Post on 18-Apr-2015
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Exponential Random Graph Models
Deive Ciro de Oliveiradeive.oliveira@unifal-mg.edu.br
Unifal-mg
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Sumário
Modelos Probabilísticos Inferência
Estimação Testes de Hipóteses
Modelos Lineares Generalizados Modelos Exponenciais para Grafos Aleatórios Aplicação
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Modelos Probabilísticos
Espaço Amostral e de Eventos
Espaço Amostral (S): “Conjunto de resultados”
Espaço de Eventos (E): “Conjunto de Subconjuntos dos resultados”
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Modelos Probabilísticos
Exemplos: Lançamento de uma moedaS={H,T}, E={Ø,{H},{T},{H,T}} Lançamento de um dadoS={1,2,3,4,5,6}E={Ø,{1},{2},..{1,2},{1,3}...,{1,2,3},{1,2,4},...
{1,2,3,4},{1,2,3,5},..{1,2,3,4,5,6}}
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Modelos Probabilísticos
Probabilidade (definida sobre eventos)
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Modelos Probabilísticos
Exemplos Experimento: Lançamento de Moeda
i) P(Ø)=0, P({H})=0.5, P({T})=0.5, P({H,T})=1 ii) P({H,T})=1 iii) P({H}U{T})=P({H})+P({T})=0.5+0.5=1
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Modelos Probabilísticos
Probabilidade Condicional Dados os eventos E e F:
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Modelos Probabilísticos
Probabilidade Condicional Exemplo: Cartas embaralhadas e numeradas
de 1 a 10. Retirada uma carta, que é ao menos 5, qual a probabilidade de desta ser um 10?
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Modelos Probabilísticos
Independência Dois eventos E e F , onde P(E)>0 e P(F)>0, são
independentes se:
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Modelos Probabilísticos
Independência Lançamento de dois dados, com os eventos:E1: soma dos dados é 6E2: soma dos dados é 7F: o primeiro dados é 4
Eventos Independentes Eventos dependentes
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Modelos Probabilísticos
Teorema de Bayes Teoria dos conjuntos
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Modelos Probabilísticos
Teorema de Bayes Jogo das Portas (Monty Hall)
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Modelos Probabilísticos
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Modelos Probabilísticos
Teorema de Bayes Solução C=Porta do carro S=Porta do jogador H=Porta do apresentador
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Modelos Probabilísticos
Variável Aleatória Definição: é uma função
CD
Espaço de Eventos
(S)
V.A.
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Modelos Probabilísticos Variável Aleatória
Exemplo: Seja X (Variável Aleatória) a soma do resultado do lançamento de dois dados
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Modelos Probabilísticos
Variável Aleatória Importante: Estudos de Variáveis Aleatórias se
desvincula dos eventos.
Não preciso saber a natureza do evento para estudar a Variável Aleatória
Notação• X representa a V.A. (Maiúsculo)• x representa um valor de V.A. (Minúsculo)
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Modelos Probabilísticos
Tipos de Variável Aleatória De acordo com sua imagem
Quantitativas vs Qualitativas (Quantitativas) Discretas vs. Contínuas (Qualitativas) Nominal vs Ordinal
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Modelos Probabilísticos
Variáveis Aleatórias admitem:– Probabilidade
• Função Acumulada F(x)=P(X ≤ x)• Massa (Discretas) p(x)=P(X = x) * ERGM
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Modelos Probabilísticos
Variáveis Aleatórias admitem:– Probabilidade
• Massa (Discretas paramétricas)
BernoulliBinomial
GeométricaPoisson
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Modelos Probabilísticos
Variáveis Aleatórias admitem:– Probabilidade
• Densidade (f(x))
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Modelos Probabilísticos
Variáveis Aleatórias admitem:– Probabilidade
• Densidade (Paramétricas)
Uniforme Exponencial
Gama
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Modelos Probabilísticos
Variáveis Aleatórias admitem:– Probabilidade
• Distribuição Normal
OUTRAS DISTRIBUIÇÕES
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Modelos Probabilísticos
Resumo– Variável Aleatória – Distribuição de Probabilidade– Parâmetros ( θ )
• Distribuição Normal ( θ = (μ,σ))• Distribuição Gamma ( θ = (λ,α))• Distribuição Binomial ( θ = (n,p))• Distribuição Bernoulli ( θ = (p))• Distribuição Poisson (θ = (λ))
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Modelos Probabilísticos Função de VEROSSIMILHANÇA Probabilidade:
• f ( X | θ )• Função de X dado θ
Verossimilhança (likehood):• L ( X | θ )• Função de θ dado
Log-Verossimilhança (log-likehood):• log(L ( X | θ ))• Função de θ dado
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Inferência (Estimação)
Objetivo: Dada uma amostra (conjunto de observações) de uma variável aleatória, obter estimadores (função das observações) do parâmetro θ do modelo probabilístico adotado.
Tipos: Pontual Intervalar
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Inferência (Estimação)
Métodos (Pontual): Mínimos Quadrados Momentos Máxima Verossimilhança Inferência Bayesiana
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Inferência (Estimação) Máxima Verossimilhança:
“O que acontece é o mais verossímil”
= arg maxΘ
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Inferência (Estimação)
= arg maxΘ
Maximizando Log-Verossimilhança
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Inferência (Teste de Hipótese)
Dados:• Ho: Hipótese sobre θ • H1: Hipótese alternativa sobre θ
Teste de hipótese:i - Quando (valores amostrais) aceitar Ho como verdadeiraii – Quando (valores amostrais) rejeitar Ho como verdadeira
assumindo H1 como verdadeira.
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Inferência (Teste de Hipótese)
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Inferência (Teste de Hipótese)
Teste de razão de Verossimilhança:
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Inferência (Teste de Hipótese)
Avaliando o Teste:– Probabilidade de Erro Tipo I
• (Rejeitar Ho verdadeira)
– Probabilidade de Erro Tipo II• (Aceitar Ho falsa)
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Inferência (Teste de Hipótese)
Podemos avaliar um teste:– P(Erro I) e P (Erro II)
-2log(λ(x)) assintoticamente tem uma distribuição qui-quadrado!
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Inferência (Teste de Hipótese)
Exemplo: A Moeda é Viciada?– 10 lançamentos (H,T,H,H,H,H,H,T,H,H )
• (Xi resultado de cada lançamento).
– Ho: p=0.5– H1: P≠0.5– Teste de razão de verossimilhança:
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Modelos Exponenciais para Grafos Aleatórios (ERGM)
X: Grafo com número de nós fixoZi(x): variável explanatória i do grafo x
• número de arestas, • numero de triângulos de tamanho 3.
Θi: Valor real (Θ é um vetor)
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Modelos Exponenciais para Grafos Aleatórios (ERGM)
K(Θ) é uma constante normalizadora
Aplicando exponencial
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Modelos Exponenciais para Grafos Aleatórios (ERGM)
Roteiro (R statistical software):Cálculo de ProbabilidadeMétodos de Estimação
• Pseudo Máxima Verossimilhança (MPLE)• MCMC Máxima Verossimilhança (MLE
Qualidade de Ajuste (gof)Teste de Razão de VerossimilhançaAgrupamento