------- 60 minutos
T horas ----------------- 240 minutos
T x 60 = 1 x 240
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T = 240 / 60 = 4 horas
Portanto, o 7º avião decolará 4 horas após o primeiro, ou seja, às 12 + 4 = 16
horas.
Resposta: D
17. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) Uma telha de barro custa R$ 1,50 se
comprada por unidade (avulsa). Na compra de um milheiro (mil telhas), o preço é de
R$1.250,00. Na compra de um milheiro dessa telha, cada unidade custa mais barato
do que a comprada por unidade (avulsa)
(A) R$ 0,05.
(B) R$ 0,10.
(C) R$ 0,15.
(D) R$ 0,20.
(E) R$ 0,25.
RESOLUÇÃO:
Se 1000 telhas custam 1250 reais, vejamos quanto custa 1 telha:
1000 telhas ------------------ 1250 reais
1 telha ------------------------- T
T x 1000 = 1 x 1250
T = 1,25 real
Portanto, ao comprar o milheiro temos que o preço de cada telha é de
apenas R$1,25, enquanto ao comprar a telha avulsa o preço seria de R$1,50. Logo,
a economia é de R$1,50 – R$1,25 = R$0,25 em cada telha.
Resposta: E
18. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) Em uma sala de aula, um quarto dos alunos
são homens. Sendo o número de mulheres 33, o número de homens é
(A) 9.
(B) 11.
(C) 13.
(D) 15.
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(E) 17.
RESOLUÇÃO:
Como ¼ dos alunos são homens, as mulheres correspondem ao restante, ou
seja,
1 – ¼ = ¾
Assim, como ¾ correspondem a 33 mulheres, podemos rapidamente obter a
quantidade de homens que correspondem a ¼ do total:
¾ ------------------------ 33
¼ ------------------------ H
H x ¾ = 33 x ¼
H x 3 = 33 x 1
H = 33 / 3 = 11
Portanto, temos 11 homens na sala.
Resposta: B
19. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) Um ciclista percorreu, de um determinado
trajeto, um quarto no asfalto, um terço na pista e os últimos 600 metros do trajeto
em terreno acidentado. O total desse trajeto, em km, é
(A) 1,22.
(B) 1,33.
(C) 1,44.
(D) 1,55.
(E) 1,66.
RESOLUÇÃO:
Seja T o comprimento total do trajeto. Sabemos que ao somar o trecho
percorrido no asfalto (1
4T ) com o trecho percorrido na pista (
1
3T ) e com o trecho
percorrido no terreno acidentado (600m) temos o total, ou seja, T. Assim:
1 1600
4 3T T T+ + =
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Ao invés de escrever todas as frações com mesmo denominador, usemos um
outro artifício: vamos multiplicar ambos os lados desta igualdade por 12. Veja o que
acontece:
1 112 600 12
4 3T T T
× + + =
3 4 7200 12T T T+ + =
7200 = 12T – 3T – 4T
7200 = 5T
T = 1440m = 1,44km
Resposta: C
20. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) Devido a um erro de cálculo, um aluno
recebeu média anual 6,0 em matemática. Suas notas estão na tabela a seguir.
O erro no cálculo foi de
(A) 0,2.
(B) 0,3.
(C) 0,4.
(D) 0,5.
(E) 0,6.
RESOLUÇÃO:
Para obter a média, devemos somar as notas e dividir pelo total de notas (5,
pois devemos considerar também o exame final). Assim,
4,5 5 7,5 5,5 6 28,55,7
5 5Média
+ + + += = =
Portanto, o erro de cálculo foi de 6 – 5,7 = 0,3.
Resposta: B
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21. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) São necessárias cinco peças iguais de
cerâmica para pavimentar 3/20 de uma sala. Para pavimentar três salas iguais a
essa, o número mínimo necessário dessas peças de cerâmica, sendo que não
ocorreu perda, pois os retalhos foram utilizados, será
(A) 80.
(B) 85.
(C) 90.
(D) 95.
(E) 100.
RESOLUÇÃO:
Veja que são necessárias 5 peças para cobrir (3/20)S, onde S é a área da
sala. Para sabermos quantas peças são necessárias para cobrir 3S (área de 3
salas), podemos usar a regra de três abaixo:
5 peças ----------------------------- (3/20)S
N peças ----------------------------- 3S
Logo,
5x3S = N x (3/20)S
15 = N x (3/20)
15 x 20/3 = N
N =100 peças
Resposta: E
22. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) A tabela mostra o tempo de duração de
cada etapa do treinamento de um atleta.
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O tempo de duração de cada etapa é sempre maior do que a anterior. Mantendo-se
sempre a sequência lógica de aumento, na 7.ª etapa, o número de minutos que ele
deverá correr é
(A) 27.
(B) 28.
(C) 29.
(D) 30.
(E) 31.
RESOLUÇÃO:
Observe a sequência de tempos de corrida a cada etapa:
{3, 5, 8, 12, 17, 23, X}
Repare que, da primeira para a segunda etapa, temos um aumento de 2
minutos. Da segunda para a terceira, o aumento é de 3 minutos. Da terceira para a
quarta, 4 minutos, e assim por diante. Como da quinta para a sexta etapa o
aumento é de 6 minutos, isto nos indica que da sexta para a sétima o aumento deve
ser de 7 minutos.
Portanto, X = 23 + 7 = 30 minutos.
Resposta: D
23. VUNESP – UNESP – 2012) Érica é três anos mais velha que Gabriel, que é oito
anos mais novo que Lara. Sabendo-se que a idade de Lara é, pelo menos, 22 anos,
e, no máximo, 27 anos, pode-se afirmar que a soma das possíveis idades de Érica é
(A) 39.
(B) 73.
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(C) 84.
(D) 117.
(E) 147.
RESOLUÇÃO:
Note que Érica é 3 anos mais velha que Gabriel, e Lara é 8 anos mais velha
que ele. Assim, a diferença de idade entre Érica e Lara é de 5 anos, sendo Lara a
mais velha. As idades possíveis para Lara são 22, 23, 24, 25, 26 ou 27 anos. Logo,
as idades possíveis para Érica são sempre 5 anos a menos, ou seja:
Idades possíveis p/ Érica = {17, 18, 19, 20, 21 ou 22 anos}
Somando as idades possíveis p/ Érica, temos 117.
Resposta: D
24. VUNESP – UNESP – 2012) Cinco pesos etiquetados de A a E são tais que:
• os pesos A e B pesam o mesmo que os pesos C e E;
• A pesa mais que B;
• B e D pesam mais que B e C;
• B pesa mais que D.
Dessa forma, o mais leve e o mais pesado desses pesos são, respectivamente,
(A) C e A.
(B) C e E.
(C) D e A.
(D) D e B.
(E) D e E.
RESOLUÇÃO:
Vamos interpretar as informações do enunciado. Para facilitar, vamos chamar
de a, b, c, d, e os valores dos pesos A, B, C, D, E.
• os pesos A e B pesam o mesmo que os pesos C e E;
Observe que “A e B” tem sentido de adição, assim como “C e E”. Portanto,
esta informação nos diz que a + b = c + e.
• A pesa mais que B;
Esta informação nos diz que a > b (o peso A é maior que o peso B).
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• B e D pesam mais que B e C;
Aqui vemos que b + d > b + c, ou seja, d > c (podemos cancelar os valores
“b” em cada lado).
• B pesa mais que D.
Aqui temos que b > d.
Observe que, como b é maior que d (b > d) e, por sua vez, d é maior que c (d
> c), podemos dizer que b > d > c.
Sabemos ainda que a > b. Logo, podemos dizer que a > b > d > c.
Falta apenas posicionar o valor “e”. Sabemos que a + b = c + e. Como b é
maior do que c, só há uma forma desta igualdade acontecer: é preciso que “e” seja
maior do que “a”, para compensar o fato de b ser maior que c. Portanto, temos:
e > a > b > d > c
Assim, o peso mais leve é C, e o mais pesado é E.
Resposta: B
25. VUNESP – TJ/SP – 2004) Em uma loja, o metro de corda é vendido por R$
3,00, e o rolo com 60 metros de corda, por R$ 150,00. Três amigos compraram
juntos um rolo de corda, ficando o primeiro com 1/4 do rolo, o segundo com 1/12 e o
terceiro com o restante. Se a divisão dos gastos foi proporcional à quantidade de
corda que cada um recebeu, aquele que comprou a maior quantidade de corda
economizou,
em relação à compra da mesma quantidade de corda por metro, o total de
(A) R$ 18,00.
(B) R$ 19,00.
(C) R$ 20,00.
(D) R$ 21,00.
(E) R$ 22,00.
RESOLUÇÃO:
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Se um amigo ficou com 1/4 do rolo e o outro com 1/12, o terceiro amigo ficou
com o restante para completar 1 unidade do rolo. Chamando de X a proporção do
rolo que ficou para o terceiro amigo, temos:
1/4 + 1/12 + X = 1
Multiplicando todos os membros desta equação por 12, temos:
3 + 1 + 12X = 12
12X = 12 – 3 – 1
X = 8 / 12 = 2/3
Observe que o terceiro amigo ficou com a maior proporção do rolo: 2/3 (que é
maior que 1/4 e também que 1/12). Como o rolo tem 60 metros de corda, e ele ficou
com 2/3, a quantidade de corda que ele ficou é:
2/3 x 60 = 40 metros
E como o rolo custou 150 reais, ele pagou 2/3 deste valor:
2/3 x 150 = 100 reais
Portanto, o terceiro amigo adquiriu 40 metros de rolo por 100 reais. Se ele
tivesse comprado os mesmos 40 metros de rolo isoladamente, pagando 3 reais por
metro, ele teria gasto:
40 x 3 = 120 reais
Portanto, ao comprar junto com os demais amigos, o terceiro amigo
economizou 120 – 100 = 20 reais.
Resposta: C
26. VUNESP – TJ/SP – 2006) Na maquete de uma praça pública construída na
escala 1:75, o edifício da prefeitura, de 13,5 m de altura, está representado com
uma altura de
(A) 16 cm.
(B) 18 cm.
(C) 20 cm.
(D) 22 cm.
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(E) 24 cm.
RESOLUÇÃO:
A escala 1:75 significa que 1 unidade na maquete corresponde a 75 unidades
no mundo real. Assim, podemos fazer uma regra de três para saber quanto 13,5m
na vida real (altura do edifício) correspondem na maquete:
75 unidades no mundo real ---------------------------- 1 unidade na maquete
13,5m no mundo real -------------------------------------- X unidades na maquete
75X = 1 x 13,5
X = 13,5 / 75 = 0,18m = 18cm
Assim, a representação do prédio na maquete terá 18cm de altura.
Resposta: B
27. VUNESP – TJ/SP – 2006) Ricardo participou de uma prova de atletismo e, no
final, observou que, do número total de atletas participantes, 1/4 havia terminado a
prova na sua frente, e 2/3 haviam chegado depois dele. Considerando-se que todos
os participantes completaram a prova, e que nenhum atleta cruzou a linha de
chegada no mesmo tempo que outro, pode-se concluir que, pela ordem de chegada
nessa prova, Ricardo foi o
(A) 3.º colocado.
(B) 4.º colocado.
(C) 5.º colocado.
(D) 6.º colocado.
(E) 8.º colocado.
RESOLUÇÃO:
Seja N o total de atletas na prova. Observe que se somarmos os que
chegaram antes de Ricardo (1/4 de N) com Ricardo (1 pessoa) e com os que
chegaram após Ricardo (2/3 de N) obtemos o total de participantes (N). Isto é:
1 21
4 3N N N+ + =
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Usando novamente o artifício de multiplicar todos os membros da equação
por 12, temos:
3N + 12 + 8N = 12N
12 = 12N – 11N
12 = N
Portanto, ao todo temos 12 atletas participantes. Os que chegaram à frente
de Ricardo são:
¼ x N = ¼ x 12 = 3 atletas
Portanto, Ricardo foi o 4º colocado.
Resposta: B
28. VUNESP – TJ/SP – 2008) Um estagiário de um escritório de advocacia
aproveitou o mês de férias na faculdade para fazer várias horas extras. Do valor
total líquido recebido nesse mês, 3/4 correspondem ao seu salário fixo. Do valor
restante, 3/5 correspondem às horas extras trabalhadas, e o saldo, de R$ 140,00,
corresponde a uma bonificação recebida. Pelas horas extras trabalhadas, nesse
mês, o estagiário recebeu
(A) R$ 210,00.
(B) R$ 217,00.
(C) R$ 250,00.
(D) R$ 336,00.
(E) R$ 364,00.
RESOLUÇÃO:
Seja S o salário do estagiário. Sabemos que ¾ x S corresponde ao salário
líquido, restando ainda ¼ x S.
Deste valor restante (¼ x S), 3/5 correspondem às horas extras. Assim,
3 1 3
5 4 20Horas Extras S S= × =
O valor restante são os 140 reais da bonificação recebida. Assim, podemos
dizer que:
Salário = salário líquido + horas extras + bonificação
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3 3140
4 20S S S= + +
Multiplicando todos os membros por 20, podemos eliminar as frações:
20S = 15S + 3S + 2800
2S = 2800
S = 1400
Sendo o salário igual a 1400 reais, as horas extras foram:
3 3 1400 210
20 20Horas Extras S reais= = =
Resposta: A
29. VUNESP – TJ/SP – 2011) Do valor total recebido por um trabalho executado,
Pedro ficou com 2/5 e João ficou com o restante. Da parte que lhe coube, João
emprestou R$800,00 a Pedro, para que ele pudesse comprar uma televisão e,
assim, Pedro ficou com o quádruplo da quantia que restou a João. Após o
empréstimo, Pedro ficou com:
a) R$2000,00
b) R$1800,00
c) R$1700,00
d) R$1600,00
e) R$1400,00
RESOLUÇÃO:
Seja T o total recebido. Pedro ficou com (2/5)T e João com o restante, ou
seja, (3/5)T. João emprestou 800 reais a Pedro. Assim, João ficou com:
João = (3/5)T – 800
E Pedro ficou com 800 reais a mais:
Pedro = (2/5)T + 800
Essa quantia nas mãos de Pedro é o quádruplo da quantia restante com
João. Ou seja,
Pedro = 4 x João
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(2/5T) + 800 = 4 x (3/5)T – 4 x 800
800 + 4 x 800 = 4 x (3/5)T –(2/5T)
4000 = (4x3 – 2)T/5
4000 x 5 = 10T
T = 2000 reais
Portanto, após o empréstimo Pedro ficou com:
Pedro = (2/5)T + 800 = (2/5)x2000 + 800 = 1600 reais
Resposta: D
30. VUNESP – TJ/SP – 2011) Um recipiente, com paredes de espessura
desprezível, tem a forma de um paralelepípedo reto-retângulo, medindo 15cm de
comprimento por 10cm de largura, e contém uma quantidade de água que ocupa a
metade da sua capacidade total. Se retirarmos 2/5 da água, o volume da água
restante no recipiente será igual a 360cm3. Conclui-se, então, que a medida da
altura deste recipiente, em centímetros, é igual a (obs.: o volume de um
paralelepípedo é dado pela multiplicação da largura, altura e comprimento do
mesmo):
a) 14
b) 12
c) 10
d) 9
e) 8
RESOLUÇÃO:
Seja V o volume total de água inicialmente encontrado no recipiente.
Retirando-se 2/5 de V, sobram 360cm3, ou seja:
V – (2/5)V = 360
(3/5)V = 360
V = 360x5/3 = 600cm3
Como só temos água na metade do paralelepípedo, então o seu volume total
é o dobro do volume de água. Ou seja, o volume total do paralelepípedo é de 2 x
600 = 1200cm3. Como este volume é dado pela multiplicação da altura,
comprimento (15cm) e largura (10cm), temos:
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V = altura x comprimento x largura
1200 = altura x 15 x 10
altura = 1200 / 150 = 8cm
Resposta: E
31. VUNESP – TJ/MT – 2008) Uma pessoa quer trocar duas notas de dez reais por
moedas de 5, 10, 25 e 50 centavos de real. Se ela deseja receber moedas de todos
esses valores, então o número mínimo de moedas a receber em troca será de
(A) 40.
(B) 41.
(C) 42.
(D) 43.
(E) 44.
RESOLUÇÃO:
Para ter o menor número possível de moedas, devemos pegar o máximo
possível de moedas de maior valor, e o mínimo possível de moedas de baixo valor.
Pegando R$19,50 em moedas de 50 centavos, são necessárias 39 moedas
deste valor.
Para chegar aos 20 reais (duas notas de 10), são necessárias ainda 1 moeda
de 25 centavos, 2 de 10 centavos e 1 de 5 centavos. Ao todo, são necessárias pelo
menos:
39 + 1 + 2 + 1 = 43 moedas
Resposta: D
32. VUNESP – TJ/MT – 2008) Se uma indústria farmacêutica produziu um volume
de 2800 litros de certo medicamento, que devem ser acondicionados em ampolas
de 40 cm3 cada uma, então será produzido um número de ampolas desse
medicamento na ordem de
(A) 70.
(B) 700.
(C) 7 000.
(D) 70 000.
(E) 700 000.
RESOLUÇÃO:
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Sabemos que 1 litro corresponde a 1dm3, portanto 2800 litros equivalem a
2800dm3. Por sua vez, 2800dm3 correspondem a 2800000cm3.
Portanto, temos 2800000cm3 para distribuir por ampolas de 40cm3 cada. O
total de ampolas que precisaremos é:
Número de ampolas = 2800000 / 40 = 70000
Resposta: D
33. VUNESP – TJ/MT – 2008) Uma pequena doceira bem sucedida comprou 1 800
embalagens para seus docinhos. Do total de embalagens, inicialmente 1/6 foi
utilizado para embalar brigadeiros e 2/5 para os beijinhos. Sabendo que para os
cajuzinhos seriam necessárias ½ do total das embalagens compradas, a doceira
observou que iriam faltar ___ embalagens. Assinale a alternativa que completa
corretamente a lacuna do texto.
(A) 120
(B) 110
(C) 100
(D) 90
(E) 80
RESOLUÇÃO:
Para embalar os brigadeiros foram utilizadas:
Embalagens p/ brigadeiros = (1/6) x 1800 = 300
Para embalar os beijinhos foram utilizadas:
Embalagens p/ beijinhos = (2/5) x 1800 = 720
Para embalar os cajuzinhos seriam necessárias:
Embalagens p/ cajuzinhos = (1/2) x 1800 = 900
Portanto, ao todo seriam necessárias 300 + 720 + 900 = 1920 embalagens.
Como foram compradas apenas 1800, faltaram 120 embalagens.
Resposta: A
34. VUNESP – TJ/SP – 2013) Em um dia de muita chuva e trânsito caótico, 2/5 dos
alunos de certa escola chegaram atrasados, sendo que ¼ dos atrasados tiveram
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mais de 30 minutos de atraso. Sabendo que todos os demais alunos chegaram no
horário, pode-se afirmar que nesse dia, nessa escola, a razão entre o número de
alunos que chegaram com mais de 30 minutos de atraso e o número de alunos que
chegaram no horário, nessa ordem, foi de
(A) 2:3.
(B) 1:3.
(C) 1:6.
(D) 3:4.
(E) 2:5.
RESOLUÇÃO:
Se 2/5 atrasaram, então 3/5 chegaram no horário. Sabemos ainda que ¼ dos
2/5 que atrasaram chegaram com mais de 30 minutos de atraso. Ou seja,
Mais de 30 min. = 1 2 1 2 1 1 1
de 4 5 4 5 2 5 10
= × = × =
Assim, a razão entre os que atrasaram mais de 30 minutos e os que
chegaram no horário é:
1atrasaram mais de 30 1 5 1 1 1103chegaram no horário 10 3 2 3 6
5
Razão= = = × = × =
Resposta: C
35. VUNESP – TJ/SP – 2012) Usando, inicialmente, somente gasolina e, depois,
somente álcool, um carro com motor flex rodou um total de 2 600 km na pista de
testes de uma montadora, consumindo, nesse percurso, 248 litros de combustível.
Sabe-se que nesse teste ele percorreu, em média, 11,5 quilômetros com um litro de
gasolina e 8,5 quilômetros com um litro de álcool. Desse modo, é correto afirmar
que a diferença entre a quantidade utilizada de cada combustível nesse teste foi, em
litros, igual a
(A) 84.
(B) 60.
(C) 90.
(D) 80.
(E) 68.
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RESOLUÇÃO:
Seja G a quantidade de gasolina utilizada, e A a quantidade de álcool.
Sabemos que o total é de 248 litros, ou seja,
G + A = 248
A = 248 – G
A distância percorrida com gasolina é dada pela multiplicação do número de
quilômetros percorridos com um litro (11,5) pela quantidade de litros (G).
Analogamente, a distância percorrida com álcool é dada pela multiplicação do
número de quilômetros percorridos com um litro (8,5) pela quantidade de litros (A).
Ou seja,
2600 = G x 11,5 + A x 8,5
Substituindo A por 248 – G na equação acima, temos:
2600 = 11,5G + (248 – G) x 8,5
2600 = 11,5G + 2108 – 8,5G
2600 – 2108 = 3G
G = 164 litros
Logo,
A = 248 – G = 248 – 164 = 84 litros
Desse modo, a diferença entre a quantidade utilizada de cada combustível
nesse teste foi igual a:
G – A = 164 – 84 = 80 litros
Resposta: D
36. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Sendo a, um número natural maior do que 4
e menor do que 11 e b, um número natural maior do que 15 e menor do que 32, o
maior valor que b/a pode assumir é:
a) 11/31
b) 31/11
c) 5
d) 6
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e) 31/5
RESOLUÇÃO:
Para que b/a seja o maior valor possível, é preciso que o denominador “a”
seja o menor número possível (a = 5, pois 4 < a < 11) e o numerador “b” seja o
maior número possível (b = 31, pois 15 < b < 32). Assim,
b/a = 31/5
Resposta: E
37. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Os livros de uma série foram publicados em
intervalos de 5 anos. Quando o quinto livro foi publicado, a soma dos anos de
publicação dos cinco livros era de 9 915. O ano em que o primeiro livro foi publicado
ocorreu em
(A) 1962.
(B) 1972.
(C) 1973.
(D) 1982.
(E) 1983.
RESOLUÇÃO:
Chamando de N o ano de publicação do primeiro livro, os próximos 4 livros
foram publicados nos anos N + 5, N + 10, N + 15 e N + 20. Somando estes 5 anos,
temos:
Soma = 9915 = N + N + 5 + N + 10 + N + 15 + N + 20
9915 = 5N + 50
N = 1973
Resposta: C
38. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Ao fazer o percurso de casa para o trabalho
de bicicleta e do trabalho para casa a pé, um homem leva 40 minutos. Quando faz o
percurso de ida e volta de bicicleta ele leva 18 minutos, logo ao fazer o percurso de
ida e volta a pé ele levará
(A) 1h 2min.
(B) 1h 8min.
(C) 1h 12min.
(D) 1h 15min.
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(E) 1h 20min.
RESOLUÇÃO:
Seja P o tempo gasto, a pé, no trecho casa-trabalho. E seja B o tempo gasto,
de bicicleta, no mesmo trecho. Indo de bicicleta e voltando a pé, gasta-se 40
minutos. Ou seja:
40 = P + B
P = 40 – B
Indo e voltando de bicicleta, gasta-se 18 minutos. Isto é:
18 = B + B
18 = 2B
B = 9 minutos
Portanto, P = 40 – 9 = 31 minutos.
Assim, indo e voltando a pé, o tempo gasto é:
P + P = 31 + 31 = 62 minutos = 1h 2min
Resposta: A
39. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Trinta e uma moedas, algumas de 50
centavos e as outras de 25 centavos somam juntas R$ 12,00. A diferença entre o
número de moedas de 50 centavos e de 25 centavos é
(A) 0.
(B) 1.
(C) 2.
(D) 3.
(E) 4.
RESOLUÇÃO:
Seja G o número de moedas grandes (50 centavos) e P o número de moedas
pequenas (25 centavos). Ao todo temos 31 moedas:
31 = P + G
P = 31 – G
O valor dessas moedas soma 12 reais:
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12 = 0,50 x G + 0,25 x P
Multiplicando os membros da última equação por 4:
48 = 2G + P
48 = 2G + (31 – G)
G = 17 moedas
Assim,
P = 31 – 17 = 14 moedas
Portanto, temos 3 moedas de 50 centavos a mais do que de 25 centavos.
Resposta: D
40. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Um antigo problema hindu afirma: “De uma
quantidade de puras flores de lótus, uma terça parte, um quinto e um sexto foram
oferecidas aos deuses Siva, Vishnu e Sol. Um quarto da quantidade original foi
ofertada a Bhavani. Os seis lótus restantes foram dados ao venerável preceptor”.
Resolvendo esse problema, conclui-se que a quantidade original de flores é
(A) 60.
(B) 120.
(C) 240.
(D) 320.
(E) 360.
RESOLUÇÃO:
Sendo F a quantidade inicial de flores, o enunciado nos disse que:
Siva � Si = (1/3)F
Vishnu � V = (1/5)F
Sol � So = (1/6)F
Bhavani � B = (1/4)F
Preceptor � P = 6
Assim,
1 1 1 16
3 5 6 4F F F F F= + + + +
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60 20 12 10 156
60 60F F
+ + += +
36
60F =
606 120
3F flores= × =
Resposta: B
41. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Tanto a diferença como a divisão entre dois
números vale 5. A soma desses números vale
(A) 5.
(B) 5,5.
(C) 6.
(D) 7,5.
(E) 9.
RESOLUÇÃO:
Sejam M e N os dois números. Assim,
M – N = 5
e
M / N = 5
Da primeira equação, temos que M = N + 5. Substituindo na segunda, temos:
(N + 5) / N = 5
N + 5 = 5N
N = 1,25
M = 1,25 + 5 = 6,25
Logo, M + N = 7,5.
Resposta: D
42. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Um comerciante comprou um relógio por
R$20,00 para revendê-lo por R$ 80,00. Uma pessoa comprou esse relógio pagando
com uma nota de R$ 100,00. O comerciante, após dar o troco à pessoa, percebeu
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que a nota de R$ 100,00 era falsa. O prejuízo total que o comerciante teve com
esse relógio foi de
(A) R$ 20,00.
(B) R$ 40,00.
(C) R$ 80,00.
(D) R$ 100,00.
(E) R$ 120,00.
RESOLUÇÃO:
O comerciante teve prejuízo em 2 momentos:
- ao entregar o relógio que lhe custou 20 reais, sem receber nada por isso (afinal a
nota era falsa);
- ao dar um troco de 20 reais (100 – 80), que não era devido;
Somando os prejuízos, temos 20 + 20 = 40 reais.
Resposta: B
43. VUNESP – TJM/SP – 2011) Em um parquinho de diversões, três amigos –
A(triângulo), B(círculo) e C(quadrado) – brincaram de tiro ao alvo. Cada um atirou
três dardos. O total de pontos obtidos pelos três amigos juntos foi de:
a) -12
b) -14
c) -16
d) -18
e) -20
RESOLUÇÃO:
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Aqui basta somarmos os pontos obtidos, seguindo a escala mostrada na
figura. Quanto mais próximo ao centro, maior é a pontuação. E nos aros mais
externos, a pontuação é negativa.
Assim, temos a tabela:
Pontuação da região
acertada
Número de acertos Pontuação nesta região
-9 2 -18
-6 1 -6
-4 1 -4
-2 1 -2
0 2 0
3 1 3
7 1 7
10 0 0
Somando os pontos na coluna da direita, temos -20.
Resposta: E
44. VUNESP – TJM/SP – 2011) Três pessoas distribuíram, em um bairro, 1430
panfletos de propaganda eleitoral. Alfredo foi o que mais distribuiu. Bruno distribuiu
a metade do número de panfletos que Alfredo distribuiu e Charles distribuiu dois
terços do número de panfletos que Alfredo distribuiu. O número de panfletos que
Charles distribuiu a mais do que Bruno foi:
a) 100
b) 110
c) 130
d) 150
e) 170
RESOLUÇÃO:
Sendo A o número de panfletos que Alfredo distribuiu, o enunciado nos diz
que Bruno distribuiu B = A/2, e Charles distribuiu C = 2A/3. Como o total é de 1430
panfletos, então
1430 = A + A/2 + 2A/3
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Multiplicando todos os membros por 6, temos:
8580 = 6A + 3A + 4A
A = 660 panfletos
B = A/2 = 330
C = 2A/3 = 440
Assim, Charles distribuiu 110 panfletos a mais que Bruno.
Resposta: B
***************************
Pessoal, por hoje, é só!!
Vemo-nos na aula 02. Abraço,
Prof. Arthur Lima
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3. Questões apresentadas na aula
0. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO – NÚMEROS DECIMAIS) Para fixar o que foi visto
aqui, efetue as seguintes operações, cujo gabarito é fornecido em seguida.
a) 2,25 + 1,7
b) 2,25 – 1,7
c) 2,25 x 1,7
d) 2,25 / 1,5
e) 0,898 + 1,12
f) 0,898 – 1,12
g) 0,898 x 1,12
h) 0,898 / 0,01
1. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Marque certo (C) ou errado (E) nas afirmações
abaixo:
( ) Todo número racional é real, porém nem todo número real é racional
( ) Todo número natural é também inteiro, e todo número irracional não é inteiro
( ) -1520 é um número natural, inteiro, racional e real
( ) 72 é um número natural, inteiro, racional e real
( ) 4 é um número natural, inteiro, racional e real
( ) 6 é um número irracional e real
( ) 0,789789789... é um número irracional e real
( ) 56
é um número racional, porém não é inteiro nem natural
( ) 126
é um número natural e inteiro
( ) A multiplicação de dois números naturais resulta sempre em um número natural
( ) A subtração entre dois números naturais resulta sempre em um número natural
( ) O elemento neutro da multiplicação e divisão é o número 1, enquanto o da
adição e subtração é o 0
( ) A propriedade distributiva aplica-se tanto à adição quanto à multiplicação
( ) A propriedade associativa está presente na adição e na multiplicação, porém
não é válida na subtração e na divisão
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( ) A soma de um número racional com um número irracional tem como resultado
um número irracional
( ) É possível localizar o número 11 exatamente na reta numérica
( ) O módulo de um número é igual ao módulo de seu oposto
( ) Todo número inteiro tem um sucessor e um antecessor
( ) Todo número natural positivo tem um sucessor e um antecessor
( ) O conjunto dos números inteiros não negativos é equivalente ao conjunto dos
números naturais positivos
( ) Os números decimais, desde que representados com um número finito de casas
decimais, fazem parte do conjunto dos números racionais
( ) 53,2% é um número racional, porém não é um número inteiro
( ) Sabendo que o número de Euler é e = 2,718281828459045235360287..., ele
deve ser um número real
( ) Nos conjuntos dos números inteiros e racionais, a adição e a subtração
possuem a propriedade do fechamento, entretanto o mesmo não ocorre no conjunto
dos números naturais
( ) A divisão de números inteiros sempre gera um número racional, porém não
necessariamente inteiro.
2. Exercício de fixação – Unidades) Efetue as conversões de unidades solicitadas:
a) 5litros para m3
b) 10dam em cm
c) 40hm2 em km2
d) 2 dias em minutos
e) 36 horas em dias
f) 150 milissegundos em segundos
g) 20 cm3 em m3
h) 15dag em hg
3. FGV – BESC – 2004) Quantos mililitros há em um milímetro cúbico?
(A) 103
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(B) 1
(C) 10−3
(D) 10−6
(E) 10−9
4. FCC – PREF. SÃO GONÇALO – 2011 Adaptada) Uma caixa d’água tem 2,4m3
de volume. A caixa está vazia, e uma torneira começa a enchê-la a uma razão
constante de 15 litros por minuto. O tempo em que a torneira deve ficar aberta para
que a caixa fique cheia é de:
a) 2 horas
b) 2 horas e 20 minutos
c) 2 horas e 40 minutos
d) 3 horas
e) 3 horas e 30 minutos
5. FCC – TRT/9ª – 2010 – Adaptada) Simplifique a expressão abaixo:
−−
−
13
13
13
3
6. VUNESP – Pref. São Carlos/SP – 2012) De um trajeto, percorri um terço de
skate, três oitavos de bicicleta, um quarto de patins e os últimos 100 metros a pé. O
trajeto todo percorrido tem
(A) 2 km.
(B) 2,1 km.
(C) 2,2 km.
(D) 2,3 km.
(E) 2,4 km.
7. VUNESP – Pref. São Carlos/SP – 2012) As temperaturas da semana passada,
em Roma, foram anotadas na tabela a seguir.
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A maior oscilação de temperatura ocorreu de
(A) segunda para terça-feira.
(B) terça para quarta-feira.
(C) quarta para quinta-feira.
(D) quinta para sexta-feira.
(E) sexta para sábado.
8. VUNESP – Pref. São Carlos/SP – 2012) O saldo de gols de uma equipe de
futebol na 10.ª rodada era de – 6 gols. Na 11.ª rodada, essa equipe ganhou de 3 x
1, na 12.ª rodada, ela perdeu por 4 x 0 e na 13.ª rodada, ganhou de 2 x 1. Ao final
da 13.ª rodada, o saldo de gols* dessa equipe era de:
* Saldo de gols é a diferença entre os gols marcados e sofridos por uma equipe.
(A) – 6 gols.
(B) – 7 gols.
(C) – 8 gols.
(D) – 9 gols.
(E) – 10 gols.
9. VUNESP – Pref. São Carlos/SP – 2012) Ao caminhar, cada passo de João tem
80cm, e os de seu filho Jonas, 60 cm. Caminhando juntos, após percorrerem 2,4
km, o número de passos que Jonas deu a mais que seu pai João foi
(A) 100.
(B) 400.
(C) 800.
(D) 1 000.
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(E) 1 200.
10. VUNESP – SEAP/SP – 2012) Dona Marta fez 1 litro de suco com 12 laranjas.
Deu 250 mL de suco para sua filha e o restante guardou na geladeira. Pode-se
afirmar que o suco guardado na geladeira corresponde a
(A) 3 laranjas.
(B) 5 laranjas.
(C) 7 laranjas.
(D) 9 laranjas.
(E) 11 laranjas.
11. VUNESP – SEAP/SP – 2012) Valdomiro cronometrou as voltas que correu em
uma pista de 400 m e anotou os tempos na tabela a seguir.
Pode-se afirmar que o tempo médio dessas quatro voltas foi, em segundos, de
(A) 80.
(B) 82.
(C) 84.
(D) 86.
(E) 88.
12. VUNESP – SAP/SP – 2012) Uma nova penitenciária foi projetada para
acomodar 400 detentos em duas alas, sendo que a capacidade da ala maior
corresponde a 5/3 da capacidade da ala menor. A ala maior foi projetada para
acomodar
(A) 150 detentos.
(B) 180 detentos.
(C) 240 detentos.
(D) 250 detentos.
(E) 280 detentos.
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13. VUNESP – SAP/SP – 2012) Quatro agentes penitenciários fizeram um
determinado número total de horas extras no último mês. Sabe-se que Luís fez 1/5
desse total, que Mário fez o triplo de Luís, que João fez 1/3 do que Luís fez e que
Otávio fez 5 horas extras. Pode-se concluir, então, que o número de horas extras
que Mário fez
nesse mês foi
(A) 2,5.
(B) 7,5.
(C) 15,5.
(D) 22,5.
(E) 37,5.
14. VUNESP – Pref. São José dos Campos – 2012) Um produto de beleza é
vendido em 3 tipos de frascos: 20 mL, 100 mL e 250 mL. Em três dias, foram
vendidos um
total de 45 frascos, totalizando 5 400 mL. Alguns dados dessa venda estão
registrados na tabela seguinte:
Os números que faltam nessa tabela, em relação aos frascos de 100 mL e 250 mL,
respectivamente, são
(A) 6 e 6.
(B) 5 e 7.
(C) 4 e 8.
(D) 3 e 9.
(E) 2 e 10.
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15. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012 – Adaptada) São necessários 50 litros de
água para irrigar um gramado retangular de 8 metros de largura por 10 metros de
comprimento. Sabendo que a área do retângulo é dada pela multiplicação entre
largura e comprimento, para que outro gramado, também retangular, de 4 metros de
largura por 20 metros de comprimento, tenha uma irrigação na mesma proporção,
serão necessários
(A) 24 litros.
(B) 36 litros.
(C) 42 litros.
(D) 50 litros.
(E) 56 litros.
16. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) A cada 40 minutos, decola de São Paulo
um avião para a Europa. O primeiro decolou às 12 horas, o sétimo avião irá decolar
para a Europa às
(A) 15 h.
(B) 15 h e 20 min.
(C) 15 h e 40 min.
(D) 16 h.
(E) 16 h e 40 min.
17. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) Uma telha de barro custa R$ 1,50 se
comprada por unidade (avulsa). Na compra de um milheiro (mil telhas), o preço é de
R$1.250,00. Na compra de um milheiro dessa telha, cada unidade custa mais barato
do que a comprada por unidade (avulsa)
(A) R$ 0,05.
(B) R$ 0,10.
(C) R$ 0,15.
(D) R$ 0,20.
(E) R$ 0,25.
18. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) Em uma sala de aula, um quarto dos alunos
são homens. Sendo o número de mulheres 33, o número de homens é
(A) 9.
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(B) 11.
(C) 13.
(D) 15.
(E) 17.
19. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) Um ciclista percorreu, de um determinado
trajeto, um quarto no asfalto, um terço na pista e os últimos 600 metros do trajeto
em terreno acidentado. O total desse trajeto, em km, é
(A) 1,22.
(B) 1,33.
(C) 1,44.
(D) 1,55.
(E) 1,66.
20. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) Devido a um erro de cálculo, um aluno
recebeu média anual 6,0 em matemática. Suas notas estão na tabela a seguir.
O erro no cálculo foi de
(A) 0,2.
(B) 0,3.
(C) 0,4.
(D) 0,5.
(E) 0,6.
21. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) São necessárias cinco peças iguais de
cerâmica para pavimentar 3/20 de uma sala. Para pavimentar três salas iguais a
essa, o número mínimo necessário dessas peças de cerâmica, sendo que não
ocorreu perda, pois os retalhos foram utilizados, será
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(A) 80.
(B) 85.
(C) 90.
(D) 95.
(E) 100.
22. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) A tabela mostra o tempo de duração de
cada etapa do treinamento de um atleta.
O tempo de duração de cada etapa é sempre maior do que a anterior. Mantendo-se
sempre a sequência lógica de aumento, na 7.ª etapa, o número de minutos que ele
deverá correr é
(A) 27.
(B) 28.
(C) 29.
(D) 30.
(E) 31.
23. VUNESP – UNESP – 2012) Érica é três anos mais velha que Gabriel, que é oito
anos mais novo que Lara. Sabendo-se que a idade de Lara é, pelo menos, 22 anos,
e, no máximo, 27 anos, pode-se afirmar que a soma das possíveis idades de Érica é
(A) 39.
(B) 73.
(C) 84.
(D) 117.
(E) 147.
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24. VUNESP – UNESP – 2012) Cinco pesos etiquetados de A a E são tais que:
• os pesos A e B pesam o mesmo que os pesos C e E;
• A pesa mais que B;
• B e D pesam mais que B e C;
• B pesa mais que D.
Dessa forma, o mais leve e o mais pesado desses pesos são, respectivamente,
(A) C e A.
(B) C e E.
(C) D e A.
(D) D e B.
(E) D e E.
25. VUNESP – TJ/SP – 2004) Em uma loja, o metro de corda é vendido por R$
3,00, e o rolo com 60 metros de corda, por R$ 150,00. Três amigos compraram
juntos um rolo de corda, ficando o primeiro com 1/4 do rolo, o segundo com 1/12 e o
terceiro com o restante. Se a divisão dos gastos foi proporcional à quantidade de
corda que cada um recebeu, aquele que comprou a maior quantidade de corda
economizou,
em relação à compra da mesma quantidade de corda por metro, o total de
(A) R$ 18,00.
(B) R$ 19,00.
(C) R$ 20,00.
(D) R$ 21,00.
(E) R$ 22,00.
26. VUNESP – TJ/SP – 2006) Na maquete de uma praça pública construída na
escala 1:75, o edifício da prefeitura, de 13,5 m de altura, está representado com
uma altura de
(A) 16 cm.
(B) 18 cm.
(C) 20 cm.
(D) 22 cm.
(E) 24 cm.
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27. VUNESP – TJ/SP – 2006) Ricardo participou de uma prova de atletismo e, no
final, observou que, do número total de atletas participantes, 1/4 havia terminado a
prova na sua frente, e 2/3 haviam chegado depois dele. Considerando-se que todos
os participantes completaram a prova, e que nenhum atleta cruzou a linha de
chegada no mesmo tempo que outro, pode-se concluir que, pela ordem de chegada
nessa prova, Ricardo foi o
(A) 3.º colocado.
(B) 4.º colocado.
(C) 5.º colocado.
(D) 6.º colocado.
(E) 8.º colocado.
28. VUNESP – TJ/SP – 2008) Um estagiário de um escritório de advocacia
aproveitou o mês de férias na faculdade para fazer várias horas extras. Do valor
total líquido recebido nesse mês, 3/4 correspondem ao seu salário fixo. Do valor
restante, 3/5 correspondem às horas extras trabalhadas, e o saldo, de R$ 140,00,
corresponde a uma bonificação recebida. Pelas horas extras trabalhadas, nesse
mês, o estagiário recebeu
(A) R$ 210,00.
(B) R$ 217,00.
(C) R$ 250,00.
(D) R$ 336,00.
(E) R$ 364,00.
29. VUNESP – TJ/SP – 2011) Do valor total recebido por um trabalho executado,
Pedro ficou com 2/5 e João ficou com o restante. Da parte que lhe coube, João
emprestou R$800,00 a Pedro, para que ele pudesse comprar uma televisão e,
assim, Pedro ficou com o quádruplo da quantia que restou a João. Após o
empréstimo, Pedro ficou com:
a) R$2000,00
b) R$1800,00
c) R$1700,00
d) R$1600,00
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e) R$1400,00
30. VUNESP – TJ/SP – 2011) Um recipiente, com paredes de espessura
desprezível, tem a forma de um paralelepípedo reto-retângulo, medindo 15cm de
comprimento por 10cm de largura, e contém uma quantidade de água que ocupa a
metade da sua capacidade total. Se retirarmos 2/5 da água, o volume da água
restante no recipiente será igual a 360cm3. Conclui-se, então, que a medida da
altura deste recipiente, em centímetros, é igual a (obs.: o volume de um
paralelepípedo é dado pela multiplicação da largura, altura e comprimento do
mesmo):
a) 14
b) 12
c) 10
d) 9
e) 8
31. VUNESP – TJ/MT – 2008) Uma pessoa quer trocar duas notas de dez reais por
moedas de 5, 10, 25 e 50 centavos de real. Se ela deseja receber moedas de todos
esses valores, então o número mínimo de moedas a receber em troca será de
(A) 40.
(B) 41.
(C) 42.
(D) 43.
(E) 44.
32. VUNESP – TJ/MT – 2008) Se uma indústria farmacêutica produziu um volume
de 2800 litros de certo medicamento, que devem ser acondicionados em ampolas
de 40 cm3 cada uma, então será produzido um número de ampolas desse
medicamento na ordem de
(A) 70.
(B) 700.
(C) 7 000.
(D) 70 000.
(E) 700 000.
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33. VUNESP – TJ/MT – 2008) Uma pequena doceira bem sucedida comprou 1 800
embalagens para seus docinhos. Do total de embalagens, inicialmente 1/6 foi
utilizado para embalar brigadeiros e 2/5 para os beijinhos. Sabendo que para os
cajuzinhos seriam necessárias ½ do total das embalagens compradas, a doceira
observou que iriam faltar ___ embalagens. Assinale a alternativa que completa
corretamente a lacuna do texto.
(A) 120
(B) 110
(C) 100
(D) 90
(E) 80
34. VUNESP – TJ/SP – 2013) Em um dia de muita chuva e trânsito caótico, 2/5 dos
alunos de certa escola chegaram atrasados, sendo que ¼ dos atrasados tiveram
mais de 30 minutos de atraso. Sabendo que todos os demais alunos chegaram no
horário, pode-se afirmar que nesse dia, nessa escola, a razão entre o número de
alunos que chegaram com mais de 30 minutos de atraso e o número de alunos que
chegaram no horário, nessa ordem, foi de
(A) 2:3.
(B) 1:3.
(C) 1:6.
(D) 3:4.
(E) 2:5.
35. VUNESP – TJ/SP – 2012) Usando, inicialmente, somente gasolina e, depois,
somente álcool, um carro com motor flex rodou um total de 2 600 km na pista de
testes de uma montadora, consumindo, nesse percurso, 248 litros de combustível.
Sabe-se que nesse teste ele percorreu, em média, 11,5 quilômetros com um litro de
gasolina e 8,5 quilômetros com um litro de álcool. Desse modo, é correto afirmar
que a diferença entre a quantidade utilizada de cada combustível nesse teste foi, em
litros, igual a
(A) 84.
(B) 60.
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(C) 90.
(D) 80.
(E) 68.
36. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Sendo a, um número natural maior do que 4
e menor do que 11 e b, um número natural maior do que 15 e menor do que 32, o
maior valor que b/a pode assumir é:
a) 11/31
b) 31/11
c) 5
d) 6
e) 31/5
37. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Os livros de uma série foram publicados em
intervalos de 5 anos. Quando o quinto livro foi publicado, a soma dos anos de
publicação dos cinco livros era de 9 915. O ano em que o primeiro livro foi publicado
ocorreu em
(A) 1962.
(B) 1972.
(C) 1973.
(D) 1982.
(E) 1983.
38. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Ao fazer o percurso de casa para o trabalho
de bicicleta e do trabalho para casa a pé, um homem leva 40 minutos. Quando faz o
percurso de ida e volta de bicicleta ele leva 18 minutos, logo ao fazer o percurso de
ida e volta a pé ele levará
(A) 1h 2min.
(B) 1h 8min.
(C) 1h 12min.
(D) 1h 15min.
(E) 1h 20min.
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39. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Trinta e uma moedas, algumas de 50
centavos e as outras de 25 centavos somam juntas R$ 12,00. A diferença entre o
número de moedas de 50 centavos e de 25 centavos é
(A) 0.
(B) 1.
(C) 2.
(D) 3.
(E) 4.
40. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Um antigo problema hindu afirma: “De uma
quantidade de puras flores de lótus, uma terça parte, um quinto e um sexto foram
oferecidas aos deuses Siva, Vishnu e Sol. Um quarto da quantidade original foi
ofertada a Bhavani. Os seis lótus restantes foram dados ao venerável preceptor”.
Resolvendo esse problema, conclui-se que a quantidade original de flores é
(A) 60.
(B) 120.
(C) 240.
(D) 320.
(E) 360.
41. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Tanto a diferença como a divisão entre dois
números vale 5. A soma desses números vale
(A) 5.
(B) 5,5.
(C) 6.
(D) 7,5.
(E) 9.
42. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Um comerciante comprou um relógio por
R$20,00 para revendê-lo por R$ 80,00. Uma pessoa comprou esse relógio pagando
com uma nota de R$ 100,00. O comerciante, após dar o troco à pessoa, percebeu
que a nota de R$ 100,00 era falsa. O prejuízo total que o comerciante teve com
esse relógio foi de
(A) R$ 20,00.
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(B) R$ 40,00.
(C) R$ 80,00.
(D) R$ 100,00.
(E) R$ 120,00.
43. VUNESP – TJM/SP – 2011) Em um parquinho de diversões, três amigos –
A(triângulo), B(círculo) e C(quadrado) – brincaram de tiro ao alvo. Cada um atirou
três dardos. O total de pontos obtidos pelos três amigos juntos foi de:
a) -12
b) -14
c) -16
d) -18
e) -20
44. VUNESP – TJM/SP – 2011) Três pessoas distribuíram, em um bairro, 1430
panfletos de propaganda eleitoral. Alfredo foi o que mais distribuiu. Bruno distribuiu
a metade do número de panfletos que Alfredo distribuiu e Charles distribuiu dois
terços do número de panfletos que Alfredo distribuiu. O número de panfletos que
Charles distribuiu a mais do que Bruno foi:
a) 100
b) 110
c) 130
d) 150
e) 170
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4. Gabarito
Ex. de fixação 03 C 04 C 05 55/21 06 E 07 A
08 B 09 D 10 D 11 A 12 D 13 D 14 C
15 D 16 D 17 E 18 B 19 C 20 B 21 E
22 D 23 D 24 B 25 C 26 B 27 B 28 A
29 D 30 E 31 D 32 D 33 A 34 C 35 D
36 E 37 C 38 A 39 D 40 B 41 D 42 B
43 E 44 B