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ESTATÍSTICA

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UDIII - Relação Entre Duas ou Mais Variáveis

ESTATÍSTICA

Ass 01: Regressão Simples

(2a Parte)

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OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Calcular o intervalo de 95% de confiança para o coeficiente angular

• Calcular o Valor-p da hipótese nula H0: =0

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SUMÁRIO

1. O Modelo de Regressão

2. Variabilidade Amostral

3. Intervalos de Confiança e Testes para

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1. O Modelo de Regressão

Até aqui, nosso estudo de uma amostra de pontos envolveu apenas o ajustamento de uma reta. Queremos agora fazer inferências sobre a população subjacente, da qual se extraiu a amostra.

Para tanto, devemos construir um modelo matemático que nos permita estabelecer intervalos de confiança e testes de hipóteses.

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a. Hipóteses Simplificadoras

1. Todas as distribuições tenham a mesma dispersão (todas as distribuições de probabilidades p(Yi/Xi) têm a mesma variância 2 para todos Xi(i=1,2,...,n)

2. As médias de todas as distribuições estão sobre uma reta, chamada reta de regressão da verdadeira população.

3. As variáveis aleatórias Yi são estatisticamente independentes.

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As variáveis aleatórias Yi são estatisticamente independentes com

Média = i = + Xi

Variância = 2

Yi = + Xi + ei

Onde os ei (erro ou perturbação) são variáveis aleatórias independentes com

Média = 0

Variância = 2

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b. A Natureza do Termo Erro

O erro aleatório pode ser considerado como a soma de duas componentes:

1. Erro de mensuração (p.ex., pesagem imprecisa).

2. A variabilidade inerente (p.ex., condições do solo, quantidade de água, etc).

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c. Estimação de e P(Y/X)

Y= + X = a + bXYestimada por

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2. Variabilidade Amostral

a. Distribuição Amostral de b

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A estimativa de b tem distribuição aproximadamente normal com

Valor esperado de b =

Erro padrão de b =2x

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3. Intervalos de Confiança e Testes para

a. Estimativa do Erro Padrão de b

Como o erro padrão de b é , onde 2 é a variância das observações Y em relação à reta populacional. Ora, 2 é, em geral, desconhecido devendo ser estimado. Uma forma natural de estimar 2 é utilizar os desvios de Y em relação à reta ajustada:

22 x/

22 )YY(n

1d

n

1

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22 )YY(2n

1s

Estimamos, pois, 2 com a variância residual s2 definida por

Onde é o valor ajustado na reta de regressão, isto é, . Daí:

YbXaY

2x

sEP

Erro padrão

estimado:

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b. Intervalos de Confiança

EPtb 025,0

2025,0x

stb

Intervalo de 95% de confiança para o coeficiente angular: g.l.= n-2

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Exemplo: Determine o intervalo de 95% de confiança para o coeficiente angular relacionando a safra de trigo com o fertilizante

100200300400500600700

40505070656580

X Y42,348,254,160,065,971,877,7

059,04,36Y

-2,31,8-4,110,0-0,9-6,82,3

YY 2)YY( 5,293,24

16,81100,00,81

46,245,29

170025,0pValor

2,50113,0

059,0

EP

bt

088,0030,0

029,0059,0

)0113,0(571,2059,0

)0113,0(571,2059,0000.280

54,35571,2059,0

54,3527

68,177s2

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PRATIQUE COM OS

EXERCÍCIOS .

BOA SORTE!