Post on 26-Sep-2015
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1
Prof Ms. Elisangela Parra Zigart Perez
Curso: Cincia da computao 3/4
Disciplina : matemtica II
Contato: eliszigart@gmail.com
Sistemas Lineares- Material de Apoio
1. Equao Linear
Toda equao da forma bxa...xaxa nn 2211 denominada equao linear, em
que:
na,..,a,a 21 so coeficientes
nx,...,x,x 21 so as incgnitas
b um termo independente
Exemplos:
a) 532 321 xxx uma equao linear de trs incgnitas.
b) 1 tzyx uma equao linear de quatro incgnitas.
Observaes:
1) Quando o termo independente b for igual a zero, a equao linear denomina-se equao
linear homognea. Por exemplo: 05 yx .
2) Uma equao linear no apresenta termos da forma 212
1 x.x,x etc., isto , cada termo da
equao tem uma nica incgnita, cujo expoente sempre 1.
As equaes 323 22
1 xx e 24 zy.x no so lineares.
3) A soluo de uma equao linear a n incgnitas a seqncia de nmeros reais ou
nupla n,...,, 21 , que, colocados respectivamente no lugar de nx,...,x,x 21 , tornam verdadeira a igualdade dada.
4) Uma soluo evidente da equao linear homognea 03 yx a dupla 00, .
Vejamos alguns exemplos:
1 exemplo: Dada a equao linear 24 zyx , encontrar uma de suas solues.
Resoluo: Vamos atribuir valores arbitrrios a x e y e obter o valor de z.
0
2
y
x
6
2042
z
z.
Resposta: Uma das solues a tripla ordenada (2, 0, -6).
2 exemplo: Dada a equao 523 yx , determinar para que a dupla (-1, ) seja soluo da
equao.
2
Resoluo: ,1
y
x 1
482
523
521.3
Resposta: = 4
Exerccios Propostos:
1. Determine m para que 2,1,1 seja soluo da equao 62 zymx .
Resp: -1
2. Dada a equao 132
yx
, ache para que 1, torne a sentena verdadeira.
Resp: -8/5
2. Sistema linear.
Denomina-se sistema linear de m equaes nas n incgnitas nxxx ,...,, 21 todo sistema da
forma:
nnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
...
...
2211
22222121
11212111
nn bbbaaa '2'1'11211 ,...,,,,...,, so nmeros reais.
Se o conjunto ordenado de nmeros reais n'2'1' ,...,, satisfizer a todas as equaes do sistema, ser denominado soluo do sistema linear.
Observaes:
1) Se o termo independente de todas as equaes do sistema for nulo, isto ,
021 n'' b...bb , o sistema linear ser dito homogneo. Veja o exemplo:
0325
04
02
zyx
zyx
zyx
Uma soluo evidente do sistema linear homogneo x = y = z = 0.
Esta soluo chama-se soluo trivial do sistema homogneo. Se o sistema homogneo
admitir outra soluo em que as incgnitas no so todas nulas, a soluo ser chamada
soluo no-trivial.
2) Se dois sistemas lineares, S1 e S2, admitem a mesma soluo, eles so ditos sistemas
equivalentes. Veja o exemplo:
3
2142
531
,S
yx
yx:S
211
3
22
3
2
,Syx
yx
:S
Como os sistemas admitem a mesma soluo {(1, -2)}, S1 e S2 so equivalentes.
Exerccios Propostos:
1. Seja o sistema
2
52
032
321
321
321
1
xxx
xxx
xxx
:S .
a) Verifique se (2, -1, 1) soluo de S. ( Resposta : verdadeira)
b) Verifique se (0,0,0) soluo de S. (Resposta: falsa)
2. Seja o sistema:
32
93 2
kyx
kyx. Calcule k para que o sistema seja homogneo.
Resp: k = -3
3. Calcular m e n de modo que sejam equivalentes os sistemas:
52
1
yx
yx e
2
1
mynx
nymx
Resp: m = 0 e n = 1
3. Expresso matricial de um sistema de equaes lineares.
Dentre suas variadas aplicaes, as matrizes so utilizadas na resoluo de um sistema
de equaes lineares.
Seja o sistema linear:
nnmnmm
nn
nn
bxa...xaxa
...
...
bxa...xaxa
bxa...xaxa
2211
22222121
11212111
Utilizando matrizes, podemos representar este sistema da seguinte forma:
4
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
............
...
...
21
22221
11211
.
nx
x
x
...
...
2
1
=
nb
b
b
...
...
2
1
matriz constituda matriz coluna matriz coluna
pelos coeficientes constituda pelas dos termos
das incgnitas incgnitas independentes
Observe que se voc efetuar a multiplicao das matrizes indicadas ir obter o sistema
dado.
Se a matriz constituda pelos coeficientes das incgnitas for quadrada, o seu
determinante dito determinante do sistema.
Exemplo:
Seja o sistema:
827
1634
052
321
321
321
xxx
xxx
xxx
.
Ele pode ser representado por meio de matrizes, da seguinte forma:
8
1
0
.
217
634
152
3
2
1
x
x
x
Exerccios Propostos:
1. Expresse matricialmente os sistemas:
a)
03
52
yx
yx
b)
253
0
12
cba
ca
cba
2. A expresso matricial de um sistema S :
7
4
13
52
b
a. . Determine as equaes de S.
5
4. Classificao dos sistemas lineares
Os sistemas lineares so classificados, quanto ao nmero de solues, da seguinte
forma:
5. Regra de Cramer
A regra de Cramer consiste num mtodo para se resolver um sistema linear.
nnmnmm
nn
nn
bxa..xaxa
...
...
bxa..xaxa
bxa..xaxa
2211
22222121
11212111
:sistema o Seja
Vamos determinar a matriz A dos coeficientes das incgnitas:
mnmm
n
n
a...aa
...
...
...
a...aa
a...aa
A
21
22221
11211
Vamos determinar agora a matriz Ax1, que se obtm a partir da matriz A, substituindo-
se a coluna dos coeficientes de x1 pela coluna dos termos independentes.
mnmn
n
n
x
a...ab
...
...
...
a...ab
a...ab
A
2
2222
1121
1
Pela regra de Cramer: Adet
Adetx x11
6
De maneira anloga podemos determinar os valores das demais incgnitas:
mnnm
n
n
x
a...ba
...
...
...
a...ba
a...ba
A
1
2221
1111
2
Adet
Adetx x22
nmm
xn
b...aa
...
...
...
b...aa
b...aa
A
21
22221
11211
Adet
Adetx xnn
Generalizando, num sistema linear o valor da incgnita x1 dado pela expresso:
Adet
Adetx ii
tes.independen termosdos coluna pela
xde escoeficient dos colunas as
se-dosubstituinA de obtida matriz a A
sistema. do incompleta matriz a A
i
i
Vejamos alguns exemplos.
1 Exemplo: Resolver o sistema
25
72
yx
yx.
Resoluo: 1151
12
AdetA
3352
1711
AdetA
1121
7222
AdetA
311
331 Adet
Adetx 1
11
112
Adet
Adety
Resposta: 13 ,S
2 Exemplo: Resolver o sistema
2
5
yx
yx.
Resoluo: 011
11
AdetA
712
15
xx AdetA
7
721
51
yy AdetA
0
7
Adet
Adetx x impossvel
0
7
Adet
Adety
y impossvel
Resposta: S
3 Exemplo: Resolver o sistema
1
10543
02
321
321
321
xxx
xxx
xxx
.
Resoluo:
1) Clculo do determinante da matriz incompleta.
126543104
111
543
121
AdetA
2) Clculo do determinante das incgnitas.
24200410100
111
5410
120
11
AdetA
1205103010
111
5103
101
22
AdetA
061000204
111
1043
021
33
AdetA
3) Clculo das incgnitas.
212
2411
Adet
Adetx
112
1222
Adet
Adetx
012
033
Adet
Adetx
Resposta: 012 ,,S Sistema Possvel e Determinado.
8
Exerccios Propostos:
1. Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer.
a)
432
52
yx
yx
Resp: {(1,2)}
b)
93
143
yx
yx
Resp: {(3,2)}
2. Calcule os valores de x, y e z nos sistemas:
a)
3233
932
22
zyx
zyx
zyx
Resp: {(1,2,3)}
b)
03
05
010
zy
zx
yx
Resp: {(6,4,1)}
3. Resolva as equaes matriciais:
a)
13
9
31
12
y
x.
Resp:
5
2
b)
8
2
2
115
632
741
z
y
x
.
Resp:
1
2
1
9
6. Discusso de um sistema linear
Seja o sistema linear de n equaes a n incgnitas.
nnnnnn
nn
nn
bxa...xaxa
...
...
bxa...xaxa
bxa...xaxa
2211
22222121
11212111
Discutir o sistema saber se ele possvel, impossvel ou determinado.
Utilizando a regra de Cramer, temos:
Adet
Adetx,...,
Adet
Adetx,
Adet
Adetx nn
22
11
Possvel e Determinado 0Adet
Possvel e Indeterminado
0
0
21 nAdet...AdetAdet
e
Adet
Impossvel
0 um menos pelo
0
nAdet
e
Adet
Vejamos alguns exemplos:
1) Exemplo: Discutir o sistema
1
23
yx
myx.
Resoluo: Vamos calcular o valor dos determinantes:
mAdetm
A
3
11
3
mAdetm
A
2
11
211
111
2322
AdetA
Fazendo: 3030 mmAdet
20201 mmAdet
Resposta: SPD 3 m (sistema possvel e determinado)
SPI m (sistema possvel e indeterminado), pois det A2 = 1 para qualquer valor
de m
SI 3 m (sistema impossvel)
10
2) Exemplo: Determinar m, de modo que o sistema
4
0
2
zyx
zmyx
yx
seja incompatvel.
Resoluo: 1
111
11
011
mAdetmA
62
114
10
012
mAdetmA xx
4
141
101
021
yy AdetA
66
411
01
211
mAdetmA zz
Fazendo: 1010 mmAdet
30620 mmAdet x
10660 mmAdet z
Para m = 1, teremos: 0
4x (impossvel)
0
4y (impossvel)
0
0z (indeterminado).
Resposta: SI 1 m
3) Exemplo: Verificar se o sistema
0
023
yx
yx determinado ou indeterminado.
Resoluo: Vamos calcular o valor dos determinantes:
5det11
23
AA 0det
10
20
xx AA 0det
01
03
yy AA
Como 05det A , o sistema determinado.
Vamos achar a soluo:
05
0
det
det
A
Ax x e 0
5
0
det
det
A
Ay
y
0,0S
11
Resposta: O sistema determinado e 0,0S .
Observao:
Todo sistema homogneo sempre possvel, pois admite a soluo (0, 0,.., 0) chamada
soluo trivial.
Observe que para um sistema homogneo teremos sempre 0det,...,0det,0det 21 nAAA
Portanto, para a discusso de um sistema linear homogneo, suficiente o estudo do
determinante dos coeficientes das incgnitas.
Determinado 0det A
Indeterminado 0det A
4)Exemplo: Calcular o valor de a para que o sistema
0
0
ayax
yax tenha solues diferentes
da trivial.
Resoluo: Neste caso, o sistema deve ser indeterminado, e teremos 0det A .
1ou 001.0det1
aaaaaaA
aa
aA
Resposta: 1,0
Exerccios Propostos:
1. Discuta os sistemas:
a)
myx
ymx 2
b)
2
1
yx
ykx
c)
qpzyx
zyx
zyx
4
6
1037
12
2. Classifique, quanto ao nmero de solues, os seguintes sistemas homogneos.
a)
086
043
21
21
xx
xx
b)
03
0422
0
zyx
zyx
zyx
c)
04
03
02
yx
zyx
zyx
Respostas exerccios propostos:
1. Discusso de um Sistema Linear. 1. a) SPD se 1m SI se m = 1
b) SPD se 1k SI se k = 1
c) SPD se 1p ; SPI se p = 1 e q = 8; SI se p = 1 e 8q
2. a) indeterminado. b) indeterminado.
c) determinado
7. Escalonamento de Sistemas Lineares
Considerando um sistemas genrico m x n, dizemos que ele est escalonado quando os
coeficientes aij, com i > j , so todos nulos.
Exemplos:
84
123
752
z
zy
zyx
454
11723
zy
zyx
1054
92
tz
tzyx
Classificao e resoluo de sistemas lineares escalonados
1
105
024
623
z
zy
zyx
13
Sistema 3 x 3 j escalonado (nmero de equaes = nmero de incgnitas)
Da 3 equao tiramos z = 2
Da 2 equao, fazendo z = 2, tiramos y = 1
Fazendo y =1 e z = 2 na 1 equao tiramos x = -2
Podemos concluir que o sistema possvel e determinado, com S={(-2,1,2)}
2
90
325
642
1329
w
wz
wzy
wzyx
Sistema 4 x 4 j escalonado.
A 4 equao permite dizer que o sistema impossvel, logo S =
3
063
0
zy
zyx
Sistema 2 x 3 j escalonado (nmero de equaes < nmero de incgnitas)
Quando um sistema escalonado tem mais incgnitas que equaes e pelo menos um
coeficiente no nulo em cada equao, ele possvel e indeterminado. A varivel que
no aparece no comeo das equaes chamada varivel livre. Nesse exemplo z a
varivel livre. Fazemos z = k, com k R, para descobrir a soluo geral do sistema.
Da 2 equao, temos kyzy 2063 .
Usando z = k e y = 2k, temos kxkkx 302 .
Portanto, o sistema possvel e indeterminado e sua soluo geral (-3k, 2k, k).
4
132
22
tz
tzyx
Aqui o sistema possvel e indeterminado (est escalonado e tem 2 equaes e 4
incgnitas) e duas so variveis livres (y e t).
Fazemos ReRcom,tey .
Substituindo nas equaes:
4
3523524
42312422
312
2
31312132
xx
xx
zzz
Soluo geral:
,,,
2
31
4
352
14
Exerccio: Classifique e resolva os sistemas lineares escalonados:
a)
62
12
032
z
zy
zyx
b)
0
223
zy
zyx c)
0
22
dc
dcba
8. Processo para escalonamento de um sistema linear
Para escalonar um sistema linear e depois classific-lo e resolv-lo, alguns
procedimentos podem ser feitos:
1 Eliminamos uma equao que tenha todos os coeficientes e o termo independente nulos. Por exemplo: 0x + 0y + 0z = 0 pode ser eliminada, pois todos os termos de
nmeros reais so solues:
2 Podemos trocar a posio das equaes. Exemplo:
623
14
14
623
yx
yx
yx
yx
3 Podemos multiplicar todos os termos de uma equao pelo mesmo nmero real diferente de zero:
1022653 zyxzyx
Podemos multiplicar os 2 membros de uma equao por um mesmo nmero real
diferente de zero e somarmos aos membros correspondentes da outra equao. Regra
de Chio de matrizes = 10 propriedade. Exemplo:
43
742
25953
3742
zy
zyx
zyx
zyx
4 Se no processo de escalonamento obtivermos uma equao com todos os coeficientes nulos e o termo independente diferente de zero, esta equao suficiente
para afirmar que o sistema impossvel., isto , S = .
Exemplo 1:
3216
135
72
73
3135
72
135
73
72
8253
2172
3272
z
zy
zyx
zy
zy
zyx
zy
zy
zyx
zyx
zyx
zyx
O sistema obtido est escalonado e equivalente ao sistema dado. Podemos agora
resolver:
15
17232
31325
216
32
xx
yy
z
Sistema possvel e determinado, com S = {(-1,3,2)}
Exemplo 2:
)inarlime(zyx
zy
zyx
zyx
zyx
zyx
0000
847
32
6242
13
2332
847
32
zy
zyx
Sistema possvel e indeterminado (escalonado e 2 x 3). Varivel livre: z.
7
48
847
y
yz
7
53
7
482
xx
Soluo geral:
,,
7
48
7
5
Exerccios propostos:
1) Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares abaixo:
a)
02
833
132
zy
zyx
zyx
Resp: Sistema possvel e determinado, com S = {(1,-1,2)}
b)
5232
2
zyx
zyx
Resp: Sistema possvel e indeterminado, com S = {(1+5k, 1-4k, k)}
c)
032
3
zyx
zyx
Resp: Sistema possvel e indeterminado, com S = {(9-2k, k-6, k)}