Nome: RA.:

1ª Prova de Lógica Básica — 2016/2 — Not

• Durante a prova é proibido usar qualquer objeto que não seja lápis ou lapiseira, borracha e caneta.

• Pode responder as questões usando lápis e em qualquer ordem.

• Resoluções sem justificativas não são consideradas.

• Devolva esta folha com seus dados preenchidos acima.

1. Formalizar o quebra-cabeça abaixo em Lógica Proposicional e encontrar a solução usando uma tabela-verdade:

Aladdin encontra dois baús A e B em uma caverna. Ele sabe que cada um deles contém, exclusivamente, ou umtesouro ou uma armadilha fatal. No baú A está escrito: “Pelo menos um desses dois baús contém um tesouro.” No baú Bestá escrito: “Em um baú há uma armadilha fatal.” Aladdin sabe que ambas as inscrições são verdadeiras, ou ambas sãofalsas. É possível Aladdin escolher um baú com a certeza de que ele vai encontrar um tesouro? Se este for o caso, qual baúele deve abrir?

2. Adicione parênteses na seguinte expressão modo que fique fórmula bem formada. Em seguida dê as suas subfórmulas.

¬(¬¬¬α∧β)

3. Demonstre a seguinte propriedade de `Se Γ`α e Σ⊇ Γ então Σ`α.

4. Um conjunto de fórmulas Γ é consistente se não é possível deduzir uma fórmula α e também deduzir a sua negação ¬α apartir de Γ.

Um conjunto de fórmulas Γ é maximalmente consistente se Γ é consistente (de acordo com a definição acima) mas Γ∪{ζ}não é consistente para qualquer fórmula ζ 6∈ Γ.

Demonstre que

Se V : L → {0,1} é uma valoração então o conjuntos das fórmulas verdadeiras, isto é {α ∈ L : V (α) = 1}, é maximal-mente consistente.

5. Escreva uma prova para

` (β→¬α) → (α→¬β).

Você pode usar os axiomas, MP e o teoremas listados abaixo.

(A1) α→ (β→α)

(A2) (α→ (β→ ξ)) → ((α→β) → (α→ ξ))

(A3) (α→β) → ((α→¬β) →¬α)

(A4) α→ (β→ (α∧β))

(A5) α∧β→α

(A6) α∧β→β

(A7) α→α∨β(A8) β→α∨β

(A10) ¬¬α→α

(A9) (α→ γ) → ((β→ γ) → (α∨β→ γ))

(A11) (α↔β) → (α→β)

(A12) (α↔β) → (β→α)

(A13) (α↔β) → ((β→α) → (α↔β))

Teorema da Dedução Γ,α`β então Γ`α→β.Teorema A. `α→α

Lei de Duns Scotus. p1,¬p1 ` p2Teorema B. α→β,β→ γ`α→ γ

Teorema C. θ→ (φ→ ξ) `φ→ (θ→ ξ)

Teorema D. `α→¬¬αTeorema E. α→ (β→ γ),α∧γ` γ

Teorema F. ` (¬β→¬α) → ((¬β→α) →β)Teorema G. ` (¬β→¬α) → (α→β)Regra do destacamento Se Γ`α e Γ`α→β então Γ`β.

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Nome: RA.:

1ª Prova de Lógica Básica — 2016/2 — Not

• Durante a prova é proibido usar qualquer objeto que não seja lápis ou lapiseira, borracha e caneta.

• Pode responder as questões usando lápis e em qualquer ordem.

• Resoluções sem justificativas não são consideradas.

• Devolva esta folha com seus dados preenchidos acima.

1. Formalizar o quebra-cabeça abaixo em Lógica Proposicional e encontrar a solução usando uma tabela-verdade:

Três caixas são apresentadas a você. Uma contém ouro, as outras duas estão vazias. Cada caixa tem estampada nelauma pista sobre o seu conteúdo; as pistas são: CAIXA 1: “O ouro não está aqui”. CAIXA 2: “O ouro não está aqui”. CAIXA 3:“O ouro está na caixa 2”. Apenas uma mensagem é verdadeira, as outras são falsas. Qual caixa tem o ouro?

2. Adicione parênteses na seguinte expressão modo que fique fórmula bem formada. Em seguida dê as suas subfórmulas.

p ∧¬q ∧ r ∧¬s

3. Demonstre a seguinte propriedade de `Se Γ`αi para i = 1,2,3,4 e {α1,α2,α3,α4} `β então Γ`β.

4. Um conjunto de fórmulas Γ é consistente se não é possível deduzir uma fórmula α e também deduzir a sua negação ¬α apartir de Γ.

Um conjunto de fórmulas Γ é maximalmente consistente se Γ é consistente (de acordo com a definição acima) mas Γ∪{ζ}não é consistente para qualquer fórmula ζ 6∈ Γ.

Demonstre que

Se Γ é maximalmente consistente e Γ`β, então β ∈ Γ.

5. Escreva uma prova para

` (¬β→α) → (¬α→β).

Você pode usar os axiomas, MP e o teoremas listados abaixo.

(A1) α→ (β→α)

(A2) (α→ (β→ ξ)) → ((α→β) → (α→ ξ))

(A3) (α→β) → ((α→¬β) →¬α)

(A4) α→ (β→ (α∧β))

(A5) α∧β→α

(A6) α∧β→β

(A7) α→α∨β(A8) β→α∨β

(A10) ¬¬α→α

(A9) (α→ γ) → ((β→ γ) → (α∨β→ γ))

(A11) (α↔β) → (α→β)

(A12) (α↔β) → (β→α)

(A13) (α↔β) → ((β→α) → (α↔β))

Teorema da Dedução Γ,α`β então Γ`α→β.Teorema A. `α→α

Lei de Duns Scotus. p1,¬p1 ` p2Teorema B. α→β,β→ γ`α→ γ

Teorema C. θ→ (φ→ ξ) `φ→ (θ→ ξ)

Teorema D. `α→¬¬αTeorema E. α→ (β→ γ),α∧γ` γ

Teorema F. ` (¬β→¬α) → ((¬β→α) →β)Teorema G. ` (¬β→¬α) → (α→β)Regra do destacamento Se Γ`α e Γ`α→β então Γ`β.

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Nome: RA.:

1ª Prova de Lógica Básica — 2016/2 — Not

• Durante a prova é proibido usar qualquer objeto que não seja lápis ou lapiseira, borracha e caneta.

• Pode responder as questões usando lápis e em qualquer ordem.

• Resoluções sem justificativas não são consideradas.

• Devolva esta folha com seus dados preenchidos acima.

1. Formalizar o quebra-cabeça abaixo em Lógica Proposicional e encontrar a solução usando uma tabela-verdade:

Suponha que sabemos que: (1) ”Se Paulo é magro, então Carlo não é loiro ou Roberta não é alta”. (2) “Se Roberta éalta, então Sandra é adorável”. (3) “Se Sandra adorável e Carlo é loiro, então Paulo é magro”. (4) “Carlo é loiro”. Podemosdeduzir que “Roberta não é alta”?

2. Adicione parênteses na seguinte expressão modo que fique fórmula bem formada. Em seguida dê as suas subfórmulas.

p → q → r → p ∧q ∧ r

3. Demonstre a seguinte propriedade de `Se Γ,α`β e Γ,¬α`β, então Γ`β.

4. Um conjunto de fórmulas Γ é consistente se não é possível deduzir uma fórmula α e também deduzir a sua negação ¬α apartir de Γ.

Um conjunto de fórmulas Γ é maximalmente consistente se Γ é consistente (de acordo com a definição acima) mas Γ∪{ζ}não é consistente para qualquer fórmula ζ 6∈ Γ.

Demonstre que

Se Γ é maximalmente consistente então β ∈ Γ se e só se ¬β 6∈ Γ.

5. Escreva uma prova para

`α→ (¬β→¬ (α→β)).

Você pode usar os axiomas, MP e o teoremas listados abaixo.

(A1) α→ (β→α)

(A2) (α→ (β→ ξ)) → ((α→β) → (α→ ξ))

(A3) (α→β) → ((α→¬β) →¬α)

(A4) α→ (β→ (α∧β))

(A5) α∧β→α

(A6) α∧β→β

(A7) α→α∨β(A8) β→α∨β

(A10) ¬¬α→α

(A9) (α→ γ) → ((β→ γ) → (α∨β→ γ))

(A11) (α↔β) → (α→β)

(A12) (α↔β) → (β→α)

(A13) (α↔β) → ((β→α) → (α↔β))

Teorema da Dedução Γ,α`β então Γ`α→β.Teorema A. `α→α

Lei de Duns Scotus. p1,¬p1 ` p2Teorema B. α→β,β→ γ`α→ γ

Teorema C. θ→ (φ→ ξ) `φ→ (θ→ ξ)

Teorema D. `α→¬¬αTeorema E. α→ (β→ γ),α∧γ` γ

Teorema F. ` (¬β→¬α) → ((¬β→α) →β)Teorema G. ` (¬β→¬α) → (α→β)Regra do destacamento Se Γ`α e Γ`α→β então Γ`β.

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Nome: RA.:

1ª Prova de Lógica Básica — 2016/2 — Not

• Durante a prova é proibido usar qualquer objeto que não seja lápis ou lapiseira, borracha e caneta.

• Pode responder as questões usando lápis e em qualquer ordem.

• Resoluções sem justificativas não são consideradas.

• Devolva esta folha com seus dados preenchidos acima.

1. Formalizar o quebra-cabeça abaixo em Lógica Proposicional e encontrar a solução usando uma tabela-verdade:

Aladdin encontra dois baús A e B em uma caverna. Ele sabe que cada um deles contém, exclusivamente, ou umtesouro ou uma armadilha fatal. No baú A está escrito: “Pelo menos um desses dois baús contém um tesouro.” No baú Bestá escrito: “Em um baú há uma armadilha fatal.” Aladdin sabe que ambas as inscrições são verdadeiras, ou ambas sãofalsas. É possível Aladdin escolher um baú com a certeza de que ele vai encontrar um tesouro? Se este for o caso, qual baúele deve abrir?

2. Adicione parênteses na seguinte expressão modo que fique fórmula bem formada. Em seguida dê as suas subfórmulas.

¬(¬¬¬α∧β)

3. Demonstre a seguinte propriedade de `Se Γ`α e Σ⊇ Γ então Σ`α.

4. Um conjunto de fórmulas Γ é consistente se não é possível deduzir uma fórmula α e também deduzir a sua negação ¬α apartir de Γ.

Um conjunto de fórmulas Γ é maximalmente consistente se Γ é consistente (de acordo com a definição acima) mas Γ∪{ζ}não é consistente para qualquer fórmula ζ 6∈ Γ.

Demonstre que

Se V : L → {0,1} é uma valoração então o conjuntos das fórmulas verdadeiras, isto é {α ∈ L : V (α) = 1}, é maximal-mente consistente.

5. Escreva uma prova para

` (β→¬α) → (α→¬β).

Você pode usar os axiomas, MP e o teoremas listados abaixo.

(A1) α→ (β→α)

(A2) (α→ (β→ ξ)) → ((α→β) → (α→ ξ))

(A3) (α→β) → ((α→¬β) →¬α)

(A4) α→ (β→ (α∧β))

(A5) α∧β→α

(A6) α∧β→β

(A7) α→α∨β(A8) β→α∨β

(A10) ¬¬α→α

(A9) (α→ γ) → ((β→ γ) → (α∨β→ γ))

(A11) (α↔β) → (α→β)

(A12) (α↔β) → (β→α)

(A13) (α↔β) → ((β→α) → (α↔β))

Teorema da Dedução Γ,α`β então Γ`α→β.Teorema A. `α→α

Lei de Duns Scotus. p1,¬p1 ` p2Teorema B. α→β,β→ γ`α→ γ

Teorema C. θ→ (φ→ ξ) `φ→ (θ→ ξ)

Teorema D. `α→¬¬αTeorema E. α→ (β→ γ),α∧γ` γ

Teorema F. ` (¬β→¬α) → ((¬β→α) →β)Teorema G. ` (¬β→¬α) → (α→β)Regra do destacamento Se Γ`α e Γ`α→β então Γ`β.

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Nome: RA.:

1ª Prova de Lógica Básica — 2016/2 — Not

• Durante a prova é proibido usar qualquer objeto que não seja lápis ou lapiseira, borracha e caneta.

• Pode responder as questões usando lápis e em qualquer ordem.

• Resoluções sem justificativas não são consideradas.

• Devolva esta folha com seus dados preenchidos acima.

1. Formalizar o quebra-cabeça abaixo em Lógica Proposicional e encontrar a solução usando uma tabela-verdade:

Três caixas são apresentadas a você. Uma contém ouro, as outras duas estão vazias. Cada caixa tem estampada nelauma pista sobre o seu conteúdo; as pistas são: CAIXA 1: “O ouro não está aqui”. CAIXA 2: “O ouro não está aqui”. CAIXA 3:“O ouro está na caixa 2”. Apenas uma mensagem é verdadeira, as outras são falsas. Qual caixa tem o ouro?

2. Adicione parênteses na seguinte expressão modo que fique fórmula bem formada. Em seguida dê as suas subfórmulas.

p ∧¬q ∧ r ∧¬s

3. Demonstre a seguinte propriedade de `Se Γ`αi para i = 1,2,3,4 e {α1,α2,α3,α4} `β então Γ`β.

4. Um conjunto de fórmulas Γ é consistente se não é possível deduzir uma fórmula α e também deduzir a sua negação ¬α apartir de Γ.

Um conjunto de fórmulas Γ é maximalmente consistente se Γ é consistente (de acordo com a definição acima) mas Γ∪{ζ}não é consistente para qualquer fórmula ζ 6∈ Γ.

Demonstre que

Se Γ é maximalmente consistente e Γ`β, então β ∈ Γ.

5. Escreva uma prova para

` (¬β→α) → (¬α→β).

Você pode usar os axiomas, MP e o teoremas listados abaixo.

(A1) α→ (β→α)

(A2) (α→ (β→ ξ)) → ((α→β) → (α→ ξ))

(A3) (α→β) → ((α→¬β) →¬α)

(A4) α→ (β→ (α∧β))

(A5) α∧β→α

(A6) α∧β→β

(A7) α→α∨β(A8) β→α∨β

(A10) ¬¬α→α

(A9) (α→ γ) → ((β→ γ) → (α∨β→ γ))

(A11) (α↔β) → (α→β)

(A12) (α↔β) → (β→α)

(A13) (α↔β) → ((β→α) → (α↔β))

Teorema da Dedução Γ,α`β então Γ`α→β.Teorema A. `α→α

Lei de Duns Scotus. p1,¬p1 ` p2Teorema B. α→β,β→ γ`α→ γ

Teorema C. θ→ (φ→ ξ) `φ→ (θ→ ξ)

Teorema D. `α→¬¬αTeorema E. α→ (β→ γ),α∧γ` γ

Teorema F. ` (¬β→¬α) → ((¬β→α) →β)Teorema G. ` (¬β→¬α) → (α→β)Regra do destacamento Se Γ`α e Γ`α→β então Γ`β.

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Nome: RA.:

Questões da 1ª Prova de Lógica Básica — 2016/2

1. Formalizar o quebra-cabeça abaixo em Lógica Proposicional e encontrar a solução usando uma tabela-verdade:

Aladdin encontra dois baús A e B em uma caverna. Ele sabe que cada um deles contém, exclusivamente, ou umtesouro ou uma armadilha fatal. No baú A está escrito: “Pelo menos um desses dois baús contém um tesouro.” No baú Bestá escrito: “Em um baú há uma armadilha fatal.” Aladdin sabe que ambas as inscrições são verdadeiras, ou ambas sãofalsas. É possível Aladdin escolher um baú com a certeza de que ele vai encontrar um tesouro? Se este for o caso, qual baúele deve abrir?

Três caixas são apresentadas a você. Uma contém ouro, as outras duas estão vazias. Cada caixa tem estampada nelauma pista sobre o seu conteúdo; as pistas são: CAIXA 1: “O ouro não está aqui”. CAIXA 2: “O ouro não está aqui”. CAIXA 3:“O ouro está na caixa 2”. Apenas uma mensagem é verdadeira, as outras são falsas. Qual caixa tem o ouro?

Suponha que sabemos que: (1) ”Se Paulo é magro, então Carlo não é loiro ou Roberta não é alta”. (2) “Se Roberta éalta, então Sandra é adorável”. (3) “Se Sandra adorável e Carlo é loiro, então Paulo é magro”. (4) “Carlo é loiro”. Podemosdeduzir que “Roberta não é alta”?

Você está andando em um labirinto e de repente se depara com três caminhos possíveis: o caminho à sua esquerdaé por uma via pavimentada com ouro, o caminho em frente é pavimentado com mármore, o caminho à direita é por umavia feita de pequenas pedras. Cada caminho é protegido por um guardião. Você conversa com os guardiões e isso é o queeles dizem:

• O guardião da via de ouro: “Esta via irá levá-lo direto para o centro. Além disso, se as pedras levá-lo para o centro, emseguida, também o mármore leva-o para o centro.”

• O guardião da via de mármore: “Nem a via de ouro nem a de pedras leva-o para o centro.”

• O guardião da rua de pedra: “Siga a via de ouro e você vai chegar ao centro, siga a de mármore e você estará perdido.”

Dado que você sabe que todos os guardiões são mentirosos, é possível escolher um caminho com a certeza de que ele vailevar você para o centro do labirinto? Se esse é o caso, o caminho que você escolher?

Huguinho, Zezinho e Luizinho se encontram presos em um calabouço escuro e frio (como eles chegaram lá é outrahistória). Depois de uma rápida pesquisa os meninos encontram três portas, a primeira vermelha, a segunda azul, e aterceira verde. Atrás de uma das portas há um caminho para a liberdade. Atrás das outras duas portas, no entanto, há ummaldoso dragão que cospe fogo. Abrindo uma porta do dragão a morte é certa. Em cada porta há uma inscrição:

• Na porta vermelha: “A liberdade está atrás desta porta.”

• Na porta azul: “A liberdade não está atrás desta porta.”

• Na porta verde: “A liberdade não está atrás da porta azul.”

Os meninos sabem que pelo menos uma das três inscrições é verdadeira e pelo menos uma é falsa, qual porta levaria osmeninos para a liberdade.

2. Adicione parênteses na seguinte expressão modo que fique fórmula bem formada. Em seguida dê as suas subfórmulas.

¬(¬¬¬α∧β)

p ∧¬q ∧ r ∧¬s

p → q → r → p ∧q ∧ r

3. Use o Princípio de Indução para fórmulas e defina a seguinte função para toda fórmula α da linguagem L da lógica pro-posicional:

`(α) é o número de símbolos da fórmula que não são de pontuação. Por exemplo `((¬p1)) = {2}, `((p1 ∨ p2)) = 3,`((p1 ∧ (p1 → p2)∨ (¬p2))) = 8.

t (α) descreve o conjunto das variáveis proposicionais que ocorrem em α. Por exemplo t (p1) = {p1}, t ((p1 ∨ p2)) ={p1, p2}, t ((p1 ∧ (p1 → p2)∨ (¬p2))) = {p1, p2}.

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4. Demonstre a seguinte propriedade de `Se Γ`α e Σ⊇ Γ então Σ`α.

Se Γ`αi para i = 1,2,3,4 e {α1,α2,α3,α4} `β então Γ`β.

Se Γ,α`β e Γ,¬α`β, então Γ`β.

5. Um conjunto de fórmulas Γ é dito inconsistente se Γ`¬(α→α) para alguma fórmula α, caso contrário é consistente.

Demonstre que se Γ é satisfatível então é consistente.

Demonstre que se Γ é inconsistente então Γ`β para qualquer fórmula β.

6. Um conjunto de fórmulas Γ é consistente se não é possível deduzir uma fórmula α e também deduzir a sua negação ¬α apartir de Γ.

Um conjunto de fórmulas Γ é maximalmente consistente se Γ é consistente (de acordo com a definição acima) mas Γ∪{ζ}não é consistente para qualquer fórmula ζ 6∈ Γ.

Demonstre que

Se V : L → {0,1} é uma valoração então o conjuntos das fórmulas verdadeiras, isto é {α ∈ L : V (α) = 1}, é maximal-mente consistente.

Se Γ é maximalmente consistente e Γ`β, então β ∈ Γ.

Se Γ é maximalmente consistente então β ∈ Γ se e só se ¬β 6∈ Γ.

7. Escreva uma prova para

` (¬α→α) →α

` (α→β) → ((¬α→β) →β)

` (β→¬α) → (α→¬β).

` (¬β→α) → (¬α→β).

`α→ (¬β→¬ (α→β)).

Você pode usar os axiomas, MP e o teoremas listados abaixo. Qualquer outro teorema que você usar tem que ter prova.

(A1) α→ (β→α)

(A2) (α→ (β→ ξ)) → ((α→ β) → (α→ξ))

(A3) (α→β) → ((α→¬β) →¬α)

(A4) α→ (β→ (α∧β))

(A5) α∧β→α

(A6) α∧β→β

(A7) α→α∨β(A8) β→α∨β

(A10) ¬¬α→α

(A9) (α→ γ) → ((β→ γ) → (α∨β→ γ))

(A11) (α↔β) → (α→β)

(A12) (α↔β) → (β→α)

(A13) (α↔β) → ((β→α) → (α↔β))

Teorema da Dedução Γ,α`β então Γ`α→β.Teorema A. `α→α

Lei de Duns Scotus. p1,¬p1 ` p2

Teorema B. α→β,β→ γ`α→ γ

Teorema C. θ→ (φ→ ξ) `φ→ (θ→ ξ)

Teorema D. `α→¬¬αTeorema E. α→ (β→ γ),α∧γ` γTeorema F. ` (¬β→¬α) → ((¬β→α) →β)Teorema G. ` (¬β→¬α) → (α→β)Regra do destacamento Se Γ`α e Γ`α→β então Γ`β.

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