1

Mais Propriedades de

Linguagens Regulares

2

Já provamos

Linguagens Regulares são fechadas sob:

União

Concatenação

Operação Star

Reverso

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Ou seja, para linguagens regulares e :1L 2L

21 LL

21LL

1L

União

Concatenação

Operação Star

Reverso RL1

LinguagensRegulares

4

Vamos provar

Linguagens Regulares são fechadas sob:

Complemento

Interseção

5

Ou seja, para linguagens regulares e :1L 2L

1L

21 LL

Complemento

Interseção

LinguagensRegulares

6

Complemento

Teorema:Para qq linguagem regularo complemento é regular L

L

Prova: Tome um DFA que aceita e faça• os estados não finais finais• os estados finais não finais

O DFA resultante aceita

L

L

7

Exemplo:a

b ba,

ba,

0q 1q 2q

)*( baLL

a

b ba,

ba,

0q 1q 2q

)*))((**( bababaaLL

8

Interseção

Teorema:Para linguagens regulares e a interseção é regular 21 LL

1L 2L

Prova: Use a Lei de DeMorgan:

2121 LLLL

9

21 , LL regular

21 , LL regular

21 LL regular

21 LL regular

21 LL regular

10

Representações Padrão de

Linguagens Regulares

11

Representações Padrão de Linguagens Regulares

Linguagens Regulares

DFAs

NFAsExpressõesRegulares

GramáticasRegulares

12

Quando dizemos:Dada uma Linguagem Regular

Queremos dizer:

L

Linguagem em umarepresentação padrão

L

13

Questões Elementares

sobre

Linguagens Regulares

14

Questão da Pertinência

Questão:Dada uma linguagem regulare um string como determinar se ?

Lw

Resposta: Tome um DFA que aceitae verifique se é aceito ou não

Lw

15

DFA

Lw

DFA

Lw

w

w

16

Dada uma linguagem regular como podemos determinarse é vazia: ?

L

L )( L

Questão:

Tome um DFA que aceita

Verifique se existe um caminhodo estado inicial até o estado final

LResposta:

17

DFA

L

DFA

L

18

Dada um linguagem regularcomo podemos determinarse é finita?

L

L

Questão:

Tome um DFA que aceita

Verifique se existe um caminho doestado inicial para um estado final que possua um ciclo

LResposta:

19

DFA

L é infinita

DFA

L é finita

20

Dadas linguagens regulares e como determinar se ?

1L 2L

21 LL Questão:

)()( 2121 LLLL

Determine seResposta:

21

)()( 2121 LLLL

21 LL 21 LL e

21 LL

1L 2L 1L2L

21 LL 12 LL 2L 1L

22

)()( 2121 LLLL

21 LL 21 LLou

1L 2L 1L2L

21 LL 12 LL

21 LL

23

Linguagens Não Regulares

24

Linguagens Regulares

ba* acb *

...etc

*)( bacb

Linguagens Não Regulares

}0:{ nba nn

}*},{:{ bawwwR

25

Como podemos provar que uma linguagemnão é regular?

L

Provar que não existe um DFA que aceite L

Problema: isso não é fácil de provar

Solução: Lema do Bombeamento !!!

32

DFA com estados 4

1q 2q 3qa

b

4q

b

b b

b

a a

Antes de formular o Lema do Bombeamento,vamos introduzir sua idéia básica por meiode um exemplo

33

1q 2q 3qa

b

4q

b

b

b

a a

a

Nos caminhos dos strings:

aab

aa

anenhum estadoé repetido

34

Nos caminhos dos strings:

1q 2q 3qa

b

4q

b

b

b

a a

a

...abbbabbabb

abbabb

bbaa

aabbalgum estadoé repetido

35

Se o caminho de um string

tem comprimento

1q 2q 3qa

b

4q

b

b

b

a a

a

w4|| w

então algum estado é repetido

36

Se em um caminho de um string no. de transições estados do DFAentão algum estado é repetido

1q 2q 3qa

b

4q

b

b

b

a a

a

w

38

Em geral:

String tem comprimento no. de estados w

Um estado deve ser repetido no caminho dewq

q...... ......

caminho de w

39

Lema do Bombeamento

40

Seja uma linguagem regular infinitaL

DFA que aceita L

mestados

41

Tome um string tal que w Lw

Existe um caminho com rótulo :w

.........

caminho w

42

Se o string tem comprimentow mw ||

número de estados

então algum estado é repetido no caminhoq w

q...... ......

caminhow

43

Escreva zyxw

q...... ......

x

y

z

44

q...... ......

x

y

z

Observações: myx || númerode estados

1|| y

45

O string é aceito zxObservação:

q...... ......

x

y

z

46

O string é aceito

zyyxObservação:

q...... ......

x

y

z

47

O string é aceito

zyyyxObservação:

q...... ......

x

y

z

48

O string é aceito

zyx iEm Geral:

...,2,1,0i

q...... ......

x

y

z

49

Em outras palavras, nós descrevemos:

O Lema do Bombeamento !!!

50

O Lema do Bombeamento:

• Dada uma linguagem regular infinitaL

• existe um inteiro m

• para todo string comLw mw ||

• podemos escrever zyxw

• com emyx || 1|| y

• tal que: Lzyx i ...,2,1,0i

51

Aplicações

do

Lema do Bombeamento

52

Teorema: A linguagem }0:{ nbaL nn

não é regular

Prova: Use o Lema do Bombeamento

53

Suponha, por contradição,que é uma linguagem regularL

Como é infinitapodemos aplicar o Lema do Bombeamento

L

}0:{ nbaL nn

54

Seja o inteiro do Lema do Bombeamento

Tome um string tal que: w Lw

mw ||comprimento

Exemplo:mmbawtome

m

}0:{ nbaL nn

55

Escreva: zyxba mm

deve ser verdade que

Pelo Lema do Bombeamento 1||,|| ymyx

Portanto: babaaaaba mm ............

1, kay kx y z

m m

56

Do Lema do Bombeamento: Lzyx i

...,2,1,0i

Portanto:

mmbazyx

Lbazyyxzyx mkm 2

Lzyx 2

Temos: 1, kay k

57

Lba mkm Portanto:

}0:{ nbaL nnMAS:

Lba mkm

CONTRADIÇÃO!!!

58

Nossa hipótese de queé uma linguagem regular não é verdadeira!

L

Conclusão: Lnão é uma linguagem regular

Portanto:

59

Linguagens Regularesba* acb *

...etc

*)( bacb

Linguagens Não Regulares }0:{ nba nn