EE-240/2007 – Métodos Baseados em Modelos

set 2007

12 set 2007Métodos baseados

em Modelos

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set 2007

Modelo:

“Representação das características essenciais do sistema em estudo”

EstadoMedidas

OuSaída

Entrada ouExcitação

)Ms()v(DuCxy)Ha()Gw(Bux)AA(x

kkkkk

kkkk1k

Ruído deEstado

Ruído deMedida

Falha deAtuador

Falha deSensor

FalhaInterna

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k1nknk11k uy...yy

knk

2nk2k

1nk1k

yx

yx

yx

k1kn

1nk2

nk1

n1k

3k

21k

2k

11k

uxxxx

xx

xx

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k1kn

1nk2

nk1

n1k

3k

21k

2k

11k

uxxxx

xx

xx

k

nk

1nk

2k

1k

12n1nnn

1k

1n1k

21k

11k

u0

00

xx

xx

1000

01000010

xx

xx

A B

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kk

kk1kCxy

BuAxx

12n1nn

1000

01000010

A

0

00

B 1000C

k1nknk11k uy...yy

ou

Obs: • Transformada Z Função de Transferência• u = Delta de Kronecker Resposta Pulso

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Como utilizar Modelos noPrognóstico de Falhas?

Observadores de Estado

IdentificaçãoParamétrica

Equaçõesde Paridade

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Observadores de Estado(ou Estimadores de Estado)

)xCCx(LBuBu)xx(Axx kkkkkk1k1k

)xx)(LCA(xx kk1k1k

kk

kk1kCxy

BuAxx

Planta:

kk

kkkk1kxCy

)yy(LBuxAx

Observador:

( – )

ke1ke

unitáriodisconovaloresepossuiéLCAse0ek

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set 2007

kkk

kkk1k

vx100y

w111

u001

x5.11074.001

12.000x

Exemplo:

9.062.0

112.0L

E-valores do observador em 0.1 e 0.2 (mult 2)

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kkk yyy~

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set 2007

kkk yyy~

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Exemplo:

kkk

kkk1k

vx125100

y

w111

u001

x5.11074.001

12.000x

9.062.0

112.0L

E-valores do observador em 0.1 e 0.2 (mult 2)

Observador utilizandoapenas 1

ky

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amareloy~magentay~

2k

1k

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Falha A Falha B

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Equações de Paridade

kk

kk1kCxy

BuAxx

Sem falhas:

1ikk1i

ki

ik

1kkk2

1k1k2k2k

kk1k1k

kk

CBuBuCAxCAy

CBuCABuxCACBuCAxCxy

CBuCAxCxyCxy

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ik

2k

1k

k

2i1i

k

1i

2

ik

2k

1k

k

u

uuu

0CBBCABCA

00CBCAB000CB0000

x

CA

CACAC

y

yyy

Y T Q U

QUTxY k

0WT.q.tW

0WQUWY:r

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kkk

kkk1k

vx100y

w111

u001

x5.11074.001

12.000x

Exemplo:

W = [-0.12 0.74 -1.5 1.0]

275.151.15.151.15.115.110

100

T

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Resíduo

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Resíduo

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Identificador

kk UYE ,ˆ

SistemaParcialmenteConhecido

ku ky

kkk wCxfx ,1

kkk vGxHy

kw

Identificação Paramétrica

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Dados: qy Rp ,,

Taentecorrespondy

Obter: um estimador g, tal que g( y ) se aproxime de T

1. Estimador:

1,yp 2,yp

y

Exemplo:

a

ayseayse

yg

2

1)(

Identificação Paramétrica

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LSE

2. Estimador Não - Polarizado:

dpgygE yR ,)(

Exemplo: Seja ),0(~ INeeAy

mínimosejaAyquetalyg2ˆ)(ˆ Obter

yAAA

yAAA

AAAyyydd

AyAydd

Aydd

TT

TT

TTTT

T

1

ˆ

2

ˆ

022

02

0

0

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eAAAEAAAAE

eAAAAAAAE

eAAAAE

yAAAEygE

poispolarizadonãoéyAAA

TTTT

TTTT

TT

TT

TT

11

11

1

1

1

)()(

)()(

)()(

)()(

,ˆ

3. Teorema de Gauss-Markov:

LSE é ótimo na classe de estimadores lineares não-polarizados

covˆcov,EquetalBy

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covˆcov,EquetalBy

T

TT

T

T

T

BB

BBeeE

EeABEeABE

EByEByE

EEE

IBABAE

BeEBAEeABE

ByEE

))()()((

))((

))((cov

)(

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covˆcov,EquetalBy

1

11

11

11

1

1

1

)(

)()(

)()(

)()(

])ˆ[ˆ])(ˆ[ˆ(ˆcov

)(

)()(

)(

ˆ]ˆ[ˆ

AA

AAAAAA

AAAeeEAAA

AAAeeAAAE

EEE

eAAA

eAAAA

yAAA

E

T

TTT

TTTT

TTTT

T

TT

TT

TT

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covˆcov,EquetalBy

TT BBAA

covˆcov1

ˆcov~~)(~~

)()(~)()(~~~)(~)(~

cov

1

1111

11

T

TT

TTTTTTTT

TTTTT

T

BB

AABB

AAAAAABAAAAAABBB

AAABAAAB

BB

0~,

~

1

1

AAAABAAB

IBAComoAAABBSeja

TT

TT

0

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Matriz deInformação

de Fisher

4. Limitante Inferior de Cramér-Rao: 1)(cov Myg

onde

),(log),(log ypypEm yj

yi

ij

dpgouygE

polarizadonãoégComo

yRm ),()()(

,(.)

i

yRi

dpgm ),()(

ijseijse

10

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IpgE

Idppg

Idpg

y

yyR

yR

m

m

),(log)(

),(),(log)(

),()(

0),(log

0),(),(log

0),(

1),(

y

yR y

R y

R y

pE

dpp

dp

dp

m

m

m

Por outro lado,

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Ty

T

y

pg

p

gE ),(log

),(log

cov

),(log yp

gSe então,

1

1

11

cov

0cov

0cov

0cov

cov

Mg

Mg

MI

MIIg

MI

MIIg

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5. Eficiência: g(y) é dito ser eficiente se 1)(cov Myg

6. Teorema: eficienteéyAAAyg TT 1ˆ

1ˆcov

AAT

AyAyp T

my 21exp

21),( 2/

AyAymp Ty 2

12log2

),(log

AAAeeAEM

eAyAAAp

TTT

TTTy

),(log

1ˆcov M

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7. Propriedades do LSE:

eficienteéyAAAyg TT 1ˆ e não polarizado

8. Identificação de Modelos ARMAX:

kmkmknknkk euuyyy 1111

N

n

n

n

m

n

mNNnNN

mnnn

mnnn

mnnn

N

n

n

n

e

eee

uuyy

uuyyuuyyuuyy

y

yyy

2

1

1

1

11

2121

11

101

2

1

y = A + e

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1. Lema de Inversão de Matrizes:

1111111 AbcAbAcAbcA TTT

2. Estimação Recursiva:

1111

N

NTN

N

N

NeE

aA

yY

medidasN

11

1

111ˆ

N

NT

TN

NTN

NT

TN

NN y

YaA

aA

aA

11

1

111ˆ

N

NN

TNT

N

NN

TNN y

YaA

aA

aA

111

111ˆ

NNN

TN

TNNN

TNN yaYAaaAA

NTNN

TNNNNN YAAAondeAYmedidasN 1)(ˆˆ,,

Identificação Paramétrica Recursiva

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1 NTNN AAP

T

N

NN a

AA

11

111

1

11

1111

T

NNNTNT

N

NT

TN

NN

TNN aaAA

aA

aA

AAP

1111111 AbcAbAcAbcA TTT

1111

111

TNNN

TNNN

TNN aaPaaAAP

NTNNNNN

TNN PaaPaPaP 11

1111

111

11

1

NN

NNTN

N aPaPa

K

NTNNN PaKIP 111

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111

111ˆ

NNN

TN

TNNN

TNN yaYAaaAA

1111ˆ NNN

TNNN yaYAP

NTNNNNN

TNNN PaaPaPaPP 11

1111 1

1111

11111

111

111

1

1ˆ

NNNTNNNNN

TNNNN

NTNN

TNNNNN

TNN

TNNN

yaPaaPaPayaP

YAPaaPaPaYAP

NTNNN YAP 1

1111

1

NN

NNTN

N aPaPa

K

NTNNNNN ayK ˆˆˆ 1111

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NTNNNNN ayK ˆˆˆ 1111

111

11

1

NN

NNTN

N aPaPa

K

NTNNN PaKIP 111

mNNnNNTN uuyya 111

NmNmNnNnNN euuyyy 1111

Identificador

kk UYE ,ˆ

SistemaParcialmenteConhecido

ku ky

ke

Tmn 11

3. Identificação de Modelos ARX:

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kkk

kkk1k

vx100y

w111

u001

x5.11074.001

12.000x

Exemplo:

k1nkkk1k u00.1y12.0y74.0y50.1y

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k1nkkk1k u00.1y12.0y74.0y50.1y

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Muito Obrigado!