Post on 12-Feb-2020
Domacı uloha 2 – MacGyver Lubos Plamitzer
1 Problem
Pro sestrojenı vybusniny pouzije MacGyver zvykacku pripevnenou na okraje ctvercoveho ramecku o hranach
delky 1, jehoz rohy jsou v bodech (0,0), (1,0), (1,1), (0,1). V termodynamicke rovnovaze zvykacka zaujme
minimalnı povrch. Nicmene z povetrnostnıch duvodu ma omezenı
∫ 1
0
∫ 1
0
u(x, y) sin(πx) sin(πy) dx dy =1
100, (1)
kde u(x, y) oznacuje vysku povrchu zvykacky nad rovinou ramecku. Jaky priblizne tvar zvykacka zaujme?
2 Resenı
Povrchovy element dS je v prıpade funkce dvou promennych u(x, y) roven
dS =√
1 + u2x + u2
y dx dy. (2)
Celkovou plochu pak dostavame integracı po cele mnozine:
∫Ω
dS =
∫ 1
0
∫ 1
0
√1 + u2
x + u2y dx dy. (3)
Cılem je tedy najıt minimum integralnıho funkcionalu (3) s vazbou. S vyuzitım tvaru Euler-Lagrangeovy
rovnice pro funkcional jedne funkce o vıce promennych [1]
Fu − ∂
∂xFux
− ∂
∂yFuy
(4)
pisme v souladu s vetou o Lagrangeovych multiplikatorech pro integralnı funkcionaly [1]
Fu − λGu − ∂
∂x(Fux − λGux) − ∂
∂y
(Fuy − λGuy
)= 0 (5)
pro G rovno vazebnı podmınce ze zadanı.
Mame
Fu = 0 (6)
Fux=
ux√1 + u2
x + u2y
(7)
1
Domacı uloha 2 – MacGyver Lubos Plamitzer
Fuy=
uy√1 + u2
x + u2y
(8)
Gu = sin(πx)sin(πy) (9)
Gux= 0 (10)
a
Guy= 0. (11)
Parcialnı derivace podle x, resp. y prıslusnych vyrazu (7, 8) jsou (po uprave) rovny
∂
∂x(Fux
− λGux) =
uxx(1 + u2
y
)− uxuyuyx(
1 + u2y + u2
z
) 32
(12)
a∂
∂y
(Fuy
− λGuy
)=uyy
(1 + u2
x
)− uxuyuxy(
1 + u2y + u2
z
) 32
, (13)
dosazenım a upravou tedy dostavame
−uxx(1 + u2
y
)+ uxuyuyx − uyy
(1 + u2
x
)+ uxuyuxy = λ sin(πx) sin(πy)
(1 + u2
y + u2z
) 32 , (14)
nehomogennı nelinearnı parcialnı diferencialnı rovnici druheho radu.
Proved’me nynı Ansatz resenı: hledejme je ve specialnım tvaru
u(x, y) = A sin(πx) sin(πy), (15)
ktere vyhovuje stanovenym hranicnım podmınkam.
Hodnotu konstanty A zjistıme dosazenım do (1):
∫ 1
0
∫ 1
0
A sin2(πx) sin2(πy) dx dy =A
4=
1
100. (16)
A je tedy v tomto prıpade rovno 4100 . Odpovıdajıcı prubeh funkce vykresluje graf 1.
2
Domacı uloha 2 – MacGyver Lubos Plamitzer
Graf 1: Ansatz: u(x, y) = 4100 sin(πx) sin(πy).
Proved’me nynı pozorovanı: kvadrat derivace ux (resp. uy symetricky v (x, y)) je roven
u2x = A2π2 cos2(πx) sin2(πy) =
16π2
1000cos2(πx) sin2(πy) (17)
Na mnozine (0, 1) × (0, 1) nabyva maxima v bodech (0, 12 ) a (1, 1
2 ), ve kterych je rovno
max u2x ≈ 0.016. (18)
Graficky vykresluje prubeh funkce u2x graf 2.
Graf 2: prubeh u2x.
Pro srovnanı vykresleme chovanı funkce uyy:
3
Domacı uloha 2 – MacGyver Lubos Plamitzer
Graf 3: prubeh uyy.
Vidıme tedy, ze tedy v clenu PDR −uyy(1 + u2
x
)dochazı ke skalovanı uyy faktorem nejvyse rovnym ≈ 1.016
(pro nas konkretnı Ansatz) – navıc jeste na hranici (!), kde jsou cleny uyy, jak patrno z grafu 3, velmi blızke
nule. V ramci priblızenı muzeme tedy clen(1 + u2
x
)polozit roven 1.
Analogicka argumentace muze byt provedena pro cleny se smısenymi derivacemi, ktere muzeme navıc ze
zamennosti druhych derivacı (pro nas hladky Ansatz) spojit do jednoho vyrazu
2uxuyuxy, (19)
ktery je roven po provedenı prıslusnych derivacı 2( 4100
3)π4 sin(πx) sin(πy) cos2(πx) cos2(πy), graficky viz graf 4.
Graf 4: prubeh 2xuyuxy.
Clen dosazuje v maximech ≈ 10% hodnoty clenu s uxx, resp. uyy, opet vsak v mıstech, kde jsou prıslusne
4
Domacı uloha 2 – MacGyver Lubos Plamitzer
hodnoty blızke nule. Muzeme jej tedy polozit roven nule celkove.
Obe tyto aproximace vedou na rovnici
uxx + uyy = λ sin(πx) sin(πy). (20)
Dosazenım dostavame8
100π2 sin(πx) sin(πy) = λ sin(πx) sin(πy) (21)
λ =8π2
100. (22)
S tımto multiplikatorem λ tak dostavame resenı Euler-Lagrangeovy rovnice splnujıcı prıslusnou vazbu a tedy
prıslusne (priblizne) resenı naseho problemu.
3 Odpoved’
Zvykacka priblizne zaujme tvar dany rovnicı
u(x, y) =4
100sin(πx) sin(πy) (23)
pro u(x, y) rovno vysce povrchu od roviny ramecku.
Graf 5: Priblizny tvar Macovy zvykacky.
Odchylky od exaktnıho resenı budou nejvetsı ”pri upatı” nami nalezeneho resenı.
5