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Ol pessoal!
Vamos para a nossa segunda aula de Administrao Financeira para o TJDFT.
Para que ns possamos fazer as anlises financeiras necessrias, devemos
saber matemtica financeira. E essa parte da matria tambm est nesse
curso.
Portanto, a aula de hoje mostrar os instrumentos bsicos da matemtica
financeira que so necessrios para resolvermos os problemas deAdministrao Financeira. Faremos ainda, algumas questes sobre o tema das
aulas passadas.
As dvidas devem ser postadas no frum e as sugestes podem ser
encaminhas para o meu mail
cesar.frade@pontodosconcursos.com.br
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10. Matemtica Financeira
A matemtica financeira tem como objetivo o estudo das mudanas das
variveis monetrias na linha do tempo.
Determinada pessoa que possui recursos financeiros empresta-o ou aluga-o a
outro agente e receber por isso uma quantia a ttulo de aluguel. Essa quantia
denominada juro.
Esses juros so necessrios porque o agente emprestador dever ficar por um
determinado tempo sem usufruir do benefcio que aquele recurso poderia lhetrazer, incorrendo, portanto, em um custo de oportunidade.
Imagine a situao em que eu lhe solicito o seu apartamento emprestado por
dois anos uma vez que eu no possuo lugar para morar na sua cidade. claro
que voc se prontificaria a me emprestar, mas sabe que enquanto ele tiver
emprestado no ser possvel vend-lo e, portanto, incorrer em um custo de
oportunidade. Para fazer face a essa falta de liquidez do seu ativo
(apartamento) voc opta por exigir uma compensao financeira que
chamada de aluguel. Essa situao descrita uma prtica comum no Brasil eque todos ns no vemos com maus olhos.
Entretanto, no h a menor diferena entre esse emprstimo do apartamento
com a devida remunerao do aluguel para o emprstimo do recurso financeiro
com a devida cobrana do juro.
Sendo assim, podemos definir que o juro o aluguel devido pelo emprstimo
do recurso financeiro.
11. Juros
Determinada pessoa que possui certo capital poder coloc-lo disposio de
outra pessoa. Quando efetuar essa operao receber em um futuro prximo o
seu recurso de volta e mais um determinado valor a ttulo de aluguel.
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Observe que tal fato anlogo ao aluguel de um apartamento. medida que
emprestamos o nosso apartamento a uma determinada pessoa, ela dever
pagar, frequentemente um aluguel e, no final do contrato, devolver o
apartamento, no mesmo? Vejam que a situao muito semelhante ao queocorre na matemtica financeira.
A quantidade de recursos que o emprestador ter no final do perodo ser
chamado de montante e se constitui pela soma dos juros com o capital inicial
emprestado.
Montante = Capital + Juros
Os juros so representados por uma taxa percentual por unidade de tempo.
Voltemos ao caso do apartamento. Quando voc aluga o apartamento, vocaluga um bem que possui um valor de venda. Logo, a proprietria do
apartamento est impossibilitada de vender ou utilizar esse apartamento para
outro fim e, por isso, receber esse recurso que ser combinado como um
valor fixo. Entretanto, esse valor fixo combinado, de certa forma, guarda uma
proporo com o valor venal do apartamento. No h uma proporo fixa emtermos percentuais, mas h uma proporo de tal forma que o aluguel em
locais mais valorizados maior.
Enfim. A taxa de juros ser fixada em termos percentuais ao capital por
unidade de tempo. Ela poder ser mensal, bimestral, trimestral, semestral, e
assim por diante.
Neste curso, utilizaremos a letra i para representar a taxa de juros. A letra ivem da palavra interest, que significa juros em ingls.
Uma taxa de juros de 6% ao ms poder ter diferentes notaes, quais sejam:
5% ao ms 05,0
100
5=
Se uma determinada pessoa efetuar um emprstimo de R$ 1.000,00 por um
ms a uma taxa de 5% ao ms, ela dever receber no ms seguinte o valor de
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00,5005,01000 = a ttulo de juros. Entretanto, dever ser acrescido a esse valor
o capital emprestado.
Observe que para calcularmos o valor a ser pago de juros devemos utilizar oformato decimal da taxa.
12. Regimes de Capitalizao e Denominaes
O regime de capitalizao a forma como adicionamos os juros ao capital
aplicado.
Existem trs regimes de capitalizao. So eles:
capitalizao simples; capitalizao composta; e capitalizao contnua.
Neste curso iremos estudar os dois primeiros e as suas relaes.
Vamos agora definir as grandezas que iremos utilizar ao longo dessas aulas:
Capital (C): tambm chamado de valor presente ou valor vista de um
ativo. Ser o valor emprestado no instante zero.
Taxa de juros (i): a taxa peridica cobrada pelo emprstimo do capital a
outra pessoa.
Juros (J): o valor produzido, em reais, a ttulo de emprstimo do capital a
uma determinada taxa de juros.
Montante (M): o valor a ser devolvido ao proprietrio do recurso financeiro.
Ser constitudo do capital mais os juros relativos ao emprstimo.
Tempo (n): o nmero de perodos em que os recursos ficaram
emprestados.
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Vamos a um exemplo para tentarmos definir todas essas grandezas. Suponha
que o Srgio v a um Banco e capte um emprstimo de R$ 1.000,00 pelo
prazo de 1 ano. A taxa de juros cobrada pelo Banco de 20% ao ano.
Se esta operao acontecesse, o Srgio teria captado um emprstimo de R$
1.000,00 e deveria devolver ao Banco, dentro de um ano, o valor emprestado
e outro valor a ttulo de juros.
O capital seria de R$1.000,00. A taxa de juros da operao seria de 20% ao
ano. A operao ocorreria pelo prazo de um ano e como devemos, neste caso,
determinar o nmero de perodos em anos, teramos 1 perodo. E o montante
seria o valor a ser devolvido pelo Srgio ao Banco. Poderamos representar daseguinte forma:
C = 1.000,00i = 10% ao ano
n = 1 ano001001001000 ,, ==J
M = C + J = 1.000,00 + 100,00 = 1.100,00
13. Capitalizao Simples
O regime de capitalizao simples se caracteriza pelo fato de o capital de um
determinado perodo ser idntico ao do perodo inicial. Ou seja, o tempo
vai passando e com isso os juros gerados vo sendo incorporados ao
Montante, mas no aumentam o capital sobre o qual incidiro no perodo
seguinte. O capital estar sempre fixo independentemente do perodo em queestejamos.
sempre muito mais fcil mostrar matematicamente do que descrever o que
ocorre. Portanto, vamos l. Vamos tentar compreender o que ocorre por meio
de um exemplo.
Srgio foi a um Banco e captou um emprstimo de R$ 10.000,00 pelo prazo de
5 anos. Por esse emprstimo, pagar uma taxa de juros de 20% ao ano.
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Inicialmente, vamos definir as grandezas existentes:
Capital (C) = R$ 10.000,00
Prazo (n) = 5 anosTaxa de Juros (i) = 20% ao ano = 20% a.a.
A frmula utilizada para o clculo dos juros no regime de capitalizao simples
:
niCJ =
Portanto, no exemplo que estamos desenvolvendo, o resultado dos juros seria
igual a:
00000212000000010 ,.,,. ===
J
niCJ
Entretanto, importante observar que este o valor devido a ttulo de jurospara cada perodo. Quando estamos no perodo 2, h um acmulo de mais
R$2.000,00. Como o valor do perodo 1 era o mesmo, h um juros acumulado
nos dois perodos da ordem de R$ 4.000,00.
Se estivermos interessados em saber qual o valor devido a ttulo de juros no
final de cinco anos, basta proceder da seguinte forma:
000001052000000010 ,.,,. ===
J
niCJ
Da mesma forma, podemos desenvolver a frmula para o clculo do montante
devido a ttulo de juros e principal em um perodo qualquer:
niCCM
CM
+=
+=
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( )niCM += 1
Observe que se desejarmos determinar o valor devido no final do quinto
perodo basta procedermos da seguinte forma:
( )( )( )
0000020
1100010
5200100010
1
,..
,.
=
+=
+=
+=
M
M
M
niCM
Veja o desenvolvimento dos juros e montante devidos perodo a perodo
utilizando o regime de capitalizao simples:
Observe que o capital em todos os perodos se mantm constante, ou seja, se
mantm em R$10.000,00. Com isso, os juros de cada perodo sero
constantes e equivalero a R$2.000,00. Essa uma caracterstica nica do
regime de capitalizao simples, pois o montante do perodo 1 no setransformar em capital do perodo seguinte.
Para fazer esse exemplo, tive que usar uma premissa, a de que estamos
sempre no incio do perodo. Ou seja, o recurso emprestado na data focal
zero e o primeiro perodo ocorrer h um ano da data de hoje. Portanto,quando digo que os recursos esto no perodo 1, estou afirmando que aquele
valor ocorre h um ano da data atual.
Perodo Capital Juros Montante
1 10.000,00 2.000,00 12.000,00
2 10.000,00 2.000,00 14.000,00
3 10.000,00 2.000,00 16.000,00
4 10.000,00 2.000,00 18.000,00
5 10.000,00 2.000,00 20.000,00
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14. Capitalizao Composta
O regime de capitalizao composta se caracteriza pelo fato de o capital de
um determinado perodo ser exatamente igual ao montante do perodo
anterior. Ou seja, os juros proporcionados em um determinado perodo
passaro a compor o montante e, consequentemente, o capital do perodo
subseqente.
A frmula utilizada para o caso do regime de capitalizao composta :
( )niCM += 1
exatamente a operao de exponenciao que faz com que haja a ocorrncia
de juros sobre juros. Observe que no primeiro perodo, os juros incidem
apenas sobre o capital emprestado e, portanto, ser igual a R$2.000,00, como
nos juros simples. Entretanto, esse valor dever ser somado ao capital inicial
para a formao do Montante no perodo 1 e, em seguida, transformado no
capital do perodo 2. Logo, a nova incidncia de juros ocorrer sobre o capitalinicial e os juros at ento incorridos e no pagos.
Se utilizarmos o mesmo exemplo do Srgio com o Banco, temos o seguinte
resultado.
Acompanhe pelas setas azuis que o montante de um perodo passa a ser o
capital do perodo subseqente.
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Apesar das crticas sobre a existncia do anatocismo1 nesta prtica, h uma
lgica por trs dela.
Imagine que o Srgio tenha solicitado um emprstimo de R$10.000,00 nessebanco e que alguma ordem judicial proba o banco da cobrana dos juros sobre
juros. Restariam duas opes. A primeira delas seria o aumento da taxa de
juros de tal forma que o resultado final a ser pago, ao final de 5 anos, seja
igual a R$24.883,20 na aplicao de juros simples. A segunda opo, e
provavelmente a que seria utilizada, seria a obrigatoriedade de pagamento dos
juros a cada final de perodo e a obteno de um novo emprstimo.
Com isso, vemos que a medida seria incua. At porque a partir do momentoem que h a ocorrncia dos juros, esses se tornam uma dvida e seu no
pagamento faz com que haja uma incorporao ao saldo devedor.
Uma medida como essa seria acompanhada de outra medida das instituies
financeiras que obrigariam as pessoas, nesse caso o Srgio, a quitar
anualmente os juros sobre o capital relativos quele perodo. Se o tomador
no tivesse recursos seria obrigado a captar um novo emprstimo e, nesse
caso, ao invs de ter um emprstimo de R$ 10.000,00 passaria a ter umemprstimo de R$ 10.000,00 e outro de R$ 2.000,00 sendo que este ltimo foi
obtido com o intuito de quitar os juros relativos ao primeiro.
15. Juros Simples x Juros Compostos
um exerccio muito interessante montar uma tabela comparativa que tem
como objetivo comparar os dois regimes de capitalizao. Entretanto,usaremos para esse mesmo exemplo perodos de capitalizao menores, iguais
e maiores do que 1 e um capital constante e igual a R$ 10.000,00.
Observe que iremos utilizar as frmulas dadas para a capitalizao composta e
simples, usando a taxa de juros de 20% ao ano e capital de R$10.000,00.
Variaremos os perodos (n) e encontraremos os resultados para o montante e
juros.
1 Anatocismo a prtica do juros sobre os juros e isto ocorre porque ele incorporado ao capital.
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Veja a Tabela abaixo:
Observe que se utilizarmos perodos inferiores a um, os juros proporcionados
pela capitalizao simples so maiores que aqueles da capitalizao composta.
Isto ocorre porque quando usamos a exponenciao para nmeros inferiores a
um estamos nos utilizando da radiciao. Ou seja, elevar um nmero a outro
menor do que um provoca resultado idntico ao de fazer uma operao com
raiz.
Faamos uma comparao simples:
16416
8501650 ==
=,
,
Se utilizarmos perodos superiores a um, os juros obtidos com o regime de
capitalizao simples sero sempre menores que aqueles obtidos no regime de
capitalizao composta.
Se utilizarmos perodos iguais a um, os juros obtidos com o regime de
capitalizao simples sero idnticos queles obtidos no regime decapitalizao composta.
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Resumindo:
Se n < 1 Juros Simples > Juros Compostos
Se n = 1 Juros Simples = Juros Compostos
Se n > 1 Juros Simples < Juros Compostos
Veja o que relatei, graficamente:
No grfico acima, utilizei uma taxa de 100% e um capital inicial de
R$10.000,00. Optei por trocar o valor da taxa de juros apenas para que ficasse
mais evidente o grfico. Apenas por motivos didticos.
Observe que os juros simples formam uma reta enquanto que os compostos
formam uma curva.
16. Classificao das Taxas de Juros
As taxas de juros so classificadas em vrios tipos, quais sejam:
taxa proporcional;
5000
10000
15000
20000
25000
30000
0 1 2 3
Juros Simples Juros Compostos
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taxa equivalente; taxa nominal; taxa efetiva; taxa real; e taxa aparente
Em um dos livros mais famosos de matemtica financeira, seu autor, Jos
Dutra Vieira Sobrinho diz que:
No mercado financeiro brasileiro, mesmo entre os tcnicos e
executivos, reina muita confuso quanto aos conceitos de taxas de
juros, principalmente no que se refere s taxas nominal, efetiva ereal. O desconhecimento generalizado desses conceitos tem
dificultado o fechamento de negcios pela conseqente falta de
entendimento entre as partes.
Dentro dos programas dos diversos cursos de matemtica financeira
existe uma verdadeira poluio de taxas de juros. Alm das
mencionadas, temos ainda a simples (ou linear), a composta (ou
exponencial), a equivalente, a proporcional, a aparente, a antecipada,etc, (...).
As causas da confuso reinante so antigas e numerosas, em cujo
mrito no entraremos. Preferimos concentrar-nos nas medidas que
entendemos necessrias para amenizar e, se possvel, solucionar o
problema existente. E a medida principal reside justamente numa
conceituao simples e clara das taxas mencionadas, que nos
propomos fazer.
a) Taxas Proporcionais
Segundo Sobrinho:
O conceito de taxas proporcionais utilizado somente para
capitalizao simples, no sentido de que o valor dos juros
proporcional apenas ao tempo.
Assim, a taxa proporcional de:
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3% ao ms para 10 meses de 30%: %mesesmsao% 30103 = ;
Isso significa que a taxa proporcional a 3% ao ms para o perodo de 10meses a taxa de 30%. Observe que essa taxa de 30% no ao ms, mas
sim para o perodo de 10 meses.
12% ao ano para 3 meses de 3%: %mesesmeses
anoao%33
12
12=
Isso significa que a taxa proporcional a 12% ao ano para o perodo de 3 meses
a taxa de 3%.
E assim sucessivamente. Observe que as taxas proporcionais variam de forma
linear e, exatamente, por esse motivo devem ser utilizadas nas transformaes
da capitalizao simples.
b) Taxas Equivalentes
Segundo Sobrinho:
A conceituao de equivalncia de taxas estabelece que duas taxas,
referentes a perodos distintos de capitalizao, so equivalentes
quando produzem o mesmo montante no final de determinado
tempo, pela aplicao de um capital inicial de mesmo valor.
Com isso, se aplicarmos um capital a uma taxa mensal pelo prazo de 12 mesese esse mesmo capital a uma taxa anual pelo prazo de 1 ano e as duas
aplicaes resultarem no mesmo montante, temos que as taxas anuais e
mensais utilizadas so equivalentes.
Matematicamente, temos:
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( )
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )112
112
1
12
1111
1
1
am
am
aa
mm
iiiCiC
iCM
iCM
+=++/=+/
=+=
+=am ManualtaxacomMontanteMmensaltaxacomMontante
Como no dia-a-dia os perodos a que se referem as taxas que se tem e as
taxas que se quer so os mais variados, vamos apresentar uma frmula
genrica, que possa ser utilizada para qualquer caso, ou seja:
( )11 += t
q
tqi i
Sendo:
iq taxa que se quer
it taxa que se tem
q perodo da taxa que se quer
t perodo da taxa que se tem
c) Taxa Nominal
Segundo Sobrinho:
A taxa nominal a taxa calculada com base no valor nominal da
aplicao ou do emprstimo, ou seja, com base no valor explicitadono ttulo ou no contrato; caso ela seja conhecida, podemos afirmar
que a taxa que incide sobre o valor nominal da aplicao ou do
emprstimo.
muito simples identificar uma taxa nominal. Sempre que uma taxa for
nominal a sua unidade ser diferente da unidade de capitalizao do capital. J
sei. Voc no sabe o que unidade de capitalizao, certo?
Pois ento. Vimos que no regime de capitalizao composta, montante de um
perodo ser o capital do perodo seguinte, concorda? Ento, o perodo de
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capitalizao de quanto em quanto tempo o montante de um perodo passa a
ser o capital do perodo seguinte. Importante ressaltar que quanto menor for
esse prazo maior ser o montante final.
Imagine que determinada pessoa captou um emprstimo de R$10.000,00 a
uma taxa de 12% ao ano. Observe qual ser o montante a ser pago no final de
2 anos nos mais diferentes tempos de capitalizao.
Observe que tnhamos uma taxa nominal de 12% ao ano. O primeiro passo foiencontrar a taxa proporcional a 12% ao ano no perodo da capitalizao e,
posteriormente, pudemos efetuar nossos clculos utilizando a capitalizao
composta. Vamos fazer o exemplo da capitalizao mensal.
Pegamos a taxa anual de 12% ao ano com capitalizao mensal e encontramos
a taxa proporcional a essa ao ms. Para encontrar, basta dividir por 12 umavez que um ano tem 12 meses2. Logo, a taxa proporcional encontrada foi de
1%. Como o perodo total de 2 anos, temos que o nmero de perodos aserem utilizados de 24 meses. Com isso, basta fazermos o seguinte clculo:
( )
( ) 3569712010100010
124 ,.,. =+=
+=
M
iCMn
Importante observar as setas presentes na Tabela. Elas nos mostram que
quanto menor for o prazo da capitalizao menor ser a taxa mas por outro
lado maior ser o prazo, pois mais rapidamente o montante de um perodo
2 Observe que quando fizemos a taxa diria, utilizamos um ano com 360 dias.
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e) Taxa Aparente
a taxa encontrada dividindo-se o valor de resgate (montante) pelo capital.
f) Taxa Real
Segundo Sobrinho:
O clculo feito de forma anloga, dividindo-se o juro real pelo
capital inicial corrigido com base na taxa de inflao do perodo. Ojuro real obtido pela diferena entre o valor de resgate e o capital
inicial corrigido pela inflao do perodo; o capital inicial corrigido
igual ao capital inicial adicionado da correo monetria do perodo.
a taxa encontrada utilizando-se a seguinte equao:
Inflao1 AparenteTaxaRealTaxa ++= 1
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QUESTES PROPOSTASQuesto 13
(Cesgranrio BNDES Administrador 2009) Um investidor tem umacarteira com duas aes: 50% do valor da carteira, na primeira ao, e 50%,
na segunda. O retorno esperado no prximo ano da primeira ao de 5%,
com desvio padro de 10%; e o retorno da segunda ao de 15%, com
desvio padro de 20%. Logo, o retorno esperado da carteira, no prximo ano,
a) ser de 10%, com desvio padro de 15%.
b) ser de 10%, com desvio padro dependendo da covarincia entre os
retornos das duas aes.c) ser mximo, com desvio padro mnimo, se os pesos na carteira forem
10% e 90%, respectivamente, da primeira e da segunda aes.
d) aumentar, se o peso na carteira da segunda ao diminuir.
e) s poder ser calculado conhecendo-se a covarincia entre os retornos das
duas aes.
Enunciado para as questes 14 e 15
O enunciado a seguir refere-se s questes de nmeros 14 e 15.
O quadro abaixo mostra, para dois investimentos A e B, as probabilidades de
retorno:
A B
Evento Prob. Retorno Evento Prob. Retorno
1 0,15 -2% 1 0,10 -5%
2 0,20 0% 2 0,40 10%
3 0,30 5% 3 0,40 20%
4 0,35 10% 4 0,10 30%
Questo 14
(Cesgranrio Petrobrs Administrador Pleno 2005) Os retornosesperados de A e B, respectivamente, so:
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a) 2,5% e 15%
b) 3,25% e 13, 75%
c) 3, 25% e 15%
d) 4,7% e 14,5%e) 4,7% e 15%
Questo 15
(Cesgranrio Petrobrs Administrador Pleno 2005) As varincias dos
retornos de A e B, aproximada e respectivamente, so iguais a:
a) 0,0021 e 0,0082
b) 0,0021 e 0,0124
c) 0,0040 e 0,0082d) 0,0040 e 0,0124
e) 0,0048 e 0,0096
Questo 16
(Cesgranrio Petrobrs Distribuidora Tcnico em Administrao 2010)
Um capital C, submetido ao regime de juros simples durante 5 meses, propicia
um rendimento correspondente metade de C. A taxa mensal de juros
utilizada de
a) 2%
b) 5%
c) 10%d) 20%e) 50%
Questo 17
(Cesgranrio Petrobrs Tcnico em Administrao e Controle Jnior 2009)
Hugo emprestou certa quantia a Incio a juros simples, com taxa mensal de6%. Incio quitou sua dvida em um nico pagamento feito 4 meses depois. Se
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os juros pagos por Incio foram de R$ 156,00, a quantia emprestada por Hugo
foi
a) menor do que R$ 500,00.b) maior do que R$ 500,00 e menor do que R$ 1.000,00.
c) maior do que R$ 1.000,00 e menor do que R$ 2.000,00.
d) maior do que R$ 2.000,00 e menor do que R$ 2.500,00.
e) maior do que R$ 2.500,00.
Questo 18
(Cesgranrio BNDES Contador 2009) Um investidor aplicou, no Banco
Atlntico, R$ 10.000,00, por um perodo de 17 dias, a uma taxa de juros
simples de 1,2% ao ms. No dia do resgate, a rentabilidade obtida pelo
investidor, em reais, foi
a) 60,00
b) 64,20
c) 65,60
d) 66,00
e) 68,00
Enunciado para as questes 19 e 20
Considere a situao a seguir para responder s questes de nos 19 e 20.
Henrique aplica R$ 750,00, durante 2 meses, com taxa de juros compostos de
20% ao ms. Ao final desse perodo, Henrique resgatou o montante M
proporcionado por essa aplicao.
Questo 19
(Cesgranrio Petrobrs Tcnico em Administrao e Controle Jnior 2009)
O ganho obtido por Henrique nessa aplicao, em reais, foi
a) 330,00b) 320,00
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c) 310,00
d) 300,00
e) 290,00
Questo 20
(Cesgranrio Petrobrs Tcnico em Administrao e Controle Jnior 2009)
Para que Henrique aplique a mesma quantidade e obtenha, sob regime de
juros simples, o mesmo montante M aps 4 meses, preciso que a taxa
mensal de juros seja de
a) 21%
b) 20%
c) 11%d) 10%
e) 5%
Questo 21(Cesgranrio Petrobrs Distribuidora Tcnico em Administrao 2010)
Um capital de R$ 2.400,00 ser aplicado taxa de 5% ao ms, durante 2
meses, sob regime de juros compostos. O valor final obtido, em reais, ser
a) 2.520,00b) 2.640,00
c) 2.646,00
d) 2.650,00e) 2.652,00
Questo 22
(Cesgranrio BNDES Contador 2009) O investimento, que proporcionou
a um investidor obter um montante de R$ 15.000,00 aplicado a uma taxa de
juros compostos de 1,5% ao ms, pelo perodo de seis meses, em reais, foi
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a) 12.222,22
b) 13.718,13
c) 13.761,46
d) 14.061,75e) 14.138,93
Questo 23
(Cesgranrio Petrobrs Biocombustvel Administrador Jnior 2010) Um
investimento foi remunerado taxa de juro nominal bruta ps-fixada de IGP
(ndice Geral de Preos) acrescida de 5% ao ano. O prazo do investimento foide um ano e, neste ano, o IGP teve variao de 4%. A alquota de imposto de
renda do investimento de 20% e incide sobre o ganho nominal bruto de
capital. As taxas de juros nominal e real anuais lquidas do investimento so,respectivamente,
a) 7,20% e 3,07%
b) 7,20% e 5,00%
c) 7,36% e 3,23%d) 9,00% e 5,00%
e) 9,20% e 5,00%
Questo 24
(Cesgranrio Petrobrs Distribuidora Tcnico em Administrao 2010)
Um capital foi aplicado, sob regime de juros compostos, durante dois meses, taxa de juros de 20% ao ms. A taxa de inflao, durante esse mesmo
perodo, foi de 8%. A verdadeira taxa de rendimento obtida nessa aplicao
de, aproximadamente,
a) 30%
b) 32%
c) 33%
d) 35%e) 36%
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Questo 25
(Cesgranrio Banco do Brasil 2009) Um investimento obteve variaonominal de 15,5% ao ano. Nesse mesmo perodo, a taxa de inflao foi 5%. A
taxa de juros real anual para esse investimento foi
a) 0,5%.
b) 5,0%.
c) 5,5%.
d) 10,0%.
e) 10,5%.
Questo 26
(Cesgranrio Petrobrs Administrador Pleno 2005) Qual a taxatrimestral equivalente taxa de 10% ao ms?
a) 30%
b) 30,2%
c) 31,1%
d) 32%
e) 33,1%
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QUESTES RESOLVIDAS
Questo 13
(Cesgranrio BNDES Administrador 2009) Um investidor tem uma
carteira com duas aes: 50% do valor da carteira, na primeira ao, e 50%,
na segunda. O retorno esperado no prximo ano da primeira ao de 5%,com desvio padro de 10%; e o retorno da segunda ao de 15%, com
desvio padro de 20%. Logo, o retorno esperado da carteira, no prximo ano,
a) ser de 10%, com desvio padro de 15%.
b) ser de 10%, com desvio padro dependendo da covarincia entre os
retornos das duas aes.
c) ser mximo, com desvio padro mnimo, se os pesos na carteira forem
10% e 90%, respectivamente, da primeira e da segunda aes.
d) aumentar, se o peso na carteira da segunda ao diminuir.
e) s poder ser calculado conhecendo-se a covarincia entre os retornos das
duas aes.
Resoluo:
Observe que o investidor possui duas aes e coloca a mesma quantidade de
recursos em cada uma delas. Dessa forma, temos que X1 = X2 = 0,50.
[ ] ( )=
=N
iiip REXRE
1
Onde:Xi: o percentual dos recursos totais investidos no ativo i;
E(Ri): a esperana de retorno do ativo i;
E(Rp): a esperana de retorno da carteira (portflio) de N ativos.
Aplicando na frmula os dados contidos na questo, temos:
( ) ( )
[ ][ ] %%,%,
%,%,105752
155005500
2211
=+=
+=
+=
p
p
p
RE
RE
REXREXRE
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Com isso vemos que o retorno esperado da carteira igual a 10%. Por outro
lado, a questo nos solicita ainda que calculemos o desvio-padro da carteira.
Sabemos que a frmula a ser utilizada a seguinte:
4434421
21
21212122
22
21
21
2 2
,
,
++= XXXX
Portanto, para que possamos calcular o desvio-padro da carteira, alm dos
pesos e dos desvios de cada um dos ativos, necessrio saber como eles se
comportam entre eles e essa medida dada pela covarincia ou correlao
entre os ativos.
Tendo em vista o fato de que a questo no nos informa nem a covarincia
nem a correlao e tambm no nos disponibiliza dados para que estes sejam
calculados, conclumos ser impossvel calcular o desvio-padro da carteira.
Sendo assim, o gabarito a letra B.
Gabarito: B
Enunciado para as questes 14 e 15
O enunciado a seguir refere-se s questes de nmeros 14 e 15.
O quadro abaixo mostra, para dois investimentos A e B, as probabilidades de
retorno:
A B
Evento Prob. Retorno Evento Prob. Retorno
1 0,15 -2% 1 0,10 -5%
2 0,20 0% 2 0,40 10%
3 0,30 5% 3 0,40 20%
4 0,35 10% 4 0,10 30%
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Questo 14
(Cesgranrio Petrobrs Administrador Pleno 2005) Os retornos
esperados de A e B, respectivamente, so:
a) 2,5% e 15%
b) 3,25% e 13, 75%
c) 3, 25% e 15%
d) 4,7% e 14,5%
e) 4,7% e 15%
Resoluo:
Inicialmente, devemos aplicar a frmula da esperana do retorno para calcul-
la. Entretanto, agora com as probabilidades de ocorrncia.
A esperana de retorno do ativo A :
[ ] ( )
[ ] ( )[ ][ ] %,
%,%,%,
%,%,%,%,
704
5035010300
103505300020021501
=
+++=
+++=
= =
Ap
Ap
Ap
N
i
iiAp
RE
RE
RE
REpRE
A esperana de retorno do ativo B :
[ ] ( )[ ] ( )[ ][ ] %,
%,%,%,%,
%,%,%,%,
5014
003008004500
3010020400104005100
1
=
+++=
+++=
= =
Ap
Ap
Ap
N
iii
A
p
RE
RE
RE
REpRE
Sendo assim, o retorno esperado do ativo A 4,70% e o retorno esperado do
ativo B 14,50%. Dessa forma, o gabarito a letra D.
Gabarito: D
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Questo 15
(Cesgranrio Petrobrs Administrador Pleno 2005) As varincias dosretornos de A e B, aproximada e respectivamente, so iguais a:
a) 0,0021 e 0,0082
b) 0,0021 e 0,0124
c) 0,0040 e 0,0082
d) 0,0040 e 0,0124
e) 0,0048 e 0,0096
Resoluo:
Para calcularmos as varincias, como j foi explicado, temos duas alternativas.
A primeira delas assumir que um retorno de 5% igual a 0,05 (como na
verdade ). Entretanto, se calcularmos dessa forma, teremos muito trabalho.
A segunda opo seria multiplicar todos os elementos do conjunto por 100. Na
prtica, isso significa que sumiremos que o percentual e 5% ser 5 nosclculos. Entretanto, temos, no fim, que lembrar que o resultado da varincia
estar multiplicado por 1002 e do desvio-padro estar multiplicado por 100.
Vamos comear os clculos da varincia do ativo A.
( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )22222
22222
1
22
305350300300704200706150
70410350704530070402007042150
,,,,,,,,
,,,,,,,,
+++=
+++=
= =
A
A
N
iA
iAiA RRp
Voc j notou o trabalho que teremos para fazer essa questo? Enorme, no
mesmo? Por isso, vou te ensinar alguns atalhos para que voc possa otimizar o
seu tempo. Lembre-se que estamos interessados em acertar a questo, no
mesmo? E no resolv-la corretamente... At este ponto est tudo certo, mas
vamos fazer vrios arredondamentos nas contas para agilizar nosso processo.
Para isso, vamos pegar as respostas e verificar quais so os resultadospossveis que devemos encontrar.
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Observe que nas letras A e B, o resultado apresentado de 0,0021. No
entanto, temos que multiplicar esse nmero por 10.000. Logo, o resultado com
os dados que apresentamos 21. Nas letras C e D, o resultado 40 e na letra
E, o valor 48.
Observe que a distncia de 21 para 40 quase 100%. Logo, h uma distncia
muito grande e nossos arredondamentos no iro atrapalhar. Mesmo com uma
distncia de 20% existente entre 40 e 48, podemos fazer os arredondamentos.
Vamos continuar nossos clculos, mas agora arredondando.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2535003002520050150
5350030052007150
305350300300704200706150
2
22222
22222
+++
+++
+++=
,,,,
,,,,
,,,,,,,,
A
A
A
Observe que como estou fazendo arredondamentos, no vou colocar que 72
igual a 49, mas sim igual a 50.
0021000010
25212521
7580557
22
2
,.,
:otransformaaFazendo,
,,
+++
AA
A
Veja que eu fiz vrios arredondamentos grosseiros mas conseguimos chegar
muito prximo do resultado verdadeiro. Logo, no devemos deixar de
arredondar.
Fazendo a varincia do ativo B, temos:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )22222
22222
1
22
50151005054005044005019100
50143010050142040050141040050145100
,,,,,,,,
,,,,,,,,
+++=
+++=
= =
B
B
N
iB
iBiB RRp
Como a varincia do ativo A eliminou a possibilidade de as respostas estarem
nas letras C, D e E, s nos restam duas opes para a varincia do ativo B,
quais sejam: 82 e 124. A distncia entre esses nmeros prxima de 50%.
Vamos aos arredondamentos? Claro, no mesmo, seno morreremos de
fazer conta.
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( ) ( ) ( ) ( )
0082000010
582582
522101040
2251002540025400400100
151005400540020100
22
2
2
22222
,.,
:otransformaaFazendo,
,
,,,,
,,,,
=
+++=
+++=
+++=
BB
B
B
B
Viu como podemos sempre simplificar nossas operaes para fazer esse tipo
de questo?
Dessa forma, vemos que o gabarito a letra A.
Gabarito: A
Questo 16
(Cesgranrio Petrobrs Distribuidora Tcnico em Administrao 2010)
Um capital C, submetido ao regime de juros simples durante 5 meses, propicia
um rendimento correspondente metade de C. A taxa mensal de juros
utilizada de
a) 2%
b) 5%
c) 10%
d) 20%
e) 50%
Resoluo:
Observe que o regime utilizado de juros simples e que o capital no foi
informado, mas os juros proporcionados por esse capital ser igual metade
dele.
Matematicamente, temos:
2
CJ
niCJ
=
=
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Basta substituirmos o valor dos juros em funo do capital na primeira
frmula:
%1
:temosequao,daesquerdoladodordenominadooparaCoPassando
1010
110
10
10
522
===
=/
/
=
=
=
ii
iC
C
iCC
iCC
niCC
Portanto, a taxa de juros necessria para produzir 50% do capital aplicado em
um perodo de 5 meses utilizando o regime de capitalizao simples 10% ao
ms.
Sendo assim, o gabarito a letra C.
Gabarito: C
Questo 17
(Cesgranrio Petrobrs Tcnico em Administrao e Controle Jnior 2009)
Hugo emprestou certa quantia a Incio a juros simples, com taxa mensal de
6%. Incio quitou sua dvida em um nico pagamento feito 4 meses depois. Se
os juros pagos por Incio foram de R$ 156,00, a quantia emprestada por Hugofoi
a) menor do que R$ 500,00.
b) maior do que R$ 500,00 e menor do que R$ 1.000,00.
c) maior do que R$ 1.000,00 e menor do que R$ 2.000,00.
d) maior do que R$ 2.000,00 e menor do que R$ 2.500,00.
e) maior do que R$ 2.500,00.
Resoluo:
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Nessa questo, devemos utilizar a frmula dos juros do regime de
capitalizao simples. No entanto, observe que o examinador no define o
valor do capital aplicado. Na verdade, esse o questionamento dele. Portanto,a soluo dever ter como incgnita a letra C.
240
00156
24000156
406000156
,,
,,,,
=
=
=
=
C
C
C
niCJ
Observe que a questo no solicita que encontremos o valor exato do capital.
Ela nos entrega algumas faixas de dados. Portanto, se voc for capaz de achar
a resposta sem resolver essa diviso, melhor para voc, pois economizar o
seu tempo. Lembre-se que 0,24 muito prximo de 0,25 que, por sua vez
igual a . Logo, basta multiplicar o numerador por 4 que chegaremos muito
prximo do resultado verdadeiro.
No gostou desse atalho que eu te passei. Ento, faa a diviso e voc ter:
650
240
00156
=
=
C
C,,
Sendo assim, o gabarito ser a letra B.
Gabarito: B
Questo 18
(Cesgranrio BNDES Contador 2009) Um investidor aplicou, no Banco
Atlntico, R$ 10.000,00, por um perodo de 17 dias, a uma taxa de juros
simples de 1,2% ao ms. No dia do resgate, a rentabilidade obtida pelo
investidor, em reais, foi
a) 60,00
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b) 64,20
c) 65,60
d) 66,00
e) 68,00
Resoluo:
Observe que essa questo possui o prazo em dias e a taxa de juros em meses.
Logo, devemos transformar em meses o prazo. E com isso, teremos que o
prazo (n) igual a30
17ms.
30
1701200000010 =
=
,,.J
niCJ
Observe que ao invs de fazer a conta, sabemos que 12 e 30 so mltiplos de
3, concordam? Logo, podemos fazer uma simplificao e a operao ficar a
seguinte:
006810
1700400000010
30
1701200000010
,
,,.
,,.
=
=
=
J
J
J
Sendo assim, o gabarito a letra E.
Gabarito: E
Enunciado para as questes 19 e 20
Considere a situao a seguir para responder s questes de nos 19 e 20.
Henrique aplica R$ 750,00, durante 2 meses, com taxa de juros compostos de20% ao ms. Ao final desse perodo, Henrique resgatou o montante M
proporcionado por essa aplicao.
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Questo 19
(Cesgranrio Petrobrs Tcnico em Administrao e Controle Jnior 2009) O ganho obtido por Henrique nessa aplicao, em reais, foi
a) 330,00
b) 320,00
c) 310,00
d) 300,00
e) 290,00
Resoluo:
Quando o examinador pergunta o ganho do aplicador, ele est interessado emsaber qual foi o juros recebido e no o montante. Se a questo fosse de juros
simples, utilizaramos a frmula dos juros simples e teramos o resultado
diretamente.
Entretanto, essa uma questo de juros compostos. Podemos desenvolveruma frmula que nos mostra esse resultado diretamente. Mas eu no sou
muito favorvel de ficar decorando milhes de frmulas. O melhor entender
a lgica e decorar uma frmula (que a dos juros compostos), depois basta
falar que montante igual a soma de capital mais juros.
( )
( )
00080144100750
20100750
12
,.,,
,,
==
=
+=
MM
M
iCMn
Dessa forma, os juros ganhos por Henrique valem:
00330
00750000801
,
,,.
=
=
=
+=
J
J
CMJ
JCM
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Sendo assim, o gabarito a letra A.
Gabarito: A
Questo 20
(Cesgranrio Petrobrs Tcnico em Administrao e Controle Jnior 2009)
Para que Henrique aplique a mesma quantidade e obtenha, sob regime de
juros simples, o mesmo montante M aps 4 meses, preciso que a taxa
mensal de juros seja de
a) 21%
b) 20%
c) 11%d) 10%
e) 5%
Resoluo:
Agora o examinador questiona qual a taxa de juros que resultaria em um
montante de R$1.080,00, se o Henrique aplicasse R$750,00 pelo perodo de 4
meses.
Podemos usar tanto a frmula do montante quanto a dos juros simples. Eu,
particularmente, acho que a frmula dos juros simples nos dar o resultado
mais facilmente, uma vez que sabemos que os juros ganhos pelo Henrique so
da ordem de R$330,00. Portanto, temos:
%,,.
,,.,
,,,
11110003003
00330
00000300330
40075000330
00330
===
=
=
=
=
i
i
i
J
niCJ
Sendo assim, o gabarito da questo a letra C.
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Gabarito: C
Questo 21
(Cesgranrio Petrobrs Distribuidora Tcnico em Administrao 2010)
Um capital de R$ 2.400,00 ser aplicado taxa de 5% ao ms, durante 2
meses, sob regime de juros compostos. O valor final obtido, em reais, ser
a) 2.520,00
b) 2.640,00
c) 2.646,00
d) 2.650,00e) 2.652,00
Resoluo:
A questo fala sobre o regime de capitalizao composta.
Inicialmente, devemos estar sempre atentos unidade da taxa de juros e ao
prazo. A taxa de juros dever estar na mesma unidade do prazo seno aquesto ficar toda errada. Caso ela no esteja, voc dever alterar o prazo,
colocando-o na unidade da taxa. A exceo ocorre para as taxas nominais que
devero ficar no perodo da capitalizao.
Portanto, como se houvesse uma ordem de prioridade e ela deve ser a
seguinte:
perodo da capitalizao; unidade da taxa de juros; e unidade do prazo
Aplicando a frmula, temos:
( )
006462
10251004002
0510040022
,.
,,.,,.
=
=
=
M
M
M
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Voc deve estar se perguntando se tem uma forma fcil de fazer essa conta.
Olha minha sugesto que voc multiplique 1,05 por 1,05 e a partir da pelo
valor de 2.400.
Observe que as respostas so muito prximas e importante que as operaes
sejam com cautela.
Sendo assim, o gabarito a letra C.
Gabarito: C
Questo 22
(Cesgranrio BNDES Contador 2009) O investimento, que proporcionoua um investidor obter um montante de R$ 15.000,00 aplicado a uma taxa de
juros compostos de 1,5% ao ms, pelo perodo de seis meses, em reais, foi
a) 12.222,22
b) 13.718,13c) 13.761,46
d) 14.061,75
e) 14.138,93
Resoluo:
Essa questo uma aplicao direta da frmula dos juros compostos. Fazendo
isso, temos:
( )
( )
( )
1371813
09341
0000015
0151
0000015
1
1
6
,.
,
,.
,
,.
==
=
+=
+=
C
C
i
MC
iCM
n
n
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Aqui, no temos muito o que fazer a no ser fazer as contas. Sendo assim, o
gabarito a letra B.
Gabarito: B
Questo 23
(Cesgranrio Petrobrs Biocombustvel Administrador Jnior 2010) Um
investimento foi remunerado taxa de juro nominal bruta ps-fixada de IGP
(ndice Geral de Preos) acrescida de 5% ao ano. O prazo do investimento foi
de um ano e, neste ano, o IGP teve variao de 4%. A alquota de imposto derenda do investimento de 20% e incide sobre o ganho nominal bruto de
capital. As taxas de juros nominal e real anuais lquidas do investimento so,
respectivamente,
a) 7,20% e 3,07%
b) 7,20% e 5,00%
c) 7,36% e 3,23%
d) 9,00% e 5,00%e) 9,20% e 5,00%
Resoluo:
Uma pessoa aplicou um recurso a uma taxa varivel de IGP3 + 5% ao ano.
Como o IGP teve uma variao de 4%, o investimento acabou sendo aplicado
a:
( ) ( )
%,AparenteTaxa,AparenteTaxa1
AparenteTaxa1
209
0921
041051
=
=+
=+ ,,
Quando o exerccio fala que estamos tendo 4% mais a inflao, no podemos,
simplesmente, somar as taxas. A taxa de 4% ser o ganho real antes do
Imposto de Renda que o investidor est tendo. Logo, devemos calcular a taxa
aparente que, neste caso, igual a 9,20% ao ano.
3 O IGP um dos muitos ndices de inflao calculados no Brasil.
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Aps esse clculo, necessrio saber qual o valor a ser pago de Imposto de
Renda. A questo informa que o Imposto de Renda da ordem de 20% e
incide sobre o valor nominal bruto da aplicao. Logo, o investidor deverpagar a ttulo de Imposto de Renda:
%,,%,RendadeImposto 841200209 ==
Dessa forma, sabemos que a taxa de juros aparente, efetivamente recebida foi
de:
Taxa Nominal4 = 9,20% - 1,84% = 7,36%
Para encontrarmos a taxa real, basta usarmos a sua equao:
%,RealTaxa,RealTaxa1
,,
RealTaxa1
Inflao1AparenteTaxa
RealTaxa
23303231
041
07361
1
==+
=+
+
+=
Sendo assim, o gabarito a letra C.
Gabarito: C
Questo 24
(Cesgranrio Petrobrs Distribuidora Tcnico em Administrao 2010)
Um capital foi aplicado, sob regime de juros compostos, durante dois meses,
taxa de juros de 20% ao ms. A taxa de inflao, durante esse mesmo
perodo, foi de 8%. A verdadeira taxa de rendimento obtida nessa aplicao
de, aproximadamente,
a) 30%4 Apesar de essa questo no falar sobre capitalizao, o examinador se utilizou da nomenclatura nominal. Neste casoespecfico, ela tem o mesmo significado que aparente. comum essa utilizao.
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b) 32%
c) 33%
d) 35%
e) 36%
Resoluo:
Temos duas formas de fazer essa questo. A primeira seria arbitrar um capital
qualquer e aplic-lo pelo prazo da questo. A outra seria trabalharmos
somente com as taxas. claro que das duas formas iremos encontrar o
mesmo resultado.
Inicialmente, vamos arbitrar o capital em R$ 1.000,00 e calcular o montante
desse capital que foi aplicado pelo prazo de dois meses.
( )
( )
004401
441000001
201000001
12
,.,,.,,.
=
=
=
+=
M
M
M
iCMn
Encontramos o montante de R$1.440,00. Entretanto, esse no o ganho real
da aplicao, pois h uma variao do poder de compra com a alta da inflao.
Sendo assim, temos que retirar desse clculo o valor da inflao.
333331081
004401,.
,,.
Real ==Valor
Portanto, essa aplicao fez com que o investidor passasse a ter R$1.440,00 eo seu poder de compra passou para R$1.333,33. Como o recurso aplicado foi
da ordem de R$1.000,00, houve um ganho real de, aproximadamente, 33%
por parte do investidor.
No entendeu o que isso significa na prtica? Vamos l. Vou te explicar com
outras palavras.
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Imagine que uma pessoa ganha R$1.000,00 e que nessa economia s exista
um nico bem que custa R$1,00. Com isso, essa pessoa poder adquirir 1.000
unidades desse produto e esse ser o seu poder de compra.
Se a inflao for de 10%, o preo desse nico bem existente passar para
R$1,10. Se ao mesmo tempo esse indivduo receber um aumento de 25%, seu
salrio passar para R$1.250,00 e haver um ganho nominal da ordem de
25%.
O ganho nominal mostra qual o aumento, em reais, que esse indivduo teve.
Entretanto, parte desse aumento ser perdido porque houve uma majorao
nos preos. Observe que com esse novo salrio o agente em questo poderadquirir 1.136 unidades do produto.
Logo, o ganho real obtido foi da ordem de 13,6%.
Voltando questo, sabemos que apesar de o investidor possuir 44% de
ganho, houve uma perda real de 8% por causa da inflao. Logo, o ganho real
foi de, aproximadamente, 33%, como j havia sido dito.
Se voc preferir poder fazer a questo utilizando somente as taxas de juros e
usando a equao da taxa real. Veja:
%,RealTaxa,RealTaxa1,,
RealTaxa1
Inflao1AparenteTaxa
RealTaxa
3333
33331
081
441
1
=
=+
=+
+
+=
Sendo assim, o gabarito a letra C.
Gabarito: C
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e) 33,1%
Resoluo:
Para encontrarmos a taxa trimestral equivalente taxa de 10% ao ms, basta
aplicarmos a frmula que faz a transformao. Veja:
( ) 11 += qt
tqi i
Lembre-se que queremos uma taxa trimestral e que temos uma taxa mensal.
Logo, o perodo que queremos equivalente a 3 meses e o perodo que temos de 1 ms. Dessa forma:
( )
( )
( )
( )trimestreao%,
,,
,
133
133111101
11001
11
11
3
33
13
3
13
13
=
==
+=
+=
+=
m
m
m
mm
tq
tq
i
i
i
ii
ii
Sendo assim, o gabarito a letra E.
Gabarito: E
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GABARITOS
13- B 14- D 15- A 16- C 17- B
18- E 19- A 20- C 21- C 22- B
23- C 24- C 25- D 26- E
Galera,
Terminamos aqui a nossa segunda aula de Administrao Financeira. Essa aula
mostrou os instrumentos bsicos necessrios para a anlise de um
investimento.
Grande abrao,
Csar Frade