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AULA 01
ADMINISTRAO FINANCEIRA Tcnico TJDFT rea Administrativa
PROFESSOR CSAR FRADE
Prof. Csar de Oliveira Frade www.pontodosconcursos.com.br 1
Ol pessoal!
Primeiramente, irei fazer uma breve apresentao. Meu nome Csar de
Oliveira Frade, sou funcionrio de carreira do Banco Central do Brasil BACEN aprovado no concurso de 1997.
Sou formado em Engenharia Civil pela Universidade Federal de Minas Gerais
UFMG. Possuo uma Ps-graduao em Finanas e Mercado de Capitais pelo
IBMEC, outra em Derivativos para Reguladores na Bolsa de Mercadorias e
Futuros BM&F e uma especializao em Derivativos Agrcolas pela ChicagoBoard of Trade CBOT1. Sou Mestre em Economia2 com nfase em Finanas na
Universidade de Braslia e o Doutorado, pela mesma Universidade, estfaltando apenas a defesa da Tese3, sendo que os crditos j foram concludos.
Comecei no Banco Central trabalhando com a emisso de ttulos da dvida
pblica externa. De 2005 a 2008 fui Coordenador-Geral de Mercado de Capitais
na Secretaria de Poltica Econmica do Ministrio da Fazenda, auxiliando em
todas as mudanas legais e infralegais, principalmente aquelas que tinham
ligao direta com o Conselho Monetrio Nacional CMN. Voltei ao BACEN
para trabalhar na rea de risco com derivativos em um Departamento da reade Fiscalizao. No incio de 2012 fui cedido para a Presidncia da Repblica e
sou Coordenador da rea de Estudos e Planejamento na Secretaria de Aviao
Civil.
Sou professor de Finanas, Microeconomia, Macroeconomia, Matemtica,
Sistema Financeiro Nacional, Mercado de Valores Mobilirios, Estatstica e
Econometria. Leciono na rea de concursos pblicos desde 2001, tendo dado
aula em mais de uma dezena de cursinhos em vrias cidades do pas, desde
presenciais at via satlite.
Vamos ao que interessa! Como ser o curso? A ementa do ltimo concurso
bastante vaga e a matria no to pequena. Estarei tentando mostrar em
primeiro lugar que aquilo que acreditamos ser muito complicado pode se
1 A Chicago Board of Trade - CBOT a maior bolsa de derivativos agrcolas do mundo.2A dissertao Contgio Cambial no Interbancrio Brasileiro: Uma Anlise Emprica defendida em 2003 foi
publicada na Revista da BM&F, o paper aceito na Revista Estudos Econmicos e em alguns dos mais importantesCongressos de Economia da Amrica Latina LAMES. Versava sobre o risco sistmico a ser propagado via mercadode cmbio e as contribuies da Cmara de Compensao de Cmbio da BM&F para a mitigao desse risco.3 Tese de Doutorado um parto e a gestao j est durando alguns anos. Acho que pode ser que ela no saia.
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tornar simples desde que compreendamos os conceitos bsicos e consigamos
trazer o assunto complexo para exemplos do nosso dia-a-dia.
Tenho um estilo peculiar de dar aulas. Prefiro tanto em sala quanto em aulasescritas que ela transcorra como conversas informais. Com isso, acredito que a
leitura fica mais tranqila e pode auxiliar no aprendizado de uma forma geral.
Exatamente por isso, utilizo com freqncia o Portugus de uma forma
coloquial.
Essa matria no das mais tranqilas, mas tambm no chega a ser muito
complicada. O maior problema que ela bastante ampla e alguns tpicos no
possuem tantas questes disponveis para exercitar.
Dessa forma, a Aula Demonstrativa mostrar para vocs um pouco do que
ser esse curso. No preciso ter nenhum conhecimento prvio de mercado
de capitais, de avaliao de investimentos ou de matrias correlatas como
matemtica financeira para a sua perfeita compreenso. Todos os itens tero
seus conceitos exaustivamente construdos nas aulas e tentarei ser o mais
claro possvel.
Faremos vrias questes nessas aulas, de tal forma que vocs fiquem aptos a
desenvolver a prova da melhor forma possvel.
Contedo Programtico (uma aula por semana):
Aula 1
Risco x Retorno
Aula 2Matemtica financeira e Valor do Dinheiro no Tempo Parte 1
Aula 3
Matemtica financeira e Valor do Dinheiro no Tempo Parte 2
Aula 4
Anlise de Investimentos (Ferramentas Bsicas) Parte 1
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Aula 5
Anlise de Investimentos (Processos de deciso) Parte 2
Aula 6Anlise de Investimentos (Ferramentas avanadas) Parte 3
Aula 7
Alavancagem e Endividamento, Planejamento Financeiro e Oramentrio,
Administrao do Capital de Giro, Fontes de Financiamento a Longo Prazo.
Espero que este curso seja bastante til a voc e que possa, efetivamente,
auxili-lo na preparao para o concurso do TJDFT e na conseqenteconquista da to sonhada vaga. As dvidas sero sanadas por meio do frum
do curso, a que todos os matriculados tero acesso. Caso tenha exerccios da
matria e queira me enviar, farei todos os esforos para que eles sejam, medida do possvel, includo no curso. Envie para meu e-mail abaixo (e-mail
do Ponto).
As crticas ou sugestes podero ser enviadas para:cesar.frade@pontodosconcursos.com.br.
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JUNHO/2012
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1. Noes de Risco e Retorno
Qualquer criana, por menor que seja, sabe que para se obter um retorno
alm daquele normalmente conseguido com qualquer atividade, dever correr
um risco adicional. Na verdade, o que devemos mensurar se o retorno
adicional alcanado compensa o risco adicional que est sendo corrido.
Observe que nunca tratamos as coisas de forma absoluta, mas sim de forma
relativa. Eu, em geral, no quero saber se vale a pena correr o risco X para se
obter o retorno Y. Eu possuo um status quo e o que me interessa o
diferencial para essa posio inicial, ou seja, o interessante sempre a
situao marginal.
Observe. Voc j pode ter pedido demisso do seu trabalho para estudar. A
sua deciso de estudar ou no para um concurso X no leva em considerao o
trabalho que voc tinha, no considera o risco que voc poderia correr ao pedir
a demisso para estudar para concurso. O que voc poder levar em
considerao so as opes que voc tem dada aquela situao original. E no
ache que esse conceito de risco serve apenas para mercado financeiro. No
assim, em tudo na sua vida voc leva em considerao os riscos que estar
incorrendo e os benefcios que estar recebendo por ter corrido aquele risco.
Entretanto, a forma de sentir aquele risco adicional no a mesma nas mais
diversas pessoas. Algumas possuem uma maior quantidade de coragem,
outras no possuem praticamente nenhuma. Esse diferente modo de perceber
o retorno adicional que est sendo gerado, faz com que a deciso seja
diferente para cada um dos agentes envolvidos.
Por exemplo. Talvez ns dois, eu e voc, tenhamos opinies bastantediferentes a respeito de risco em aplicaes. Eu acredito (e isso verdade),
como j deve ter notado, que aplicar na Bolsa uma operao que no
envolve muitos riscos de longo prazo, enquanto que comprar uma padaria
envolve um risco muito maior. Isso no novidade para vocs. No entanto,
tambm acho que aplicar o dinheiro em imvel me gera um risco e uma
rentabilidade de longo prazo menor do que aplicar na ao da VALE, por
exemplo.
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Tenho certeza que muitos de vocs comearam a pensar, agora, no momento
em que o Collor confiscou a poupana dos brasileiros com o objetivo de tirar a
minha razo. A soluo encontrada por voc pode ser a de colocar o dinheiro
em um imvel ao invs de deix-lo nos Bancos ou mesmo nas Bolsas quesofreriam bastante com uma medida como essa.
Entretanto, se voc comprasse um apartamento com o objetivo de proteger o
seu recurso de um possvel confisco, a nica coisa que voc no estaria
fazendo seria protegendo o seu dinheiro. No o protegeria porque voc teria ao
invs de um recurso confiscado, um apartamento. Mas para ter os recursos
novamente, teria que vender esse apartamento. Como praticamente todas as
pessoas tiveram seus recursos confiscados, voc no conseguiria vender seuapartamento e se vendesse, o preo seria muito abaixo daquele conseguido
dias antes do confisco. Teria soluo para no perder dinheiro? Sim, colocar
ele debaixo do colcho e torcer para ningum te roubar.
Observe como as pessoas possuem uma avaliao diferente do grau de risco.
Escrevi tudo isso de propsito, pois exatamente o que penso e sei que
muito diferente do que muitos pensam. Eu no estou errado e nem voc est
apenas temos uma percepo diferente de risco, apenas isso.
O que voc acha de combinarmos de fazer uma escalada no Monte Everest?
Como voc analisaria uma proposta como esta, suponhando que voc tenha
preparo fsico para fazer a caminhada. Na verdade, existem inmeros riscos
envolvidos no percurso, seja ele por causa da falta de oxignio dada a altitude,
seja pelo risco de tempestade, seja pelas fendas que podem ser encontradas
no meio do caminho, entre outros. Todos esses riscos podem acabar
ocasionando a morte do alpinista que, teoricamente, o maior risco que umser humano pode vir a correr. Eu tenho a minha resposta a essa proposta ou
alguma parecida e para isso levo em considerao o risco e o benefcio.
Ento porque algum toparia correr este tipo de risco? Seria pelo simples fato
escalar a maior montanha do mundo, tirar uma foto e voltar para casa? A
resposta para isso est na diferente percepo de risco que as pessoas tm e,
principalmente, na diferente forma de encarar um determinado retorno.
Algumas pessoas topam fazer esse tipo de caminhada porque acreditam queapesar de estarem incorrendo em um riso elevado, o retorno que tero obtido
ao conseguir xito na caminhada to grande que compensa esse risco.
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Outras pessoas, no entanto, no topariam fazer a escalada em uma parede da
academia, pois acreditam que existe um risco de tomar uma queda e vir a
quebrar o brao, a perna ou se machucar e a satisfao gerada (retorno) no
ir compensar o risco ao qual foi submetido.
Como todos que j conversaram comigo ou me conhecem sabem, adoro
futebol e sou Cruzeiro. Em 2009, o meu time foi final da Libertadores da
Amrica. Eu no tive a menor dvida, fui a Belo Horizonte, nica e
exclusivamente, para ver o jogo. Claro que no fica barata essa brincadeira,
pois mesmo tendo lugar para ficar, avio de ida e volta, taxi e ingresso custam
caro. No entanto, o prazer que tenho em ir ao campo ver meu time jogar,
ainda mais se for um jogo decisivo, enorme. Imagino que muitos de vocsesto pensando, que babaquice...Andar 700 km para ver 11 homens correndo
atrs de uma bola ainda mais passando na Globo direto para Braslia. Sim,
mas tudo isso a questo do risco contra o benefcio. Fui, vi e o time perdeu,mas se acontecesse de novo, faria tudo da mesma forma.
Eu vejo, sinto um benefcio que voc no v. Voc pode estar pensando que
existem riscos de ir a um estdio lotado, brigas e tal. Eu sei quais so os
riscos, e os acho mnimos se comparados os benefcios. O engraado quetanto eu, quanto meus irmos quanto meu pai sempre gostamos e sempre
fomos ver futebol no estdio. No entanto, meu pai depois de velho mudou a
percepo dele. Apesar de continuar compreendendo os benefcios, ele
comeou a considerar os riscos por outro prisma. A idade o fez ver que poderia
estar ficando perigoso ir a um estdio. Se alguma confuso ocorresse, ele no
teria mais a mesma mobilidade para fugir dela. E certa vez me deu como
exemplo um jogo Cruzeiro e Corinthians no Mineiro em que eu fui de
muletas4
. A torcida do Corinthians encontrou uma colmia no estdio e foicutuc-la. As abelhas saram que nem loucas e o estdio inteiro correndo na
nossa direo, dando uma volta no anel superior5. Como eu no conseguia me
locomover facilmente, a soluo encontrada por ns (eu, meu pai, irmos e
mais dois amigos do meu pai) foi a de fazer um crculo de proteo aos
menores e minha perna e ficar parado logo aps uma das sadas. Tudo
questo de risco e benefcio.
4 Pensando bem, nem sei como consegui entrar de muletas em um estdio de futebol. Mas isso deve ter sido no final dosanos 80.5 O fato ocorreu atrs de um gol e eu estava atrs do outro gol, ou seja, do outro lado do estdio. Mas a torcida correutodo o estdio fugindo das abelhas.
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Imagine um casal muito bem casado, ricos e bonitos e que se do super bem.
Porque que um deles iria trair o outro? Na verdade, aqui ns temos mais uma
questo de risco e retorno. Um dos dois para vir a trair, no entanto, estarciente que est correndo um risco enorme e que fica ainda maior pelo fato de
considerarem que a unio entre eles bastante satisfatria. Por outro lado, a
pessoa com quem um dos dois ter uma relao ter algumas caractersticas
muito especiais, pois caso isso no seja verdade, o retorno obtido no ir
compensar o risco da operao.
Entretanto, se duas pessoas esto em um casamento ruim, eles esto muito
mais propcios em trair um ao outro. Isso ocorre porque h uma reduosensvel do risco, pois caso seja descoberto, haver um prejuzo, mas que a
pessoa no considera como sendo to grande. Dessa forma, a pessoa acabar
sendo menos seletiva, obter um retorno menor, mas ainda assim estartraindo, pois o retorno, mesmo sendo baixo, compensa o risco.
Mas como podemos pensar nisto no mercado de capitais? Deve ser exatamente
essa pergunta que voc deve estar se fazendo. Comparemos o mercado de
renda varivel (mercado acionrio) e o mercado de renda fixa (ttulos pblicos,por exemplo).
Muitas pessoas dizem que aplicar no mercado acionrio algo muito arriscado
e que no tm coragem de colocar seus recursos nesse mercado. claro que
parte disto se deve ao fato de as pessoas no saberem exatamente onde esto
aplicando seus recursos. No entanto, essas mesmas pessoas aplicam em fundo
de investimento de renda fixa e no sabem se o seu fundo adquire ttulos
pblicos ou Certificados de Depsitos Bancrios (CDB) de um banco pequeno eprestes a quebrar. Com certeza, comprar CDB dessa instituio financeira
muito mais arriscado do que comprar aes da Vale ou Petrobrs.
O que podemos concluir que essas pessoas j ouviram muito falar em
mercado de aes, esto sempre vendo os jornais e sabendo, diariamente,
quando que o ndice subiu ou caiu. Ouvem falar que isso algo arriscado e que
pode perder dinheiro. Com base nessas informaes, opta por no investir em
aes. No devemos levar em considerao raciocnios como esse, pois no huma percepo correta do risco.
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No entanto, existe uma outra classe de pessoas, aquelas que sabem do risco
inerente ao mercado acionrio, mas que compreendem o seu grau de retorno.
Algumas pessoas optam por aplicar no mercado acionrio porque acreditam
que, no longo prazo, o retorno ser bastante satisfatrio e vale a pena correresse risco. Outras pessoas conhecem o risco e sabem da possibilidade de
retorno, mas acham que o risco alto para eles e, portanto, preferem investir
no mercado de renda fixa, preferem o certo ao duvidoso.
Veja que no estou tecendo uma crtica a quem acha que o mercado de aes
arriscado. Critico aquele que diz que arriscado sem nunca ter parado para
pensar o que, na verdade, ele est comprando. Se uma pessoa conhece o
mercado, sabe das vantagens mas opta por no aplicar no mercado de aesporque ele acredita que seu estmago no suportaria aquele tipo de aplicao,
a sim ele est olhando para o risco e o benefcio da aplicao.
Tenho um caso curioso aqui. Conheo uma pessoa que dona de um curso
presencial para concurso pblico. notrio que esse tipo de empreendimento
d um bom retorno. No entanto, os alunos acreditam que o risco baixo. No,
o risco inerente a um projeto como esse alto pois existe um custo fixo
enorme embutido naquilo. Essa pessoa tem um curso mas no coloca umcentavo de seus recursos no mercado acionrio, exatamente pelo fato de achar
muito perigoso o mercado acionrio.
Sendo assim, temos sempre que levar em considerao em nossas decises
uma anlise mnima de risco e retorno. Somente devemos fazer alguma coisa
se o retorno a ser obtido com aquela ao superar, na sua anlise, o risco que
estamos incorrendo. Ou seja, nunca podemos ou devemos correr um risco
demasiado mesmo que o retorno que venhamos a ter seja gigante, pois oprejuzo que podemos adquirir pode nos causar algum tipo de dificuldade e
transtorno.
Um exemplo prtico. Recentemente, um fundo de investimento em aes
vinha, ano aps ano, batendo recordes de rentabilidade. Vrias pessoas
estavam colocando seus recursos nesse fundo, mas no estavam lendo seu
regulamento e prospecto. Esse fundo era alavancado e se fizesse a aposta na
direo correta poderia ter uma rentabilidade 3 a 4 vezes maior que arentabilidade obtida no mercado acionrio. Isso fantstico, mas desde que o
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administrador do fundo acerte o que vai acontecer. Se ele apostar errado,
pode ser um desastre.
De repente, em meados de 2008, o mercado comeou a mudar, despencar e ofundo gerou um prejuzo de 95% do capital em 3 meses. Ou seja, um fundo
com rentabilidade campe e que existia h 10 anos, viu toda a riqueza de seus
cotistas desaparecerem em 3 meses. Porque isso?? Porque incorreram em um
grande risco e que daria um enorme retorno se a aposta fosse correta.
Infelizmente para os cotistas, a aposta foi errada com a crise.
Fato semelhante podemos falar sobre o Avestruz Master. ou foi um bom
negcio? Quer saber se eu aplicaria? Claro que foi um bom negcio para quemconseguiu tirar o dinheiro antes. Eu, talvez, topasse aplicar mas pouco e por
um prazo muito curto mas desde que tivesse alguma informao adicional
daquela que era dada. Era notrio que uma hora iria estourar.
2. Estatstica Descritiva Medidas de Tendncia Central eMedidas Disperso
2.1. Medidas de Tendncia Central
Uma medida de tendncia central ou de posio de um conjunto de dados
mostra o valor em torno do qual se agrupam as observaes. As principais
medidas de tendncia central so a mdia aritmtica, a mediana e a moda.
Tambm so bastante utilizadas a mdia ponderada, que uma variao da
mdia aritmtica, a mdia geomtrica e a mdia harmnica.
Um conjunto de dados pode ser bem analisado se usarmos as medidas de
tendncia central juntamente com as medidas de disperso, de assimetria e de
concentrao, permitindo assim, caracterizar de maneira bastante satisfatria
e concisa o conjunto de que dispomos.
Os diversos tipos de mdia so as medidas de tendncia central mais usadas
para descrever resumidamente uma distribuio de freqncia. Veremos, a
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mdia aritmtica simples e a ponderada, que nada mais do que uma variao
da simples, a mdia geomtrica e a mdia harmnica.
Entretanto, necessrio esclarecer que uma mdia no melhor que aoutra, ou seja, apesar da mdia mais comum ser a mdia aritmtica, isto no
a deixa melhor do que a mdia geomtrica, por exemplo. Uma mdia ser
mais conveniente para a situao apresentada do que a outra. Isso
depender apenas das caractersticas dos dados apresentados. importante
frisarmos que no h nenhum tipo de hierarquia entre as mdias.
Se os dados apresentados forem de inflao, a mdia mais conveniente a
geomtrica, no entanto, se os dados forem as alturas dos alunos de umaclasse, a mdia mais conveniente seria a aritmtica. E, s vezes, a mdia
tambm no a melhor medida de tendncia central. Imagine se quisermos
representar o salrio dos brasileiros por um nico nmero. Ser que seriainteressante calcularmos a mdia aritmtica dos salrios dos brasileiros e dizer
que este nmero representaria bem? A resposta no, na verdade, a mediana
representaria de forma bem mais satisfatria o salrio dos brasileiros. Quando
h alguns dados que so muito dispersos, talvez seja um bom momento para
se usar uma mediana.
Entretanto, no nosso curso de Finanas usaremos, praticamente, apenas a
mdia aritmtica, apesar de, nesse momento, estarmos iniciando uma reviso
das medidas de tendncia central.
2.1.1. Mdia Aritmtica
A mdia aritmtica a idia que ocorre maioria das pessoas quando se fala
em mdia.
A mdia aritmtica simples pode ser calculada pelo quociente entre a soma dos
valores de um conjunto e o nmero total de elementos.
Imagine que tenhamos um conjunto com 5 elementos, representando o
nmero de questes acertadas por um candidato nas ltimas cinco provas deportugus, quais sejam: 6, 8, 9, 11 e 11. Qual seria um nmero que poderia
representar bem esse conjunto?
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Devemos representar essas notas pelo resultado da mdia aritmtica simples
conforme abaixo:
95
45
5
1111986==
++++=x
Portanto, podemos dizer que essa pessoa tem uma mdia de acertos igual a 9e que ela pode considerar esse nmero para a prxima prova. No entanto, isso
serve apenas para fazer uma previso de quantas questes ela acertar na
prxima para saber se ela precisa ou no estudar mais.
Genericamente, podemos representar a mdia aritmtica com a seguinte
frmula:
N
x
x
N
i
i== 1
A mdia possui algumas propriedades teis que explicam porque ela a
medida de tendncia central mais usada:
a) a mdia pode sempre ser calculada;
b) a mdia de um dado conjunto sempre nica;
c) se somarmos (subtrairmos, multiplicarmos ou dividirmos) a todos os
valores do conjunto um valor y qualquer, a nova mdia desse mesmo
conjunto ser a mdia anterior somada (subtrada, multiplicada ou dividida)de y;
d) a mdia uma medida sensvel que afetada por todos os valores do
conjunto.
Se ao invs de utilizarmos a mdia aritmtica para calcular um nmero que
representa bem as notas da pessoa, formos utilizar a mdia aritmticaponderada teremos, exatamente, o mesmo resultado.
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Devemos utilizar a ponderada quando os diversos elementos do conjunto
tiverem pesos ou freqncias diferentes. No exemplo acima, podemos usar a
mdia ponderada desde que faamos a seguinte anlise:
Notas 6 8 9 11
Frequncia6 1 1 1 2
Dessa forma, a mdia aritmtica se calculada da forma ponderada seria:
95
45
5
211191816==
+++=x
Portanto, a frmula a ser usada na mdia aritmtica ponderada a seguinte:
Nf
f
fx
xk
i
ik
i
i
k
i
ii
=
=
=
=
=
1
1
1 sendo,
2.1.2. Mdia Geomtrica
A mdia geomtrica de n valores definida como a raiz n-sima do produto de
todos eles. uma medida mais central quando as observaes apresentam
uma taxa constante de crescimento em funo do tempo, ou seja, a medida
mais adequada quando as taxas crescem com capitalizao composta
(exponencial).
No entanto, importante ressaltar que esse tipo de mdia no aceita
observaes menores ou iguais a zero. Uma aplicao freqente da mdia
geomtrica no clculo da taxa equivalente de uma operao financeira.
Podemos representar a mdia geomtrica simples da seguinte forma:
6 A freqncia das notas o nmero de vezes que cada uma delas aparece no conjunto.
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nn
n
n
i
ig xxxxx == =
L211
Se calcularmos a mdia geomtrica desse conjunto de dados, apesar de no
fazer nenhum sentido, dada a natureza dos nmeros, teramos:
78,811119865 ==gx
2.1.3. Mdia Harmnica
A mdia harmnica de um conjunto o inverso da mdia aritmtica dos
inversos, ou seja:
=
=+++
=n
i in
h
x
n
n
xxx
x
121
11111
L
Com nmeros iguais queles que foram dados no conjunto acima, a mdia
harmnica seria igual a 8,55.
Apesar de no fazer sentido algum, estatisticamente, calcular as mdias
geomtrica e harmnica de um conjunto de notas, fizemos os clculos apenas
para mostrar que:
xxx gh
2.2. Medidas de Disperso
Quando comparamos vrios conjuntos de nmeros, alm da informao com
relao ao centro do conjunto, devemos tambm avaliar o grau de disperso
dos dados. Essa disperso nos indicar se os valores esto relativamente
prximos uns dos outros ou no.
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Antigamente, quando amos aos bancos, deveramos formar filas separadas
para os diversos caixas. Hoje em dia, apenas uma fila formada normalmente.
Apesar desse fato no ter alterado o tempo mdio de espera, fez com que a
variao de tempo que passamos na fila tenha diminudo consideravelmente,pois a partir da o tempo de espera no mais dependia da eficincia da pessoa
que operava o caixa da fila onde estava nem se as pessoas que estavam na
minha frente iriam dar mais ou menos trabalho aos caixas. Com isso, os
clientes ficam muito mais satisfeitos.
No interessa, em princpio, a varincia e o desvio-padro de um conjunto de
dados. Alm deles, a correlao e a covarincia.
2.2.1. Varincia
A varincia nos mostra a mdia do quadrado da distncia em relao mdia
que representada pela seguinte frmula:
( )
n
xxn
i
i=
= 1
2
2 ou
( )
n
n
x
xn
i
n
i i
i =
== 1
1
2
2
2
2.2.2. Desvio-Padro
O desvio-padro a raiz quadrada positiva da varincia e nos mostra a raiz
quadrada da mdia do quadrado da distncia em relao mdia que
representada pela seguinte frmula:
( )
n
xxn
i
i=
= 1
2
ou
( )
n
n
x
xn
i
n
i
i
i
=
== 1
1
2
2
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2.3. Covarincia
Temos ainda que considerar as frmulas tanto da covarincia quanto da
correlao para podermos compreender de forma perfeita a Teoria de Carteirasem Finanas. Dessa forma, seguem abaixo as duas frmulas7:
( ) ( )
n
xxxxn
i
BB
iAA
i
BA
=
= 1,
2.4. Correlao
A correlao a razo entre a covarincia existente entre duas grandezas e o
produto dos seus desvios.
BA
BA
BA
= ,,
3. Retorno Esperado e Retorno Mdio de um Ativo
Inicialmente vamos falar sobre o retorno esperado de uma carteira, ou seja,
qual o retorno que eu espero que uma carteira venha a ter. Na verdade,
esperamos que o retorno mdio de uma carteira seja dado pela mdia
aritmtica dos retornos dos ativos que compem essa carteira.
H uma diferena entre esses dois conceitos, mas no vejo necessidade emme aprofundar nisso nessa matria. Talvez fosse algo a ser estudado de
forma mais profunda em Estatstica. Aqui, acredito que devo apenas salientar
que quando falamos de Retorno Esperado estamos usando o operador
Esperana utilizado em Estatstica. Dessa forma, estaramos informando o
quanto esperamos para o retorno futuro de um portflio.
7Devido ao fato de que esta matria (finanas) apenas utiliza ferramentas da Estatstica, casovoc tenha alguma dvida em relao aos conceitos estatsticos sugiro dar uma olhada emalgum material especfico do assunto.
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Por outro lado, quando falamos sobre Retorno Mdio estamos calculando a
mdia do retorno de uma carteira, de um portflio. Nesse caso, estaramos nos
referindo a uma mdia aritmtica mesmo.
Imagine a situao em que podem ocorrer 3 cenrios possveis, sendo cada
um deles com uma probabilidade especfica de ocorrncia e um dado retorno
conforme descrito abaixo:
Cenrio Probabilidade Retorno
Crescimento 0,30 20%
Estabilidade 0,20 10%
Recesso 0,50 5%
Qual seria a expectativa de retorno ou a Esperana de Retorno de um ativo
dadas as expectativas de retorno do ativo em cada um dos cenrios e as
respectivas probabilidades de ocorrncia desse cenrio, conforme colocado
acima?
Observe que existem trs cenrios possveis para a economia de um pas. No
caso de essa economia apresentar crescimento e isso ocorrer, dada a situao
atual, com uma probabilidade 30%, espera-se que o rendimento dessa ao
em questo (ou portflio) seja de 20%. Ou seja, para a avaliao feita, ocrescimento da economia dar ao ativo a possibilidade de ter seu preo
majorado em 30%.
Caso haja uma estabilidade na economia e isso pode ocorrer com 20% de
probabilidade, espera-se que o rendimento seja de 10% no perodo. Ou seja,
as avaliaes feitas por analistas esto prevendo que mesmo que no ocorra
crescimento na economia, essas aes podem ter seus preos majorados em
10%.
Ocorrendo uma recesso e a probabilidade de ocorrncia deste fato de 50%,analistas esperam um retorno de 5% para as aes dessa empresa.
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Dessa forma, devemos utilizar a seguinte frmula para determinarmos a
Esperana de Retorno desta carteira:
[ ] [ ]=
=N
i
iip REpRE1
Essa frmula prev que a Esperana de Retorno de um ativo p (pode ser de
um portflio ou carteira tambm) dada pela mdia ponderada dos retornos
quando da ocorrncia de cada evento i.
Portanto, a Esperana do Retorno ser:
[ ][ ] %5,10
%5,2%2%6
%550,0%1020,0%2030,0
=
++=
++=
p
p
p
RE
RE
RE
Observe que esse clculo do Retorno Esperado do ativo. Logo, estamos
fazendo estimativas com base em probabilidades de ocorrncias futuras daocorrncia de um evento e, da, retirando uma base para a valorizao do
ativo.
Por outro lado, se tivermos que calcular o retorno mdio de uma ao,
devemos utilizar dados histricos para efetuarmos o clculo. Essa estimativaser dada pela mdia aritmtica dos retornos. Observe que a partir do
momento em que estamos interessados no retorno mdio do ativo como uma
proxy para um provvel retorno futuro estamos partindo do pressuposto deque o mercado, em um futuro prximo, se comportar de forma similar ao seu
comportamento passado.
O preo das aes, dos ativos pode ser facilmente conseguido no mercado. No
entanto, um dos problemas existentes qual seria o prazo ideal para se fazer
o estudo. Deveramos retirar os dados de fechamento dirio de prego do
ltimo ms, dos ltimos trs meses, doze meses. Ou os dados seriam do
fechamento do prego apenas do ltimo dia do ms. Enfim, essas so decises
que aps serem tomadas pelos investidores faz com que a grande maioriapasse a ter dados diferentes mesmo utilizando os mesmos dados do mercado.
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Veja na tabela abaixo o preo de fechamento do ltimo prego do ms das
aes da Vale (VALE5) cotadas na BOVESPA, de agosto a novembro de 2010.
Data Preo de
Fechamento
Retorno
Mensal
30/07/2010 42,67
31/08/2010 41,43 -2,91%
30/09/2010 46,30 11,75%
29/10/2010 47,75 3,13%
30/11/2010 48,00 0,52%
O retorno mensal das aes calculado da seguinte forma8:
%52,00052,0175,47
00,48
%13,30313,0130,46
75,47
%75,111175,0143,41
30,46
%91,20291,0167,4243,41
===
===
===
===
NOV
OUT
SET
AGO
x
x
x
x
Portanto, o retorno mdio das aes da VALE5 negociadas no IBOVESPA nosquatro primeiros meses desse ano foi de9:
%12,34
%52,0%13,3%75,11%91,21
=+++
=
==
VALE
N
i
i
x
xx
8 Essa forma mostrada como voc deve pensar para calcular na prova. No entanto, os analistas utilizam uma formacom logaritmo neperiano, mas nestas aulas para concurso no vejo motivos para discutir nem apresentar o assunto.9 Apesar desse de que para este tipo dado seja mais aconselhvel utilizar uma mdia geomtrica, utilizamos comfreqncia a mdia aritmtica, pois os dados so muito prximos.
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A mdia de 3,12% mostra que o retorno mdio mensal da VALE entre os
meses de agosto e novembro de 2008 foi de 3,12% ao ms.
muito interessante notarmos que nesses meses avaliados o resultado da
VALE foi positivo. Entretanto, se fizermos uma comparao do preo de
fechamento do ltimo prego de Novembro de 2010 com o preo de
fechamento do ltimo prego de 2007 (antes da crise, portanto) veremos que
o preo da ao ficou praticamente estvel, tendo um pequeno recuo.
Em novembro de 2007, a ao da VALE chegou ao preo R$ 52,15, enquanto
que trs anos depois ela estaria cotada por R$ 48,00. No entanto, na aulademonstrativa mostrei a vocs um grfico que ilustra bem a evoluo do preo
das aes dessa companhia ao longo dos ltimos anos.
4. Retornos das Carteiras de Ativos
Uma carteira de aes composta por um conjunto de aes que so
ponderadas conforme a quantidade de recursos que foram aplicados em cadaum dos ativos. Portanto, para calcularmos o retorno mdio de uma carteira
devemos calcular a mdia ponderada dos retornos dos ativos que compem a
carteira.
Dessa forma, a frmula a ser utilizada no clculo do retorno mdio da carteira
:
=
=N
i
iip RXR1
Imaginemos o caso em que tenhamos os retornos das aes A e B conforme
descrito abaixo:
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Retorno de A Retorno de B
5% 4%
10% -3%
8% 8%
-3% 3%
Assim, temos:
%34
%3%8%3%4
%54
%3%8%10%5
=++
=
=++
=
B
A
R
R
Portanto, se colocarmos 60% dos recursos no ativo A e 40% dos recursos no
ativo B, teremos que o retorno mdio dessa carteira ser:
%20,4
%2,1%0,3
%340,0%560,0
=
+=
+=
p
p
p
R
R
R
Por outro lado, vamos imaginar um situao em que tenhamos dois ativos e os
possveis retornos desses ativos para cada uma das situaes hipotticas
possveis para o futuro. Veja abaixo:
Cenrio Probabilidade Retorno A Retorno B
Crescimento 0,30 20% -10%
Estabilidade 0,20 10% 8%
Recesso 0,50 5% 21%
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Devemos utilizar o operador esperana para poder encontrar o retorno
esperado de cada ativo. Dessa forma, a frmula a ser utilizada :
[ ] [ ]=
=N
i
iip REpRE1
O Retorno esperado do ativo A :
[ ]
[ ]%5,10
%5,2%2%6
%550,0%1020,0%2030,0
=
++=
++=
p
p
p
RE
RE
RE
O Retorno esperado do ativo B :
( )
[ ] ( )[ ] %1,8
%5,10%6,1%3
%2150,0%820,0%1030,0
=
++=
++=
p
p
p
RE
RE
RE
Se montarmos uma carteira com 60% dos recursos aplicados no ativo A e 40%aplicados em B, teremos o seguinte retorno esperado da carteira:
%54,9
%24,3%30,6
%1,84,0%5,106,0
1
=
+=
+=
==
p
p
p
N
i
iip
R
R
R
RXR
Isso significa que com uma aplicao de 60% dos recursos no ativo A e 40%
no ativo B, os investidores devem esperar um retorno de 9,54% no perodo em
questo.
5. Oscilao dos Retornos
A mensurao do risco dos ativos deve ser feita com base em sua oscilao de
preos. Ou seja, partimos do pressuposto de que quanto mais o preo do ativo
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variar maior a falta de previsibilidade do mesmo e, portanto, maior o risco
atrelado a ele. Uma boa medida para efetuarmos a anlise do risco de um
ativo pode ser feita com as medidas de disperso da estatstica.
Como medida de disperso, estudamos tanto o desvio-padro quanto a
varincia e so essas duas grandezas que iro informar o grau de risco de
cada um dos ativos. Lembre-se de que o desvio-padro a raiz quadrada da
varincia e se um ativo tem uma varincia maior do que outro, ele tambm
ter um desvio-padro maior.
5.1. Carteira com dois ativos
Na verdade, o risco de uma carteira medido pela varincia ou desvio-padro
da mesma e, ao contrrio do que muitos podem vir a pensar, no a mdia
aritmtica das varincias ou dos desvios dos ativos. Isto decorre do fato de
que os ativos que compem uma carteira tm uma correlao entre eles.
Dessa forma, a varincia e o desvio-padro de um conjunto de ativos
(carteira) depende ainda da covarincia existente entre os ativos quecompem a carteira em questo.
No caso de uma carteira com dois ativos (A e B), se levarmos em considerao
que foi aplicado no ativo A uma parcela10 XA dos recursos e no ativo B uma
parcela XB dos recursos disposio do investidor, teremos que a varincia da
carteira dada por:
BABABABBAAp XXXX ,22222 2 ++=
Tendo em vista o fato de que a covarincia entre dois ativos igual ao produto
entre os desvios dos ativos pela correlao11 entre eles, podemos expressar da
seguinte forma a varincia de uma carteira composta por dois ativos:
10 Aplicar uma parcela XA dos recursos no ativo A, significa que de todo o recurso que o investidor possui, X A% foiaplicado em A e XB% foi aplicado em B. De forma que a soma de X A e XB seja igual a 100% dos recursos, ou seja, ele
aplica parte dos recursos disponveis no ativo A e parte no ativo B.
11 BABABA ,, = ouBA
BA
BA
= ,,
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BABABBAAp XXXX ,22222 2 ++=
Sendo assim, como o desvio-padro a raiz quadrada positiva da varincia, o
desvio-padro de uma carteira de ativos pode ser representada por:
( ) 21
,2222 2 BABABABBAAp XXXX ++=
Voc deve estar se perguntando como que voc vai decorar uma frmula
deste tamanho. Pois , vou te dar uma grande dica que nunca mais voc vai se
esquecer dessa frmula. No entanto, para decorar esta voc vai ter que
lembrar dos seus bons tempos de 6 Srie e da temida matria chamada deProdutos Notveis... Risos... Lembra-se disso?
Pois . Quanto o quadrado da soma de dois termos? Lembra que voc
decorava que o quadrado da soma de dois termos era o quadrado do primeiro
mais duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo. Ou
seja, o quadrado da soma de A mais B :
( )222
2 BBAABA ++=+
No isso mesmo? Ento. Essa frmula que estou mostrando a vocs a
mesma frmula do quadrado da soma de dois termos mas com o acrscimo da
correlao no termo central. Observe a frmula do quadrado da soma quando
utilizamos os desvios e a ponderao deles pelo peso aplicado em cada ativo:
( ) BABABBAABBAA XXXXXX ++=+ 222222
Observe que se voc acrescentar no termo central a correlao entre os dois
ativos que formam a carteira, voc ter desenvolvido a mesma frmula da
varincia de uma carteira com dois ativos.
Como j sabemos como devemos proceder para decorar a frmula devemos
ver como ficar a relao risco x retorno medida que retiramos parte dos
recursos de um ativo e colocamos em outro ativo.
Na verdade, a relao entre risco e retorno depende da correlao existente
entre os ativos ou da covarincia entre os mesmos. Apesar de o retorno
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sempre ser a mdia aritmtica dos retornos individuais, sabemos que o mesmo
no ocorre com o risco12.
5.1.1. Correlao perfeita e positiva13 ( = 1)
Quando a correlao entre os dois ativos que compem a carteira for perfeita e
positiva, ou seja, 1, ao transferirmos recursos de um ativo a outro teremos a
formao de uma reta no espao risco x retorno como mostrado na figura
abaixo14:
Pegamos um exemplo em que temos dois ativos (A e B) e que eles possuem as
seguintes caractersticas:
Ativos RetornoEsperado
Desvio-Padro
A 30% 35%
B 10% 10%
12 Lembramos que o risco de um ativo ou de uma carteira pode ser representado tanto pelo desvio-padro quanto pela
varincia.13 Os grficos utilizados em Finanas no espao risco x retorno mostram o risco medido pelo desvio-padro no eixo X eo retorno no eixo Y.14 Estaremos sempre colocando o risco no eixo x e o retorno no eixo y, mesmo que o grfico no faa a indicao.
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
35,00%
0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00% 30,00% 35,00% 40,00%
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Dessa forma, se colocarmos todos os recursos no ativo B, teremos o retorno
esperado da carteira como sendo igual a 10% e o desvio-padro da mesmaser 10%. medida que comearmos a vender o ativo B e com os recursos
percebidos comprar o ativo A, iremos aumentando o retorno de nossa carteira,
pois estamos vendendo um ativo com retorno mais baixo e comprando aquele
com retorno mais alto.
Ao mesmo tempo, tendo em vista que a correlao entre eles igual a 1,
haver um aumento no desvio-padro da carteira. Observe, conforme equao
abaixo, que no caso de a correlao entre os ativos da carteira ser igual a 1, o
desvio-padro da carteira passa a ser a mdia ponderada dos desvios.
( )
BBAAp
BBAAp
BABABBAAp
BA
BABABABBAAp
XX
XX
XXXX
Se
XXXX
+=
+=
++=
=
++=
22
22222
,
,22222
12
1
2
Abaixo, tabela da evoluo do risco e do retorno medida que transferimos o
investimento do ativo B para o ativo A.
XA XB Rp p
0% 100% 10,00% 10,00%
10% 90% 12,00% 12,50%
20% 80% 14,00% 15,00%
30% 70% 16,00% 17,50%
40% 60% 18,00% 20,00%
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50% 50% 20,00% 22,50%
60% 40% 22,00% 25,00%
70% 30% 24,00% 27,50%
80% 20% 26,00% 30,00%
90% 10% 28,00% 32,50%
100% 0% 30,00% 35,00%
importante ressaltar que, SOMENTE quando a correlao entre os dois
ativos for perfeita e positiva, ou seja, igual a 1, o desvio-padro da carteira
formada por esses dois ativos ser igual mdia ponderada dos
desvios.
5.1.2. Correlao perfeita e negativa ( = -1)
Quando a correlao entre os dois ativos que compem a carteira for perfeita e
negativa, ou seja, -1, ao transferirmos recursos de um ativo a outro teremos a
formao de duas retas no espao risco x retorno como mostrado na figura
abaixo:
Pegamos um exemplo em que temos dois ativos (A e B) e que eles possuem as
seguintes caractersticas:
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
35,00%
0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00% 30,00% 35,00% 40,00%
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Ativos Retorno
Esperado
Desvio-Padro
A 30% 35%
B 10% 10%
Dessa forma, se colocarmos todos os recursos no ativo B, teremos o retorno
esperado da carteira como sendo igual a 10% e o desvio-padro da mesma
ser 10%. medida que comearmos a vender o ativo B e com os recursos
percebidos comprar o ativo A, iremos aumentando o retorno de nossa carteira,mas estaremos reduzindo o risco, pois o termo central da varincia negativodado que a correlao negativa. Veja no quadro abaixo:
XA XB Rp p
0% 100% 10,00% 10,00%
10% 90% 12,00% 5,50%
20% 80% 14,00% 1,00%
21,00% 79,00% 14,20% 0,55%
22,00% 78,00% 14,40% 0,10%
22,22% 77,78% 14,44% 0,00%
23,00% 77,00% 14,60% 0,35%
24,00% 76,00% 14,80% 0,80%
30% 70% 16,00% 3,50%
40% 60% 18,00% 8,00%
50% 50% 20,00% 12,50%
60% 40% 22,00% 17,00%70% 30% 24,00% 21,50%
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80% 20% 26,00% 26,00%
90% 10% 28,00% 30,50%
100% 0% 30,00% 35,00%
Observe que em determinado momento, o risco da carteira poder ser
igual a zero para uma dada combinao de recursos aplicados em cada
um dos ativos em questo15.
A partir dessa combinao especfica de XA e XB que torna o risco de uma
carteira igual a zero, para cada unidade adicional de recursos que tirarmos do
ativo B e passarmos para o ativo A, vamos incrementando o retorno dacarteira, mas incorrendo em um risco cada vez maior. Observe que o ponto no
qual temos risco igual a zero, temos o menor risco possvel do portflio com as
caractersticas apresentadas. Dessa forma, chamamos essa carteira de
CARTEIRA DE MNIMA VARINCIA, pois a carteira que possui a menor
varincia.
Podemos verificar que no caso de correlao perfeita e negativa, o desvio-
padro da carteira ser igual raiz quadrada do produto notvel dado peloquadrado da diferena, conforme mostrado abaixo.
( )
( )
BBAAp
BBAAp
BABABBAAp
BA
BABABABBAAp
XX
XX
XXXX
Se
XXXX
=
=
++=
=
++=
22
22222
,
,22222
12
1
2
5.1.3. Ativos Independentes ( = 0)
Quando os dois ativos que compem a carteira forem independentes,
significa que possuem correlao igual a zero, ou seja, ausncia de
15 A linha que est em vermelho mostra que o risco vai a zero quando colocamos 22,22% dos recursos no ativo A e orestante em B. Isso s possvel quando temos apenas dois ativos.
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correlao entre eles. Ao transferirmos recursos de um ativo a outro teremos a
formao de uma curva no espao risco x retorno como mostrado na figura
abaixo:
Vamos pegar novamente o exemplo em que temos dois ativos (A e B) e que
eles possuam as seguintes caractersticas:
Ativos Retorno
Esperado
Desvio-Padro
A 30% 35%
B 10% 10%
Dessa forma, se colocarmos todos os recursos no ativo B, teremos o retornoesperado da carteira como sendo igual a 10% e o desvio-padro da mesma
ser 10%. Observe que se aplicarmos em apenas um ativo, o risco e no
retorno independem da correlao entre esses ativos. Matematicamente,
simples notar isso pois os termos que possuem a ponderao do ativo que no
est recebendo recursos estaro zerados.
medida que comearmos a vender o ativo B e com os recursos percebidos e
comprar o ativo A, iremos aumentando o retorno de nossa carteira, masestaremos reduzindo o risco, pois o termo central da varincia est anulado e
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
35,00%
0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00% 30,00% 35,00% 40,00%
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valendo zero por causa da correlao. Observe no quadro abaixo essa reduo
de risco no incio dessa mudana.
XA XB Rp p
0% 100% 10,00% 10,00%
6% 94% 11,20% 9,63%
7% 93% 11,40% 9,62%
8% 92% 11,60% 9,62%
9% 91% 11,80% 9,63%
10% 90% 12,00% 9,66%
20% 80% 14,00% 10,63%
30% 70% 16,00% 12,62%
40% 60% 18,00% 15,23%
50% 50% 20,00% 18,20%
60% 40% 22,00% 21,38%
70% 30% 24,00% 24,68%
80% 20% 26,00% 28,07%
90% 10% 28,00% 31,52%
100% 0% 30,00% 35,00%
Dessa forma, a varincia da carteira vai sendo reduzida a partir do momento
em que vamos aumentando a participao no ativo A. Entretanto, a partir de
certo ponto (a partir da carteira de mnima varincia16), um incremento na
participao do ativo A acaba provocando um aumento no risco da carteira
(aumento da varincia do portflio).
Podemos observar ainda que, quando os ativos forem independentes, o desvio-
padro da carteira ser menor que a mdia ponderada dos desvios, conforme
mostrado abaixo:
16 Nesse caso, na carteira de mnima varincia estaremos aplicando entre 7% e 8% dos recursos totais no ativo A.
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BBAAp
BBAAp
BABABBAAp
BA
BABABABBAAp
XX
XX
XXXX
Se
XXXX
+ 0%
Para desenvolver o grfico abaixo usamos as mesmas premissas anteriores em
relao a risco e retorno dos ativos A e B.
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
35,00%
0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00% 30,00% 35,00% 40,00%
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Se, nesse grfico, quase imperceptvel notarmos a presena da reduo da
varincia, a tabela abaixo nos deixa isso bem claro. Estamos utilizando para a
confeco da tabela os dados de risco e retorno usuais desse exemplo e uma
correlao igual a 0,25.
XA XB Rp p
0% 100% 10,00% 10,00%
0,90% 99% 10,18% 9,99341%
1,00% 99% 10,20% 9,99325%
1,10% 99% 10,22% 9,99321%
1,20% 99% 10,24% 9,99328%
1,30% 99% 10,26% 9,99347%
10% 90% 12,00% 10,44%
20% 80% 14,00% 11,87%
30% 70% 16,00% 14,00%
40% 60% 18,00% 16,55%
50% 50% 20,00% 19,36%
60% 40% 22,00% 22,34%
70% 30% 24,00% 25,42%80% 20% 26,00% 28,57%
90% 10% 28,00% 31,76%
100% 0% 30,00% 35,00%
Observe que sempre que houver correlao menor do que um, por mais
imperceptvel que seja a barriga feita pelo grfico, ela EXISTIR.
Matematicamente, no complicado de notarmos, pois se quando a correlaoentre dois ativos for igual, o desvio-padro da carteira ser a mdia ponderada
do risco, quando ele for menor do que um, o termo central do quadrado
perfeito estar sendo multiplicado por um nmero menor, reduzindo assim o
risco como um todo. E, dessa forma, o risco da carteira fica menor do que a
mdia ponderada dos desvios. Com isso, podemos afirmar que:
BBAApBA XX +
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O que a equao acima afirma que se a correlao entre dois ativos for
menor que 1, isso condio necessria e suficiente para que o desvio-padro
da carteira seja menor que a mdia ponderada dos desvios. E, ao mesmo
tempo, se o desvio-padro da carteira for menor que a mdia ponderada dosdesvios, isso seria condio necessria e suficiente para que a correlao entre
os ativos seja menor do que 1.
5.1.5. Correlao negativa (-1,0 < < 0)
Da mesma forma como mostrado em exemplos anteriores, quando a
correlao negativa temos uma reduo da varincia (desvio-padro) a partirdo momento em que o investidor opta por transferir a aplicao de seus
recursos do ativo de menor risco para o ativo de maior risco. Observe o grfico
abaixo.
Para desenvolver o grfico, usamos as mesma premissas do anteriores para os
ativos A e B.
Neste grfico conseguimos ver de forma mais ntida a formao da carteira demnima varincia quando vamos vendendo o ativo B e comprando A, de forma
gradual. A tabela abaixo mostra os clculos de risco e retorno para a carteira
A,B com correlao igual a -0,50.
XA XB Rp p
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
35,00%
0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00% 30,00% 35,00% 40,00%
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0% 100% 10,00% 10,00%
10% 90% 12,00% 7,86%
15% 85% 13,00% 7,43%
16% 84% 13,20% 7,41%
17% 83% 13,40% 7,41%
18% 82% 13,60% 7,43%
19% 81% 13,80% 7,48%
20% 80% 14,00% 7,55%
30% 70% 16,00% 9,26%
40% 60% 18,00% 12,17%
50% 50% 20,00% 15,61%
60% 40% 22,00% 19,31%
70% 30% 24,00% 23,15%
80% 20% 26,00% 27,06%
90% 10% 28,00% 31,01%
100% 0% 30,00% 35,00%
muito importante notarmos que SEMPRE que a correlao entre osativos no for perfeita e positiva, no valer a pena aplicar a totalidade
de seus recursos naquele ativo que possui menor risco, pois umaumento na participao do ativo mais arriscado induzir a uma
reduo do risco total do portflio.
Veja como fica o grfico com todas as correlaes juntas. claro que, como a
correlao um clculo estatstico, no tem como vari-la a no ser ao longo
do tempo. No entanto, o grfico abaixo pode nos mostrar o quo eficiente emtermos de reduo de risco pode ser incluirmos em nossa carteira ativos que
possuam correlao baixa ou negativa.
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Veja que quanto menor for a correlao entre dois ativos, maior a nossa
chance de ao dimensionarmos a ponderao dos ativos, reduzirmos o risco do
investidor. Ou seja, se a correlao for menor, a barriga formada pela figura
ficar cada vez mais protuberante.
6. Risco de Carteiras Notao Matricial
6.1. Carteira com dois ativos Notao Matricial
Podemos mostrar tambm a notao matricial que pode ser desenvolvida para
calcularmos a varincia de uma carteira. claro que o resultado e a frmula
sero os mesmos e no h muita vantagem quando estamos utilizando apenas
dois ativos.
Entretanto, se voc pegar o jeito de fazer a notao matricial pode vir uma
questo com 10 ativos (como j caiu uma vez em prova) que voc faz sem
maiores problemas.
Ativo A Ativo B
Ativo A 22AAX BABA XX ,
Ativo B BABA XX , 22
BBX
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
35,00%
0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00% 30,00% 35,00% 40,00%
Correlao 1 Correlao 0 Correlao -1 Correlao 0,5 Correlao -0,5
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Utilizamos o seguinte conceito, para montar a matriz:
BABABA
BA
BA
BA ,,,
,
==
Temos que o somatrio dos elementos da matriz ser igual ao risco do
portflio em questo, dado pela varincia do mesmo:
BABABBAAp XXXX ,22222 2 ++=
Observe que a diagonal principal da matriz trata das varinciasenquanto que as outras clulas que compem a matriz trata das
parcelas que contm covarincia. Essa observao muito importante e
vai ser necessria mais frente.
6.2.Carteira com trs ativos Notao MatricialSe utilizarmos uma carteira com trs ativos (A, B e C), a notao matricialficar da seguinte forma:
Ativo A Ativo B Ativo C
Ativo A 22AAX BABA XX , CACA XX ,
Ativo B BABA XX , 22
BBX CBCB XX ,
Ativo C CACA XX , CBCB XX , 22CCX
Sendo assim, ao somarmos todas as clulas da matriz teramos que a varincia
de uma carteira composta por trs ativos dada por:
CBCBCACABABACCBBAAp XXXXXXXXX ,,,2222222 222 +++++=
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Observe que essa matriz possui 9 clulas, sendo que as trs que fazem parte
da diagonal principal derivam de varincias e as outras seis derivam de
covarincias. Dessa forma, fica ntido que quanto maior for o nmero deativos de uma carteira menos o risco da certeira depender das
varincias dos ativos e mais depender das covarincias.
6.3.Carteira com N ativos Notao MatricialUm carteira com N ativos, ter em sua notao matricial N x N elementos, ou
seja, N2
elementos. Observe que dessa quantidade de elementos existentes,apenas a diagonal principal da matriz depender das varincias dos ativos.
Portanto, no clculo da varincia do portflio teremos N2 termos, sendo que
apenas N dependero da varincia e, dessa forma, N2 N dependero das
covarincias, conforme mostrado abaixo:
Ativo 1 Ativo 2 Ativo 3 ... Ativo N
Ativo 1 21
21 X 2,121 XX 3,131 XX ... NNXX ,11
Ativo 2 2,121 XX 22
22 X 3,232 XX ... NNXX ,22
Ativo 3 3,131 XX 3,232 XX 23
23 X ... NNXX ,33
M M M M O M
Ativo N NNXX ,11 NNXX ,22 NNXX ,33 ...22
NNX
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Observe que, se tivermos uma carteira com 2 ativos devemos ter uma matriz
com 4 elementos, sendo 2 que possuem o risco baseado na varincia e outros
2 na covarincia. Se a nossa carteira tiver 3 ativos devemos ter uma matriz
com 9 elementos, sendo que 3 possuem o risco baseado na varincia e 6 nacovarincia. Abaixo segue tabela que mostra a importncia da covarincia
entre os ativos na determinao do risco de uma carteira de ativos:
Dessa forma, fica fcil notarmos que quanto maior o nmero de ativos quecompuserem uma carteira menos o risco dessa carteira depender da varincia
dos ativos e maior ser a dependncia da covarincia. Isso chamado em
Finanas de EFEITO DIVERSIFICAO e tem o mesmo raciocnio daquele
conselho que voc sempre recebeu de que no deve colocar todos os ovos em
uma mesma cesta.
Total Com Varncia Com Covarincia
1 1 1 -
2 4 2 23 9 3 6
4 16 4 12
5 25 5 20
10 100 10 90
50 2.500 50 2.450
100 10.000 100 9.900
Parcelas do RiscoNmero de
Ativos
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QUESTES PROPOSTAS
Questo 1
(CESGRANRIO BNDES Administrador 2009) Um investidor tem uma
carteira com duas aes: 50% do valor da carteira, na primeira ao, e 50%,
na segunda. O retorno esperado no prximo ano da primeira ao de 5%,
com desvio padro de 10%; e o retorno da segunda ao de 15%, com
desvio padro de 20%. Logo, o retorno esperado da carteira, no prximo ano,
a) ser de 10%, com desvio padro de 15%.
b) ser de 10%, com desvio padro dependendo da covarincia entre osretornos das duas aes.
c) ser mximo, com desvio padro mnimo, se os pesos na carteira forem
10% e 90%, respectivamente, da primeira e da segunda aes.
d) aumentar, se o peso na carteira da segunda ao diminuir.
e) s poder ser calculado conhecendo-se a covarincia entre os retornos das
duas aes.
Questo 2
(ESAF BACEN 2001) Um analista acredita que a tabela apresentada a
seguir uma descrio satisfatria da distribuio de probabilidades da taxa de
retorno de uma certa ao.
Cenrio Probabilidade Retorno
1 0,15 -10%
2 0,25 - 2%
3 0,30 + 5%
4 0,30 + 15%
De acordo com os dados contidos na tabela, o retorno esperado e o desvio-
padro da taxa de retorno da ao so, respectivamente:
a) 5,5% e 10,86%
b) 5,5% e 8,66%
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c) 4,0% e 25%
d) 4,0% e 10,86%
e) 4,0% e 8,66%
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QUESTES RESOLVIDAS
Questo 1
(CESGRANRIO BNDES Administrador 2009) Um investidor tem uma
carteira com duas aes: 50% do valor da carteira, na primeira ao, e 50%,
na segunda. O retorno esperado no prximo ano da primeira ao de 5%,
com desvio padro de 10%; e o retorno da segunda ao de 15%, com
desvio padro de 20%. Logo, o retorno esperado da carteira, no prximo ano,
a) ser de 10%, com desvio padro de 15%.
b) ser de 10%, com desvio padro dependendo da covarincia entre os
retornos das duas aes.c) ser mximo, com desvio padro mnimo, se os pesos na carteira forem
10% e 90%, respectivamente, da primeira e da segunda aes.
d) aumentar, se o peso na carteira da segunda ao diminuir.
e) s poder ser calculado conhecendo-se a covarincia entre os retornos das
duas aes.
Resoluo:
Para encontrarmos o retorno esperado da carteira e o seu desvio-padro,
devemos aplicar as seguintes frmulas:
2 ,
Observe que a questo nos informa apenas o valor aplicado em cada um dos
ativos e o desvio-padro dos ativos. Logo, no temos como calcular o desvioda carteira, uma vez que a correlao ou covarincia entre os ativos no foi
dada.
Vamos ao clculo da esperana do retorno do portfolio:
0,50 5% 0,50 15% 2,5% 7,5% 10%
Portanto, o retorno esperado do portflio igual a 10% para o prximo ano.
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Sendo assim, o gabarito a letra B.
Gabarito: B
Questo 2
(ESAF BACEN 2001) Um analista acredita que a tabela apresentada a
seguir uma descrio satisfatria da distribuio de probabilidades da taxa de
retorno de uma certa ao.
Cenrio Probabilidade Retorno
1 0,15 -10%
2 0,25 - 2%
3 0,30 + 5%
4 0,30 + 15%
De acordo com os dados contidos na tabela, o retorno esperado e o desvio-
padro da taxa de retorno da ao so, respectivamente:
a) 5,5% e 10,86%
b) 5,5% e 8,66%
c) 4,0% e 25%d) 4,0% e 10,86%
e) 4,0% e 8,66%
Resoluo:
Observem que nesse caso temos os cenrios, as probabilidades de ocorrncia
de cada um dos cenrios e retorno esperado neles. Devemos calcular, em
primeiro lugar, a esperana de retorno dos ativos e, para isso, utilizaremos aseguinte frmula:
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[ ] [ ]=
=N
i
iip REpRE1
Fazendo as devidas substituies, temos:
[ ] [ ]
[ ] ( ) ( )[ ][ ] %0,4
%5,4%5,1%5,0%5,1
%1530,0%530,0%225,0%1015,01
=
++=
+++=
==
p
p
p
N
i
iip
RE
RE
RE
REpRE
Com isso, vemos que a esperana de retorno do ativo de 4,0%.
Uma dica: Sempre que estiver fazendo as questes, no v simplesmente
resolvendo-as. Resolva as questes, voltando sempre s possveis respostas, e
eliminando aquelas que no mais podem ser contempladas.
Com isso, temos que as nicas respostas possveis so as letras c, d e e.
Passemos agora ao clculo do desvio-padro esperado.
( ) ( )[ ]=
=N
i
pii REREp1
22
Com o objetivo de simplificar a notao, a partir deste momento estareicolocando essa frmula apenas como:
( )2
1
2 =
=N
i
pii RRp
Vou te dar outra dica para facilitar sua vida. Quando estiver fazendo as contas,
ao invs de usar o nmero correto (15%=0,15), utilize os nmeros
multiplicados por cem, ou seja, sem a porcentagem (15% = 0,15*100=15). E
lembre-se daquelas propriedades estatsticas que dizem que:
Ao multiplicarmos todos os elementos de um conjunto por um mesmonmero, a mdia fica multiplicada por esse nmero.
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Ao multiplicarmos todos os elementos de um conjunto por um mesmo
nmero, a varincia fica multiplicada pelo quadrado desse nmero.
Ao multiplicarmos todos os elementos de um conjunto por um mesmo
nmero, o desvio-padro fica multiplicado por esse nmero.
Portanto, ao invs de utilizarmos os retornos de -10%, -2%, +5% e +15%,
utilizaremos um conjunto que ser igual ao produto desses retornos pelonmero 100, ou seja, -1017, 2, 5 e 15.
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 22222
22222
2
1
2
1130,0130,0625,01415,0
41530,04530,04225,041015,0
+++=
+++=
==
N
i
pii RRp
Sou obrigado a abrir mais um parnteses nessa Resoluo. A primeira
pergunta que voc tem que responder a seguinte: Voc deseja fazer a
questo corretamente ou acertar a resposta e ganhar seu ponto?
Eu, Csar, no quero fazer a questo corretamente e, portanto, no preciso
ensinar vocs a fazerem corretamente. Minha inteno ensinar vocs a
ganharem o ponto, ensinar vocs a criarem atalhos importantes para
minimizar o trabalho e o tempo gasto com a questo.
Concordam comigo. Sou adepto dessa teoria. Mas sempre tem um aluno quefala assim: Professor, eu quero aprender. E acho que a melhor resposta :
voc vai aprender mas o melhor agora passar e depois que estiver com esse
timo salrio, voc acaba de aprender tudo, ok?
Ento...Antes de continuar vocs tm duas opes. Ou aprendem a fazer raiz
quadrada pois estamos calculando a varincia e a resposta o desvio-padro
ou, ento, aprender a acertar a questo sem fazer a raiz. Eu prefiro a segunda,
mas quem quiser ou souber fazer a raiz quadrada, nem precisa continuar a ler
a questo, basta acabar de efetuar os clculos.
17 -10% * 100 = - 10
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Vocs concordam que se a resposta o desvio-padro, o examinador est nos
perguntando a raiz quadrada daquilo que estamos calculando. Portanto, basta
pegarmos as respostas possveis e elev-las ao quadrado que acharemos o
valor daquilo que foi calculado, e a s marcar a resposta.
Pois bem. Temos como possibilidade de resposta, somente as letras c, d e e.
Certo?
A letra c informa que o desvio-padro seria 25%. Como multiplicamos todos os
elementos do conjunto por 100 e o resultado que encontraremos tambm
ficar multiplicado por 100, caso essa seja a resposta deveramos encontrar o
desvio-padro igual a 25. Se o desvio 25, logo a varincia igual a 252 =625.
De forma anloga, se a resposta for d, o desvio encontrado no nosso clculoseria de 10,86. A varincia seria igual a 10,862 = ESQUECE (no faa a conta).
Sabemos que 10,86 est entre 10 e 11 e que o quadrado de 10,86 est entre10018 e 121 e mais prximo de 121 pois 10,86 est mais prximo de 11 do que
de 10. Chutemos que 10,862 deva ser igual a uns 115. T bom assim para
vocs? Para mim, est timo.
Da mesma forma, se a resposta for e, o desvio encontrado no nosso clculo
seria de 8,66. Como 8,66 est entre 8 e 9, os clculos devero mostrar algumnmero entre 64 e 81. Portanto, um bom chute seria que 8,662 igual a uns
75.
Vocs entenderam o esprito da coisa? Queremos acertar a questo e no faz-
la corretamente. Observe que temos trs resultados possveis e nossosclculos nos levaro a um valor prximo dos trs nmeros citados, ou seja,
625, 115 ou 75. Veja que esses trs nmeros so muito distantes, logo, no
precisamos calcular corretamente o valor da varincia. Podemos arredondar
tudo.... Veja.
( ) ( )
12130,0130,03625,019615,0
1130,0130,0625,01415,02
22222
+++=
+++=
18 Dez ao quadrado igual a 100 e onze ao quadrado igual a 121.
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Se voc fizer as operaes indicadas acima, acertar as questes mas gastar
muito tempo. Voc de cabea no consegue fazer a conta 0,15 x 196, certo?
Mas como temos uma boa folga nas possveis respostas, podemos transformar
essa operao em 0,15 x 200, assumindo que 200196 . Assim fica muito maisrpido e sabemos que esse valor igual a 30.
No segundo termo, no precisamos alterar, pois seus resultado simples, iguala 9. O terceiro termo igual a 0,30, mas como estamos arredondando tudo,
0,30 igual a zero. No ltimo termo, chamamos 121 de 120 e calculamos 0,30
x 120 = 36.
Entenderam a lgica?? No?? Se no entenderam, faam seus clculosnormalmente. Se compreenderam, tentem utilizar essa metodologia nesse tipo
de questo que ser bem mais fcil. Terminando a questo (fazendo as contas
com os arredondamentos):
75
36093012030,0030,03625,020015,02
2
++++++
Sendo assim, encontramos que o gabarito a letra E pois o desvio-padro igual a 8,66%.
Agora, me digam...Se tivessem feito todas as contas, no teriam chutado to
bem, no mesmo?
Eu no tenho e nem quero ensinar vocs apenas a matria. O importante
que vocs tenham condies de minimizar o tempo com que fazem a prova e
acho que isso meu papel tambm. Sei que alguns no gostam, por isso,sempre que houver esse tipo de procedimento farei no final da questo, aps
ter desenvolvido ela de tal forma que s faltaria acabar os clculos.
Gabarito: E
Questo 3
(ESAF BACEN 2001) Uma carteira de aes formada por dois papis: Ae B. Foram feitas as seguintes estimativas para taxas de retorno das duas
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aes: retorno esperado de A = 10%; retorno esperado de B = 14%; desvio-
padro do retorno de A = 6%; desvio-padro do retorno de B = 7%;
correlao entre os retornos de A e de B = 0,20. Sabendo-se que o peso da
ao A na carteira igual a 40%, ento o desvio-padro estimado para oretorno da carteira igual a:
a) 6,36%
b) 12,60%
c) 5,24%
d) 6,60%
e) 12,00%
Resoluo:
Para fazermos essa questo devemos usar, exatamente, as mesmas tcnicas
de arredondamento que sempre gosto de utilizar.
Vamos aos clculos, ento. Observe que precisamos calcular apenas o desvio-
padro.
2,44,850,04,82,0422,076 50,025,026,04,02
185036,04936,0
4,58,16,33615,03616,0
:
2,0766,04,024936,03616,0
2,0766,04,0276,064,0
2
2
22222
,22222
+=
++=
++=
++=
ndoSimplifica
XXXX
p
p
BABABABBAAp
6,272,4184,5
:completaequaoVoltemos2 =++=p
Dicas:
Se no aplicarmos mais de 100% dos recursos em nenhum dos
ativos, logo o desvio-padro da carteira dever ser menor do omaior dos desvios dos ativos;
7/31/2019 01- AF - Csar
48/60
AULA 01
ADMINISTRAO FINANCEIRA Tcnico TJDFT rea Administrativa
PROFESSOR CSAR FRADE
Prof. Csar de Oliveira Frade www.pontodosconcursos.com.br 48
Se, alm disso, a correlao entre os ativos tambm for menor do
que 1, o desvio-padro ser menor do que a mdia aritmtica dos
desvios dos ativos.
Como a questo atende aos dois itens acima, sabemos que o desvio-padro da
carteira , NECESSARIAMENTE, menor que a mdia aritmtica dos desvios
dos ativos. Sendo assim:
6,6
2,44,2
76,064,0