Post on 07-Apr-2016
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Estado Final Único para NFAs e DFAs
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Observação
Todo Autômato Finito (NFA ou DFA)
pode ser convertido em um NFA equivalente
com um único estado final
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a
b
ba NFA
NFA Equivalente
a
b
ba
Exemplo
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NFAEm Geral
NFA Equivalente
Estadofinal único
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Caso Extremo
NFA sem estado final
Adicione um estado final sem transições
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Algumas Propriedades de Linguagens Regulares
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Propriedades1L 2L
21LLConcatenação:
*1LStar:
21 LL União:
São LinguagensRegulares
Para linguagens regulares e vamos provar que:
8
Dizemos:Linguagens Regulares são fechadas sob
21LLConcatenação:
*1LStar:
21 LL União:
9
1LLinguagem Regular
11 LML
1M
Estado final único
NFA 2M
2L
Estado final único
22 LML
Linguagem Regular
NFA
10
Exemplo
}{1 baL na
b
1M
baL 2ab2M
11
UniãoNFA para
1M
2M
21 LL
12
Exemplo
ab
ab
}{1 baL n
}{2 baL
}{}{21 babaLL n NFA para
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Concatenação
NFA para 21LL
1M 2M
14
Exemplo NFA for
ab ab
}{1 baL n}{2 baL
}{}}{{21 bbaababaLL nn
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Operação StarNFA para *1L
1M
*1L
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Exemplo
NFA para *}{*1 baL n
ab
}{1 baL n
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Expressões Regulares
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Expressões RegularesExpressões Regulares descrevem linguagens regulares
Exemplo:
descreve a linguagem
*)( cba
,...,,,,,*, bcaabcaabcabca
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Definição Recursiva,,
11
21
21
*rrrrrr
São expressões regulares
Expressões regulares primitivas :
2r1rDadas expressões regulares e
precedência dos operadoresmaio
rmenor
20
Exemplos
)(* ccbaUma expressão regular:
baNão é uma expressão regular :
21
Linguagem de uma Expressão Regular
: linguagem da expressão regular
Exemplo
rL r
,...,,,,,*)( bcaabcaabcacbaL
22
Definição
Para expressões regulares primitivas:
aaL
L
L
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Definição (continuação)
Para expressões regulares e
1r 2r
2121 rLrLrrL
2121 rLrLrrL
** 11 rLrL
11 rLrL
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ExemploExpressão Regular *aba
*abaL *aLbaL *aLbaL *aLbLaL
*aba ,...,,,, aaaaaaba
,...,,,...,,, baababaaaaaa
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Exemplo
Expressão Regular bbabar *
,...,,,,, bbbbaabbaabbarL
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Exemplo
Expressão Regular bbbaar **
27
Exemplo
Expressão Regular *)10(00*)10( r
)(rL = { todos os strings com pelo menos dois 0s consecutivos }
28
Exemplo
Expressão Regular )0(*)011( r
)(rL = {todos os strings sem dois 0s consecutivos }
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Expressões Regulares Equivalentes
Definição:
Expressões regulares e
são equivalentes se
1r 2r
)()( 21 rLrL
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Exemplo L= { todos os strings sem
dois 0s consecutivos }
)0(*)011(1 r
)0(*1)0(**)011*1(2 r
LrLrL )()( 211r 2r e
são expr. regularesequivalentes
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Expressões Regulares e Linguagens Regulares
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Teorema
LinguagensGeradas porExpr. Regulares
LinguagensRegulares
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Teorema – Parte 1
LinguagensGeradas porExpr. Regulares
LinguagensRegulares
r)(rL
1. Para cada expressão regular a linguagem é regular
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Teorema - Parte 2
LinguagensRegulares
Lr LrL )(
2. Para cada linguagem regular existe uma expressão regular com
LinguagensGeradas porExpr. Regulares
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Prova - Parte 1
r)(rL
1. Para cada expressão regular a linguagem é regular
Prova por indução no comprimento der
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Base da InduçãoExpressões Regulares Primitivas: ,,
NFAs
)()( 1 LML
)(}{)( 2 LML
)(}{)( 3 aLaML
linguagensregulares
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Hipótese de Indução
Suponha para expressões regulares eque e são linguagens
regulares
1r 2r
)( 1rL )( 2rL
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Passo InductivoVamos provar:
1
1
21
21
*
rL
rL
rrL
rrL
São linguagensregulares
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Pela definição de expressões regulares :
11
11
2121
2121
**
rLrL
rLrL
rLrLrrL
rLrLrrL
40
)( 1rL )( 2rLPela hipótese de indução temos: e são linguagens regulares
Linguagens regulares são fechadas sob *1
21
21
rLrLrLrLrL união
concatenação
star
Também sabemos:
41
Portanto:
** 11
2121
2121
rLrL
rLrLrrL
rLrLrrL
São linguagensregulares
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E trivialmente:
))(( 1rL é uma linguagem regular
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Prova – Parte 2
Lr LrL )(
2. Para cada linguagem regular existe uma expressão regular com
Prova por construção da expressão regular
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Como é regular, considere um NFA que a aceita
LM
LML )(
Estado final único
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De construímos o equivalenteGrafo de Transição Generalizado
GNFA rótulos de transições
são expressões regulares
M
Exemplo:
a
ba,
cM
a
ba
c
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Outro Exemplo:
ba a
b
b0q 1q 2q
ba,a
b
b0q 1q 2q
b
b
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Reduzindo os estados:ba
ab
b0q 1q 2q
b
0q 2q
babb*
)(* babb
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Expressão Regular resultante :
0q 2q
babb*
)(* babb
*)(**)*( bbabbabbr
LMLrL )()(
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Em GeralRemovendo estados:
iq q jqa b
cde
iq jq
dae* bce*dce*
bae*
50
Obtendo a expressão regular final:
0q fq
1r
2r
3r4r
*)*(* 213421 rrrrrrr
LMLrL )()(